Serie (matemáticas)

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Infinita suma

En matemáticas, una serie es, en términos generales, una descripción de la operación de sumar infinitas cantidades, una tras otra, a una cantidad inicial dada. El estudio de las series es una parte importante del cálculo y su generalización, el análisis matemático. Las series se utilizan en la mayoría de las áreas de las matemáticas, incluso para estudiar estructuras finitas (como en combinatoria) a través de funciones generadoras. Además de su ubicuidad en las matemáticas, las series infinitas también se utilizan ampliamente en otras disciplinas cuantitativas como la física, la informática, la estadística y las finanzas.

Durante mucho tiempo, la idea de que una suma potencialmente infinita pudiera producir un resultado finito se consideró paradójica. Esta paradoja se resolvió utilizando el concepto de límite durante el siglo XVII. La paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga ilustra esta propiedad contraria a la intuición de las sumas infinitas: Aquiles corre tras una tortuga, pero cuando alcanza la posición de la tortuga al comienzo de la carrera, la tortuga ha alcanzado una segunda posición; cuando llega a esta segunda posición, la tortuga está en una tercera posición, y así sucesivamente. Zenón concluyó que Aquiles nunca podría alcanzar a la tortuga y, por lo tanto, ese movimiento no existe. Zenón dividió la carrera en infinitas subrazas, cada una de las cuales requería una cantidad finita de tiempo, de modo que el tiempo total que tarda Aquiles en atrapar a la tortuga está dado por una serie. La resolución de la paradoja es que, aunque la serie tiene un número infinito de términos, tiene una suma finita, lo que da el tiempo necesario para que Aquiles alcance a la tortuga.

En terminología moderna, cualquier secuencia infinita (ordenada) ${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},ldots)}$ de términos (es decir, números, funciones o cualquier cosa que se pueda añadir) define una serie, que es la operación de añadir la $a i$ uno tras otro. Para enfatizar que hay un número infinito de términos, una serie puede ser llamada una serie infinita. Tal serie está representada (o denotada) por una expresión como

{displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+cdots}

o, utilizando el signo de suma,

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{i}.}

La secuencia infinita de adiciones implícitas en una serie no puede llevarse a cabo de manera efectiva (al menos en una cantidad finita de tiempo). Sin embargo, si el conjunto al que pertenecen los términos y sus sumas finitas tiene una noción de límite, a veces es posible asignar un valor a una serie, llamado suma de la serie. Este valor es el límite ya que $n$ tiende a infinito (si existe el límite) de las sumas finitas de $n$ primeros términos de la serie, que se denominan $n$ ésimas sumas parciales de la serie. Es decir,

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }a_{i}=lim _{nto infty }sum _{i=1}^{n}a_{i}.}

Cuando este límite existe, uno dice que la serie es convergente o summable, o que la secuencia ${displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},ldots)}$ es summable. En este caso, el límite se llama el suma de la serie. De lo contrario, se dice que la serie es divergente.

La notación ${textstyle sum _{i=1}^{infty }a_{i}}$ denota tanto la serie —es decir, el proceso implícito de agregar los términos uno tras otro indefinidamente— y, si la serie es convergente, la suma de la serie— el resultado del proceso. Esta es una generalización de la convención similar de la denotación $a+b$ tanto la adición - el proceso de añadir - y su resultado - el suma de $a$ y $b$ .

Generalmente, los términos de una serie provienen de un anillo, a menudo el campo $mathbb {R}$ de los números reales o el campo $mathbb {C}$ de los números complejos. En este caso, el conjunto de todas las series es en sí mismo un anillo (y incluso un álgebra asociativa), en el que la adición consiste en añadir el término serie por término, y la multiplicación es el producto Cauchy.

Propiedades básicas

Una serie infinita o simplemente una serie es una suma infinita, representada por una expresión infinita de la forma

{displaystyle a_{0}+a_{1}+a_{2}+cdots}

Donde $(a_{n})$ es cualquier secuencia ordenada de términos, tales como números, funciones o cualquier otra cosa que se pueda agregar (un grupo abeliano). Esta es una expresión que se obtiene de la lista de términos ${displaystyle a_{0},a_{1},dots }$ poniéndolos lado a lado, y juntandolos con el símbolo "+". Una serie también puede estar representada usando notación de suma, como

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}.}

Si un grupo abeliano $A$ de términos tiene un concepto de límite (por ejemplo, si es un espacio métrico), entonces algunas series, la serie convergente, pueden interpretarse como que tienen un valor $A$ , llamado el suma de la serie. Esto incluye los casos comunes del cálculo, en los que el grupo es el campo de números reales o el campo de números complejos. Dada una serie ${textstyle s=sum _{n=0}^{infty }a_{n}}$ , su $k$ T suma parcial es

{displaystyle s_{k}=sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+cdots +a_{k}.}

Por definición, la serie ${textstyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}}$ convergencias al límite $L$ (o simplemente sumas a $L$ ), si la secuencia de sus sumas parciales tiene un límite $L$ . En este caso, uno suele escribir

{displaystyle L=sum _{n=0}^{infty }a_{n}.}

Se dice que una serie es convergente si converge en algún límite, o divergente cuando no lo hace. El valor de este límite, si existe, es entonces el valor de la serie.

Serie convergente

Ilustración de 3 series geométricas con sumas parciales de 1 a 6 términos. La línea dashed representa el límite.

Se dice que una serie $Σ a n$ converge o ser convergente cuando la secuencia $(s k)$ de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de $s k$ es infinito o no existe, la serie se dice divergir Cuando existe el límite de las sumas parciales, se le llama valor (o suma) de la serie

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}=lim _{kto infty }s_{k}=lim _{kto infty }sum _{n=0}^{k}a_{n}.}

Una manera fácil de que una serie infinita pueda converger es si todos los $a n$ son cero para $n$ suficientemente grandes. Tal serie se puede identificar con una suma finita, por lo que solo es infinita en un sentido trivial.

Resolver las propiedades de las series que convergen, incluso si una cantidad infinita de términos son distintos de cero, es la esencia del estudio de las series. Considere el ejemplo

{displaystyle 1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{8}}+cdots +{frac {1}{2^{n}}}+cdots.}

Es posible "visualizar" su convergencia en la recta numérica real: podemos imaginar una recta de longitud 2, con segmentos sucesivos marcados de longitudes 1, 1/2, 1/4, etc. Siempre hay espacio para marcar el siguiente segmento, porque la cantidad de La línea que queda es siempre la misma que el último segmento marcado: cuando hemos marcado 1/2, todavía tenemos un trozo de 1/2 de longitud sin marcar, por lo que podemos marcar con seguridad el próximo 1/4. Este argumento no prueba que la suma sea igual a 2 (aunque lo es), pero sí prueba que es como mucho 2. En otras palabras, la serie tiene un límite superior. Dado que la serie converge, probar que es igual a 2 requiere solo álgebra elemental. Si la serie se denota $S$ , se puede ver que

{displaystyle S/2={frac {1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{8}}+cdots }{2}}={frac {1}{2}}+{frac {1}{4}}+{frac {1}{8}}+{frac {1}{16}}+cdots.}

Por lo tanto,

{displaystyle S-S/2=1Rightarrow S=2.}

El modismo se puede extender a otras nociones equivalentes de serie. Por ejemplo, un decimal periódico, como en

{displaystyle x=0.111dots}

codifica la serie

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{10^{n}}}.}

Dado que estas series siempre convergen en números reales (debido a lo que se llama la propiedad de completitud de los números reales), hablar de la serie de esta manera es lo mismo que hablar de los números que representan. En particular, la expansión decimal 0.111... se puede identificar con 1/9. Esto lleva al argumento de que 9 × 0,111... = 0,999... = 1, que solo se basa en el hecho de que las leyes de límites para las series preservan las operaciones aritméticas; para más detalles sobre este argumento, ver 0.999....

Ejemplos de series numéricas

A serie geométrica es uno donde cada término sucesivo se produce multiplicando el término anterior por un número constante (llamado la relación común en este contexto). Por ejemplo: ${displaystyle 1+{1 over 2}+{1 over 4}+{1 over 8}+{1 over 16}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{1 over 2^{n}}=2.}$
En general, la serie geométrica
${displaystyle sum _{n=0}^{infty }z^{n}}$
converge si y sólo si $<math alttext="{textstyle |z|SilenciozSilencio.1{textstyle Silencioz habit1} <img alt="{textstyle |z|$ , en cuyo caso converge ${textstyle {1 over 1-z}}$ .
El serie armónica es la serie ${displaystyle 1+{1 over 2}+{1 over 3}+{1 over 4}+{1 over 5}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{1 over n}.}$
La serie armónica es divergente.
An serie alternada es una serie donde términos signos alternativos. Ejemplos: ${displaystyle 1-{1 over 2}+{1 over 3}-{1 over 4}+{1 over 5}-cdots =sum _{n=1}^{infty }{left(-1right)^{n-1} over n}=ln(2)quad }$
(serie armónica alternativa) y
${displaystyle -1+{frac {1}{3}}-{frac {1}{5}}+{frac {1}{7}}-{frac {1}{9}}+cdots =sum _{n=1}^{infty }{frac {left(-1right)^{n}}{2n-1}}=-{frac {pi }{4}}}$
Una serie telescópica ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }(b_{n}-b_{n+1})}$
converge si la secuencia b_n converge a un límite L—como n va al infinito. El valor de la serie es entonces b₁ − L.
An serie arithmetico-geométrica es una generalización de la serie geométrica, que tiene coeficientes de la relación común igual a los términos en una secuencia aritmética. Ejemplo: ${displaystyle 3+{5 over 2}+{7 over 4}+{9 over 8}+{11 over 16}+cdots =sum _{n=0}^{infty }{(3+2n) over 2^{n}}.}$
La p-series ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{p}}}}$
converge si p Ø 1 y divergencias para p ≤ 1, que se puede mostrar con el criterio integral descrito a continuación en pruebas de convergencia. Como función p, la suma de esta serie es la función zeta de Riemann.
Serie hipergeométrica: ${displaystyle _{r}F_{s}left[{begin{matrix}a_{1},a_{2},dotsca_{r}\b_{1},b_{2},dotscb_{s}end{matrix}};zright]:=sum _{n=0}^{infty }{frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}dotsb (b_{s})_{n};n!}}z^{n}}$
y sus generalizaciones (como la serie hipergeométrica básica y la serie hipergeométrica elíptica) aparecen frecuentemente en sistemas integrados y física matemática.
Hay una serie elemental cuya convergencia aún no se conoce ni se aprueba. Por ejemplo, se desconoce si la serie Flint Hills ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {csc ^{2}n}{n^{3}}}}$
converge o no. La convergencia depende de cuán bien $pi$ puede ser aproximado con números racionales (que es desconocido hasta ahora). Más específicamente, los valores de n con grandes contribuciones numéricas a la suma son los numeradores de la fracción continua convergentes de $pi$ , una secuencia que comienza con 1, 3, 22, 333, 355, 103993,... (secuencia) A046947 en el OEIS). Estos son enteros que están cerca ${displaystyle npi }$ para algunos enteros nAsí que ${displaystyle sin npi }$ está cerca de 0 y su recíproco es grande. Alekseyev (2011) demostró que si la serie converge, entonces la medida irracionalista $pi$ es más pequeño que 2,5, que es mucho más pequeño que el límite conocido actual de 7.10320533....

Pi

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }{frac {1}{i^{2}}}={frac {1}{1^{2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+{frac {1}{4^{2}}}+cdots ={frac {pi ^{2}}{6}}}

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }{frac {(-1)^{i+1}(4)}{2i-1}}={frac {4}{1}}-{frac {4}{3}}+{frac {4}{5}}-{frac {4}{7}}+{frac {4}{9}}-{frac {4}{11}}+{frac {4}{13}}-cdots =pi }

Logaritmo natural de 2

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }{frac {(-1)^{i+1}}{i}}=ln 2}

{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {1}{(2i+1)(2i+2)}}=ln 2}

{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {(-1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2ln(2)-1}

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }{frac {1}{ileft(4i^{2}-1right)}}=2ln(2)-1}

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }{frac {1}{2^{i}i}}=ln 2}

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }left({frac {1}{3^{i}}}+{frac {1}{4^{i}}}right){frac {1}{i}}=ln 2}

{displaystyle sum _{i=1}^{infty }{frac {1}{2i(2i-1)}}=ln 2}

Logaritmo natural base e

{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {(-1)^{i}}{i!}}=1-{frac {1}{1!}}+{frac {1}{2!}}-{frac {1}{3!}}+cdots ={frac {1}{e}}}

{displaystyle sum _{i=0}^{infty }{frac {1}{i!}}={frac {1}{0!}}+{frac {1}{1!}}+{frac {1}{2!}}+{frac {1}{3!}}+{frac {1}{4!}}+cdots =e}

Cálculo y suma parcial como operación sobre sucesiones

La suma parcial toma como entrada una secuencia, (a_n), y da como salida otra secuencia, (S_N). Por lo tanto, es una operación inadvertida en secuencias. Además, esta función es lineal, y por lo tanto es un operador lineal en el espacio vectorial de secuencias, denotación de la divina. El operador inverso es el operador de diferencia finita, denotado Δ. Estos se comportan como análogos discretos de integración y diferenciación, sólo para series (funciones de un número natural) en lugar de funciones de una variable real. Por ejemplo, la secuencia (1, 1, 1,...) tiene series (1, 2, 3, 4,...) como su suma parcial, que es análoga al hecho de que ${textstyle int _{0}^{x}1,dt=x.}$

En informática, se conoce como prefijo suma.

Propiedades de la serie

Las series se clasifican no solo por su convergencia o divergencia, sino también por las propiedades de los términos a_n (convergencia absoluta o condicional); tipo de convergencia de la serie (punto a punto, uniforme); la clase del término a_n (ya sea un número real, progresión aritmética, función trigonométrica); etc.

Términos no negativos

Cuando a_n es un número real no negativo para cada n, la secuencia S_N de sumas parciales no es decreciente. De ello se deduce que una serie Σa_n con términos no negativos converge si y solo si la sucesión S_N de sumas parciales está acotado.

Por ejemplo, la serie

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}}

es convergente, porque la desigualdad

{displaystyle {frac {1}{n^{2}}}leq {frac {1}{n-1}}-{frac {1}{n}},quad ngeq 2,}

y un argumento de suma telescópica implica que las sumas parciales están limitadas por 2. El valor exacto de la serie original es el problema de Basilea.

Agrupar

Cuando agrupa una serie, la reordenación de la serie no ocurre, por lo que el teorema de la serie de Riemann no se aplica. Una nueva serie tendrá sus sumas parciales como subsecuencia de la serie original, lo que significa que si la serie original converge, también lo hace la nueva serie. Pero para las series divergentes eso no es cierto, por ejemplo 1-1+1-1+... agrupados cada dos elementos crearán la serie 0+0+0+..., que es convergente. Por otro lado, la divergencia de la nueva serie significa que la serie original solo puede ser divergente, lo que a veces es útil, como en la prueba de Oresme.

Convergencia absoluta

Una serie

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}}

converge absolutamente si la serie de valores absolutos

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }left|a_{n}right|}

converge. Esto es suficiente para garantizar no sólo que la serie original converja a un límite, sino también que cualquier reordenamiento de la misma converja al mismo límite.

Convergencia condicional

Se dice que una serie de números reales o complejos es condicionalmente convergente (o semiconvergente) si es convergente pero no absolutamente convergente. Un ejemplo famoso es la serie alterna

{displaystyle sum limits _{n=1}^{infty }{(-1)^{n+1} over n}=1-{1 over 2}+{1 over 3}-{1 over 4}+{1 over 5}-cdots}

que es convergente (y su suma es igual a $ln 2$ ), pero la serie formada por tomar el valor absoluto de cada término es la serie armónica divergente. El teorema de la serie Riemann dice que cualquier serie convergente condicional puede ser reordenado para hacer una serie divergente, y además, si la $a_{n}$ son reales y $S$ es cualquier número real, que uno puede encontrar una reordenación para que la serie reordenada converge con suma igual a $S$ .

La prueba de Abel es una herramienta importante para manejar series semiconvergentes. Si una serie tiene la forma

{displaystyle sum a_{n}=sum lambda _{n}b_{n}}

donde las sumas parciales ${displaystyle B_{n}=b_{0}+cdots +b_{n}}$ están obligados, ${displaystyle lambda _{n}}$ ha atado la variación, y ${displaystyle lim lambda _{n}b_{n}}$ existe:

<math alttext="{displaystyle sup _{N}left|sum _{n=0}^{N}b_{n}right|<infty sum left|lambda _{n+1}-lambda _{n}right|SupNSilencio.. n=0NbnSilencio.JUEGO JUEGO ,.. Silencioλ λ n+1− − λ λ nSilencio.JUEGO JUEGO yλ λ nBnconverge,{displaystyle sup ¿Por qué? ¿Qué? sum left _{n+1}-lambda ¿Qué? lambda ¿Por qué?<img alt="{displaystyle sup _{N}left|sum _{n=0}^{N}b_{n}right|<infty sum left|lambda _{n+1}-lambda _{n}right|

entonces la serie ${textstyle sum a_{n}}$ es convergente. Esto se aplica a la convergencia de punta de muchas series trigonométricas, como en

{displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {sin(nx)}{ln n}}}

con $<math alttext="{displaystyle 0<x0.x.2π π {displaystyle 0 wonx2pi} <img alt="{displaystyle 0<x$ . El método de Abel consiste en escribir ${displaystyle b_{n+1}=B_{n+1}-B_{n}}$ , y en realizar una transformación similar a la integración por partes (llamada suma por partes), que relaciona la serie dada ${textstyle sum a_{n}}$ a la serie absolutamente convergente

{displaystyle sum (lambda _{n}-lambda _{n+1}),B_{n}.}

Evaluación de errores de truncamiento

La evaluación de los errores de truncamiento es un procedimiento importante en el análisis numérico (especialmente en la validación numérica y la prueba asistida por computadora).

Serie alterna

Cuando las condiciones de la prueba de serie alterna están satisfechas por ${textstyle S:=sum _{m=0}^{infty }(-1)^{m}u_{m}}$ , hay una evaluación exacta de errores. Set $s_{n}$ ser la suma parcial ${textstyle s_{n}:=sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}u_{m}}$ de la serie alternada dada $S$ . Entonces la siguiente desigualdad sostiene:

{displaystyle |S-s_{n}|leq u_{n+1}.}

Serie Taylor

El teorema de Taylor es un enunciado que incluye la evaluación del término de error cuando se trunca la serie de Taylor.

Series hipergeométricas

Usando la razón, podemos obtener la evaluación del término de error cuando se trunca la serie hipergeométrica.

Matriz exponencial

Para la matriz exponencial:

{displaystyle exp(X):=sum _{k=0}^{infty }{frac {1}{k!}}X^{k},quad Xin mathbb {C} ^{ntimes n},}

Se mantiene la siguiente evaluación de errores (método de escalado y cuadratura):

{displaystyle T_{r,s}(X):=left[sum _{j=0}^{r}{frac {1}{j!}}(X/s)^{j}right]^{s},quad |exp(X)-T_{r,s}(X)|leq {frac {|X|^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}exp(|X|).}

Pruebas de convergencia

Existen muchas pruebas que se pueden usar para determinar si una serie en particular converge o diverge.

Prueba n-th termSi ${textstyle lim _{nto infty }a_{n}neq 0}$ , entonces la serie se divierte; si ${textstyle lim _{nto infty }a_{n}=0}$ , entonces la prueba es inconclusiva.
Prueba de comparación 1 (ver prueba de comparación directa): Si ${textstyle sum b_{n}}$ es una serie absolutamente convergente tal que ${displaystyle leftvert a_{n}rightvert leq Cleftvert b_{n}rightvert }$ para algunos números $C$ y para lo suficientemente grande $n$ , entonces ${textstyle sum a_{n}}$ converge absolutamente también. Si ${textstyle sum leftvert b_{n}rightvert }$ inmersiones, y ${displaystyle leftvert a_{n}rightvert geq leftvert b_{n}rightvert }$ para todo lo suficientemente grande $n$ , entonces ${textstyle sum a_{n}}$ también falla en converger absolutamente (aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el $a_{n}$ alterna en señal).
Prueba de comparación 2 (ver prueba de comparación límite): Si ${textstyle sum b_{n}}$ es una serie absolutamente convergente tal que ${displaystyle leftvert {frac {a_{n+1}}{a_{n}}}rightvert leq leftvert {frac {b_{n+1}}{b_{n}}}rightvert }$ suficientemente grande $n$ , entonces ${textstyle sum a_{n}}$ converge absolutamente también. Si ${textstyle sum left|b_{n}right|}$ inmersiones, y ${displaystyle leftvert {frac {a_{n+1}}{a_{n}}}rightvert geq leftvert {frac {b_{n+1}}{b_{n}}}rightvert }$ para todo lo suficientemente grande $n$ , entonces ${textstyle sum a_{n}}$ también falla en converger absolutamente (aunque todavía podría ser condicionalmente convergente, por ejemplo, si el $a_{n}$ alterna en señal).
Prueba de proporción: Si existe una constante $<math alttext="{displaystyle CC.1{displaystyle C won1} <img alt="{displaystyle C$ tales que $<math alttext="{displaystyle leftvert {frac {a_{n+1}}{a_{n}}}rightvert Silencioan+1anSilencio.C{displaystyle leftvert {frac {a_{n+1}{a_{n}}rightvert.<img alt="{displaystyle leftvert {frac {a_{n+1}}{a_{n}}}rightvert$ para todo lo suficientemente grande $n$ , entonces ${textstyle sum a_{n}}$ converge absolutamente. Cuando la relación es menor $1$ , pero no menos que una constante menos que $1$ , la convergencia es posible pero esta prueba no la establece.
Prueba de raíz: Si existe una constante $<math alttext="{displaystyle CC.1{displaystyle C won1} <img alt="{displaystyle C$ tales que ${displaystyle leftvert a_{n}rightvert ^{frac {1}{n}}leq C}$ para todo lo suficientemente grande $n$ , entonces ${textstyle sum a_{n}}$ converge absolutamente.
Prueba integral: si $f(x)$ es una función de disminución de monotona positiva definida en el intervalo $[1,infty)$ con ${displaystyle f(n)=a_{n}}$ para todos $n$ , entonces ${textstyle sum a_{n}}$ converge si y sólo si la integral ${textstyle int _{1}^{infty }f(x),dx}$ es finito.
Prueba de condensación de Cauchy: Si $a_{n}$ es no negativo y no creciente, luego las dos series ${textstyle sum a_{n}}$ y ${textstyle sum 2^{k}a_{(2^{k})}}$ son de la misma naturaleza: ambos convergentes, o ambos divergentes.
Prueba de serie alternante: Una serie de la forma ${textstyle sum (-1)^{n}a_{n}}$ (con $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">an■0{displaystyle a_{n} {fn}}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19e309b94a4f0d733334d2cdc304ad38162c9d5e" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.709ex; height:2.509ex;"/>$ ) se llama alternando. Tal serie converge si la secuencia $a_{n}$ es monotone decreciente y converge a ${displaystyle 0}$ . El contrario no es en general cierto.
Para algunos tipos específicos de series hay pruebas de convergencia más especializadas, por ejemplo para la serie Fourier hay la prueba Dini.

Serie de funciones

Una serie de funciones con valores reales o complejos

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }f_{n}(x)}

converge puntualmente en un conjunto E, si la serie converge para cada x en E como una serie ordinaria de números reales o complejos. De manera equivalente, las sumas parciales

{displaystyle s_{N}(x)=sum _{n=0}^{N}f_{n}(x)}

converge a ƒ(x) como N → ∞ para cada x ∈ E.

Una noción más fuerte de convergencia de una serie de funciones es la convergencia uniforme. Una serie converge uniformemente si converge puntualmente a la función ƒ(x), y el error al aproximar el límite por la Nésima suma parcial,

{displaystyle |s_{N}(x)-f(x)|}

puede hacerse mínimo independientemente de x eligiendo un N suficientemente grande.

La convergencia uniforme es deseable para una serie porque el límite retiene muchas propiedades de los términos de la serie. Por ejemplo, si una serie de funciones continuas converge uniformemente, entonces la función límite también es continua. De manera similar, si los ƒ_n son integrables en un intervalo cerrado y acotado I y convergen uniformemente, entonces la serie también es integrable en I y se puede integrar término a término. Las pruebas de convergencia uniforme incluyen el Weierstrass' Prueba M, prueba de convergencia uniforme de Abel, prueba de Dini y criterio de Cauchy.

También se pueden definir tipos más sofisticados de convergencia de una serie de funciones. En la teoría de la medida, por ejemplo, una serie de funciones converge casi en todas partes si converge puntualmente excepto en cierto conjunto de medida cero. Otros modos de convergencia dependen de una estructura de espacio métrico diferente en el espacio de funciones bajo consideración. Por ejemplo, una serie de funciones converge en media en un conjunto E a una función límite ƒ proporcionada

{displaystyle int _{E}left|s_{N}(x)-f(x)right|^{2},dxto 0}

como N → ∞.

Serie de potencia

Una serie de potencias es una serie de la forma

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}(x-c)^{n}.}

La serie de Taylor en un punto c de una función es una serie de potencias que, en muchos casos, converge a la función en un entorno de c. Por ejemplo, la serie

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}}

es la serie Taylor $e^{x}$ en el origen y convergen a él por cada x.

A menos que converja solo en x=c, tal serie converge en cierto disco abierto de convergencia centrado en el punto c en el plano complejo, y también puede converger en algunos de los puntos de la frontera del disco. El radio de este disco se conoce como radio de convergencia y, en principio, puede determinarse a partir de las asintóticas de los coeficientes a_n. La convergencia es uniforme sobre subconjuntos cerrados y acotados (es decir, compactos) del interior del disco de convergencia: es decir, es uniformemente convergente sobre conjuntos compactos.

Históricamente, los matemáticos como Leonhard Euler operaron liberalmente con series infinitas, incluso si no eran convergentes. Cuando el cálculo se asentó sobre una base sólida y correcta en el siglo XIX, siempre se requirieron pruebas rigurosas de la convergencia de las series.

Serie de poder formal

Si bien muchos usos de las series de potencias se refieren a sus sumas, también es posible tratar las series de potencias como sumas formales, lo que significa que en realidad no se realizan operaciones de suma, y el símbolo "+ " es un símbolo abstracto de conjunción que no necesariamente se interpreta como correspondiente a la adición. En este escenario, la secuencia de coeficientes en sí es de interés, más que la convergencia de la serie. Las series de potencias formales se usan en combinatoria para describir y estudiar secuencias que de otro modo serían difíciles de manejar, por ejemplo, usando el método de generación de funciones. La serie de Hilbert-Poincaré es una serie de potencias formales que se utiliza para estudiar álgebras graduadas.

Incluso si no se considera el límite de la serie de potencias, si los términos admiten la estructura adecuada, entonces es posible definir operaciones como suma, multiplicación, derivada, antiderivada para series de potencias "formalmente", tratando el símbolo "+" como si correspondiera a la suma. En la configuración más común, los términos provienen de un anillo conmutativo, por lo que la serie de potencia formal se puede sumar término a término y multiplicarse mediante el producto de Cauchy. En este caso, el álgebra de las series de potencias formales es el álgebra total del monoide de los números naturales sobre el anillo de términos subyacente. Si el anillo de términos subyacente es un álgebra diferencial, entonces el álgebra de series de potencias formales también es un álgebra diferencial, con la diferenciación realizada término por término.

Serie Laurent

Las series de Laurent generalizan las series de potencias al admitir términos en la serie con exponentes negativos y positivos. Una serie de Laurent es, por tanto, cualquier serie de la forma

{displaystyle sum _{n=-infty }^{infty }a_{n}x^{n}.}

Si una serie de este tipo converge, en general lo hace en un anillo en lugar de un disco, y posiblemente en algunos puntos límite. La serie converge uniformemente en subconjuntos compactos del interior del anillo de convergencia.

Serie de Dirichlet

Una serie de Dirichlet es una de las formas

{displaystyle sum _{n=1}^{infty }{a_{n} over n^{s}},}

donde s es un número complejo. Por ejemplo, si todos los a_n son iguales a 1, entonces la serie de Dirichlet es la función zeta de Riemann

{displaystyle zeta (s)=sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{s}}}.}

Como la función zeta, la serie Dirichlet en general juega un papel importante en la teoría de números analíticos. Generalmente una serie Dirichlet converge si la parte real de s es mayor que un número llamado el abscissa de la convergencia. En muchos casos, una serie Dirichlet puede extenderse a una función analítica fuera del dominio de convergencia por continuación analítica. Por ejemplo, la serie Dirichlet para la función zeta converge absolutamente cuando Re(s) > 1, pero la función zeta se puede ampliar a una función holomorfa definida en ${displaystyle mathbb {C} setminus {1}}$ con un poste simple a 1.

Esta serie se puede generalizar directamente a la serie general de Dirichlet.

Series trigonométricas

Una serie de funciones cuyos términos son funciones trigonométricas se denomina serie trigonométrica:

{displaystyle {frac {1}{2}}A_{0}+sum _{n=1}^{infty }left(A_{n}cos nx+B_{n}sin nxright).}

El ejemplo más importante de una serie trigonométrica es la serie de Fourier de una función.

Historia de la teoría de las series infinitas

Desarrollo de series infinitas

El matemático griego Arquímedes produjo la primera suma conocida de una serie infinita con un método que todavía se usa en el área del cálculo en la actualidad. Usó el método de agotamiento para calcular el área bajo el arco de una parábola con la suma de una serie infinita y dio una aproximación notablemente precisa de π.

Matemáticos de Kerala, India, estudiaron series infinitas alrededor de 1350 EC.

En el siglo XVII, James Gregory trabajó en el nuevo sistema decimal en series infinitas y publicó varias series de Maclaurin. En 1715, Brook Taylor proporcionó un método general para construir la serie de Taylor para todas las funciones para las que existen. Leonhard Euler, en el siglo XVIII, desarrolló la teoría de las series hipergeométricas y las series q.

Criterios de convergencia

Se considera que la investigación de la validez de las series infinitas comenzó con Gauss en el siglo XIX. Euler ya había considerado la serie hipergeométrica

{displaystyle 1+{frac {alpha beta }{1cdot gamma }}x+{frac {alpha (alpha +1)beta (beta +1)}{1cdot 2cdot gamma (gamma +1)}}x^{2}+cdots }

sobre el cual Gauss publicó una memoria en 1812. Estableció criterios más simples de convergencia y las cuestiones de los residuos y el rango de convergencia.

Cauchy (1821) insistió en pruebas estrictas de convergencia; mostró que si dos series son convergentes su producto no lo es necesariamente, y con él comienza el descubrimiento de criterios efectivos. Los términos convergencia y divergencia habían sido introducidos mucho antes por Gregory (1668). Leonhard Euler y Gauss habían dado varios criterios y Colin Maclaurin había anticipado algunos de los descubrimientos de Cauchy. Cauchy avanzó la teoría de la serie de potencias mediante su expansión de una función compleja en tal forma.

Abel (1826) en sus memorias sobre la serie binomial

{displaystyle 1+{frac {m}{1!}}x+{frac {m(m-1)}{2!}}x^{2}+cdots }

corrigió ciertas conclusiones de Cauchy, y dio un resumen completamente científico de la serie para valores complejos de $m$ y $x$ . Mostró la necesidad de considerar el tema de la continuidad en cuestiones de convergencia.

Los métodos de Cauchy condujeron a criterios especiales más que generales, y lo mismo puede decirse de Raabe (1832), que hizo la primera investigación elaborada sobre el tema, de De Morgan (desde 1842), cuyo prueba logarítmica DuBois-Reymond (1873) y Pringsheim (1889) han demostrado fallar dentro de una determinada región; de Bertrand (1842), Bonnet (1843), Malmsten (1846, 1847, este último sin integración); Stokes (1847), Paucker (1852), Chebyshev (1852) y Arndt (1853).

Los criterios generales comenzaron con Kummer (1835), y han sido estudiados por Eisenstein (1847), Weierstrass en sus diversos contribuciones a la teoría de funciones, Dini (1867), DuBois-Reymond (1873) y muchos otros. Las memorias de Pringsheim (1889) presentan la teoría general más completa.

Convergencia uniforme

La teoría de la convergencia uniforme fue tratada por Cauchy (1821), siendo sus limitaciones señaladas por Abel, pero el primero en atacarla con éxito fueron Seidel y Stokes (1847-1848). Cauchy asumió la problema de nuevo (1853), reconociendo las críticas de Abel, y llegando a las mismas conclusiones que Stokes ya había encontrado. Tomás usó el doctrina (1866), pero hubo un gran retraso en reconocer la importancia de distinguir entre uniformes y no uniformes. convergencia, a pesar de las exigencias de la teoría de funciones.

Semiconvergencia

Se dice que una serie es semiconvergente (o condicionalmente convergente) si es convergente pero no absolutamente convergente.

Las series semiconvergentes fueron estudiadas por Poisson (1823), quien también dio una forma general para el resto de la fórmula de Maclaurin. La solución más importante del problema se debe, sin embargo, a Jacobi (1834), quien abordó la cuestión del resto desde un punto de vista diferente y llegó a una fórmula diferente. Esta expresión también fue elaborada, y dada otra, por Malmsten (1847). Schlömilch (Zeitschrift, Vol.I, p. 192, 1856) también mejoró el resto de Jacobi y mostró la relación entre el resto y la función de Bernoulli.

{displaystyle F(x)=1^{n}+2^{n}+cdots +(x-1)^{n}.}

Genocchi (1852) ha contribuido aún más a la teoría.

Entre los primeros escritores se encontraba Wronski, cuya "loi suprême" (1815) apenas fue reconocido hasta que Cayley (1873) lo introdujo en prominencia.

Serie de Fourier

Se estaban investigando las series de Fourier como resultado de consideraciones físicas al mismo tiempo que Gauss, Abel y Cauchy estaban elaborando la teoría del infinito serie. Series para la expansión de senos y cosenos, de múltiplos arcos en potencias del seno y coseno del arco habían sido tratados por Jacob Bernoulli (1702) y su hermano Johann Bernoulli (1701) y todavía antes por Vieta. Euler y Lagrange simplificaron el tema, al igual que Poinsot, Schröter, Glaisher y Kummer.

Fourier (1807) se planteó un problema diferente, para expandir una función dada de x en términos de los senos o cosenos de múltiplos de x, problema que plasma en su Théorie analytique de la chaleur (1822). Euler ya había dado las fórmulas para determinar los coeficientes de la serie; Fourier fue el primero en afirmar e intentar probar la general teorema. Poisson (1820-1823) también atacó el problema desde una punto de vista diferente. Sin embargo, Fourier no resolvió la cuestión de convergencia de sus series, cuestión que quedó para Cauchy (1826) para intento y para Dirichlet (1829) para manejar en una minuciosa manera científica (ver convergencia de series de Fourier). El tratamiento de Dirichlet (Crelle, 1829), de las series trigonométricas fue objeto de críticas y mejoras por parte de Riemann (1854), Heine, Lipschitz, Schläfli y du Bois-Reymond. Entre otros destacados contribuyentes a la teoría de series trigonométricas y de Fourier fueron Dini, Hermite, Halphen, Krause, Byerly y Appell.

Generalizaciones

Serie asintótica

Las series asintóticas, o expansiones asintóticas, son series infinitas cuyas sumas parciales se convierten en buenas aproximaciones en el límite de algún punto del dominio. En general no convergen, pero son útiles como secuencias de aproximaciones, cada una de las cuales proporciona un valor cercano a la respuesta deseada para un número finito de términos. La diferencia es que no se puede hacer que una serie asintótica produzca una respuesta tan exacta como se desea, como sí se puede hacer con una serie convergente. De hecho, después de un cierto número de términos, una serie asintótica típica alcanza su mejor aproximación; si se incluyen más términos, la mayoría de estas series producirán peores respuestas.

Serie Divergente

En muchas circunstancias, es deseable asignar un límite a una serie que no converge en el sentido habitual. Un método de sumabilidad es tal asignación de un límite a un subconjunto del conjunto de series divergentes que amplía adecuadamente la noción clásica de convergencia. Los métodos de sumabilidad incluyen el sumatorio de Cesàro, el sumatorio (C,k), el sumatorio de Abel y el sumatorio de Borel, en orden creciente de generalidad (y, por lo tanto, aplicables a series cada vez más divergentes).

Se conoce una variedad de resultados generales sobre posibles métodos de sumabilidad. El teorema de Silverman-Toeplitz caracteriza los métodos de sumabilidad de matrices, que son métodos para sumar una serie divergente aplicando una matriz infinita al vector de coeficientes. El método más general para sumar una serie divergente no es constructivo y se refiere a los límites de Banach.

Sumas sobre conjuntos de índices arbitrarios

Las definiciones pueden darse por sumas sobre un índice arbitrario establecido ${displaystyle I.}$ Hay dos diferencias principales con la noción habitual de serie: primero, no hay orden específico dado en el conjunto $I$ ; segundo, este conjunto $I$ puede ser incontable. Es necesario fortalecer la noción de convergencia, ya que el concepto de convergencia condicional depende del orden del conjunto del índice.

Si ${displaystyle a:Imapsto G}$ es una función de un conjunto índice $I$ a un conjunto $G,$ entonces la "series" asociada a $a$ es la suma formal de los elementos $a(x)in G$ sobre los elementos índice $xin I$ denotado por el

{displaystyle sum _{xin I}a(x).}

Cuando el conjunto índice es el número natural ${displaystyle I=mathbb {N}}$ la función ${displaystyle a:mathbb {N} mapsto G}$ es una secuencia denotada ${displaystyle a(n)=a_{n}.}$ Una serie indexada en los números naturales es una suma formal ordenada y así reescribimos ${textstyle sum _{nin mathbb {N} }}$ como ${textstyle sum _{n=0}^{infty }}$ para enfatizar el orden inducido por los números naturales. Así, obtenemos la notación común para una serie indexada por los números naturales

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+cdots.}

Familias de números no negativos

Cuando rebasa una familia ${displaystyle left{a_{i}:iin Iright}}$ de números reales no negativos, definir

{displaystyle sum _{iin I}a_{i}=sup left{sum _{iin A}a_{i},:Asubseteq I,A{text{ finite}}right}in [0,+infty ].}

Cuando el supremum es finito entonces el conjunto de $iin I$ tales que $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ai■0{displaystyle a_{i}0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223e7f4ee093052525232883afedcf45a02b9f0c" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.29ex; height:2.509ex;"/>$ es contable. De hecho, para todos ${displaystyle ngeq 1,}$ la cardinalidad ${displaystyle left|A_{n}right|}$ del conjunto $1/nright}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">An={}i▪ ▪ I:ai■1/n}{displaystyle A_{n}=left{iin Yo...1/nright}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7db89c0edaef3be7d0affd7322fbc8214f64bf5" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.985ex; height:2.843ex;"/>$ es finito porque

<math alttext="{displaystyle {frac {1}{n}},left|A_{n}right|=sum _{iin A_{n}}{frac {1}{n}}leq sum _{iin A_{n}}a_{i}leq sum _{iin I}a_{i}1nSilencioAnSilencio=.. i▪ ▪ An1n≤ ≤ .. i▪ ▪ Anai≤ ≤ .. i▪ ▪ Iai.JUEGO JUEGO .{displaystyle {frac {}{n},left foreverA_{n}right WordPress=sum _{iin A_{n}{frac {1}{n}leq sum _{iin A_{n}a_{i}leq sum _{iin - No.<img alt="{displaystyle {frac {1}{n}},left|A_{n}right|=sum _{iin A_{n}}{frac {1}{n}}leq sum _{iin A_{n}}a_{i}leq sum _{iin I}a_{i}

Si $I$ es contablemente infinito y enumerado como ${displaystyle I=left{i_{0},i_{1},ldots right}}$ entonces la suma definida anterior satisfice

{displaystyle sum _{iin I}a_{i}=sum _{k=0}^{+infty }a_{i_{k}},}

infty

Cualquier suma de reales no negativos puede entenderse como la integral de una función no negativa con respecto a la medida de conteo, lo que explica las muchas similitudes entre las dos construcciones.

Grupos topológicos abelianos

Vamos ${displaystyle a:Ito X}$ ser un mapa, también denotado por ${displaystyle left(a_{i}right)_{iin I},}$ de un conjunto no vacío $I$ en un grupo topológico de Hausdorff $X.$ Vamos ${displaystyle operatorname {Finite} (I)}$ ser la colección de todos los subconjuntos finitos de $I,$ con ${displaystyle operatorname {Finite} (I)}$ considerado como un conjunto dirigido, ordenado bajo inclusión ${displaystyle ,subseteq ,}$ con unión como unión. La familia ${displaystyle left(a_{i}right)_{iin I},}$ se dice que incondicionalmente flexible si el siguiente límite, que se denota ${displaystyle sum _{iin I}a_{i}}$ y se llama suma de ${displaystyle left(a_{i}right)_{iin I},}$ existe en ${displaystyle X:}$

{displaystyle sum _{iin I}a_{i}:=lim _{Ain operatorname {Finite} (I)} sum _{iin A}a_{i}=lim left{sum _{iin A}a_{i},:Asubseteq I,A{text{ finite }}right}}

{displaystyle S:=sum _{iin I}a_{i}}

V

X,

A_{0}

I

{displaystyle S-sum _{iin A}a_{i}in Vqquad {text{ for every finite superset}};Asupseteq A_{0}.}

Porque... ${displaystyle operatorname {Finite} (I)}$ no está totalmente ordenado, esto no es un límite de una secuencia de sumas parciales, sino más bien de una red.

Por cada barrio $W$ del origen en $X,$ hay un vecindario más pequeño $V$ tales que ${displaystyle V-Vsubseteq W.}$ De ello se desprende que las sumas parciales finitas de una familia incondicionalmente summable ${displaystyle left(a_{i}right)_{iin I},}$ forma Cauchy net, es decir, por cada barrio $W$ del origen en $X,$ existe un subconjunto finito $A_{0}$ de $I$ tales que

{displaystyle sum _{iin A_{1}}a_{i}-sum _{iin A_{2}}a_{i}in Wqquad {text{ for all finite supersets }};A_{1},A_{2}supseteq A_{0},}

{displaystyle a_{i}in W}

{displaystyle iin Isetminus A_{0}}

{displaystyle A_{1}:=A_{0}cup {i}}

{displaystyle A_{2}:=A_{0}}

Cuando $X$ está completo, una familia ${displaystyle left(a_{i}right)_{iin I}}$ es incondicionalmente sumergible en $X$ si y sólo si las sumas finitas satisfacen la última condición neta Cauchy. Cuando $X$ está completo y ${displaystyle left(a_{i}right)_{iin I},}$ es incondicionalmente sumergible en $X,$ entonces para cada subconjunto ${displaystyle Jsubseteq I,}$ la subfamilia correspondiente ${displaystyle left(a_{j}right)_{jin J},}$ es también incondicionalmente sumergible en $X.$

Cuando la suma de una familia de números no negativos, en el sentido extendido definido antes, es finita, entonces coincide con la suma en el grupo topológico ${displaystyle X=mathbb {R}.}$

Si una familia ${displaystyle left(a_{i}right)_{iin I}}$ dentro $X$ es incondicionalmente sumible entonces para cada vecindario $W$ del origen en $X,$ hay un subconjunto finito ${displaystyle A_{0}subseteq I}$ tales que ${displaystyle a_{i}in W}$ para cada índice $i$ no en ${displaystyle A_{0}.}$ Si $X$ es un espacio de primera cuenta entonces sigue que el conjunto de $iin I$ tales que ${displaystyle a_{i}neq 0}$ es contable. Esto no debe ser cierto en un grupo topológico abeliano general (ver ejemplos abajo).

Series incondicionalmente convergentes

Supongamos que ${displaystyle I=mathbb {N}.}$ Si una familia ${displaystyle a_{n},nin mathbb {N}}$ es incondicionalmente sumergible en un grupo topológico de Hausdorff $X,$ entonces la serie en el sentido habitual converge y tiene la misma suma,

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{n}=sum _{nin mathbb {N} }a_{n}.}

Por naturaleza, la definición de summability incondicional es insensible al orden de la suma. Cuando $sum a_{n}$ es incondicionalmente sumergible, entonces la serie permanece convergente después de cualquier permutación ${displaystyle sigma:mathbb {N} to mathbb {N} }$ del conjunto $mathbb {N}$ de índices, con la misma suma,

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }a_{sigma (n)}=sum _{n=0}^{infty }a_{n}.}

Por el contrario, si cada permutación de una serie $sum a_{n}$ converge, entonces la serie es convergente incondicionalmente. Cuando $X$ es completa entonces convergencia incondicional es también equivalente al hecho de que todas las subseries son convergentes; si $X$ es un espacio de Banach, esto es equivalente a decir que para cada secuencia de signos ${displaystyle varepsilon _{n}=pm 1}$ , la serie

{displaystyle sum _{n=0}^{infty }varepsilon _{n}a_{n}}

convergencias en $X.$

Series en espacios vectoriales topológicos

Si $X$ es un espacio vectorial topológico (TVS) y ${displaystyle left(x_{i}right)_{iin I}}$ es una familia (posiblemente incontable) $X$ entonces esta familia es summable si el límite ${displaystyle lim _{Ain operatorname {Finite} (I)}x_{A}}$ de la red ${displaystyle left(x_{A}right)_{Ain operatorname {Finite} (I)}}$ existe en $X,$ Donde ${displaystyle operatorname {Finite} (I)}$ es el conjunto dirigido de todos los subconjuntos finitos de $I$ dirigida por la inclusión ${displaystyle ,subseteq ,}$ y ${textstyle x_{A}:=sum _{iin A}x_{i}.}$

Se llama absolutamente flexible si además, para cada seminorm continuo $p$ on $X,$ la familia ${displaystyle left(pleft(x_{i}right)right)_{iin I}}$ es sumible. Si $X$ es un espacio normable y si ${displaystyle left(x_{i}right)_{iin I}}$ es una familia absolutamente sumible en $X,$ entonces necesariamente todo menos una colección contable $x_{i}$ ’s son cero. Por lo tanto, en espacios normalizados, normalmente sólo es necesario considerar series con notablemente muchos términos.

Las familias sumables juegan un papel importante en la teoría de los espacios nucleares.

Series en Banach y espacios seminormados

La noción de serie se puede extender fácilmente al caso de un espacio seminormado. Si $x_{n}$ es una secuencia de elementos de un espacio normal $X$ y si $xin X$ entonces la serie $sum x_{n}$ convergencias a $x$ dentro $X$ si la secuencia de sumas parciales de la serie ${textstyle left(sum _{n=0}^{N}x_{n}right)_{N=1}^{infty }}$ convergencias a $x$ dentro $X$ ; a wit,

{displaystyle left|x-sum _{n=0}^{N}x_{n}right|to 0quad {text{ as }}Nto infty.}

Más generalmente, la convergencia de la serie se puede definir en cualquier grupo topológico de Hausdorff abeliano. Específicamente, en este caso, $sum x_{n}$ convergencias a $x$ si la secuencia de sumas parciales converge a $x.$

Si ${displaystyle (X,|cdot |)}$ es un espacio seminormado, entonces la noción de convergencia absoluta se convierte en: Una serie ${textstyle sum _{iin I}x_{i}}$ de vectores en $X$ converge absolutamente si

<math alttext="{displaystyle sum _{iin I}left|x_{i}right|.. i▪ ▪ ISilencioxiSilencio.+JUEGO JUEGO {displaystyle sum _{iin I'' 'left habitx_{i} 'justo en la vida<img alt="{displaystyle sum _{iin I}left|x_{i}right|

en cuyo caso todos pero en la mayoría de los valores ${displaystyle left|x_{i}right|}$ son necesariamente cero.

Si una serie numerable de vectores en un espacio de Banach converge absolutamente, entonces converge incondicionalmente, pero lo contrario solo se cumple en espacios de Banach de dimensión finita (teorema de Dvoretzky & Rogers (1950)).

Sumas bien ordenadas

serie convergente condicional se puede considerar si $I$ es un conjunto bien ordenado, por ejemplo, un número ordinal ${displaystyle alpha _{0}.}$ En este caso, definir por recidiva transfinita:

<math alttext="{displaystyle sum _{beta <alpha +1}a_{beta }=a_{alpha }+sum _{beta .. β β .α α +1aβ β =aα α +.. β β .α α aβ β {displaystylesum _{beta }a_{beta }=a_{alpha }+sum _{beta ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪ ♪<img alt="{displaystyle sum _{beta <alpha +1}a_{beta }=a_{alpha }+sum _{beta

y para un ordinal límite $alpha,$

<math alttext="{displaystyle sum _{beta <alpha }a_{beta }=lim _{gamma to alpha }sum _{beta .. β β .α α aβ β =limγ γ → → α α .. β β .γ γ aβ β {displaystyle sum _{beta ♪♪alpha }a_{beta }=lim _{gamma to alpha }sum _{beta - ¿Qué?<img alt="{displaystyle sum _{beta <alpha }a_{beta }=lim _{gamma to alpha }sum _{beta

si este límite existe. Si todos los límites existen hasta ${displaystyle alpha _{0},}$ entonces la serie converge.

Ejemplos

Dada la función $f:Xto Y$ en un grupo topológico abeliano $Y,$ definir para cada ${displaystyle ain X,}$ ${displaystyle f_{a}(x)={begin{cases}0&xneq a,\f(a)&x=a,\end{cases}}}$
una función cuyo soporte es un singleton ${displaystyle {a}.}$ Entonces...
${displaystyle f=sum _{ain X}f_{a}}$
en la topología de la convergencia puntual (es decir, la suma se toma en el grupo de producto infinito $Y^X$ ).
En la definición de particiones de unidad, uno construye sumas de funciones sobre conjunto de índice arbitrario $I,$ ${displaystyle sum _{iin I}varphi _{i}(x)=1.}$
Aunque, formalmente, esto requiere una noción de sumas de series incontables, por la construcción hay, por cada dado $x,$ Sólo finitamente muchos términos no cero en la suma, por lo que las cuestiones relativas a la convergencia de tales sumas no surgen. En realidad, uno suele asumir más: la familia de funciones es localmente finito, eso es, por cada $x$ hay un barrio $x$ en el que todos menos un número finito de funciones desaparecen. Cualquier propiedad de la regularidad ${displaystyle varphi _{i},}$ como continuidad, diferenciabilidad, que se conserva bajo sumas finitas se conservará por la suma de cualquier subcollección de esta familia de funciones.
En el primer ordinal incontable $omega _{1}$ vista como un espacio topológico en la topología del orden, la función constante ${displaystyle f:left[0,omega _{1}right)to left[0,omega _{1}right]}$ dado por ${displaystyle f(alpha)=1}$ satisfizo ${displaystyle sum _{alpha in [0,omega _{1})}f(alpha)=omega _{1}}$
(en otras palabras, $omega _{1}$ copias de 1 $omega _{1}$ Sólo si uno toma un límite sobre todos contable sumas parciales, en lugar de sumas parciales finitas. Este espacio no es separable.

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