Inversa (lógica)

En lógica y matemáticas, el converso de un enunciado categórico o implicacional es el resultado de invertir sus dos enunciados constituyentes. Para la implicación P → Q, el inverso es Q → P. Para la proposición categórica Todos los S son P, la inversa es Todos los P son S. De cualquier manera, la verdad del recíproco es generalmente independiente de la del enunciado original.

Converso implicativo

Diagrama de Venn A← ← B{displaystyle Aleftarrow B}
(el área blanca muestra donde la declaración es falsa)

Sea S un enunciado de la forma P implica Q (P → Q). Entonces el converso de S es el enunciado Q implica P (Q → P). En general, la verdad de S no dice nada sobre la verdad de su inverso, a menos que el antecedente P y el consecuente Q sean lógicamente equivalentes.

Por ejemplo, considere la afirmación verdadera "Si soy humano, entonces soy mortal". Lo contrario de esa afirmación es "Si soy mortal, entonces soy humano" lo cual no es necesariamente cierto.

Por otro lado, el recíproco de un enunciado con términos mutuamente incluyentes sigue siendo verdadero, dada la verdad de la proposición original. Esto es equivalente a decir que el inverso de una definición es verdadero. Por lo tanto, la afirmación "Si soy un triángulo, entonces soy un polígono de tres lados" es lógicamente equivalente a "Si soy un polígono de tres lados, entonces soy un triángulo", porque la definición de "triángulo" es "polígono de tres lados".

Una tabla de verdad deja en claro que S y el inverso de S no son lógicamente equivalentes, a menos que ambos términos se impliquen entre sí:

P{displaystyle P}	Q{displaystyle Q}	P→ → Q{displaystyle Prightarrow Q}	P← ← Q{displaystyle Pleftarrow Q} (converso)
Cierto.	Cierto.	Cierto.	Cierto.
Cierto.	Falso	Falso	Cierto.
Falso	Cierto.	Cierto.	Falso
Falso	Falso	Cierto.	Cierto.

Pasar de un enunciado a su contrario es la falacia de afirmar el consecuente. Sin embargo, si la afirmación S y su inversa son equivalentes (es decir, P es verdadera si y solo si Q también es verdadera), entonces afirmar el consecuente será válido.

La implicación transversal es lógicamente equivalente a la disyunción de P{displaystyle P} y ¬ ¬ Q{displaystyle neg Q}

P← ← Q{displaystyle Pleftarrow Q}	.. {displaystyle Leftrightarrow	P{displaystyle P}	Alternativa Alternativa {displaystyle lor }	¬ ¬ Q{displaystyle neg Q}
	.. {displaystyle Leftrightarrow		Alternativa Alternativa {displaystyle lor }

En lenguaje natural, podría traducirse como "no Q sin P".

Converso de un teorema

En matemáticas, el inverso de un teorema de la forma P → Q será Q → P. Lo contrario puede ser cierto o no, e incluso si es cierto, la prueba puede ser difícil. Por ejemplo, el teorema de los cuatro vértices se demostró en 1912, pero su contrario no se demostró hasta 1997.

En la práctica, al determinar el recíproco de un teorema matemático, se pueden tomar aspectos del antecedente como contexto de establecimiento. Es decir, lo contrario de "Dado P, si Q entonces R" será "Dado P, si R entonces Q". Por ejemplo, el teorema de Pitágoras se puede expresar como:

Dado un triángulo con lados de longitud a{displaystyle a}, b{displaystyle b}, y c{displaystyle c}, si el ángulo opuesto al lado de la longitud c{displaystyle c} es un ángulo recto, entonces a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.

Lo contrario, que también aparece en los Elementos de Euclides (Libro I, Proposición 48), puede enunciarse como:

Dado un triángulo con lados de longitud a{displaystyle a}, b{displaystyle b}, y c{displaystyle c}, si a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}, entonces el ángulo opuesto al lado de la longitud c{displaystyle c} es un ángulo recto.

Inversa de una relación

Converse una relación matemática simple

Si R{displaystyle R. es una relación binaria con R⊆ ⊆ A× × B,{displaystyle Rsubseteq Atimes B,} entonces la relación conversa RT={}()b,a):()a,b)▪ ▪ R}{fnMicrosoft Sans Serif}} también se llama transpose.

Notación

El contrario de la implicación P → Q puede ser escrito Q → P, P← ← Q{displaystyle Pleftarrow Q}, pero también puede ser notado P⊂ ⊂ Q{displaystyle Psubset Q}, o "B"pq" (en Bocheński notación).

Converso categórico

En la lógica tradicional, el proceso de cambiar el término sujeto por el predicado se denomina conversión. Por ejemplo, pasar de "Ningún S son P" a su contrario "Ningún P son S& #34;. En palabras de Asa Mahan:

"La proposición original se llama la exposición; cuando se convierte, se denomina el converso. La conversión es válida cuando, y sólo cuando, nada se afirma en el converso que no es afirmado o implícito en la exposición".

La "exposita" se suele llamar "convertido." En su forma simple, la conversión es válida solo para las proposiciones E e I:

La validez de la conversión simple solo para las proposiciones E e I puede expresarse mediante la restricción de que "Ningún término debe distribuirse en el recíproco que no sea distribuido en el convertend." Para las proposiciones E, tanto el sujeto como el predicado están distribuidos, mientras que para las proposiciones I ninguno lo está.

Para las proposiciones A, el sujeto se distribuye mientras que el predicado no, por lo que la inferencia de una declaración A a su inversa no es válida. Como ejemplo, para la proposición A "Todos los gatos son mamíferos", la inversa "Todos los mamíferos son gatos" es obviamente falso. Sin embargo, la afirmación más débil "Algunos mamíferos son gatos" es verdad. Los lógicos definen la conversión por accidente como el proceso de producir esta declaración más débil. La inferencia de un enunciado a su inversa por accidente es generalmente válida. Sin embargo, como ocurre con los silogismos, este cambio de lo universal a lo particular causa problemas con las categorías vacías: "Todos los unicornios son mamíferos" a menudo se toma como cierto, mientras que lo contrario por accidente "Algunos mamíferos son unicornios" es claramente falso.

En cálculo predicado de primer orden, Todos S son P puede ser representado como О О x.S()x)→ → P()x){displaystyle forall x.S(x)to P(x)}. Por lo tanto, está claro que el converso categórico está estrechamente relacionado con el converso implicacional, y que S y P no se puede cambiar Todos S son P.