Sistema no lineal

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En matemáticas y ciencias, un sistema no lineal es un sistema en el que el cambio de la salida no es proporcional al cambio de la entrada. Los problemas no lineales son de interés para ingenieros, biólogos, físicos, matemáticos y muchos otros científicos porque la mayoría de los sistemas son inherentemente de naturaleza no lineal. Los sistemas dinámicos no lineales, que describen cambios en las variables a lo largo del tiempo, pueden parecer caóticos, impredecibles o contrarios a la intuición, en contraste con sistemas lineales mucho más simples.

Normalmente, el comportamiento de un sistema no lineal se describe en matemáticas mediante un sistema de ecuaciones no lineales, que es un conjunto de ecuaciones simultáneas en las que las incógnitas (o las funciones desconocidas en el caso de las ecuaciones diferenciales) aparecen como variables de un polinomio de grado mayor que uno o en el argumento de una función que no es un polinomio de grado uno. En otras palabras, en un sistema de ecuaciones no lineal, la(s) ecuación(es) a resolver no pueden escribirse como una combinación lineal de las variables o funciones desconocidas que aparecen en ellas. Los sistemas se pueden definir como no lineales, independientemente de si aparecen funciones lineales conocidas en las ecuaciones. En particular, una ecuación diferencial es linealsi es lineal en función de la función desconocida y sus derivadas, aunque no lineal en función de las otras variables que aparecen en ella.

Dado que las ecuaciones dinámicas no lineales son difíciles de resolver, los sistemas no lineales suelen aproximarse mediante ecuaciones lineales (linealización). Esto funciona bien hasta cierta precisión y cierto rango para los valores de entrada, pero algunos fenómenos interesantes como los solitones, el caos y las singularidades están ocultos por la linealización. De ello se deduce que algunos aspectos del comportamiento dinámico de un sistema no lineal pueden parecer contradictorios, impredecibles o incluso caóticos. Aunque tal comportamiento caótico puede parecer un comportamiento aleatorio, de hecho no es aleatorio. Por ejemplo, algunos aspectos del clima se consideran caóticos, donde los cambios simples en una parte del sistema producen efectos complejos en todas partes. Esta falta de linealidad es una de las razones por las que los pronósticos precisos a largo plazo son imposibles con la tecnología actual.

Algunos autores utilizan el término ciencia no lineal para el estudio de sistemas no lineales. Este término es cuestionado por otros:

Usar un término como ciencia no lineal es como referirse a la mayor parte de la zoología como el estudio de animales que no son elefantes.

— Estanislao Ulam

Definición

En matemáticas, un mapa lineal (o función lineal) $f(x)$ es uno que satisface las dos propiedades siguientes:

Principio de aditividad o superposición: ${ estilo de visualización estilo de texto f (x + y) = f (x) + f (y);}$
Homogeneidad: ${ estilo de visualización estilo de texto f ( alfa x) = alfa f (x).}$

La aditividad implica homogeneidad para cualquier α racional y, para funciones continuas, para cualquier α real. Para un complejo α, la homogeneidad no se sigue de la aditividad. Por ejemplo, un mapa antilineal es aditivo pero no homogéneo. Las condiciones de aditividad y homogeneidad a menudo se combinan en el principio de superposición ${displaystyle f(alpha x+beta y)=alpha f(x)+beta f(y)}$

Una ecuación escrita como $f(x)=C$

se llama lineal si $f(x)$ es un mapa lineal (como se define arriba) y no lineal en caso contrario. La ecuación se llama homogénea si $C=0$ .

La definición $f(x)=C$ es muy general ya que $X$ puede ser cualquier objeto matemático sensible (número, vector, función, etc.), y la función $f(x)$ puede ser literalmente cualquier mapeo, incluida la integración o la diferenciación con restricciones asociadas (como los valores límite). Si $f(x)$ contiene diferenciación con respecto a $X$ , el resultado será una ecuación diferencial.

Ecuaciones algebraicas no lineales

Las ecuaciones algebraicas no lineales, que también se denominan ecuaciones polinómicas, se definen igualando polinomios (de grado mayor que uno) a cero. Por ejemplo, $x^{2}+x-1=0,.$

Para una sola ecuación polinomial, se pueden usar algoritmos de búsqueda de raíces para encontrar soluciones a la ecuación (es decir, conjuntos de valores para las variables que satisfacen la ecuación). Sin embargo, los sistemas de ecuaciones algebraicas son más complicados; su estudio es una motivación para el campo de la geometría algebraica, una rama difícil de las matemáticas modernas. Incluso es difícil decidir si un sistema algebraico dado tiene soluciones complejas (ver Nullstellensatz de Hilbert). Sin embargo, en el caso de los sistemas con un número finito de soluciones complejas, estos sistemas de ecuaciones polinómicas son ahora bien entendidos y existen métodos eficientes para resolverlos.

Relaciones de recurrencia no lineales

Una relación de recurrencia no lineal define los términos sucesivos de una secuencia como una función no lineal de los términos precedentes. Ejemplos de relaciones de recurrencia no lineal son el mapa logístico y las relaciones que definen las diversas secuencias de Hofstadter. Los modelos discretos no lineales que representan una amplia clase de relaciones de recurrencia no lineal incluyen el modelo NARMAX (promedio móvil autorregresivo no lineal con entradas exógenas) y los procedimientos de identificación y análisis de sistemas no lineales relacionados. Estos enfoques se pueden utilizar para estudiar una amplia clase de comportamientos no lineales complejos en los dominios de tiempo, frecuencia y espacio-temporal.

Ecuaciones diferenciales no lineales

Se dice que un sistema de ecuaciones diferenciales es no lineal si no es un sistema de ecuaciones lineales. Los problemas que involucran ecuaciones diferenciales no lineales son extremadamente diversos y los métodos de solución o análisis dependen del problema. Ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales son las ecuaciones de Navier-Stokes en dinámica de fluidos y las ecuaciones de Lotka-Volterra en biología.

Una de las mayores dificultades de los problemas no lineales es que generalmente no es posible combinar soluciones conocidas en nuevas soluciones. En problemas lineales, por ejemplo, se puede usar una familia de soluciones linealmente independientes para construir soluciones generales a través del principio de superposición. Un buen ejemplo de esto es el transporte de calor unidimensional con condiciones de contorno de Dirichlet, cuya solución se puede escribir como una combinación lineal dependiente del tiempo de sinusoides de diferentes frecuencias; esto hace que las soluciones sean muy flexibles. A menudo es posible encontrar varias soluciones muy específicas para ecuaciones no lineales, sin embargo, la falta de un principio de superposición impide la construcción de nuevas soluciones.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden a menudo se pueden resolver exactamente mediante la separación de variables, especialmente para ecuaciones autónomas. Por ejemplo, la ecuación no lineal ${displaystyle {frac{du}{dx}}=-u^{2}}$

tiene ${displaystyle u={frac{1}{x+C}}}$ como solución general (y también $tu=0$ como solución particular, correspondiente al límite de la solución general cuando C tiende a infinito). La ecuación no es lineal porque se puede escribir como ${displaystyle {frac{du}{dx}}+u^{2}=0}$

y el lado izquierdo de la ecuación no es una función lineal de $tu$ y sus derivadas. Tenga en cuenta que si el $tu^{2}$ término fuera reemplazado por $tu$ , el problema sería lineal (el problema del decaimiento exponencial).

Las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo y orden superior (más generalmente, los sistemas de ecuaciones no lineales) rara vez producen soluciones de forma cerrada, aunque se encuentran soluciones implícitas y soluciones que involucran integrales no elementales.

Los métodos comunes para el análisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales incluyen:

Examen de cualquier cantidad conservada, especialmente en sistemas hamiltonianos.
Examen de cantidades disipativas (ver función de Lyapunov) análogas a cantidades conservadas
Linealización a través de la expansión de Taylor
Cambio de variables en algo más fácil de estudiar.
teoría de la bifurcación
Métodos de perturbación (también se pueden aplicar a ecuaciones algebraicas)
Existencia de soluciones de Duración Finita, que pueden ocurrir bajo condiciones específicas para algunas ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales.

Ecuaciones diferenciales parciales

El enfoque básico más común para estudiar ecuaciones diferenciales parciales no lineales es cambiar las variables (o transformar el problema de otro modo) para que el problema resultante sea más simple (posiblemente lineal). A veces, la ecuación puede transformarse en una o más ecuaciones diferenciales ordinarias, como se ve en la separación de variables, lo que siempre es útil ya sea que la(s) ecuación(es) diferencial(es) ordinaria(s) resultante(s) sea(n) resoluble(s) o no.

Otra táctica común (aunque menos matemática), a menudo explotada en mecánica de fluidos y calor, es utilizar el análisis de escala para simplificar una ecuación natural general en un determinado problema de valor límite específico. Por ejemplo, las (muy) no lineales ecuaciones de Navier-Stokes se pueden simplificar en una ecuación diferencial parcial lineal en el caso de un flujo unidimensional, laminar y transitorio en una tubería circular; el análisis de escala proporciona condiciones bajo las cuales el flujo es laminar y unidimensional y también produce la ecuación simplificada.

Otros métodos incluyen el examen de las características y el uso de los métodos descritos anteriormente para ecuaciones diferenciales ordinarias.

Péndulo

Un problema no lineal clásico y ampliamente estudiado es la dinámica de un péndulo sin fricción bajo la influencia de la gravedad. Usando la mecánica de Lagrange, se puede demostrar que el movimiento de un péndulo se puede describir mediante la ecuación no lineal adimensional ${displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+sin(theta)=0}$

donde la gravedad apunta "hacia abajo" y $theta$ es el ángulo que forma el péndulo con su posición de reposo, como se muestra en la figura de la derecha. Un enfoque para "resolver" esta ecuación es usarla $d theta / dt$ como un factor de integración, lo que eventualmente produciría ${displaystyle int {frac {dtheta }{sqrt {C_{0}+2cos(theta)}}}=t+C_{1}}$

que es una solución implícita que implica una integral elíptica. Esta "solución" generalmente no tiene muchos usos porque la mayor parte de la naturaleza de la solución está oculta en la integral no elemental (no elemental a menos que ${ estilo de visualización C_ {0} = 2}$ ).

Otra forma de abordar el problema es linealizar cualquier no linealidad (el término de la función seno en este caso) en los diversos puntos de interés a través de expansiones de Taylor. Por ejemplo, la linealización en $theta = 0$ , llamada aproximación de ángulo pequeño, es ${displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+theta =0}$

desde $sin(theta)approx theta$ por $theta aproximadamente 0$ . Este es un oscilador armónico simple que corresponde a las oscilaciones del péndulo cerca del final de su trayectoria. Otra linealización sería en $theta =pi$ , correspondiente a que el péndulo está hacia arriba: ${displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+pi -theta =0}$

desde $sin(theta)approx pi -theta$ por $theta approx pi$ . La solución a este problema involucra sinusoides hiperbólicos y tenga en cuenta que, a diferencia de la aproximación de ángulo pequeño, esta aproximación es inestable, lo que significa que $|theta |$ generalmente crecerá sin límite, aunque son posibles soluciones acotadas. Esto corresponde a la dificultad de equilibrar un péndulo en posición vertical, es literalmente un estado inestable.

Es posible una linealización más interesante alrededor $theta =pi /2$ de, alrededor de la cual $sin(theta)aproximadamente 1$ : ${frac{d^{2}theta}{dt^{2}}}+1=0.$

Esto corresponde a un problema de caída libre. Se puede obtener una imagen cualitativa muy útil de la dinámica del péndulo juntando tales linealizaciones, como se ve en la figura de la derecha. Se pueden usar otras técnicas para encontrar retratos de fase (exactos) y períodos aproximados.

Tipos de comportamientos dinámicos no lineales

Muerte de amplitud: cualquier oscilación presente en el sistema cesa debido a algún tipo de interacción con otro sistema o retroalimentación del mismo sistema.
Caos: los valores de un sistema no se pueden predecir indefinidamente en el futuro y las fluctuaciones son aperiódicas.
Multiestabilidad: la presencia de dos o más estados estables.
Solitones: ondas solitarias que se refuerzan a sí mismas
Ciclos límite: órbitas periódicas asintóticas a las que se atraen puntos fijos desestabilizados.
Autooscilaciones: oscilaciones de retroalimentación que tienen lugar en sistemas físicos disipativos abiertos.

Ejemplos de ecuaciones no lineales

Ecuación algebraica de Riccati
Sistema de bola y viga
Ecuación de Bellman para una política óptima
Ecuación de Boltzmann
Ecuación de Colebrook
Relatividad general
Teoría de Ginzburg-Landau
Ecuación de Ishimori
Ecuación de Kadomtsev-Petviashvili
Ecuación de Korteweg-de Vries
Ecuación de Landau-Lifshitz-Gilbert
Ecuación de Liénard
Ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes
óptica no lineal
Ecuación de Schrödinger no lineal
Estudio de flujo de potencia
Ecuación de Richards para flujo de agua no saturada
monociclo de auto-equilibrio
Ecuación de seno-Gordon
oscilador van der pol
Ecuación de Vlasov

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