Anillo cociente

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Reducción de un anillo por uno de sus ideales

En la teoría de anillos, una rama del álgebra abstracta, un anillo de cociente, también conocido como anillo de factores, anillo de diferencias o anillo de clase de residuo, es una construcción bastante similar al grupo cociente en la teoría de grupos y al espacio cociente en álgebra lineal. Es un ejemplo específico de un cociente, visto desde el marco general del álgebra universal. Comenzando con un anillo $R$ y un ideal de dos lados $I$ en $R$ , un nuevo anillo, el anillo cociente $R / I$ , cuyos elementos son las clases laterales de $I$ en $R$ sujeto a operaciones especiales $+$ y $\cdot$ . (Solo la barra oblicua de fracción "/" se usa en la notación de anillo de cociente, no una barra de fracción horizontal).

Los anillos de cocientes son distintos del llamado "campo de cocientes", o campo de fracciones, de un dominio integral, así como de los "anillos de cocientes" más generales. obtenidos por localización.

Construcción de anillo de cociente formal

Dado un anillo $R$ y un ideal de dos caras $I$ dentro $R$ , podemos definir una relación de equivalencia $sim$ on $R$ como sigue:

asim b

a-b

está dentro

I

Usando las propiedades ideales, no es difícil comprobar que $sim$ es una relación de congruencia. En caso $asim b$ , decimos eso $a$ y $b$ son congruente modulo $I$ . La clase de equivalencia del elemento $a$ dentro $R$ es dado por

{displaystyle [a]=a+I:={a+r:rin I}}

Esta clase de equivalencia también se escribe a veces ${displaystyle a{bmod {I}}}$ y llamó a la "clase de residuos" $a$ modulo $I$ ".

El conjunto de todas esas clases de equivalencia es denotado por $R/I$ ; se convierte en un anillo, el factor anillo o anillo colateral de $R$ modulo $I$ , si uno define

${displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$ ;
${displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$ .

(Aquí hay que comprobar que estas definiciones están bien definidas. Compare coset y quotient group.) El cero elemento $R/I$ es ${displaystyle {bar {0}}=(0+I)=I}$ , y la identidad multiplicativa es ${displaystyle {bar {1}}=(1+I)}$ .

El mapa $p$ desde $R$ a $R/I$ definidas por ${displaystyle p(a)=a+I}$ es un homomorfismo anillo subjetivo, a veces llamado mapa natural o el homomorfismo canónico.

Ejemplos

El anillo cociente R / {0} es naturalmente isomorfo a R, y R / R es el anillo cero, ya que, por nuestra definición, para cualquier r dentro R, tenemos eso [r= r + "R":= {}r + b: b "R"}}, que es igual R en sí mismo. Esto encaja con la regla del pulgar que el más grande el ideal I, el menor el anillo de cociente R / I. Si I es un ideal adecuado R, es decir, I ل R, entonces R / I no es el anillo cero.
Considere el anillo de enteros Z y el ideal de números, denotado por 2Z. Entonces el anillo cociente Z / 2Z tiene sólo dos elementos, el conjunto 0+2Z que consiste en los números y el conjunto 1+2Z consistiendo en números impares; aplicando la definición, [z= z + 2Z#z + 2Sí.: 2Sí. ▪ 2Z}, donde 2Z es el ideal de números. Es naturalmente isomorfo al campo finito con dos elementos, F₂. Intuitivamente: si usted piensa en todos los números iguales como 0, entonces cada entero es 0 (si es incluso) o 1 (si es extraño y por lo tanto difiere de un número uniforme para 1). Aritmética modular es esencialmente aritmética en el anillo cociente Z / nZ (que tiene n elementos).
Ahora considere el anillo de polinomios en la variable X con coeficientes reales, R[X], y el ideal I =X² + 1) que consiste en todos los múltiplos del polinomio X² + 1. El anillo cociente R[X♪X² + 1) es naturalmente isomorfo al campo de números complejos C, con la clase [X] jugando el papel de la unidad imaginaria i. La razón es que "forzamos" X² + 1 = 0, es decir. X² = 1 -, que es la propiedad definitoria i.
Generalizando el ejemplo anterior, a menudo se utilizan anillos cocientes para construir extensiones de campo. Suppose K es un campo y f es un polinomio irreducible en K[X]. Entonces... L = K[X♪f) es un campo cuyo mínimo polinomio sobre K es f, que contiene K así como un elemento x = X +f).
Un ejemplo importante del ejemplo anterior es la construcción de los campos finitos. Considere por ejemplo el campo F₃ = Z / 3Z con tres elementos. El polinomio f()X) X² + 1 es irreducible sobre F₃ (ya que no tiene raíz), y podemos construir el anillo cociente F₃[X♪f). Este es un campo con 3² = 9 elementos, denotados por F₉. Los otros campos finitos se pueden construir de manera similar.
Los anillos de coordenadas de las variedades algebraicas son ejemplos importantes de anillos cocientes en geometría algebraica. Como caso simple, considere la variedad real V *x, Sí.Silencio x² = Sí.³} como subconjunto del plano real R². El anillo de funciones polinómicas de valor real definidas en V se puede identificar con el anillo de cociente R[X,Y♪X² − Y³), y este es el anillo de coordenadas V. La variedad V ahora se investiga estudiando su anillo de coordenadas.
Suppose M es un C^JUEGO- múltiples, y p es un punto M. Considere el anillo R C^JUEGO()M) de todas las^JUEGO- Funciones definidas en M y dejar I ser el ideal en R que consisten en esas funciones f que son idénticos cero en algún vecindario U de p (donde) U puede depender de f). Entonces el anillo cociente R / I es el anillo de los gérmenes de C^JUEGO- Funciones en M a p.
Considere el anillo F de elementos finitos de un campo hiperreal *R. Se compone de todos los números hiperreal difieren de un real estándar por una cantidad infinitesimal, o equivalentemente: de todos los números hiperreal x para el cual un entero estándar n con −n. x. n existe. El set I de todos los números infinitesimal en *R, junto con 0, es un ideal en F, y el anillo de cociente F / I es isomorfo a los números reales R. El isomorfismo es inducido por asociarse a cada elemento x de F la parte estándar de x, es decir, el número real único que difiere de x por un infinitesimal. De hecho, se obtiene el mismo resultado, es decir, R, si uno comienza con el anillo F de hiperracionales finitos (es decir, relación de un par de hiperintegers), ver la construcción de los números reales.

Variaciones de planos complejos

Los cocientes R[X] / (X), R[X] / (X + 1), y R[X] / (X − 1) son todas isomorfas a R y ganan poco interés al principio. Pero tenga en cuenta que R[X] / (X²) se llama plano numérico dual en álgebra geométrica. Consta únicamente de binomios lineales como "residuos" después de reducir un elemento de R[X] por X². Esta variación de un plano complejo surge como subálgebra siempre que el álgebra contiene una línea real y una nilpotente.

Además, el cociente de anillos R[X] / (X² − 1) se divide en R[ X] / (X + 1) y R[X] / (X − 1), por lo que este anillo suele verse como la suma directa R ⊕ R. Sin embargo, j sugiere una variación de los números complejos z = x + y j como raíz de X² − 1, comparado con i como raíz de X² + 1 = 0. Este plano de números complejos divididos normaliza la suma directa R ⊕ R proporcionando una base {1, j} para 2 espacios donde la identidad del álgebra está a una unidad de distancia del cero. Con esta base se puede comparar una hipérbola unitaria con el círculo unitario del plano complejo ordinario.

Cuaterniones y variaciones

Supongamos que X e Y son dos indeterminados que no viajan al trabajo y forman el álgebra libre R ⟨X, Y⟩. Entonces los cuaterniones de Hamilton de 1843 se pueden expresar como

{displaystyle mathbf {R} langle X,Yrangle /(X^{2}+1,Y^{2}+1,XY+YX).}

Si Y² − 1 se sustituye por Y² + 1, entonces se obtiene el anillo de cuaterniones divididos. La propiedad anticonmutativa YX = −XY implica que XY tiene como cuadrado

()XY)XY) X()YX)Y =X()XY)Y = −XX)Sí.) = −(−1)(+1) = +1.

Sustituir menos por más en ambos binomios cuadráticos también da como resultado cuaterniones divididos.

Los tres tipos de bicuaterniones también se pueden escribir como cocientes usando el álgebra libre con tres indeterminados R⟨X, Y, Z⟩ y construyendo ideales apropiados.

Propiedades

Claramente, si R es un anillo conmutativo, entonces también lo es R / I; lo contrario, sin embargo, no es cierto en general.

El mapa del cociente natural p tiene I como núcleo; dado que el núcleo de todo homomorfismo de anillos es un ideal de dos colas, podemos afirmar que los ideales de dos colas son precisamente los núcleos de los homomorfismos de anillos.

La relación íntima entre homomorfismos de anillos, núcleos y anillos de cociente se puede resumir de la siguiente manera: los homomorfismos de anillos definidos en R / I son esencialmente los mismos que los del anillo homomorfismos definidos en R que desaparecen (es decir, son cero) en I. Más precisamente, dado un ideal de dos colas I en R y un homomorfismo de anillo f: R → S cuyo kernel contiene I, existe precisamente un homomorfismo de anillos g: R / I → S con gp = f (donde p es el mapa del cociente natural). El mapa g aquí está dado por la regla bien definida g([a]) = f(a) para todos los a en R. De hecho, esta propiedad universal se puede usar para definir anillos de cocientes y sus mapas de cocientes naturales.

Como consecuencia de lo anterior, se obtiene el enunciado fundamental: todo homomorfismo de anillos f: R → S induce un isomorfismo de anillo entre el anillo cociente R / ker(f) y la imagen im(f). (Ver también: teorema fundamental sobre homomorfismos.)

Los ideales de R y R / I están íntimamente relacionados: lo natural El mapa de cociente proporciona una biyección entre los ideales bilaterales de R que contienen I y los ideales bilaterales de R / I (lo mismo es cierto para los ideales de izquierda y derecha). Esta relación entre ideales de dos colas se extiende a una relación entre los anillos de cociente correspondientes: si M es un ideal de dos colas en R que contiene I, y escribimos M / I para el ideal correspondiente en R / I (es decir, M / I = p (M)), el cociente suena R / M y (R / I) / (M / I) son naturalmente isomorfos a través del mapeo (¡bien definido!) a + M ↦ (a + I) + M / I.

Los siguientes hechos resultan útiles en álgebra conmutativa y geometría algebraica: para R ≠ {0} conmutativa, R / I es un campo si y solo si I es un ideal maximal, mientras que R / I es un dominio integral si y solo si I es un ideal primo. Varias declaraciones similares relacionan las propiedades del I ideal con las propiedades del anillo cociente R / I.

El teorema chino del resto establece que, si el I ideal es la intersección (o de manera equivalente, el producto) de los ideales coprimos por pares I₁,..., I_k, entonces el anillo del cociente R / I es isomorfo al producto de los anillos del cociente R / I_n, n = 1,..., k.

Para álgebras sobre un anillo

Un álgebra asociativa A sobre un anillo conmutativo R es un anillo en sí mismo. Si I es un ideal en A (cerrado bajo R-multiplicación), entonces A/I hereda la estructura de un álgebra sobre R y es el álgebra cociente.

Más referencias

F. Kasch (1978) Moduln und Ringe, traducido por DAR Wallace (1982) Módulos y anillos, Prensa Académica, página 33.
Neal H. McCoy (1948) Anillos e ideales, §13 Anillos de clase residual, página 61, Monografías Matemáticas Carus #8, Asociación Matemática de América.
Joseph Rotman (1998). Teoría Galois (2a edición). Springer. pp. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
B.L. van der Waerden (1970) Álgebra, traducido por Fred Blum y John R Schulenberger, Frederick Ungar Publishing, Nueva York. Ver Capítulo 3.5, "Ideales. Anillos de clase residual", páginas 47 a 51.