Singularidad removible

Un gráfico de una parabola con un singularidad extraíble a x = 2

En análisis complejo, una singularidad removible de una función holomorfa es un punto en el que la función no está definida, pero es posible redefinir la función en ese punto de tal manera que la función resultante es regular en una vecindad de ese punto.

Por ejemplo, la función sinc (no normalizada)

sinc()z)=pecado⁡ ⁡ zz{displaystyle {text{sinc}(z)={frac {sin z}{z}} {f}}

tiene una singularidad z = 0. Esta singularidad se puede eliminar definiendo sinc()0):=1,{displaystyle {text{sinc}=1,} que es el límite sinc como z tiende a 0. La función resultante es holomorfa. En este caso el problema fue causado por sinc ser dado una forma indeterminada. Tomando una expansión de la serie de energía pecado⁡ ⁡ ()z)z{textstyle {frac {sin(z)}{z}} alrededor del punto singular muestra que

sinc()z)=1z().. k=0JUEGO JUEGO ()− − 1)kz2k+1()2k+1)!)=.. k=0JUEGO JUEGO ()− − 1)kz2k()2k+1)!=1− − z23!+z45!− − z67!+⋯ ⋯ .{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicroc {c} {c} {0} {c} {cc} {c}} {cc}} {cccH0}}} {cccccc}}}} {cccccccccccc}}}}}}}} {cccccccccccccccccccccccccccccccccccc}}}}}}}}}}cccccccccccc}}}}}}} {Z^{2}{3}}}+{frac {4} {5}}} {frac - ¿Qué?

Formalmente, si U⊂ ⊂ C{displaystyle Usubset mathbb {C} es un subconjunto abierto del plano complejo C{displaystyle mathbb {C}, a▪ ▪ U{displaystyle ain U} un punto U{displaystyle U}, y f:U∖ ∖ {}a}→ → C{displaystyle f:Usetminus {a}rightarrow mathbb {C} es una función holomorfa, entonces a{displaystyle a} se llama singularidad extraíble para f{displaystyle f} si existe una función holomorfa g:U→ → C{displaystyle g:Urightarrow mathbb {C} que coincide con f{displaystyle f} on U∖ ∖ {}a}{displaystyle Usetminus {a}. Dijimos f{displaystyle f} es holomorfo extensible sobre U{displaystyle U} si tal g{displaystyle g} existe.

Teorema de Riemann

El teorema de Riemann sobre las singularidades removibles es el siguiente:

Las implicaciones 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 son triviales. Para probar 4 ⇒ 1, primero recordamos que la holomorfa de una función en a{displaystyle a} es equivalente a ser analista a{displaystyle a} (prueba), es decir, tener una representación de la serie de energía. Define

h()z)={}()z− − a)2f()z)zل ل a,0z=a.{displaystyle h(z)={cases}(z-a)}{2}f(z) Convenzneq a, limitz=a.end{cases}}

Claramente, h es holomorfo en D∖ ∖ {}a}{displaystyle Dsetminus {a}, y existe

h.()a)=limz→ → a()z− − a)2f()z)− − 0z− − a=limz→ → a()z− − a)f()z)=0{displaystyle h'(a)=lim _{zto a}{frac {(z-a)^{2}f(z)-0}{z-a}=lim _{zto a}(z-a)f(z)=0}

por 4, por lo que h es holomorfa en D y tiene una serie de Taylor sobre a:

h()z)=c0+c1()z− − a)+c2()z− − a)2+c3()z− − a)3+⋯ ⋯ .{displaystyle h(z)=c_{0}+c_{1}(z-a)+c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+cdots ,}

Tenemos c₀ = h(a) = 0 y c₁ = h'(a ) = 0; por lo tanto

h()z)=c2()z− − a)2+c3()z− − a)3+⋯ ⋯ .{displaystyle h(z)=c_{2}(z-a)^{2}+c_{3}(z-a)^{3}+cdots ,}

Por lo tanto, donde z ≠ a, tenemos:

f()z)=h()z)()z− − a)2=c2+c3()z− − a)+⋯ ⋯ .{displaystyle f(z)={h(z)}{(z-a)}=c_{2}+c_{3}(z-a)+cdots ,}

Sin embargo,

g()z)=c2+c3()z− − a)+⋯ ⋯ .{displaystyle g(z)=c_{2}+c_{3}(z-a)+cdots ,}

es holomorfo en D, por lo tanto una extensión de f.

Otros tipos de singularidades

A diferencia de las funciones de una variable real, las funciones holomorfas son lo suficientemente rígidas como para que sus singularidades aisladas puedan clasificarse por completo. La singularidad de una función holomorfa no es realmente una singularidad en absoluto, es decir, una singularidad removible, o uno de los dos tipos siguientes:

1. A la luz del teorema de Riemann, dada una singularidad no extraíble, se podría preguntar si existe un número natural m{displaystyle m} tales que limz→ → a()z− − a)m+1f()z)=0{displaystyle lim _{zrightarrow a}(z-a)^{m+1}f(z)=0}. Si es así, a{displaystyle a} se llama polo de f{displaystyle f} y el más pequeño m{displaystyle m} es orden de a{displaystyle a}. Así que las singularidades extraíbles son precisamente los polos del orden 0. Una función holomorfa sopla uniformemente cerca de sus otros polos.
2. Si una singularidad aislada a{displaystyle a} de f{displaystyle f} no es extraíble ni un poste, se llama singularidad esencial. El Gran Picard El teorema muestra que tal f{displaystyle f} mapas cada pinchado barrio abierto U∖ ∖ {}a}{displaystyle Usetminus {a} a todo el plano complejo, con la posible excepción de la mayoría de un punto.