Seki Takakazu

Seki Takakazu (関 孝和 , c. marzo de 1642 – 5 de diciembre de 1708), también conocido como Seki Kōwa (関 孝和), fue un matemático japonés y autor del período Edo.

Seki sentó las bases para el posterior desarrollo de las matemáticas japonesas, conocidas como wasan. Se le ha descrito como "el Newton de Japón".

Creó un nuevo sistema de notación algebraica y, motivado por cálculos astronómicos, trabajó en cálculo infinitesimal y ecuaciones diofánticas. Aunque fue contemporáneo del matemático y filósofo erudito alemán Gottfried Leibniz y del físico y matemático erudito británico Isaac Newton, el trabajo de Seki fue independiente. Más tarde, sus sucesores desarrollaron una escuela dominante en las matemáticas japonesas hasta el final del período Edo.

Si bien no está claro cuántos de los logros de wasan son de Seki, ya que muchos de ellos aparecen sólo en los escritos de sus alumnos, algunos de los resultados son paralelos o anticipan los descubiertos. en Europa. Por ejemplo, se le atribuye el descubrimiento de los números de Bernoulli. Se le atribuyen la resultante y la determinante (la primera en 1683, la versión completa a más tardar en 1710).

Seki también calculó el valor de pi correctamente hasta el décimo decimal, habiendo utilizado lo que ahora se llama el proceso delta cuadrado de Aitken, redescubierto más tarde por Alexander Aitken.

Seki ha sido influenciado por libros de matemáticas japoneses como el Jinkōki.

Biografía

No se sabe mucho sobre la vida personal de Seki. Su lugar de nacimiento ha sido indicado como Fujioka en la prefectura de Gunma o Edo. Su fecha de nacimiento oscila entre 1635 y 1643.

Nació en el clan Uchiyama, un súbdito de Ko-shu han, y fue adoptado por la familia Seki, un súbdito del shōgun. Mientras estuvo en Ko-shu han, participó en un proyecto topográfico para producir un mapa confiable de las tierras de su empleador. Pasó muchos años estudiando los calendarios chinos del siglo XIII para reemplazar el menos preciso utilizado en Japón en ese momento.

Carrera

Raíces matemáticas chinas

Sus matemáticas (y wasan en su conjunto) se basaban en conocimientos matemáticos acumulados entre los siglos XIII y XV. El material de estos trabajos consistió en álgebra con métodos numéricos, interpolación polinomial y sus aplicaciones y ecuaciones enteras indeterminadas. El trabajo de Seki está más o menos basado y relacionado con estos métodos conocidos.

Los algebraistas chinos descubrieron la evaluación numérica (método de Horner, restablecido por William George Horner en el siglo XIX) de la ecuación algebraica de grado arbitrario con coeficientes reales. Al utilizar el teorema pitagórico, reducen problemas geométricos a álgebra sistemáticamente. Sin embargo, el número de desconocidos en una ecuación era bastante limitado. Usaron notaciones de una serie de números para representar una fórmula; por ejemplo, ${displaystyle (a b c)}$ para ${displaystyle ax^{2}+bx+c}$.

Más tarde, desarrollaron un método que utiliza matrices bidimensionales, que representan cuatro variables como máximo, pero el alcance de este método era limitado. En consecuencia, un objetivo de Seki y sus matemáticos japoneses contemporáneos fue el desarrollo de ecuaciones algebraicas multivariables generales y la teoría de la eliminación.

En el enfoque chino de la interpolación polinomial, la motivación era predecir el movimiento de los cuerpos celestes a partir de datos observados. El método también se aplicó para encontrar diversas fórmulas matemáticas. Seki aprendió esta técnica, muy probablemente, a través de su examen minucioso de los calendarios chinos.

Competir con los contemporáneos

En 1671, Sawaguchi Kazuyuki (沢口 一之), un alumno de Hashimoto Masakazu (橋本 正数) en Osaka, publicó Kokon Sanpō Ki (古今算法記), en el que dio el primer relato completo del álgebra china en Japón. Lo aplicó con éxito a los problemas sugeridos por sus contemporáneos. Antes que él, estos problemas se resolvían mediante métodos aritméticos. Al final del libro, desafió a otros matemáticos con 15 nuevos problemas que requieren ecuaciones algebraicas multivariables.

En 1674, Seki publicó Hatsubi Sanpō (発 gradualmente), dando soluciones a los 15 problemas. El método que utilizó se llama bōsho-hō. Introdujo el uso de Kanji representar desconocidos y variables en ecuaciones. Aunque era posible representar ecuaciones de un grado arbitrario (una vez trató el grado 1458) con coeficientes negativos, no había símbolos correspondientes a paréntesis, igualdad o división. Por ejemplo, ${displaystyle ax+b}$ también podría significar ${displaystyle ax+b=0}$. Más tarde, el sistema fue mejorado por otros matemáticos, y al final se convirtió en tan expresivo como los desarrollados en Europa.

Sin embargo, en su libro de 1674, Seki sólo dio ecuaciones de una sola variable resultantes de la eliminación, pero no explicó en absoluto el proceso, ni su nuevo sistema de símbolos algebraicos. Hubo algunos errores en la primera edición. Un matemático de la escuela de Hashimoto criticó el trabajo y dijo que "sólo tres de 15 son correctos". En 1678, Tanaka Yoshizane (田中 由真), que era de la escuela de Hashimoto y estaba activo en Kioto, fue el autor de Sanpō Meiki (算法明記) y dio nuevas soluciones a los 15 problemas de Sawaguchi, utilizando su versión de Álgebra multivariable, similar a la de Seki. Para responder a las críticas, en 1685, Takebe Katahiro (建部 賢弘), uno de los alumnos de Seki, publicó Hatsubi Sanpō Genkai (発微算法諺解), notas sobre Hatsubi Sanpō, en las que Mostró en detalle el proceso de eliminación utilizando símbolos algebraicos.

El efecto de la introducción del nuevo simbolismo no se limitó al álgebra. Con él, los matemáticos de esa época pudieron expresar resultados matemáticos de una manera más general y abstracta. Se concentraron en el estudio de la eliminación de variables.

Teoría de la eliminación

En 1683, Seki siguió adelante con la teoría de la eliminación, basada en las resultantes, en el Kaifukudai no Hō (解伏題之法). Para expresar la resultante, desarrolló la noción de determinante. Mientras que en su manuscrito la fórmula para matrices 5×5 es obviamente incorrecta, siendo siempre 0, en su publicación posterior, Taisei Sankei (大成算経), escrita en 1683-1710 con Katahiro Takebe (建部 賢弘) y sus hermanos, aparece una fórmula correcta y general (la fórmula de Laplace para el determinante).

A Tanaka se le ocurrió la misma idea de forma independiente. Una indicación apareció en su libro de 1678: algunas de las ecuaciones después de la eliminación son iguales a la resultante. En Sanpō Funkai (算法紛解) (¿1690?), describió explícitamente el resultado y lo aplicó a varios problemas. En 1690, Izeki Tomotoki (井関 知辰)< /span>, un matemático activo en Osaka pero no en la escuela de Hashimoto, publicó Sanpō Hakki (算法発揮), en el que dio la resultante y la fórmula de determinante de Laplace para la n×n caso. Las relaciones entre estas obras no están claras. Seki desarrolló sus matemáticas compitiendo con matemáticos en Osaka y Kioto, en el centro cultural de Japón.

En comparación con las matemáticas europeas, el primer manuscrito de Seki data del primer comentario de Leibniz sobre el tema, que trataba matrices sólo hasta el caso 3x3. El tema quedó olvidado en Occidente hasta que Gabriel Cramer en 1750 llegó a él por las mismas motivaciones. La teoría de la eliminación equivalente a la forma wasan fue redescubierta por Étienne Bézout en 1764. La fórmula de Laplace no se estableció antes de 1750.

Con la teoría de la eliminación en la mano, gran parte de los problemas tratados en la época de Seki se volvieron solucionables en principio, dada la tradición china de la geometría casi reducida al álgebra. En la práctica, el método podría fracasar ante una enorme complejidad computacional. Sin embargo, esta teoría tuvo una influencia significativa en la dirección del desarrollo del wasan. Una vez completada la eliminación, queda encontrar numéricamente las raíces reales de una ecuación de una sola variable. El método de Horner, aunque bien conocido en China, no se transmitió a Japón en su forma final. Entonces Seki tuvo que resolverlo solo de forma independiente. A veces se le atribuye el método de Horner, que no es históricamente correcto. También sugirió una mejora al método de Horner: omitir términos de orden superior después de algunas iteraciones. Esta práctica resulta ser la misma que la del método Newton-Raphson, pero con una perspectiva completamente diferente. Ni él ni sus alumnos tenían, estrictamente hablando, la idea de derivada.

Seki también estudió las propiedades de las ecuaciones algebraicas para ayudar en la solución numérica. Las más notables son las condiciones para la existencia de raíces múltiples basadas en el discriminante, que es la resultante de un polinomio y su "derivada": su definición práctica de "derivada" era el término O(h) en f(x + h), que se calculaba mediante el binomio teorema.

Obtuvo algunas evaluaciones del número de raíces reales de una ecuación polinómica.

Cálculo de pi

Otro de los aportes de Seki fue la rectificación del círculo, es decir, el cálculo de pi; obtuvo un valor de π correcto hasta el décimo decimal, utilizando lo que ahora se llama el proceso delta cuadrado de Aitken, redescubierto en el siglo XX por Alexander Aitken.

Legado

El asteroide 7483 Sekitakakazu lleva el nombre de Seki Takakazu.

Obras seleccionadas

En una descripción estadística derivada de escritos de Seki Takakazu y sobre ellos, OCLC/WorldCat abarca aproximadamente más de 50 obras en más de 50 publicaciones en tres idiomas y más de 100 fondos bibliotecarios.

• 1683 – Kenpu no Hō ()驗符) OCLC 045626660
• 1712 – Katsuyō Sanpō ()♫) OCLC 049703813
• Seki Takakazu Zenshū ()Presión) OCLC 006343391, obras recolectadas

Galería

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  Seki en un sello de 1992, tomado de un dibujo de tinta Edo era

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  Monumento a Seki, con esqueleto y estatua

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  El marcador de Seki fuera del templo Jyōrin-ji en Tokio