Series de Fourier

Una serie de Fourier () es una suma de funciones sinusoidales armónicamente relacionadas, también conocidas como componentes o armónicos. El resultado de la suma es una función periódica cuya forma funcional está determinada por las opciones de duración del ciclo (o período), el número de componentes y sus amplitudes y parámetros de fase. Con las opciones adecuadas, se puede hacer que un ciclo (o período) de la suma se aproxime a una función arbitraria en ese intervalo (o la función completa si también es periódica). El número de componentes es teóricamente infinito, en cuyo caso se pueden elegir los otros parámetros para hacer que la serie converja a casi cualquier función periódica de buen comportamiento (consulte Prueba patológica y de Dirichlet-Jordan). Los componentes de una función particular están determinados por las técnicas de análisis descritas en este artículo. A veces, primero se conocen los componentes y se sintetiza la función desconocida. por una serie de Fourier. Tal es el caso de una transformada de Fourier en tiempo discreto.

La convergencia de la serie de Fourier significa que a medida que se suman más y más componentes de la serie, cada suma sucesiva de serie parcial de Fourier se aproximará mejor a la función y la igualará con un número potencialmente infinito de componentes Las pruebas matemáticas para esto pueden denominarse colectivamente como el Teorema de Fourier (ver § Convergencia). Las siguientes figuras ilustran algunos resultados de series de Fourier parciales para los componentes de una onda cuadrada.

• 

  Una onda cuadrada (representada como el punto azul) se aproxima por su sexta suma parcial (representada como el punto púrpura), formada por resumir los primeros seis términos (representados como flechas) de la serie Fourier de la onda cuadrada. Cada flecha comienza en la suma vertical de todas las flechas a su izquierda (es decir, la suma parcial anterior).

• 

  Las primeras cuatro sumas parciales de la serie Fourier para una onda cuadrada. A medida que se añaden más armónicos, las sumas parciales converger La onda cuadrada.

• 

  Función ${displaystyle s_{6}(x)}$ (en rojo) es una serie Fourier suma de 6 ondas sine relacionadas armónicamente (en azul). Su transformación Fourier ${displaystyle S(f)}$ es una representación de dominio de frecuencia que revela las amplitudes de las olas sine resumidas.

Otra técnica de análisis (no cubierta aquí), adecuada tanto para funciones periódicas como no periódicas, es la transformada de Fourier, que proporciona un continuo de frecuencia de información de componentes. Pero cuando se aplica a una función periódica, todos los componentes tienen amplitud cero, excepto en las frecuencias armónicas. La transformada inversa de Fourier es un proceso de síntesis (como la serie de Fourier), que convierte la información del componente (a menudo conocida como representación en el dominio de la frecuencia) nuevamente en su representación en el dominio del tiempo.

Desde la época de Fourier, se han descubierto muchos enfoques diferentes para definir y comprender el concepto de serie de Fourier, todos los cuales son coherentes entre sí, pero cada uno de los cuales enfatiza diferentes aspectos del tema. Algunos de los enfoques más poderosos y elegantes se basan en ideas y herramientas matemáticas que no estaban disponibles en la época de Fourier. Fourier definió originalmente la serie de Fourier para funciones de valores reales de argumentos reales y utilizó las funciones de seno y coseno como base para la descomposición. Desde entonces, se han definido muchas otras transformadas relacionadas con Fourier, extendiendo su idea inicial a muchas aplicaciones y dando origen a un área de las matemáticas llamada análisis de Fourier.

Proceso de análisis

Esta sección describe el proceso de análisis que deriva los parámetros de una serie Fourier que aproxima una función conocida, ${displaystyle s(x).}$Un ejemplo de sintetización de una función desconocida de los parámetros conocidos es la transformación de Fourier discreta.

Formas comunes

La serie Fourier se puede representar en diferentes formas. El amplitud-fase formulario, sine-cosina forma, y exponencial forma se utilizan comúnmente y se expresan aquí para una función de valor real ${displaystyle s(x)}$. (Ver § Funciones de valor complejo y § Otras notaciones comunes para formas alternativas).

El número de términos resumidos, ${displaystyle N}$, es un número potencialmente infinito. Incluso así, la serie podría no converger o exactamente equipararse a ${displaystyle s(x)}$ en todos los valores de ${displaystyle x}$ (como una discontinuidad de un solo punto) en el intervalo de análisis. Para las funciones bien interpretadas típicas de los procesos físicos, la igualdad se asume habitualmente, y las condiciones Dirichlet proporcionan condiciones suficientes.

El índice entero, ${displaystyle n}$, es también el número de ciclos el ${displaystyle n^{text{th}}$ armónico hace en el período de la función ${displaystyle P}$. Por lo tanto:

• El ${displaystyle n^{text{th}}$ la longitud de onda de armónico es ${displaystyle {tfrac {} {n}}}$ y en unidades ${displaystyle x}$.
• El ${displaystyle n^{text{th}}$ frecuencia armónica es ${fnMicroc} {fn}}$ y en unidades recíprocas de ${displaystyle x}$.

Fig 1. El gráfico superior muestra una función no experimental s()x) en azul definido sólo sobre el intervalo rojo de 0 a P. La función se puede analizar a lo largo de este intervalo para producir la serie Fourier en el gráfico inferior. La serie Fourier es siempre una función periódica, incluso si la función original s()xNo lo era.

Forma amplitud-fase

La serie de Fourier en forma de fase de amplitud es:

Serie Fourier, forma de amplitud-fase

${displaystyle s_{scriptscriptstyle N}(x)={frac {A_{0}{2}+} {fn}cdot cos left({tfrac {2pi }nx-varphi _{n}right)}$

()Eq.1)

• Es... ${displaystyle n^{text{th}}$ armónico ${displaystyle A_{n}cdot cos left({tfrac {2pi }nx-varphi _{n}right)}$.
• ${displaystyle A_{n}$ es ${displaystyle n^{text{th}}$ la amplitud y la amplitud armónica ${displaystyle varphi _{n}$ es su cambio de fase.
• La frecuencia fundamental ${displaystyle s_{scriptscriptstyle N}(x)}$ es el término para cuando ${displaystyle n}$ iguales 1, y puede ser referido como ${displaystyle 1^{text{st}}$ armónico.
• ${displaystyle {tfrac {f}{2}} {fn}}} {fnK}}}} {fn}}} {fn}}}}} {fnK}}}}}}}} {fn}}}}}} {f}}}}}}} {fn}}}}$ a veces se llama ${displaystyle 0^{text{th}}}$ componente armónico o DC. Es el valor medio de ${displaystyle s(x)}$.

Claramente Eq.1 puede representar funciones que son sólo una suma de una o más de las frecuencias armónicas. Lo notable, para aquellos que aún no conocen este concepto, es que también puede representar las frecuencias intermedias y/o funciones no sinusoidales debido al número potencialmente infinito de términos (${displaystyle N}$).

Fig 2. La curva azul es la cruz-correlación de una onda cuadrada y una función cosina, ya que el lag de fase del cosino varía sobre un ciclo. La amplitud y el retraso de fase al máximo valor son las coordenadas polares de un armónico en la expansión de la serie Fourier de la onda cuadrada. Las coordenadas rectangulares correspondientes se pueden determinar mediante la evaluación de lacorrelación cruzada en sólo dos lazos de fase separados por 90o.

Los coeficientes ${displaystyle A_{n}$ y ${displaystyle varphi _{n}$ puede ser entendido y derivado en términos de la cruz-correlación entre ${displaystyle s(x)}$ y un sinusoide a frecuencia ${fnMicroc} {fn}}$. Para una frecuencia general ${displaystyle f,}$ y un intervalo de análisis ${displaystyle [x_{0},x_{0}+P],}$ la función transversal-correlación:

${displaystyle mathrm {X} _{f}(tau)={tfrac {2}{P}int ¿Por qué?$

()Eq.2)

es esencialmente un filtro igualado, con plantilla ${displaystyle cos(2pi fx)}$. El máximo ${displaystyle mathrm {X} _{f}(tau)}$ es una medida de la amplitud ${displaystyle (A)}$ de frecuencia ${displaystyle f}$ en la función ${displaystyle s(x)}$, y el valor de ${displaystyle tau }$ al máximo determina la fase ${displaystyle (varphi)}$ de esa frecuencia. La Figura 2 es un ejemplo, donde ${displaystyle s(x)}$ es una onda cuadrada (no mostrada), y frecuencia ${displaystyle f}$ es ${displaystyle 4^{text{th}}}$ armónico. También es un ejemplo de derivar el máximo de sólo dos muestras, en lugar de buscar toda la función. Esto es posible por una identidad trigonométrica:

Equivalencia de formas polares y rectangulares

${displaystyle cos left({tfrac {2pi }{P}nx-varphi _{n}right) equiv cos(varphi _{n})cdot cos left({tfrac {2pi) }{P}nxright)+sin(varphi _{n})cdot sin left({tfrac {2pi) } {P}nxright)}$

()Eq.3)

Combinando esto con Eq.2 da:

$${displaystyle {begin{aligned}mathrm {X} _{n}(varphi) Alguien={tfrac {2}{P}int _{P}s(x)cdot cos left({tfrac {2pi) }{P}nx-varphi right),dx;quad varphi in [0,2pi ]\\ cos(varphi)cdot underbrace {tfrac {2}{P}int _{P}s(x)cdot cos left({tfrac {2pi }{P}nxright),dx} _{triangleq a_{n}+sin(varphi)cdot underbrace {{tfrac] {2}{P}int _{P}s(x)cdot sin left({tfrac {2pi }{P}nxright),dx} _{triangleq b_{n}\cdot=cos(varphi)cdot a_{n}+sin(varphi)cdot}cdot}cdotcdot}cdotcdotcdot}cdot}cdotcdot}cdotcdotcdotcdotcdotcdot}cdotcdot}cdotcdot}cdotcdot=cdotcdot}cdotcdotcdotcdot}cdot}cdot}cdotcdot}cdot}cdotcdot}cdot} ¿Qué?$$

que introduce las definiciones de ${displaystyle a_{n}$ y ${displaystyle B_{n}$. Y tomamos nota para referencia posterior que ${displaystyle A_{0}$ y ${displaystyle B_{0}$ se puede simplificar:

$${displaystyle A_{0}={tfrac {2}{P}int # {P}s(x)dx~,quad B_{0}=0~}$$

${displaystyle mathrm {X} _{n}(varphi)}$

$${displaystyle mathrm {X} '_{n}(varphi _{n})=sin(varphi _{n})cdot a_{n}-cos(varphi _{n})cdot b_{n}=0quad longarrow quad tan(varphi _{n}={frac {b_{n}{a_{n}}quad longrightarrow quad varphi _{n}=arctan(b_{n},a_{n} }$$

${displaystyle {begin{aligned}A_{n}triangleq mathrm {X} _{n}(varphi _{n}) 'cos(varphi _{n})cdot a_{n}+sin(varphi _{n})cdot ################################################################################################################################################################################################################################################################ {a_{n}{sqrt {fn}cdot} a_{n}+{frac {B_{n}{sqrt {fn}cdot} B_{n}={frac {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn} {fn}}} {fn}}}}}}}}}}}}}} {fn}} {n}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}} {n} {n} {n}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n} {n}} {n}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {a_{n} {2}+b_{n}} {2}}} {sqrt}}} {sqrt}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {a_{n} {2}+b_{n}}}end{aligned}}$

Por lo tanto ${displaystyle a_{n}$ y ${displaystyle B_{n}$ son las coordenadas rectangulares de un vector con coordenadas polares ${displaystyle A_{n}$ y ${displaystyle varphi _{n}$

Forma seno-coseno

Sustituyendo Ec.3 en Eq.1 da:

${displaystyle {displaystyle s_{scriptscriptstyle N}(x)={frac {A_{0}{2}+} ¿Por qué? }{P}nxright)+A_{n}sin(varphi _{n})cdot sin left({tfrac {2pi) - Sí.$

En términos de las cantidades fácilmente calculadas, ${displaystyle a_{n}$ y ${displaystyle B_{n}$, recuerde que:

${displaystyle cos(varphi - Sí.$

${displaystyle sin(varphi ¿Qué?$

${displaystyle A_{0}={sqrt {a_{0} {2}+b_{0} {2}={sqrt {a_{0}}=a_{0}}$

Por lo tanto, una forma alternativa de la serie de Fourier, utilizando las coordenadas rectangulares, es la forma seno-coseno:

Serie Fourier, forma sine-cosina

${displaystyle s_{scriptscriptstyle N}(x)={frac {a_{0}{2}+} ¿Por qué? ##### {tfrac {2pi}{}nxright)right]$

()Eq.4)

Forma exponencial

Otra identidad aplicable es la fórmula de Euler:

${displaystyle {begin{aligned}cos left({tfrac {2pi }nx-varphi ################################################################################################################################################################################################################################################################ nx/P-varphi _{n}right)}+{tfrac {1}{2}e^{-ileft(2pi} ################################################################################################################################################################################################################################################################$

(Nota: el ∗ denota conjugación compleja).

Por lo tanto, con definiciones:

${displaystyle c_{n}triangleq left{begin{lll}A_{0}/2 pulsa=a_{0}/2,quad &n=0{tfrac} {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fnfn}cfn} {fn}cH00}}cH00} {cH00}}}ccH00c}}}}\cH00cH00}}}}}}}}}}}}}\\\ccccH00cH00ccH00}}}}}}cccccccccH00ccccccccccccH00cH00cH00ccccH00cH00ccH00cH00}}}}}}}}}}}}}}cccccccccH00}}ccc {1}{2} {a_{n}-ib_{n}),quad &n confianza0c_{Principen vidas}^{*}quad " Pulse " ilse " } {n}==tfrac {1}{P}int _{P}s(x)cdot e^{-i2pi nx/P},dx,}$

el resultado final es:

Serie Fourier, forma exponencial

${displaystyle S_{_{N}(x)=sum ¿Por qué?$

()Eq.5)

Esta es la forma consuetudinaria para generalizar a § Funciones de valor complejo. Valores negativos de ${displaystyle n}$ corresponde a la frecuencia negativa (explicada en Fourier transforma § Uso de sinusoides complejos para representar verdaderos sinusoides).

Ejemplo

Parcela de la onda de la sierra, una continuación periódica de la función lineal ${displaystyle s(x)=x/pi}$ en el intervalo ${displaystyle (-pipi}$

Parcela animada de las cinco primeras series parciales Fourier

Considere una función de diente de sierra:

${displaystyle s(x)={frac {x}{pi }quad mathrm {for} -pi > se hizo realidadpi}$

${displaystyle s(x+2pi k)=s(x),quad mathrm {for} -pi secuestraronpi {text{ y }kin mathbb {Z}$

En este caso, los coeficientes de Fourier vienen dados por

${displaystyle {begin{aligned}a_{n} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK} {fn0} {fn} {fn0} {fn0} {fn0} {fn0}fn0}ccH0}ccH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00cH00cH00}cH00} ^{2}n^{2}}sin(npi)\[4pt] limit={frac {2,(-1)^{n+1}{pi n}}quad ngeq 1.end{aligned}}$

Se puede demostrar que la serie Fourier converge a ${displaystyle s(x)}$ en cada punto ${displaystyle x}$ Donde ${displaystyle s}$ es diferente, y por lo tanto:

${displaystyle {begin{aligned}s(x) {a_{0}{2}+} {fn} {fn}fn}cH00}cH00}cH00}fn0}fn0}fn}cH00} {cH00}cH00}cH00}cH00}ccH00}cH00}cH00cH00} {Z}.$

()Eq.6)

Cuando ${displaystyle x=pi}$, la serie Fourier converge a 0, que es la mitad de la suma del límite izquierdo y derecho de s a ${displaystyle x=pi}$. Este es un caso particular del teorema Dirichlet para la serie Fourier.

Este ejemplo conduce a una solución del problema de Basilea.

Convergencia

Una demostración de que una serie de Fourier es una representación válida de cualquier función periódica (que satisfaga las condiciones de Dirichlet) se describe en § Teorema de Fourier que demuestra la convergencia de la serie de Fourier.

En aplicaciones de ingeniería, la serie Fourier generalmente se presume que converge casi en todas partes (las excepciones que están en discontinuidades discretas) ya que las funciones encontradas en la ingeniería son mejores que las funciones que los matemáticos pueden proporcionar como contra-examples a esta presunción. En particular, si ${displaystyle s}$ es continuo y el derivado de ${displaystyle s(x)}$ (que puede no existir en todas partes) es cuadrado integrador, luego la serie Fourier ${displaystyle s}$ converge absolutamente y uniformemente a ${displaystyle s(x)}$. Si una función es cuadrada-integrable en el intervalo ${displaystyle [x_{0},x_{0}+P]$, entonces la serie Fourier converge a la función en casi todos los puntos. Es posible definir coeficientes Fourier para funciones o distribuciones más generales, en tales casos la convergencia en la norma o la convergencia débil es generalmente de interés.

• 

  Cuatro sumas parciales (Cuarta serie) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, mostrando cómo la aproximación a una onda cuadrada mejora a medida que el número de términos aumenta (animación)

• 

  Cuatro sumas parciales (Fourier series) de longitudes 1, 2, 3 y 4 términos, mostrando cómo la aproximación a una onda de sierra mejora a medida que el número de términos aumenta (animación)

• 

  Ejemplo de convergencia a una función algo arbitraria. Observe el desarrollo de la "ringing" (Emotivo de los Gibbs) en las transiciones a / desde las secciones verticales.

Funciones de valores complejos

Si ${displaystyle s(x)}$ es una función de valor complejo de una variable real ${displaystyle x,}$ ambos componentes (parte real e imaginaria) son funciones de valor real que pueden ser representadas por una serie Fourier. Los dos conjuntos de coeficientes y la suma parcial son dados por:

${displaystyle ¿Qué? {1}{P}int} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Re} {fn}cdot e^{-i{tfrac {2pi}nx}dx}$ y ${displaystyle ¿Qué? {1}{P}int} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnK}cdot e^{-i{tfrac {2pi}nx}dx}$

${displaystyle S_{_{N}(x)=sum ¿Qué? e^{i{tfrac {2pi}{}nx}+icdot sum ¿Qué? e^{i{tfrac {2ccH00} ♫ {P}nx=sum - No. (c_{_{Rn}+icdot ¿Qué? {2pi} {}nx}}$

Definición ${displaystyle C_{n}triangleq C_{_{Rn}+icdot ¿Qué?$ rendimientos:

${displaystyle S_{_{N}(x)=sum ¿Qué? ¿Qué?$

()Eq.7)

Esto es idéntico a Eq.5 excepto ${displaystyle c_{n}$ y ${displaystyle C_{-n}$ ya no son conjugados complejos. La fórmula para ${displaystyle c_{n}$ es también invariable:

${displaystyle {begin{aligned}c_{n} {1}{P}int} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {Re} {s(x)cdot e^{-i{frac {2pi} {fnx}fnx} dx+icdot {tfrac {1}{P}int} ################################################################################################################################################################################################################################################################ {1}{P}int _{P}left(operatorname) {Re} {s(x)}+icdot operatorname {Im} {s(x)}right)cdot e^{-i{tfrac {2fnK}cdot e^{-i {2p}nx}dcdot e^{-i{-i{tfrac {2pi}nx}dx.end{aligned}}}}}}}}} {cccccccH0}}}ccccccccccH0}ccccH00}cccH00}cH00}ccH00}ccH00ccH00}cccH00}cccccccH00}cH00}ccH00}ccccccH00ccH00}cH00}ccH00}ccH00}ccccccH00}ccc$

Otras notaciones comunes

La notación ${displaystyle c_{n}$ es insuficiente para discutir los coeficientes Fourier de varias funciones diferentes. Por lo tanto, es reemplazado por una forma modificada de la función (${displaystyle s}$, en este caso), como ${displaystyle {hat {}[n]}$ o ${displaystyle S[n]}$, y notación funcional a menudo reemplaza subscripting:

${\fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {cdot e^{i,2cdot Nx/P}[6pt] ¿Por qué? nx/P}end{aligned}}$

En ingeniería, especialmente cuando la variable ${displaystyle x}$ representa tiempo, la secuencia de coeficiente se llama una representación de dominio de frecuencia. Los corchetes se utilizan a menudo para enfatizar que el dominio de esta función es un conjunto discreto de frecuencias.

Otra representación de dominio de frecuencia de uso común utiliza los coeficientes de la serie de Fourier para modular un peine de Dirac:

${displaystyle S(f) triangleq sum _{n=-infty }{infty }S[n]cdot delta left(f-{frac {n}right),}$

Donde ${displaystyle f}$ representa un dominio de frecuencia continua. Cuando variable ${displaystyle x}$ tiene unidades de segundos, ${displaystyle f}$ tiene unidades de hertz. Los "tetos" del peine son espaciados en múltiplos (es decir, armónicos) de ${fnMicroc} {1} {}} {}} {}} {}}} {}}} {}}}}} {}} {}}}} {}}}} {}}}}} {}}} {}}}}} {}}} {}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$, que se llama la frecuencia fundamental. ${displaystyle s_{infty}(x)}$ puede ser recuperado de esta representación por un inverso Fourier transform:

${displaystyle {begin{aligned}{mathcal {F}{-1}{S(f)} ¿Por qué? {n}{P}right)e^{i2pi fx},df,[6pt] limit=sum _{n=-infty }{infty }S[n]cdot int _{-infty }{infty }deltaleft(f-{frac] {n}{P}right)e^{i2pi fx},df,[6pt] correspond=sum _{n=-infty }^{infty }S[n]cdot e^{i,2pi nx/P}\\triangleq s_{infty } {endal} {d}d} {d}}d}d}d}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p]p}p]p9}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p}p9}p}p9p}ppp}p}p}p}p}p}p9}p}p}p9}p}p}p}p}p}p$

La función construida ${displaystyle S(f)}$ es, por lo tanto, comúnmente conocido como Transformación de Fourier, aunque el Fourier integral de una función periódica no es convergente en las frecuencias armónicas.

Historia

La serie de Fourier recibe su nombre en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), quien hizo importantes contribuciones al estudio de las series trigonométricas, después de las investigaciones preliminares de Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli. Fourier introdujo la serie con el propósito de resolver la ecuación del calor en una placa de metal, publicando sus resultados iniciales en su Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides de 1807 (Tratado sobre la propagación del calor en cuerpos sólidos), y publicando su Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor) en 1822. La Mémoire introdujo el análisis de Fourier, específicamente las series de Fourier. A través de la investigación de Fourier se estableció el hecho de que una función arbitraria (al principio, continua y luego generalizada a cualquier parte suave) puede ser representada por una serie trigonométrica. El primer anuncio de este gran descubrimiento lo hizo Fourier en 1807, ante la Academia Francesa. Las primeras ideas de descomponer una función periódica en la suma de funciones oscilantes simples se remontan al siglo III a. C., cuando los antiguos astrónomos propusieron un modelo empírico de movimientos planetarios, basado en deferentes y epiciclos.

La ecuación del calor es una ecuación diferencial parcial. Antes del trabajo de Fourier, no se conocía ninguna solución a la ecuación del calor en el caso general, aunque sí se conocían soluciones particulares si la fuente de calor se comportaba de manera simple, en particular, si la fuente de calor era una onda seno o coseno.. Estas soluciones simples ahora a veces se llaman soluciones propias. La idea de Fourier era modelar una fuente de calor complicada como una superposición (o combinación lineal) de ondas seno y coseno simples, y escribir la solución como una superposición de las soluciones propias correspondientes. Esta superposición o combinación lineal se denomina serie de Fourier.

Desde un punto de vista moderno, los resultados de Fourier son algo informales, debido a la falta de una noción precisa de función e integral a principios del siglo XIX. Posteriormente, Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann expresaron los resultados de Fourier con mayor precisión y formalidad.

Aunque la motivación original era resolver la ecuación del calor, más tarde se hizo evidente que las mismas técnicas se podían aplicar a una amplia gama de problemas matemáticos y físicos, y especialmente a aquellos que involucraban ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, para los cuales las soluciones propias son sinusoides. La serie de Fourier tiene muchas aplicaciones de este tipo en ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, óptica, procesamiento de señales, procesamiento de imágenes, mecánica cuántica, econometría, teoría de capas, etc.

Comienzos

Joseph Fourier escribió:

${displaystyle varphi (y)=a_{0}cos {frac {pi} Y... Y... - ¿Qué?$

Multiplicar ambos lados por ${displaystyle cos(2k+1){frac ♪ - Sí.$, y luego la integración de ${displaystyle y=-1}$ a ${displaystyle y=+1}$ rendimientos:

${displaystyle a_{k}=int ¿Por qué? ♪ Sí.$

—Joseph Fourier, Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides. (1807)

Esto da inmediatamente cualquier coeficiente a_k de la serie trigonométrica para φ(y) para cualquier función que tenga tal expansión. Funciona porque si φ tiene tal expansión, entonces (bajo supuestos de convergencia adecuados) la integral

$${displaystyle {begin{aligned}a_{k} ¿Por qué? Y... ¿Por qué? {fnK}}cos(2k+1){frac {pi} Y} {2}+a'cos 3{frac {pi y}{2}cos(2k+1){frac {pi y}{2}}+cdots right),dyend{aligned}}$$

${displaystyle cos(2j+1){frac {pi y}{2}cos(2k+1){frac {pi} - Sí.$

${displaystyle k^{text{th}}}$

En estas pocas líneas, que se acercan al formalismo moderno utilizado en las series de Fourier, Fourier revolucionó tanto las matemáticas como la física. Aunque Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli y Gauss utilizaron previamente series trigonométricas similares, Fourier creía que tales series trigonométricas podían representar cualquier función arbitraria. En qué sentido eso es realmente cierto es una cuestión un tanto sutil y los intentos durante muchos años por aclarar esta idea han llevado a importantes descubrimientos en las teorías de convergencia, espacios funcionales y análisis armónico.

Cuando Fourier presentó un ensayo de competencia posterior en 1811, el comité (que incluía a Lagrange, Laplace, Malus y Legendre, entre otros) concluyó: ... la forma en que el autor llega a estas ecuaciones no está exenta de dificultades y... su análisis para integrarlas todavía deja algo que desear en cuanto a generalidad e incluso rigor.

La motivación de Fourier

Distribución de calor en una placa de metal, utilizando el método de Fourier

La expansión de la serie Fourier de la función de la sierra (arriba) se ve más complicada que la fórmula simple ${displaystyle s(x)={tfrac {x}{pi} }$, por lo que no es inmediatamente evidente por qué uno necesita la serie Fourier. Mientras hay muchas aplicaciones, la motivación de Fourier fue en resolver la ecuación de calor. Por ejemplo, considere una placa de metal en forma de un cuadrado cuya medida ${displaystyle pi}$ metros, con coordenadas ${displaystyle (x,y)in [0,pi]times [0,pi]}$. Si no hay fuente de calor dentro de la placa, y si tres de los cuatro lados se sostienen a 0 grados Celsius, mientras que el cuarto lado, dado por ${displaystyle y=pi}$, se mantiene en el gradiente de temperatura ${displaystyle T(x,pi)=x}$ grados Celsius, para ${displaystyle x}$ dentro ${displaystyle (0,pi)}$, entonces se puede demostrar que la distribución de calor estacionaria (o la distribución de calor después de un largo período de tiempo ha pasado)

${displaystyle T(x,y)=2sum _{n=1}{infty }{frac {(-1)^{n+1}{n}sin(nx){sinh(ny) over sinh(npi)}}}$

Aquí, sinh es la función sine hiperbólica. Esta solución de la ecuación de calor se obtiene multiplicando cada término de Eq.6 por ${displaystyle sinh(ny)/sinh(npi)}$. Mientras nuestra función de ejemplo ${displaystyle s(x)}$ Parece tener una serie Fourier innecesariamente complicada, la distribución de calor ${displaystyle T(x,y)}$ no es trivial. La función ${displaystyle T}$ no puede ser escrito como una expresión de forma cerrada. Este método de resolver el problema del calor fue posible por el trabajo de Fourier.

Animación de series complejas de Fourier

Un ejemplo de la capacidad de la serie compleja de Fourier para trazar cualquier figura cerrada bidimensional se muestra en la animación adyacente de la serie compleja de Fourier que traza la letra 'e' (para exponencial). Tenga en cuenta que la animación utiliza la variable 't' para parametrizar la letra 'e' en el plano complejo, lo que equivale a utilizar el parámetro 'x' en la subsección de este artículo sobre funciones de valores complejos.

En el plano posterior de la animación, los vectores giratorios se agregan en un orden que alterna entre un vector que gira en sentido positivo (en sentido contrario a las agujas del reloj) y un vector que gira en la misma frecuencia pero en sentido negativo (en sentido horario). dirección, lo que resulta en un solo brazo trazador con muchos zigzags. Esta perspectiva muestra cómo la suma de cada par de vectores giratorios (uno que gira en dirección positiva y otro en dirección negativa) empuja el trazo anterior (que se muestra como una línea punteada de color gris claro) más cerca de la forma de la letra 'e'.

En el plano frontal de la animación, los vectores giratorios se agregan en dos conjuntos, el conjunto de todos los vectores giratorios positivos y el conjunto de todos los vectores giratorios negativos (el componente no giratorio se divide uniformemente entre el dos), lo que da como resultado dos brazos trazadores que giran en direcciones opuestas. El pequeño círculo de la animación indica el punto medio entre los dos brazos y también el punto medio entre el origen y el punto de rastreo actual indicado por '+'. Esta perspectiva muestra cómo la serie compleja de Fourier es una extensión (la suma de un brazo) de la serie geométrica compleja que tiene un solo brazo. También muestra cómo los dos brazos se coordinan entre sí. Por ejemplo, como el punto de rastreo gira en la dirección positiva, el brazo de la dirección negativa permanece estacionado. De manera similar, cuando el punto de rastreo gira en dirección negativa, el brazo de dirección positiva permanece estacionado.

Entre los planos posterior y frontal de la animación hay trapecios giratorios cuyas áreas representan los valores de los términos complejos de la serie de Fourier. Esta perspectiva muestra la amplitud, la frecuencia y la fase de los términos individuales de la serie compleja de Fourier en relación con la suma de la serie que converge espacialmente a la letra 'e' en los planos trasero y delantero. Los canales izquierdo y derecho de la pista de audio corresponden respectivamente a los componentes real e imaginario del punto de rastreo actual '+' pero aumentado en frecuencia por un factor de 3536 para que la frecuencia fundamental de la animación (n=1) sea un tono de 220 Hz (A220).

Otras aplicaciones

La transformada de Fourier en tiempo discreto es un ejemplo de una serie de Fourier.

Otra aplicación es resolver el problema de Basilea usando el teorema de Parseval. El ejemplo se generaliza y se puede calcular ζ(2n), para cualquier entero positivon.

Tabla de series comunes de Fourier

En la siguiente tabla se muestran algunos pares comunes de funciones periódicas y sus coeficientes de serie de Fourier.

• ${displaystyle s(x)}$ designa una función periódica definida en ${displaystyle 0 madexleq P}$.
• ${displaystyle A_{0},a_{n},b_{n}$ designar los coeficientes de la serie Fourier (forma sina-cosina) de la función periódica ${displaystyle s(x)}$.

Dominio de tiempo ${displaystyle s(x)}$	Parcela	Dominio de frecuencia (forma sina-cosina) ${displaystyle {begin{aligned} {0}\\fn}quad {text{for }ngeq 1\\fn}quad {text{for }ngq 1end{aligned}}$	Observaciones	Referencia
${displaystyle s(x)=Aleft WordPresssin left({frac {2pi } {P}xright)justo de la muerte {text{for }0leq x madeP}$		${displaystyle {begin{aligned}a_{0}= {4A}{pi} ##a_{begin{cases}{frac {4A}{f} {fn} {fnfn}}fnfnfnfn}\0}$ Contenido relacionado Leo szilard Inversa (lógica) En lógica y matemáticas, el converso de un enunciado categórico o implicacional es el resultado de invertir sus dos enunciados constituyentes. Para la... Fermilab Más resultados... Te puede interesar Tamaño del texto: Pequeño Mediano Grande Copiar