Sistema de coordenadas universal transversal de Mercator

El Universal Transverse Mercator (UTM) es un sistema de proyección de mapas para asignar coordenadas a ubicaciones en la superficie de la Tierra. Al igual que el método tradicional de latitud y longitud, es una representación de posición horizontal, lo que significa que ignora la altitud y trata la superficie terrestre como un elipsoide perfecto. Sin embargo, se diferencia de la latitud/longitud global en que divide la Tierra en 60 zonas y proyecta cada una de ellas al plano como base para sus coordenadas. Especificar una ubicación significa especificar la zona y las coordenadas x, y en ese plano. La proyección del esferoide a una zona UTM es una parametrización de la proyección transversal de Mercator. Los parámetros varían según la nación, la región o el sistema cartográfico.

La mayoría de las zonas en UTM abarcan 6 grados de longitud y cada una tiene un meridiano central designado. Se especifica que el factor de escala en el meridiano central es 0,9996 de escala real para la mayoría de los sistemas UTM en uso.

Historia

El sitio web de la Administración Nacional Oceánica y Atmosférica (NOAA) afirma que el sistema fue desarrollado por el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de los Estados Unidos a principios de la década de 1940. Sin embargo, una serie de fotografías aéreas encontradas en el Bundesarchiv-Militärarchiv (la sección militar de los Archivos Federales alemanes) que aparentemente datan de 1943-1944 llevan la inscripción UTMREF seguida de letras cuadriculadas y dígitos, y proyectadas según el Mercator transversal, un hallazgo eso indicaría que algo llamado sistema de referencia UTM fue desarrollado en el período 1942-1943 por la Wehrmacht. Probablemente fue realizado por el Abteilung für Luftbildwesen (Departamento de Fotografía Aérea). A partir de 1947, el ejército estadounidense empleó un sistema muy similar, pero con el factor de escala ahora estándar de 0,9996 en el meridiano central, a diferencia del 1,0 alemán. Para áreas dentro de los Estados Unidos contiguos se utilizó el elipsoide de Clarke de 1866. Para el resto de áreas de la Tierra, incluido Hawaii, se utilizó el Elipsoide Internacional. El elipsoide WGS84 del Sistema Geodésico Mundial ahora se usa generalmente para modelar la Tierra en el sistema de coordenadas UTM, lo que significa que el norte UTM actual en un punto determinado puede diferir hasta 200 metros del anterior. Para diferentes regiones geográficas, se pueden utilizar otros sistemas de referencia.

Antes del desarrollo del sistema de coordenadas Universal Transverse Mercator, varias naciones europeas demostraron la utilidad de los mapas conformes basados en cuadrículas al mapear su territorio durante el período de entreguerras. Calcular la distancia entre dos puntos en estos mapas se podía realizar más fácilmente en el campo (usando el teorema de Pitágoras) que usando las fórmulas trigonométricas requeridas bajo el sistema de latitud y longitud basado en retículas. En los años de la posguerra, estos conceptos se ampliaron al sistema de coordenadas Universal Transverse Mercator/Universal Polar Stereographic (UTM/UPS), que es un sistema global (o universal) de mapas basados en cuadrículas.

La proyección transversal de Mercator es una variante de la proyección de Mercator, que fue desarrollada originalmente por el geógrafo y cartógrafo flamenco Gerardus Mercator, en 1570. Esta proyección es conforme, lo que significa que conserva ángulos y, por lo tanto, formas en regiones pequeñas. Sin embargo, distorsiona la distancia y el área.

Definiciones

Zona UTM

El sistema UTM divide la Tierra en 60 zonas, cada una de 6° de longitud de ancho. La zona 1 cubre la longitud de 180° a 174° W; la numeración de zonas aumenta hacia el este hasta la zona 60, que cubre la longitud 174°E a 180°. Se excluyen las regiones polares al sur de 80°S y al norte de 84°N.

Cada una de las 60 zonas utiliza una proyección transversal de Mercator que puede mapear una región de gran extensión norte-sur con baja distorsión. Al utilizar zonas estrechas de 6° de longitud (hasta 668 km) de ancho y reducir el factor de escala a lo largo del meridiano central a 0,9996 (una reducción de 1:2500), la cantidad de distorsión se mantiene por debajo de 1 parte en 1000 en el interior. cada zona. La distorsión de escala aumenta a 1,0010 en los límites de la zona a lo largo del ecuador.

En cada zona, el factor de escala del meridiano central reduce el diámetro del cilindro transversal para producir una proyección secante con dos líneas estándar, o líneas de escala verdadera, aproximadamente 180 km a cada lado y aproximadamente paralelas a la meridiano central (Arco cos 0,9996 = 1,62° en el Ecuador). La escala es menor que 1 dentro de las líneas estándar y mayor que 1 fuera de ellas, pero la distorsión general se minimiza.

Excepciones

Las zonas UTM son uniformes en todo el mundo, excepto en dos áreas. En la costa suroeste de Noruega, la zona 32 se extiende 3° más al oeste y, en consecuencia, la zona 31 se reduce para cubrir únicamente aguas abiertas. Además, en la región alrededor de Svalbard, las zonas 32, 34 y 36 no se utilizan, mientras que las zonas 31 (9° de ancho), 33 (12° de ancho), 35 (12° de ancho) y 37 (9° de ancho) sí lo son. extendido para cubrir los huecos.

Cuadrículas superpuestas

La distorsión de escala aumenta en cada zona UTM a medida que se acercan los límites entre las zonas UTM. Sin embargo, muchas veces es conveniente o necesario medir una serie de ubicaciones en una sola cuadrícula cuando algunas están ubicadas en dos zonas adyacentes. Alrededor de los límites de los mapas a gran escala (1:100.000 o mayor), las coordenadas de ambas zonas UTM contiguas generalmente se imprimen dentro de una distancia mínima de 40 km a cada lado del límite de una zona. Idealmente, las coordenadas de cada posición deberían medirse en la cuadrícula de la zona en la que se encuentran, pero debido a que el factor de escala aún es relativamente pequeño cerca de los límites de la zona, es posible superponer mediciones en una zona contigua a cierta distancia cuando sea necesario. .

Bandas de latitud

Las bandas de latitud no forman parte de UTM, sino más bien del sistema de referencia de cuadrícula militar (MGRS). Sin embargo, a veces se incluyen en notación UTM. Incluir bandas de latitud en la notación UTM puede generar coordenadas ambiguas, como la letra "S" se refiere al hemisferio sur o a una banda de latitud en el hemisferio norte y, por lo tanto, debe evitarse.

Localización de una posición mediante coordenadas UTM

Una posición en la Tierra está dada por el número de zona UTM y el designador de hemisferio y el par de coordenadas planas este y norte en esa zona.

El punto de origen de cada zona UTM es la intersección del ecuador y el meridiano central de la zona. Para evitar lidiar con números negativos, un Este falso de −500000 metros se añade al meridiano central. Por lo tanto, un punto que tiene un este de 400000 metros está a unos 100 km al oeste del meridiano central. Para la mayoría de esos puntos, la distancia real sería de poco más de 100 km medida en la superficie de la Tierra debido a la distorsión de la proyección. Los valores UTM este varían desde aproximadamente 166000 metros a 834000</span metros en el ecuador.

En el hemisferio norte, las posiciones se miden hacia el norte desde cero en el ecuador. El máximo "norte" el valor es aproximadamente 9300000 metros en la latitud 84 grados Norte, el extremo norte de las zonas UTM. El norte del hemisferio sur en el ecuador se establece en 10000000 metros. Los nortes disminuyen hacia el sur desde estos 10000 000 metros a aproximadamente 1100000 metros a 80 grados sur, el extremo sur de las zonas UTM. Por lo tanto, ningún punto tiene un valor de norte negativo.

Por ejemplo, la Torre CN está en 43°38′33.24″N 79°23 ′13,7 ″ O / 43.6425667 ° N 79.387139 ° W / 43.6425667; -79.387139 (Torre CN), que se encuentra en la zona UTM 17 y la posición de la cuadrícula es 630084 m este, 4833438 m norte . Dos puntos de la Zona 17 tienen estas coordenadas, uno en el hemisferio norte y otro en el sur; el formato no ambiguo es especificar la zona completa y el designador del hemisferio, es decir, "17N 630084 4833438".

Fórmulas simplificadas

Estas fórmulas son una versión truncada de Transverse Mercator: series de aplanamiento, que originalmente fueron derivadas por Johann Heinrich Louis Krüger en 1912. Tienen una precisión de alrededor de un milímetro dentro de 3000 km del meridiano central. También se han dado comentarios concisos para su derivación.

El sistema de referencia espacial WGS 84 describe la Tierra como un esferoide oblato a lo largo del eje norte-sur con un radio ecuatorial de a=6378.137{displaystyle a=6378.137} km y un aplanamiento inverso de 1/f=298.257223563{displaystyle 1/f=298.257,223,563}. Tomemos un punto de latitud φ φ {displaystyle ,varphi } y de longitud λ λ {displaystyle ,lambda } y computar sus coordenadas UTM, así como el factor de escala de puntos k{displaystyle k,!} y convergencia meridiana γ γ {displaystyle gamma ,!} usando un meridiano de referencia de longitud λ λ 0{displaystyle lambda ¿Qué?. Por convención, en el hemisferio norte N0=0{displaystyle N_{0}=0} km y en el hemisferio sur N0=10000{displaystyle N_{0}=10000} km. Por convención también k0=0.9996{displaystyle K_{0}=0.9996} y E0=500{displaystyle E_{0}=500} km.

En las siguientes fórmulas, las distancias están en kilómetros. Primero, aquí hay algunos valores preliminares:

n=f2− − f,A=a1+n()1+n24+n464+⋯ ⋯ ),{displaystyle {begin{aligned}n {f}{2-f} {f} {a}{1+n}left(1+{frac {fn} {fn} {fnMicroc}} {fn}} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fnfn}}}}}} {fnfn}}}}}\fn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnf}}}}}}}}}}}\\\\fnfnfnfn\\fnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn}}}}}}}} {n^{4}{64}+cdots right),\{}end{aligned}}}

α α 1=12n− − 23n2+516n3,α α 2=1348n2− − 35n3,α α 3=61240n3,β β 1=12n− − 23n2+3796n3,β β 2=148n2+115n3,β β 3=17480n3,δ δ 1=2n− − 23n2− − 2n3,δ δ 2=73n2− − 85n3,δ δ 3=5615n3.{displaystyle {begin{aligned}alpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{2}n-{frac} {2} {3}n^{2}+{frac {5} {6}n^{3}, ventajaalpha ################################################################################################################################################################################################################################################################ ###### {240}n^{3}[12pt]beta ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{2}n-{frac} {2} {3}n^{2}+{frac} {37} {96}n^{3}, golpebeta ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{3}n^{2}+{frac {1}n^{3} #### {480}n^{3}[12pt]delta ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?

De latitud, longitud (φ, λ) a coordenadas UTM (E, N)

Primero calculamos algunos valores intermedios:

t=pecado⁡ ⁡ ()Tanh− − 1⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ φ φ )− − 2n1+nTanh− − 1⁡ ⁡ ()2n1+npecado⁡ ⁡ φ φ )),{displaystyle t=sinh left(tanh ^{-1}left(sin varphi right)-{frac {2{sqrt {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}}tanh }tanh } {fn}fn}fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}fn}fn} {fn}fn}fn}}}}}}}}}}}}tanhn}tanh}}tanh}tanh}tanh}fn}tanh}tanh}tanh}tanh}tanhtanh}tanh}tanh }tanh}tanh}tanh}n}n}n}n}n}tanh }n}tanh}n}tanh}}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}n}} {n}}{1+n}sin varphi right)right),}

. . .=#− − 1⁡ ⁡ ()t#⁡ ⁡ ()λ λ − − λ λ 0)),. . .=Tanh− − 1⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ ()λ λ − − λ λ 0)1+t2),{displaystyle xi '=tan ^{-1}left({frac {}{cos(lambda -lambda _{0}}derecha),,,,eta '=tanh ^{-1}left({frac {frac {sin(lambda - Lambda. {1+t^{2}}}derecha),}

σ σ =1+. . j=132jα α j#⁡ ⁡ ()2j. . .)cosh⁡ ⁡ ()2j. . .),τ τ =. . j=132jα α jpecado⁡ ⁡ ()2j. . .)pecado⁡ ⁡ ()2j. . .).{displaystyle sigma =1+sum ¿Por qué?

Las fórmulas finales son:

E=E0+k0A(). . .+. . j=13α α j#⁡ ⁡ ()2j. . .)pecado⁡ ⁡ ()2j. . .)),{displaystyle E=E_{0}+k_{0}Aleft(eta '+sum _{j=1}^{3}alpha _{j}cos(2jxi ')sinh(2jeta ')right),}

N=N0+k0A(). . .+. . j=13α α jpecado⁡ ⁡ ()2j. . .)cosh⁡ ⁡ ()2j. . .)),{displaystyle N=N_{0}+k_{0}Aleft(xi '+sum _{j=1}^{3}alpha _{j}sin(2jxi ')cosh(2jeta ')right),}

k=k0Aa{}1+()1− − n1+n#⁡ ⁡ φ φ )2}σ σ 2+τ τ 2t2+#2⁡ ⁡ ()λ λ − − λ λ 0),{displaystyle k={frac {fnK} {fn} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft} {fnMicroc}} {fn\fn\fnMicrosoft {fnf}} {fnf}}} {fnfnf}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {sqm}}}} {sqsqm}} {sqsqsqsqsqsqsqsqtsqrt {sqrt {sqrt {\sqrt {\sqrt {sqtsqrt {sqtsqrt {sqtsqtsqtsqtsqrt {sqsqw {\sqrt {sqts {1-n}{1+n}tan varphi right)^{2}right{frac {sigma ^{2}+tau }{2}{2}+cos ^{2}(lambda -lambda ♪♪

γ γ =#− − 1⁡ ⁡ ()τ τ 1+t2+σ σ t#⁡ ⁡ ()λ λ − − λ λ 0)σ σ 1+t2− − τ τ t#⁡ ⁡ ()λ λ − − λ λ 0)).{displaystyle gamma =tan ^{-1}left({frac {tau {sqrt {1+t^{2}}+sigma ttan(lambda -lambda _{0}}{sigma {1+t^{2}}}-tau ttan(lambda -lambda _{0}}}}right). }

Donde E{displaystyle E} Es Easting, N{displaystyle N} Es Northing, k{displaystyle k} es el Factor de Escala, y γ γ {displaystyle gamma } es la Convergencia Grid.

De coordenadas UTM (E, N, Zona, Hemi) a latitud, longitud (φ, λ)

Nota: Hemi = +1 para el norte, Hemi = −1 para el sur

Primero, calculemos algunos valores intermedios:

. . =N− − N0k0A,. . =E− − E0k0A,{displaystyle xi ={frac {N-N_{0}{k_{0}A},,,eta ={frac} {E-E_{0}{k_{0}A}}

. . .=. . − − . . j=13β β jpecado⁡ ⁡ ()2j. . )cosh⁡ ⁡ ()2j. . ),. . .=. . − − . . j=13β β j#⁡ ⁡ ()2j. . )pecado⁡ ⁡ ()2j. . ),{displaystyle xi '=xi -sum _{j=1}^{3}beta _{j}sin left(2jxi right)cosh left(2jeta right),,,,eta '=eta -sum _{j=1}beta _{j}cos left(2jxi right)sinh left(2jeta right),}

σ σ .=1− − . . j=132jβ β j#⁡ ⁡ ()2j. . )cosh⁡ ⁡ ()2j. . ),τ τ .=. . j=132jβ β jpecado⁡ ⁡ ()2j. . )pecado⁡ ⁡ ()2j. . ),{displaystyle sigma '=1-sum _{j=1}^{3}2jbeta _{j}cos left(2jxi right)cosh left(2jeta right),,,,tau '=sum _{j=1}^{3}2jbeta _{j}sin left(2jxiright)sinhleft2

χ χ =pecado− − 1⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ . . .cosh⁡ ⁡ . . .).{displaystyle chi =sin ^{-1}left({frac {sin xi '}{cosh eta '}right).}

Las fórmulas finales son:

φ φ =χ χ +. . j=13δ δ jpecado⁡ ⁡ ()2jχ χ ),{displaystyle varphi =chi +sum _{j=1}delta _{j}sin left(2jchi right),}

λ λ 0=Zone× × 6∘ ∘ − − 183∘ ∘ {displaystyle lambda ¿Qué? {Z} mathrm {o} mathrm {n} mathrm {e} times 6^{circ }-183^{circ }\,}

λ λ =λ λ 0+#− − 1⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ . . .#⁡ ⁡ . . .),{displaystyle lambda =lambda ¿Por qué?

k=k0Aa{}1+()1− − n1+n#⁡ ⁡ φ φ )2}#2⁡ ⁡ . . .+pecado2⁡ ⁡ . . .σ σ .2+τ τ .2,{displaystyle k={frac {fnK} {f} {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnfnMicrosoft} {fn} {fnf}}} {fnfnfnfnfn\fnfnfnfnfnfnfnfnK}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}} {fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfn {1-n}{1+n}tan varphi right)^{2}right}{frac {cos ^{2}xi '+sinh ^{2}eta {sigma}}}}

γ γ =Hemi× × #− − 1⁡ ⁡ ()τ τ .+σ σ .#⁡ ⁡ . . .Tanh⁡ ⁡ . . .σ σ .− − τ τ .#⁡ ⁡ . . .Tanh⁡ ⁡ . . .).{displaystyle gamma =mathrm {H} mathrm {e} mathrm {m} mathrm {i} times tan ^{-1}left({frac {tau '+sigma 'tan xi 'tanh eta '}{sigma '-tau 'tan xi 'tanh eta '}right). }