Paralelogramo

En geometría euclidiana, un paralelogramo es un cuadrilátero simple (que no se corta a sí mismo) con dos pares de lados paralelos. Los lados opuestos o enfrentados de un paralelogramo tienen la misma longitud y los ángulos opuestos de un paralelogramo tienen la misma medida. La congruencia de lados opuestos y ángulos opuestos es una consecuencia directa del postulado de las paralelas de Euclides y ninguna de las dos condiciones puede probarse sin apelar al postulado de las paralelas de Euclides o una de sus formulaciones equivalentes.

En comparación, un cuadrilátero con solo un par de lados paralelos es un trapezoide en inglés americano o un trapecio en inglés británico.

La contraparte tridimensional de un paralelogramo es un paralelepípedo.

La etimología (en griego παραλληλ-όγραμμον, parallēl-ógrammon, una forma "de líneas paralelas") refleja la definición.

Casos especiales

• Rectángulo – Un paralelograma con cuatro ángulos de igual tamaño (ángulos rectos).
• Rhombus – Un paralelograma con cuatro lados de igual longitud. Cualquier paralelograma que no es ni un rectángulo ni un rombo fue tradicionalmente llamado un romboide pero este término no se utiliza en las matemáticas modernas.
• Plaza – Un paralelograma con cuatro lados de igual longitud y ángulos de igual tamaño (ángulos rectos).

Caracterizaciones

Un cuadrilátero simple (que no se corta a sí mismo) es un paralelogramo si y solo si alguna de las siguientes afirmaciones es verdadera:

• Dos pares de lados opuestos son paralelos (por definición).
• Dos pares de lados opuestos son iguales en longitud.
• Dos pares de ángulos opuestos son iguales en medida.
• Las diagonales se bisecan.
• Un par de lados opuestos es paralelo e igual de longitud.
• Los ángulos adyacentes son complementarios.
• Cada diagonal divide el cuadrilátero en dos triángulos congruentes.
• La suma de los cuadrados de los lados equivale a la suma de los cuadrados de las diagonales. (Esta es la ley paralela.)
• Tiene simetría rotacional del orden 2.
• La suma de las distancias desde cualquier punto interior a los lados es independiente de la ubicación del punto. (Esta es una extensión del teorema de Viviani.)
• Hay un punto X en el plano del cuadrilátero con la propiedad que cada línea recta a través X divide el cuadrilátero en dos regiones de igual área.

Por lo tanto, todos los paralelogramos tienen todas las propiedades enumeradas anteriormente y, a la inversa, si solo una de estas afirmaciones es verdadera en un cuadrilátero simple, entonces es un paralelogramo.

Otras propiedades

• Los lados opuestos de un paralelograma son paralelos (por definición) y así nunca se intersectan.
• El área de un paralelograma es dos veces el área de un triángulo creado por una de sus diagonales.
• El área de un paralelograma también es igual a la magnitud del producto de la cruz vectorial de dos lados adyacentes.
• Cualquier línea a través del punto medio de un bizcograma paralelo se reproduce el área.
• Cualquier transformación de afina no degenerada lleva un paralelograma a otro paralelograma.
• Un paralelograma tiene simetría rotacional del orden 2 (a través de 180°) (o orden 4 si es cuadrado). Si también tiene exactamente dos líneas de simetría reflexiva, entonces debe ser un rhombus o un oblong (un rectángulo no cuadrado). Si tiene cuatro líneas de simetría reflexiva, es un cuadrado.
• El perímetro de un paralelograma es 2(a + bDonde a y b son las longitudes de los lados adyacentes.
• A diferencia de cualquier otro polígono convexo, un paralelograma no puede ser inscrito en ningún triángulo con menos del doble de su área.
• Los centros de cuatro plazas construidos internamente o externamente a los lados de un paralelograma son los vértices de un cuadrado.
• Si dos líneas paralelas a los lados de un paralelograma se construyen simultáneamente a una diagonal, entonces los paralelogramas formados en los lados opuestos de esa diagonal son iguales en la zona.
• Las diagonales de un paralelograma lo dividen en cuatro triángulos de área igual.

Fórmula del área

Un paralelograma se puede reorganizar en un rectángulo con la misma área.

Animación para la fórmula de área K=bh{displaystyle K=bh!.

Todas las fórmulas de área para los cuadriláteros convexos generales se aplican a los paralelogramos. Otras fórmulas son específicas de los paralelogramos:

Un paralelogramo con base b y altura h puede dividirse en un trapezoide y un triángulo rectángulo, y reorganizarse en un rectángulo, como se muestra en la figura de la izquierda. Esto significa que el área de un paralelogramo es igual a la de un rectángulo con la misma base y altura:

K=bh.{displaystyle K=bh.

El área del paralelograma es el área de la región azul, que es el interior del paralelogramo

La fórmula del área base × altura también se puede derivar usando la figura de la derecha. El área K del paralelogramo a la derecha (el área azul) es el área total del rectángulo menos el área de los dos triángulos naranjas. el area del rectangulo es

Krectificado=()B+A)× × H{displaystyle K_{text{rect}=(B+A)times H,}

y el área de un solo triángulo es

Kt=A2× × H.{displaystyle K_{text{tri}={frac {A}{2}times H.,}

Por lo tanto, el área del paralelogramo es

K=Krectificado− − 2× × Kt=()()B+A)× × H)− − ()A× × H)=B× × H.{displaystyle K=K_{text{rect}-2times K_{text{tri}=(B+A)times H)-(Atimes H)=Btimes H.}

Otra fórmula de área, para dos lados B y C y el ángulo θ, es

K=B⋅ ⋅ C⋅ ⋅ pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio .{displaystyle K=Bcdot Ccdot sin theta.

El área de un paralelograma con lados B y C ()B ل C) y ángulo γ γ {displaystyle gamma } en la intersección de las diagonales se da por

K=Silencio#⁡ ⁡ γ γ Silencio2⋅ ⋅ SilencioB2− − C2Silencio.{displaystyle K={frac {tantangamma Silencio. Bien.

Cuando el paralelogramo se especifica a partir de las longitudes B y C de dos lados adyacentes junto con la longitud D₁ de cualquiera de las diagonales, entonces el área se puede encontrar a partir de la fórmula de Heron. Específicamente es

K=2S()S− − B)()S− − C)()S− − D1){displaystyle K=2{sqrt {S-B)(S-C)(S-D_{1}}}}

Donde S=()B+C+D1)/2{displaystyle S=(B+C+D_{1})/2} y el factor principal 2 proviene del hecho de que la diagonal elegida divide el paralelograma en dos. triángulos congruentes.

Área en términos de coordenadas cartesianas de vértices

vectores a,b▪ ▪ R2{displaystyle mathbf {a}mathbf {b} in mathbb {R} ^{2} y dejar V=[a1a2b1b2]▪ ▪ R2× × 2{displaystyle V={begin{bmatrix}a_{1} {2}b_{1} {2}end{bmatrix}in mathbb {R} ^{2times 2}} denota la matriz con elementos a y b. Luego el área del paralelograma generado por a y b es igual a SilencioDet()V)Silencio=Silencioa1b2− − a2b1Silencio{fnMicrosoft Sans Serif}*.

vectores a,b▪ ▪ Rn{displaystyle mathbf {a}mathbf {b} in mathbb {R} ^{n} y dejar V=[a1a2...... anb1b2...... bn]▪ ▪ R2× × n{displaystyle V={begin{bmatrix}a_{1} limita_{2} ¿Qué? En mathbb {R}. Luego el área del paralelograma generado por a y b es igual a Det()VVT){displaystyle {sqrt {det}}}.

Dejar puntos a,b,c▪ ▪ R2{displaystyle a,b,cin mathbb {R} {2}. Luego el área del paralelograma con vértices a, b y c es equivalente al valor absoluto del determinante de una matriz construida utilizando a, b y c como filas con la última columna acolchada usando las siguientes:

K=SilencioDet[a1a21b1b21c1c21]Silencio.{begin{bmatrix}a_{1} {b_{2} {b_{1}b_{1}}b_{1} {2} {c_}c_{1} {c_{1}}}}}det {det}det {begin{bmatrix}a_}} {c_}}}}}}}}}}}}}}}}}}det}}det}det}det}det}det_

Prueba de que las diagonales se bisecan

Para demostrar que las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí, usaremos triángulos congruentes:

∠ ∠ ABE.. ∠ ∠ CDE{displaystyle angle ABEcong angle CDE} (Los ángulos interiores alternativos son iguales en medida)

∠ ∠ BAE.. ∠ ∠ DCE{displaystyle angle BAEcong angle DCE} (Los ángulos interiores alternativos son iguales en medida).

(ya que estos son ángulos que forma una transversal con las paralelas AB y DC).

Además, el lado AB tiene la misma longitud que el lado DC, ya que los lados opuestos de un paralelogramo tienen la misma longitud.

Por lo tanto, los triángulos ABE y CDE son congruentes (postulado ASA, dos ángulos correspondientes y el lado incluido).

Por lo tanto,

AE=CE{displaystyle AE=CE}

BE=DE.{displaystyle BE=DE.}

Dado que las diagonales AC y BD se dividen entre sí en segmentos de igual longitud, las diagonales se bisecan entre sí.

Por separado, dado que las diagonales AC y BD se bisecan en el punto E, el punto E es el punto medio de cada diagonal.

Red de paralelogramos

Los paralelogramos pueden teselar el plano por traslación. Si los bordes son iguales o los ángulos son rectos, la simetría de la red es mayor. Estos representan las cuatro redes de Bravais en 2 dimensiones.

Lattices

Formulario	Plaza	Rectángulo	Rhombus	Parallelograma
Sistema	Plaza (tetragonal)	Rectangular (orthorhombic)	Centro rectangular (orthorhombic)	Oblicua (monoclinico)
Limitaciones	α=90°, a=b	α=90°	a=b	Ninguno
Simmetría	p4m, [4,4], orden 8n	p.m., orden 4n		p1, [∞]+,2, Vivir+], orden 2n
Formulario

Paralelogramos derivados de otras figuras

Prueba sin palabras del teorema de Varignon:

1. Un cuadrilátero arbitrario y sus diagonales.
2. Las bases de triángulos similares son paralelas a la diagonal azul.
3. Ditto para la diagonal roja.
4. Los pares base forman un paralelograma con la mitad del área del cuadrilátero, A_q, como la suma de las áreas de los cuatro triángulos grandes, A_l 2 A_q (cada uno de los dos pares reconstruye el cuadrilátero) mientras que el de los pequeños triángulos, A_s es un cuarto A_l (la mitad de las dimensiones lineales produce área trimestral), y el área del paralelograma es A_q menos A_s.

Triángulo automediano

Un triángulo automediano es aquel cuyas medianas tienen las mismas proporciones que sus lados (aunque en diferente orden). Si ABC es un triángulo automediano en el que el vértice A se encuentra frente al lado a, G es el baricentro (donde las tres medianas de ABC se intersecan), y AL es una de las medianas extendidas de ABC con L descansando sobre el circuncírculo de ABC, entonces BGCL es un paralelogramo.

Paralelogramo de Varignon

Los puntos medios de los lados de un cuadrilátero arbitrario son los vértices de un paralelogramo, llamado paralelogramo de Varignon. Si el cuadrilátero es convexo o cóncavo (es decir, no se corta a sí mismo), entonces el área del paralelogramo de Varignon es la mitad del área del cuadrilátero.

Paralelogramo tangente de una elipse

Para una elipse, se dice que dos diámetros son conjugados si y solo si la línea tangente a la elipse en un punto final de un diámetro es paralela al otro diámetro. Cada par de diámetros conjugados de una elipse tiene un paralelogramo tangente correspondiente, a veces llamado paralelogramo límite, formado por las líneas tangentes a la elipse en los cuatro extremos de los diámetros conjugados. Todos los paralelogramos tangentes de una elipse dada tienen la misma área.

Es posible reconstruir una elipse a partir de cualquier par de diámetros conjugados o de cualquier paralelogramo tangente.

Caras de un paralelepípedo

Un paralelepípedo es una figura tridimensional cuyas seis caras son paralelogramos.