Sistema de coordenadas baricéntrico

En geometría, un sistema de coordenadas baricéntrico es un sistema de coordenadas en el que la ubicación de un punto se especifica mediante referencia a un simplex (un triángulo para puntos en un plano, un tetraedro para puntos en tres -espacio dimensional, etc.). Las coordenadas baricéntricas de un punto se pueden interpretar como masas colocadas en los vértices del simplex, de modo que el punto es el centro de masas (o baricentro) de dichas masas. Estas masas pueden ser cero o negativas; todos son positivos si y sólo si el punto está dentro del simplex.

Cada punto tiene coordenadas baricéntricas y su suma no es cero. Dos tuplas de coordenadas baricéntricas especifican el mismo punto si y sólo si son proporcionales; es decir, si una tupla se puede obtener multiplicando los elementos de la otra tupla por el mismo número distinto de cero. Por lo tanto, se considera que las coordenadas baricéntricas están definidas hasta la multiplicación por una constante distinta de cero o normalizadas para sumar a la unidad.

Las coordenadas baricéntricas fueron introducidas por August Möbius en 1827. Son coordenadas homogéneas especiales. Las coordenadas baricéntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, de manera más general, con las coordenadas afines (consulte Espacio afín § Relación entre coordenadas baricéntricas y afines).

Las coordenadas baricéntricas son particularmente útiles en la geometría de triángulos para estudiar propiedades que no dependen de los ángulos del triángulo, como el teorema de Ceva, el teorema de Routh y el teorema de Menelao. En el diseño asistido por computadora, son útiles para definir algunos tipos de superficies Bézier.

Definición

Vamos. ${displaystyle A_{0},ldots A_{n}$ Ser n + 1 puntos en un espacio euclidiano, un espacio plano o afinado ${displaystyle mathbf {A}$ de la dimensión n que son afinadamente independientes; esto significa que no hay subespacial afine de dimensión n - 1 que contiene todos los puntos, o, equivalentemente que los puntos definen un simplex. Dado cualquier punto ${displaystyle Pin mathbf {A}$ hay scalars ${displaystyle a_{0},ldotsa_{n}$ que no son todos cero, tal que

$${displaystyle (a_{0}+cdots +a_{n}{n}{overrightarrow {OP}=a_{0}{overrightarrow {OA_{0}}+cdots +a_{n}{overrightarrow {OA_{n}}}}$$

${displaystyle {fnMicrosoft}}$

Los elementos de un ()n + 1) tuple ${displaystyle (a_{0}:dotsc:a_{n}}$ que satisface esta ecuación se llama coordenadas barycentrices de P con respecto a ${displaystyle A_{0},ldots A_{n}.$ El uso de colones en la notación del tuple significa que las coordenadas baríntricas son una especie de coordenadas homogéneas, es decir, el punto no se cambia si todas las coordenadas se multiplican por la misma constante no cero. Además, las coordenadas barícentricas tampoco se cambian si el punto auxiliar O, el origen, se cambia.

Las coordenadas baricéntricos de un punto son únicas hasta un escalado. Es decir, dos tuples ${displaystyle (a_{0}:dotsc:a_{n}}$ y ${displaystyle (b_{0}:dotsc:b_{n}}$ son coordenadas baricéntricos del mismo punto si y sólo si hay un escalar no cero ${displaystyle lambda }$ tales que ${displaystyle B_{i}=lambda A_{i}$ para todos i.

En algunos contextos, resulta útil restringir las coordenadas baricéntricas de un punto para que sean únicas. Esto generalmente se logra imponiendo la condición

$${displaystyle sum a_{i}=1,}$$

${displaystyle A_{i}$

${displaystyle a_{i}$

A veces, son las coordenadas baricéntricas normalizadas las que se denominan coordenadas baricéntricas. En este caso, las coordenadas definidas anteriormente se denominan coordenadas baricéntricas homogéneas.

Con la notación anterior, las coordenadas baricéntricos homogéneas de A_i son todos cero, excepto el índice i. Cuando se trabaja sobre los números reales (la definición anterior también se utiliza para los espacios afines sobre un campo arbitrario), los puntos cuyas coordenadas baricéntricas normalizadas son no negativas el casco convexo de ${displaystyle {A_{0},ldots A_{n}$ que es el simplex que tiene estos puntos como sus vértices.

Con la notación anterior, un tuple ${displaystyle (a_{1},ldotsa_{n}}$ tales que

$${displaystyle sum _{i=0} {}a_{i}=0}$$

$${displaystyle A_{0}{overrightarrow {OA_{0}}+cdots +a_{n}{overrightarrow {fn}}$$

${displaystyle A_{i}$

${displaystyle (a_{0}:dotsc:a_{n}}$

Relación con coordenadas cartesianas o afines

Las coordenadas baríntricas están fuertemente relacionadas con las coordenadas cartesianas y, más generalmente, las coordenadas affine. Para un espacio de dimensión n, estos sistemas de coordenadas se definen en relación con un punto O, el origen, cuyas coordenadas son cero, y n puntos ${displaystyle A_{1},ldots A_{n}$ cuyas coordenadas son cero excepto las del índice i Eso es igual a uno.

Un punto tiene coordenadas

$${displaystyle (x_{1},ldotsx_{n}}$$

$${displaystyle (1-x_{1}-cdots -x_{n},x_{1},ldotsx_{n}}$$

${displaystyle O,A_{1},ldots A_{n}.$

La principal ventaja de los sistemas de coordenadas baricéntricos es ser simétricos con respecto a los n + 1 puntos que los definen. Por lo tanto, suelen ser útiles para estudiar propiedades que son simétricas con respecto a n + 1 puntos. Por otro lado, las distancias y los ángulos son difíciles de expresar en sistemas de coordenadas baricéntricos generales y, cuando están involucrados, generalmente es más sencillo utilizar un sistema de coordenadas cartesiano.

Relación con coordenadas proyectivas

Las coordenadas baricéntricas homogéneas también están fuertemente relacionadas con algunas coordenadas proyectivas. Sin embargo, esta relación es más sutil que en el caso de coordenadas afines y, para entenderse claramente, requiere una definición sin coordenadas de la finalización proyectiva de un espacio afín y una definición de marco proyectivo.

El finalización del proyecto de un espacio afinado de dimensión n es un espacio proyector de la misma dimensión que contiene el espacio afine como el complemento de un hiperplano. La terminación proyectiva es única hasta un isomorfismo. El hiperplano se llama hiperplano en el infinito, y sus puntos son los puntos en la infinidad del espacio afinal.

Dado un espacio proyectivo de dimensión n, un marco proyectivo es un conjunto ordenado de < span class="texhtml">n + 2 puntos que no están contenidos en el mismo hiperplano. Un marco proyectivo define un sistema de coordenadas proyectivo tal que las coordenadas del (n + 2)ésimo punto del marco son todas iguales y, en caso contrario,, todas las coordenadas del iésimo punto son cero, excepto el iésimo.

Cuando se construye la terminación proyectiva a partir de un sistema de coordenadas afín, se define comúnmente con respecto a un marco proyectivo que consiste en las intersecciones con el hiperplano en la infinidad de los ejes de coordenadas, el origen del espacio afín y el punto que tiene todas sus coordenadas afines son iguales a uno. Esto implica que los puntos en el infinito tienen su última coordenada igual a cero, y que las coordenadas proyectivas de un punto del espacio afín se obtienen completando sus coordenadas afines en uno como (n + 1)ésima coordenada.

Cuando uno tiene n + 1 puntos en un espacio afín que define un sistema de coordenadas baricéntrico, este es otro marco proyectivo de la terminación proyectiva que Es conveniente elegir. Este marco consta de estos puntos y su centroide, es decir el punto que tiene todas sus coordenadas baricéntricas iguales. En este caso, las coordenadas baricéntricas homogéneas de un punto en el espacio afín son las mismas que las coordenadas proyectivas de este punto. Un punto está en el infinito si y sólo si la suma de sus coordenadas es cero. Este punto está en la dirección del vector definido al final del § Definición.

Coordenadas baricéntricas en triángulos

En el contexto de un triángulo, las coordenadas baricéntricas también se conocen como coordenadas de área o coordenadas de área, porque las coordenadas de P con respecto al triángulo ABC son equivalentes a las razones (con signo) de las áreas de PBC, PCA y PAB al área del triángulo de referencia ABC. Las coordenadas areales y trilineales se utilizan para propósitos similares en geometría.

Las coordenadas baricéntricas o de área son extremadamente útiles en aplicaciones de ingeniería que involucran subdominios triangulares. Esto hace que las integrales analíticas sean a menudo más fáciles de evaluar, y las tablas de cuadratura gaussianas suelen presentarse en términos de coordenadas de área.

Considerar un triángulo ${displaystyle T}$ definido por sus tres vértices, ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$, ${displaystyle mathbf {r} _{2}$ y ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$. Cada punto ${displaystyle mathbf {r}$ situado dentro de este triángulo se puede escribir como una combinación convexa única de los tres vértices. En otras palabras, para cada uno ${displaystyle mathbf {r}$ hay una secuencia única de tres números, ${displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda ¿Qué? 0}$ tales que ${displaystyle lambda _{1}+lambda _{2}+lambda ¿Qué?$ y

$${displaystyle mathbf {r} =lambda _{1}mathbf {r} _{1}+lambda ¿Qué? ¿Qué?$$

Los tres números ${displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda ¿Qué?$ indicar las coordenadas "barycentric" o "area" del punto ${displaystyle mathbf {r}$ con respecto al triángulo. A menudo se denotan como ${displaystyle alphabetagamma}$ en lugar de ${displaystyle lambda _{1},lambda _{2},lambda ¿Qué?$. Tenga en cuenta que aunque hay tres coordenadas, sólo hay dos grados de libertad, ya que ${displaystyle lambda _{1}+lambda _{2}+lambda ¿Qué?$. Así cada punto se define únicamente por cualquiera de las dos coordenadas barícentricas.

Para explicar por qué estas coordenadas son ratios de zonas firmadas, asumamos que trabajamos en el espacio euclidiano ${displaystyle mathbf {E} {} {}}}$. Aquí, considere el sistema de coordenadas cartesianas ${displaystyle Oxyz.$ y su base asociada, a saber: ${displaystyle {mathbf {}Mathbf {j}mathbf {k}} {}}$. Considere también el triángulo orientado positivamente ${displaystyle ABC}$ mentir en el ${displaystyle Oxy!$ avión. Se sabe que por cualquier base ${displaystyle {mathbf {e}mathbf {f}mathbf {g}}}$ de ${displaystyle mathbf {E} {} {}}}$ y cualquier vector libre ${displaystyle mathbf {h}$ uno tiene

$${f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f} {f}f} {f} {f}f} {f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f} {bigr]},}$$

Donde ${displaystyle (mathbf {e}mathbf {f})=(mathbf {e} times mathbf {f})cdot mathbf {g}$ representa el producto mixto de estos tres vectores.

Toma. ${displaystyle mathbf {e} ={vec {AB},mathbf {f} {fnMicrosoft Sans Serif} =mathbf {k},mathbf {h} ={vec {}}$ Donde ${displaystyle P}$ es un punto arbitrario en el plano ${displaystyle Oxy!$, y señalar que

$${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}cdot {vec {}={bec {}}times {bec} {Bigr]}cdot {vec {vec}={Bigl {bec} {b} {cH00}} {ccc} {ccc} {cccc}ccccccccccccccccccH00}cccH00}ccccccccccccccc}ccccccccc}ccccH00}ccH00}ccH00}ccccc}cc Más grande. {Bigr)}cdot {vec}=0}$$

Un punto sutil con respecto a nuestra elección de vectores libres: ${displaystyle mathbf {e}$ es, de hecho, la clase de equilibrio del vector ${displaystyle {vec}}$.

Hemos obtenido que

$${fnK}cdot {cHFF}cdot {c}cdot {c}cdot {c}} {cdot}}}$$

dónde

$${displaystyle m_{B}={frac {Bigl (}{vec},{vec {}},mathbf {k} {Bigr]}{Bigl (}{vec {AB},{vec {AC}},mathbf {k} {Bigr]}}}quad M_{C}={frac {Bigl (}{bec {}},{vec {}},mathbf {k} {Bigr)}}{Bigl (}{vec {}}},{vec {}},mathbf {k}} {}} {bec}} {bec} {bec}}} {bec}}}, {bec}}}}}}}m} {m} {m}}}} {m} {m} {m}}}}} {m} {m} {m} {m} {m}}}}}}}}s}}}}m} {m} {m} {m} {m} {m}h}h}m}h}m}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h}h} {Bigr]}}}}$$

Dada la orientación positiva (contraseña) del triángulo ${displaystyle ABC}$, el denominador de ambos ${displaystyle m_{B}$ y ${displaystyle m_{C}$ es precisamente el doble del área del triángulo ${displaystyle ABC}$. También,

$${displaystyle {begin{aligned}{ Bigl (} {Bigr)} {Big} {Big} {Big} {Big} {Big} {Bigr} {Big} {Big}} {Big} {Big} {Big} {Big}}} {Big}} {Big}} {Big} {Big}}}} {Big}}}}} {Big}}} {Big}} {Big}}} {Big} {Big}}}}} {Big} {Big}}}} {Big}}}}}}}}} {Big}}} {Big} {Big}}}}} {Big}} {Big} {Big} {Big {Big}}}}}}}}} {Big} {Big}}} {Big}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

y así los numeradores de ${displaystyle m_{B}$ y ${displaystyle m_{C}$ son los dobles de los Áreas firmadas de triángulos ${displaystyle APC}$ y respectivamente ${displaystyle ABP}$.

Además, deducimos que

$${fnMicrosoft Sans Serif}cdot {fnh}cdot {fnh}+m_{B}cdot {vec}+m_}cdot {m_{C}cdot {c}cdot {cdot {vec}}}}} {cdot}}}} {cdot {cdot}}}}} {cdot {cdot {cdot}} {c}} {cdot}}}} {cdot {c} {cdot {cdot} {c}c}}}}}}}}} {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {cdot {c}}}}}}}}}}}}}}}}}cdot {cdot {cdot {cdot {c}}}}}}$$

que significa que los números ${displaystyle 1-m_{B}-m_{C}$, ${displaystyle m_{B}$ y ${displaystyle m_{C}$ son las coordenadas baricéntricos de ${displaystyle P}$. Del mismo modo, la tercera coordenada barígena dice que

$${displaystyle m_{A}=1-m_{B}-m_{C}={frac {Bigl (}{vec},{vec {PC},mathbf {k} {Bigr)}}{Bigl (}{vec {}}}{vec {}, {vec},mathbf {k}}} {}} {f} {f}f} {f}f}}f}}f}}f}}f}f}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}}fnh}f}fnh}f}f}bh}fnfnh}f}fnfnh}fnh}fnh}}fnh}f}fnh}}}bh} {Bigr]}}}}$$

Esto ${displaystyle m}$-notación de las coordenadas barícentricas proviene del hecho de que el punto ${displaystyle P}$ puede ser interpretado como el centro de masa para las masas ${displaystyle m_{A}$, ${displaystyle m_{B}$, ${displaystyle m_{C}$ que se encuentran en ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$ y ${displaystyle C}$.

Cambiar entre las coordenadas baricéntricas y otros sistemas de coordenadas hace que algunos problemas sean mucho más fáciles de resolver.

Conversión entre coordenadas baricéntricas y cartesianas

Aproximación al borde

Dado un punto ${displaystyle mathbf {r}$ en el plano de un triángulo uno puede obtener las coordenadas baricéntricas ${displaystyle lambda ¿Qué?$, ${displaystyle lambda _{2}$ y ${displaystyle lambda ¿Qué?$ de las coordenadas cartesianas ${displaystyle (x,y)}$ o viceversa.

Podemos escribir las coordenadas cartesianas del punto ${displaystyle mathbf {r}$ en términos de los componentes cartesianos del triángulo vertices ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$, ${displaystyle mathbf {r} _{2}$, ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$ Donde ${displaystyle mathbf {r} _{i}=(x_{i},y_{i} }$ y en términos de las coordenadas baricéntricos de ${displaystyle mathbf {r}$ como

$${displaystyle {begin{aligned}x limit=lambda ##{1}x_{1}+lambda ##{2}x_{2}+lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ - Sí. - Sí. - Sí.$$

Es decir, las coordenadas cartesianas de cualquier punto son un promedio ponderado de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo, siendo los pesos las coordenadas baricéntricas del punto que suman la unidad.

Para encontrar la transformación inversa, desde las coordenadas cartesianas hasta las coordenadas baricéntricos, primero sustituimos ${displaystyle lambda _{3}=1-lambda ¿Qué? ¿Qué?$ arriba para obtener

$${displaystyle {begin{aligned}x limit=lambda ##{1}x_{1}+lambda _{2}x_{2}+(1-lambda _{1}-lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ - Sí. ##{2}y_{2}+(1-lambda ¿Qué? - Sí.$$

Reorganizando, esto es

$${displaystyle {begin{aligned}lambda _{1}(x_{1}-x_{3})+lambda _{2}(x_{2}-x_{3})+x_{3}-x=0[2pt]lambda _{1}(y_{1}-y_{3})+lambda - Sí.$$

Esta transformación lineal se puede escribir de manera más sucinta como

$${displaystyle mathbf {T} cdot lambda =mathbf {r} - Mathbf {r} ¿Qué?$$

Donde ${displaystyle lambda }$ es el vector de las dos primeras coordenadas baricéntricos, ${displaystyle mathbf {r}$ es el vector de las coordenadas cartesianas, y ${displaystyle mathbf}$ es una matriz dada por

$${displaystyle mathbf {T} =left({begin{matrix}x_{1}-x_{3} limitx_{2}-x_{3}y_{1}-y_{3} limity_{2}-y_{3}end{matrix}}}right)}}$$

Ahora la matriz ${displaystyle mathbf}$ es invertible, ya que ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué? ¿Qué?$ y ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué? ¿Qué?$ son linealmente independientes (si este no fuera el caso, entonces ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$, ${displaystyle mathbf {r} _{2}$, y ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$ sería collinear y no formaría un triángulo). Así, podemos reorganizar la ecuación anterior para conseguir

$${displaystyle left({begin{matrix}lambda ¿Por qué? ¿Qué? - Mathbf {r} _{3}}$$

Encontrar las coordenadas barícentricas se ha reducido así a encontrar la matriz inversa 2×2 de ${displaystyle mathbf}$Un problema fácil.

Explícitamente, las fórmulas para las coordenadas baricéntricas de punto ${displaystyle mathbf {r}$ en términos de sus coordenadas cartesianas (x, y) y en términos de las coordenadas cartesianas de los vértices del triángulo son:

$${2} {x} {3} {x_} {3})} {x_} {3}} {3}}} {x_} {3})} {x_} {x_} {x_}} {x_} {3}}} {y-y-y-y-y_{3}} {c}} {c] (y_{1}) {x} {3} {3})} (y_{1}-y_{3}}[12pt]lambda _{3}= limit 1-lambda ¿Qué? ¿Qué?$$

Enfoque de vértice

Otra forma de resolver la conversión de coordenadas cartesianas a baricéntricas es escribir la relación en forma matricial

$${displaystyle mathbf {R} {boldsymbol {lambda }=Mathbf {r}$$

${displaystyle mathbf {R} =left(,mathbf {r} _{1}, resist,mathbf {r} _{2},mathbf {r} _{3}right)}}$

${displaystyle {boldsymbol {lambda }=left(lambda _{1},lambda _{2},lambda _{3}right)^{top }$

$${displaystyle {begin{pmatrix}x_{1} limitx_{2} {x_{3}\y_{1} limity_{2} {3}end{pmatrix} {begin{pmatrix}lambda ¿Por qué? ¿Por qué? ########### {begin{pmatrix}xyend{pmatrix}}}}$$

${displaystyle lambda _{1}+lambda _{2}+lambda ¿Qué?$

$${displaystyle left({begin{matrix}1 ventaja1x_{1} limitx_{2} {x_{3}\y_{1} limity_{2} {3}end{matrix}right){begin{pmatrix}lambda ¿Por qué? ¿Por qué? ###### {begin{matrix}1x\yend{matrix}}derecha)}$$

$${displaystyle {begin{pmatrix}lambda ¿Por qué? ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ {2}{2} {x}{2} {2} {x_} {2}} {x} {2}}}} {x_}$$

$${displaystyle 2A=det(1 privacyR)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2}}}}}}$$

Conversión entre coordenadas baricéntricas y trilineales

Un punto con coordenadas trilinear x: Sí.: z tiene coordenadas baricéntricos ax: por: cz Donde a, b, c son las longitudes laterales del triángulo. A la inversa, un punto con baricéntrica ${displaystyle lambda - ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué?$ tiene trilineares ${displaystyle lambda _{1}/a:lambda ### {2}/b:lambda _{3}/c.}$

Ecuaciones en coordenadas baricéntricas

Los tres lados a, b, c respectivamente tienen ecuaciones

$${displaystyle lambda _{1}=0,quad lambda _{2}=0,quad lambda - Sí.$$

La ecuación de la recta de Euler de un triángulo es

$${displaystyle {begin{vmatrix}lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Por qué?$$

Utilizando la conversión dada anteriormente entre coordenadas baricéntricas y trilineales, las otras ecuaciones dadas en Coordenadas trilineales#Fórmulas se pueden reescribir en términos de coordenadas baricéntricas.

Distancia entre puntos

El vector de desplazamiento de dos puntos normalizados ${displaystyle P=(p_{1},p_{2},p_{3}$ y ${displaystyle Q=(q_{1},q_{2},q_{3}}$ es

$${displaystyle {overrightarrow {PQ}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}}}$$

La distancia ${displaystyle d}$ entre ${displaystyle P}$ y ${displaystyle Q}$, o la longitud del vector de desplazamiento ${displaystyle {overrightarrow {}=(x,y,z),}$ es

$${displaystyle {begin{aligned}d^{2} {2}\[2pt] limit=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy[4pt] {1}{2}}{2})+y^{2}(c^{2})+i}(a^{2})+b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2}){2}}} {Bigr}}}}}endal}} {}}}}} {}}} {}} {}}}{2}{2}} {}}}}}}}}}} {}}} {}} {} {}}}}}}}}} {} {}}}}}}}}}} {}}}}}}} {} {} {} {}}}} {}}}} {}}}}}} {} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {} {} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}$$

Donde a, b, c son las longitudes laterales del triángulo. La equivalencia de las dos últimas expresiones se deriva de ${displaystyle x+y+z=0,}$ que sostiene

$${fnMicrosoftware {fnMicrosoft Sans Serif}]+(p_{3})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})\[2pt]= {2}+p_{2}+p]$$

Las coordenadas baricéntricas de un punto se pueden calcular en función de las distancias d_i a los tres vértices del triángulo resolviendo la ecuación

$${displaystyle left({begin{matrix}-c^{2} limitc^{2} {2} {2}-a^{2}\-b^{2}-a^{2}-a^{2} {2}1}1}1}end{matrix}}right){boldsymbol {lambda }=left({begin{matrix}d_{2}-d_{B}{2}d_{A} {2}-d_{2}{2}2}1end{matrix}right).$$

Aplicaciones

Determinar la ubicación con respecto a un triángulo

Aunque las coordenadas barycentrices se utilizan más comúnmente para manejar puntos dentro de un triángulo, también se pueden utilizar para describir un punto fuera del triángulo. Si el punto no está dentro del triángulo, entonces todavía podemos utilizar las fórmulas anteriores para calcular las coordenadas baricéntricas. Sin embargo, ya que el punto está fuera del triángulo, al menos una de las coordenadas violará nuestra suposición original de que ${displaystyle lambda _{1...3}geq 0}$. De hecho, dado cualquier punto en coordenadas cartesianas, podemos utilizar este hecho para determinar dónde está este punto con respecto a un triángulo.

Si un punto se encuentra en el interior del triángulo, todas las coordenadas Barycentric se encuentran en el intervalo abierto ${displaystyle (0,1). }$ Si un punto se encuentra en un borde del triángulo pero no en un vértice, una de las coordenadas del área ${displaystyle lambda _{1..3}$ (el asociado con el vértice opuesto) es cero, mientras que los otros dos se encuentran en el intervalo abierto ${displaystyle (0,1). }$ Si el punto se encuentra en un vértice, la coordinación asociada con ese vértice equivale a 1 y los otros equivalen a cero. Finalmente, si el punto se encuentra fuera del triángulo al menos una coordenadas es negativa.

Resumiendo,

Punto ${displaystyle mathbf {r}$ mentiras dentro del triángulo si y sólo si ${displaystyle 0 madelambda _{i}traducido1;forall ;i{text{ in }{1,2,3}$.

$${displaystyle mathbf {r}$$

${displaystyle 0leq lambda ¿Por qué?$

${displaystyle lambda _{i}=0;{text{, for some i in }{1,2,3}}$

De lo contrario, ${displaystyle mathbf {r}$ yace fuera del triángulo.

En particular, si un punto se encuentra en el lado opuesto de una línea, la coordenada baricéntrica del punto en el triángulo que no está en la línea tendrá un valor negativo.

Interpolación en una cuadrícula triangular no estructurada

Si ${displaystyle f(mathbf {r}),f(mathbf {r} _{2}),f(mathbf {r} _{3})}$ son cantidades conocidas, pero los valores de ${displaystyle f}$ dentro del triángulo definido por ${displaystyle mathbf {r} _{1},mathbf {r} ¿Qué? ¿Qué?$ se desconoce, se pueden aproximar usando interpolación lineal. Las coordenadas baríntricas proporcionan una manera conveniente de calcular esta interpolación. Si ${displaystyle mathbf {r}$ es un punto dentro del triángulo con coordenadas baricéntricas ${displaystyle lambda ¿Qué?$, ${displaystyle lambda _{2}$, ${displaystyle lambda ¿Qué?$Entonces

$${displaystyle f(mathbf {r})approx lambda _{1}f(mathbf {r} _{1})+lambda _{2}f(mathbf {r})+lambda _{3}f(mathbf {r})}$$

En general, dado cualquier malla no estructurada o poligonal, este tipo de técnica se puede utilizar para aproximar el valor de ${displaystyle f}$ en todos los puntos, siempre y cuando el valor de la función sea conocido en todos los vértices de la malla. En este caso, tenemos muchos triángulos, cada uno correspondiente a una parte diferente del espacio. Para interponer una función ${displaystyle f}$ en un momento ${displaystyle mathbf {r}$, primero se debe encontrar un triángulo que contiene ${displaystyle mathbf {r}$. Para hacerlo, ${displaystyle mathbf {r}$ se transforma en las coordenadas baricéntricos de cada triángulo. Si se encuentra algún triángulo tal que las coordenadas satisfacen ${displaystyle 0leq lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################$, entonces el punto se encuentra en ese triángulo o en su borde (explicado en la sección anterior). Entonces el valor de ${displaystyle f(mathbf {r})}$ puede ser interpolado como se describe anteriormente.

Estos métodos tienen muchas aplicaciones, como el método de elementos finitos (FEM).

Integración sobre un triángulo o tetraedro

La parte integral de una función sobre el dominio del triángulo puede ser molesto para computar en un sistema de coordenadas cartesiano. Uno generalmente tiene que dividir el triángulo en dos mitades, y la gran mesura sigue. En cambio, a menudo es más fácil hacer un cambio de variables a cualquier dos coordenadas barícentricas, por ejemplo. ${displaystyle lambda _{1},lambda ¿Qué?$. Bajo este cambio de variables,

$${displaystyle int _{T}f(mathbf {r}) dmathbf {r} =2Aint _{0}^{1}int _{0}{1-lambda _{2}f(lambda _{1}mathbf {r} _{1}+lambda _{2}mathbf {r}+(1-lambda ¿Por qué?$$

Donde ${displaystyle A}$ es el área del triángulo. Este resultado se debe al hecho de que un rectángulo en coordenadas baricéntricas corresponde a un cuadrilátero en coordenadas cartesianas, y la relación de las áreas de las formas correspondientes en los sistemas de coordenadas correspondientes es dada por ${displaystyle 2A}$. Del mismo modo, para la integración sobre un tetraedro, en lugar de romper la integral en dos o tres piezas separadas, se puede cambiar a coordenadas tetraedral 3D bajo el cambio de variables

$${displaystyle int int _{T}f(mathbf {r}) dmathbf {r} =6Vint _{0}int _{0}int _{0}{1-lambda ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{0}{1-lambda Lambda... _{1}+lambda ¿Qué? _{2}+lambda _{3}mathbf {r}+(1-lambda ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué?$$

${displaystyle V}$

Ejemplos de puntos especiales

En el sistema de coordenadas barícéntrico homogénea definido con respecto a un triángulo ${displaystyle ABC}$, las siguientes declaraciones sobre puntos especiales ${displaystyle ABC}$ Espera.

Los tres vértices ${displaystyle A}$, ${displaystyle B}$, y ${displaystyle C}$ tienen coordenadas

$${displaystyle {begin{array}{rccccc}A= limit1 círculo: correspond0B= limitada0 limitada: limitada1 limit: redunda0\C= recíproca0 implicado0: implicado0:$$

El centroide tiene coordenadas ${displaystyle 1:1:1.}$

Si ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, ${displaystyle c}$ son las longitudes del borde ${displaystyle BC!$, ${displaystyle CA:$, ${displaystyle AB}$ respectivamente ${displaystyle alpha }$, ${displaystyle beta }$, ${displaystyle gamma }$ son las medidas de ángulo ${displaystyle angle CAB}$, ${displaystyle angle ABC}$, y ${displaystyle angle BCA}$ respectivamente ${displaystyle s}$ es el semiperímetro de ${displaystyle ABC}$, luego las siguientes declaraciones sobre puntos especiales ${displaystyle ABC}$ Espera, además.

El circuncentro tiene coordenadas

$${} {2}{2} {} {2}} {}}}}}} {}}} {}}}} {}}} {}}}} {}}}} {} {}}} {}} {}}} {}} {}}} {}} {}}} {}}}} {}}} {}}}} {}}}}}} {}}}} {}} {}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}$$

El ortocentro tiene coordenadas

$${2} {2} {2} {2} {2} {2}} {2}}}} {2}}} {2}} {2}} {2}}} {2}}} {2}}} {2}}} {2}}} {2}} {2}} {2} {2}$$

El incentro tiene coordenadas ${displaystyle a:b:c=sin alpha:sin beta:sin gamma.}$

Los excentros tienen coordenadas

$${displaystyle {begin{array}{rrcr}J_{A}= limit-a Pulsando: lentamentecJ_{B}= limita ventaja: implica-b implica: redundac\J_{C}= limita mutuamente:$$

El centro de nueve puntos tiene coordenadas

$${displaystyle {begin{array}{rccccc} {2}{2} {2} {2} {2}$$

El punto Gergonne tiene coordenadas ${displaystyle (s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)}$.

El punto Nagel tiene coordenadas ${displaystyle s-a:s-b:s-c}$.

El punto simmediano tiene coordenadas ${displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}$.

Coordenadas baricéntricas en tetraedros

Las coordenadas baríntricas pueden extenderse fácilmente a tres dimensiones. El sencillo 3D es un tetraedro, un poliedro con cuatro caras triangulares y cuatro vértices. Una vez más, las cuatro coordenadas barícentricas se definen de modo que el primer vértice ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$ mapas a coordenadas barycentrices ${displaystyle lambda =(1,0,0,0)}$, ${displaystyle mathbf {r} _{2}to (0,1,0,0)}$, etc.

Esta es otra vez una transformación lineal, y podemos extender el procedimiento anterior para los triángulos para encontrar las coordenadas baricéntricas de un punto ${displaystyle mathbf {r}$ con respecto a un tetraedro:

$${displaystyle left({begin{matrix}lambda ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Qué? - Mathbf {r}$$

Donde ${displaystyle mathbf}$ es ahora una matriz 3×3:

$${4} {4}} {4}} {4}}4}}\cH00}}\cH009}}} {4} {cH0} {ccH0} {cH0}} {4}} {4}} {4}}} {4}}}4}}4}}} {4}}} {4}}}}}}}}}}}} {4}}}}}}}}}}}} {4}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

y ${displaystyle lambda _{4}=1-lambda ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?$con las coordenadas cartesianas correspondientes:

$${displaystyle {begin{aligned}x limit=lambda ##{1}x_{1}+lambda ##{2}x_{2}+lambda # {3}x_{3}+(1-lambda ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? - Sí. - Sí. ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Qué? Y... ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{2}z_{2}+lambda _{3}z_{3}+(1-lambda _{1}-lambda ¿Qué? - ¿Qué?$$

Se pueden usar coordenadas baricéntricas 3D para decidir si un punto se encuentra dentro de un volumen tetraédrico y para interpolar una función dentro de una malla tetraédrica, de manera análoga al procedimiento 2D. Las mallas tetraédricas se utilizan a menudo en el análisis de elementos finitos porque el uso de coordenadas baricéntricas puede simplificar enormemente la interpolación 3D.

Coordenadas baricéntricas generalizadas

Coordenadas baríntricas ${displaystyle (lambda _{1},lambda _{2},lambda _{k}}$ de un punto ${displaystyle pin mathbb {R} {fn}$ que se definen con respecto a un conjunto finito de k puntos ${displaystyle x_{1},x_{2}, "Mathbb"$ en lugar de un simplex se llaman coordenadas baricéntricos generalizadas. Para estos, la ecuación

$${displaystyle (lambda)}+lambda _{2}+cdots +lambda _{k}p=lambda ##{1}x_{1}+lambda # {2}x_{2}+cdots +lambda ¿Qué?$$

todavía está obligado a aguantar. Usualmente uno utiliza coordenadas normalizadas, ${displaystyle lambda _{1}+lambda _{2}+cdots +lambda ¿Qué?$. En cuanto al caso de un simplex, los puntos con coordenadas no negativas normalizadas generalizadas (${displaystyle 0leq lambda ¿Qué? 1}$) forma el casco convexo de x₁,... x_n. Si hay más puntos que en un simplex completo (${displaystyle k títulon+1}$) las coordenadas baricéntricos generalizadas de un punto son no único, como el sistema lineal definido (aquí para n=2)

$${displaystyle left({begin{matrix}1 tendrían una relación...x_{1} consiguiente_{2} consiguiendo...\y_{1} consiguiendo... {2} consiguiendo... ¿Por qué? ¿Por qué? ¿Por qué?$$

Abstracción

Más abstractamente, las coordenadas barícentricas generalizadas expresan un politopo convexo con n vertices, independientemente de la dimensión, como imagen de la norma ${displaystyle (n-1)}$-simplex, que tiene n vertices – el mapa está en: ${displaystyle Delta ^{n-1}twoheadrightarrow P.}$ El mapa es uno a uno si y sólo si el politopo es un simplex, en cuyo caso el mapa es un isomorfismo; esto corresponde a un punto que no tiene único coordenadas baricéntricos generalizadas excepto cuando P es un simplex.

Las coordenadas barícentricas duales a generalizadas son variables holgadas, que miden por cuánto margen un punto satisface las limitaciones lineales, y da una incrustación ${displaystyle Phookrightarrow (mathbf {R} _{geq 0} {f}$ en el f-ortano, donde f es el número de caras (dual a los vértices). Este mapa es uno a uno (las variables negras son únicamente determinadas) pero no en (no todas las combinaciones se pueden realizar).

Este uso del estándar ${displaystyle (n-1)}$-simplex y f-ortano como objetos estándar que mapean a un politopo o que un mapa de politope debe ser contrastado con el uso del espacio vectorial estándar ${displaystyle K^{n}$ como el objeto estándar para los espacios vectoriales, y el hiperplano afine estándar ${displaystyle {(x_{0},ldotsx_{n}mid sum x_{i}=1subset K^{n+1}$ como objeto estándar para los espacios afines, donde en cada caso elegir una base lineal o base affine proporciona una isomorfismo, permitiendo que todos los espacios vectoriales y afinados sean pensados en términos de estos espacios estándar, en lugar de un mapa en o uno a uno (no todo politope es un simplex). Además, n-ortano es el objeto estándar que mapas a Conos.

Aplicaciones

Las coordenadas baricéntricas generalizadas tienen aplicaciones en gráficos por computadora y más específicamente en modelado geométrico. A menudo, un poliedro puede aproximarse a un modelo tridimensional de modo que las coordenadas baricéntricas generalizadas con respecto a ese poliedro tengan un significado geométrico. De esta manera, el procesamiento del modelo se puede simplificar utilizando estas coordenadas significativas. Las coordenadas baricéntricas también se utilizan en geofísica.