Sistema coordinado

El sistema de coordenadas esféricas se utiliza comúnmente en física. asigna tres números (conocidos como coordenadas) a cada punto en el espacio euclidiano: distancia radial r, ángulo polar Silencio (theta), y ángulo azimutal φ (phi). El símbolo *** (rho) se utiliza a menudo en lugar de r.

En geometría, un sistema de coordenadas es un sistema que utiliza uno o más números, o coordenadas, para determinar de manera única la posición de los puntos u otros elementos geométricos en un múltiple como el espacio euclidiano. El orden de las coordenadas es importante y, a veces, se identifican por su posición en una tupla ordenada y, a veces, por una letra, como en "la coordenada x". Las coordenadas se toman como números reales en matemáticas elementales, pero pueden ser números complejos o elementos de un sistema más abstracto, como un anillo conmutativo. El uso de un sistema de coordenadas permite traducir problemas de geometría a problemas de números y viceversa; esta es la base de la geometría analítica.

Sistemas de coordenadas comunes

Renglón numérico

El ejemplo más simple de un sistema de coordenadas es la identificación de puntos en una recta con números reales utilizando la recta numérica. En este sistema, se elige un punto arbitrario O (el origen) en una línea dada. La coordenada de un punto P se define como la distancia con signo de O a P, donde la distancia con signo es la distancia tomada como positiva o negativa dependiendo de qué lado de la línea se encuentra P. A cada punto se le asigna una coordenada única y cada número real es la coordenada de un punto único.

Sistema de coordenadas cartesianas

El sistema de coordenadas cartesianas en el avión.

El ejemplo prototípico de un sistema de coordenadas es el sistema de coordenadas cartesianas. En el plano, se eligen dos rectas perpendiculares y se toman las coordenadas de un punto como las distancias con signo a las rectas.

En tres dimensiones, se eligen tres planos ortogonales entre sí y las tres coordenadas de un punto son las distancias con signo a cada uno de los planos. Esto se puede generalizar para crear coordenadas n para cualquier punto en el espacio euclidiano n-dimensional.

Dependiendo de la dirección y el orden de los ejes de coordenadas, el sistema tridimensional puede ser un sistema diestro o zurdo. Este es uno de los muchos sistemas de coordenadas.

Sistema de coordenadas polares

Otro sistema de coordenadas común para el plano es el sistema de coordenadas polares. Se elige un punto como el polo y un rayo desde este punto se toma como el eje polar. Para un ángulo dado θ, hay una sola línea a través del poste cuyo ángulo con el eje polar es θ (medido en sentido antihorario desde el eje hasta la línea). Entonces hay un único punto en esta línea cuya distancia con signo desde el origen es r para el número dado r. Para un par de coordenadas dado (r, θ) hay un solo punto, pero cualquier punto está representado por muchos pares de coordenadas. Por ejemplo, (r, θ), (r, θ+2π) y (−r, θ+π) son todas coordenadas polares para el mismo punto. El polo está representado por (0, θ) para cualquier valor de θ.

Sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas

Sistema de coordinación cilíndrica

Hay dos métodos comunes para extender el sistema de coordenadas polares a tres dimensiones. En el sistema de coordenadas cilíndricas, se añade una coordenada z con el mismo significado que en las coordenadas cartesianas a r y θ coordenadas polares que dan un triple (r, θ, z). Las coordenadas esféricas van un paso más allá al convertir el par de coordenadas cilíndricas (r, z) en coordenadas polares (ρ, φ ) dando un triple (ρ, θ, φ).

Sistema de coordenadas homogéneo

Un punto en el plano se puede representar en coordenadas homogéneas mediante una terna (x, y, z) donde x/z e y/z son las coordenadas cartesianas del punto. Esto introduce un "extra" coordenada ya que solo se necesitan dos para especificar un punto en el plano, pero este sistema es útil porque representa cualquier punto en el plano proyectivo sin el uso del infinito. En general, un sistema de coordenadas homogéneo es aquel en el que solo las proporciones de las coordenadas son significativas y no los valores reales.

Otros sistemas de uso común

Algunos otros sistemas de coordenadas comunes son los siguientes:

• Las coordenadas Curvilinear son una generalización de los sistemas de coordenadas generalmente; el sistema se basa en la intersección de las curvas.
  • coordenadas ortogonales: las superficies de coordenadas se encuentran en ángulos rectos
  • Coordenadas Skew: las superficies de coordenadas no son ortogonales
• El sistema de coordenadas log-polar representa un punto en el plano por el logaritmo de la distancia desde el origen y un ángulo medido desde una línea de referencia que intersecte el origen.
• Las coordenadas Plücker son una forma de representar líneas en el espacio Euclideano 3D utilizando un seis-tuple de números como coordenadas homogéneas.
• Las coordenadas generalizadas se utilizan en el tratamiento lagrangiano de la mecánica.
• Las coordenadas canónicas se utilizan en el tratamiento Hamiltoniano de la mecánica.
• Sistema de coordenada rítmica utilizado para tramas ternarias y más generalmente en el análisis de triángulos.
• Las coordenadas trilineales se utilizan en el contexto de los triángulos.

Hay formas de describir curvas sin coordenadas, usando ecuaciones intrínsecas que usan cantidades invariantes como la curvatura y la longitud del arco. Éstas incluyen:

• La ecuación Whewell relaciona la longitud del arco y el ángulo tangencial.
• La ecuación Cesàro relaciona longitud y curvatura del arco.

Coordenadas de objetos geométricos

Los sistemas de coordenadas se utilizan a menudo para especificar la posición de un punto, pero también se pueden utilizar para especificar la posición de figuras más complejas, como líneas, planos, círculos o esferas. Por ejemplo, las coordenadas de Plücker se utilizan para determinar la posición de una línea en el espacio. Cuando es necesario, el tipo de figura que se describe se usa para distinguir el tipo de sistema de coordenadas, por ejemplo, el término coordenadas de línea se usa para cualquier sistema de coordenadas que especifica la posición de una línea.

Puede ocurrir que los sistemas de coordenadas de dos conjuntos diferentes de figuras geométricas sean equivalentes en cuanto a su análisis. Un ejemplo de esto son los sistemas de coordenadas homogéneas para puntos y líneas en el plano proyectivo. Se dice que los dos sistemas en un caso como este son dualistas. Los sistemas dualistas tienen la propiedad de que los resultados de un sistema pueden transferirse a otro, ya que estos resultados son solo interpretaciones diferentes del mismo resultado analítico; esto se conoce como el principio de dualidad.

Transformaciones

A menudo hay muchos sistemas de coordenadas diferentes posibles para describir figuras geométricas. La relación entre diferentes sistemas se describe mediante transformaciones de coordenadas, que dan fórmulas para las coordenadas de un sistema en términos de las coordenadas de otro sistema. Por ejemplo, en el plano, si las coordenadas cartesianas (x, y) y las coordenadas polares (r, θ) tienen el mismo origen, y el eje polar es el eje x positivo, entonces la transformación de coordenadas de coordenadas polares a cartesianas viene dada por x = r cosθ y y = r sinθ.

A toda biyección del espacio consigo mismo se le pueden asociar dos transformaciones de coordenadas:

• Tal que las nuevas coordenadas de la imagen de cada punto son las mismas que las viejas coordenadas del punto original (las fórmulas para el mapeo son la inversa de las para la transformación coordinada)
• Tal que las viejas coordenadas de la imagen de cada punto son las mismas que las nuevas coordenadas del punto original (las fórmulas para el mapeo son las mismas que las para la transformación coordinada)

Por ejemplo, en 1D, si el mapeo es una traslación de 3 a la derecha, el primero mueve el origen de 0 a 3, de manera que la coordenada de cada punto se vuelve 3 menos, mientras que el segundo mueve el origen de 0 a −3, de modo que la coordenada de cada punto se convierte en 3 más.

Líneas de coordenadas/curvas y planos/superficies

En dos dimensiones, si una de las coordenadas en un sistema de coordenadas de puntos se mantiene constante y se permite que la otra coordenada varíe, la curva resultante se denomina curva de coordenadas. Si las curvas de coordenadas son, de hecho, líneas rectas, pueden llamarse líneas de coordenadas. En los sistemas de coordenadas cartesianas, las líneas de coordenadas son mutuamente ortogonales y se conocen como ejes de coordenadas. Para otros sistemas de coordenadas, las curvas de coordenadas pueden ser curvas generales. Por ejemplo, las curvas de coordenadas en coordenadas polares obtenidas manteniendo constante r son los círculos con centro en el origen. Un sistema de coordenadas para el cual algunas curvas de coordenadas no son líneas se denomina sistema de coordenadas curvilíneas. Este procedimiento no siempre tiene sentido, por ejemplo, no hay curvas de coordenadas en un sistema de coordenadas homogéneo.

Superficies de coordinación de las coordenadas paraboloidales tridimensionales.

En el espacio tridimensional, si una coordenada se mantiene constante y las otras dos pueden variar, la superficie resultante se denomina superficie de coordenadas. Por ejemplo, las superficies de coordenadas obtenidas al mantener constante ρ en el sistema de coordenadas esféricas son las esferas con centro en el origen. En el espacio tridimensional, la intersección de dos superficies de coordenadas es una curva de coordenadas. En el sistema de coordenadas cartesianas podemos hablar de planos de coordenadas.

Del mismo modo, las hipersuperficies de coordenadas son los (n − 1)-espacios dimensionales resultantes de fijar una sola coordenada de un sistema de coordenadas n-dimensionales.

Mapas de coordenadas

El concepto de un mapa de coordenadas, o gráfico de coordenadas es fundamental para la teoría de las variedades. Un mapa de coordenadas es esencialmente un sistema de coordenadas para un subconjunto de un espacio dado con la propiedad de que cada punto tiene exactamente un conjunto de coordenadas. Más precisamente, un mapa de coordenadas es un homeomorfismo de un subconjunto abierto de un espacio X a un subconjunto abierto de Rⁿ. A menudo no es posible proporcionar un sistema de coordenadas uniforme para todo un espacio. En este caso, se reúne una colección de mapas de coordenadas para formar un atlas que cubre el espacio. Un espacio equipado con un atlas de este tipo se denomina variedad y se puede definir una estructura adicional en una variedad si la estructura es consistente donde se superponen los mapas de coordenadas. Por ejemplo, una variedad diferenciable es una variedad donde el cambio de coordenadas de un mapa de coordenadas a otro es siempre una función diferenciable.

Coordenadas basadas en orientación

En geometría y cinemática, los sistemas de coordenadas se utilizan para describir la posición (lineal) de puntos y la posición angular de ejes, planos y cuerpos rígidos. En el último caso, la orientación de un segundo sistema de coordenadas (normalmente denominado "local"), fijo en el nodo, se define en función del primero (normalmente denominado "global&#34).; o sistema de coordenadas "mundo"). Por ejemplo, la orientación de un cuerpo rígido se puede representar mediante una matriz de orientación, que incluye, en sus tres columnas, las coordenadas cartesianas de tres puntos. Estos puntos se utilizan para definir la orientación de los ejes del sistema local; son las puntas de tres vectores unitarios alineados con esos ejes.

Sistemas geográficos

La Tierra en su conjunto es uno de los espacios geométricos más comunes que requieren la medición precisa de la ubicación y, por lo tanto, los sistemas de coordenadas. Comenzando con los griegos del período helenístico, se ha desarrollado una variedad de sistemas de coordenadas basados en los tipos anteriores, que incluyen:

• Sistema de coordenadas geográficas, coordenadas esféricas de latitud y longitud
• Sistemas de coordenadas proyectados, incluyendo miles de sistemas de coordenadas cartesianos, cada uno basado en una proyección del mapa para crear una superficie plana del mundo o una región.
• Sistema de coordenadas geocéntrico, sistema tridimensional de coordenadas cartesianas que modela la tierra como objeto, y que se utilizan más comúnmente para modelar las órbitas de los satélites, incluido el Sistema Mundial de Posicionamiento y otros sistemas de navegación por satélite.