Segundo momento del área.

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Construcción matemática en ingeniería

El segundo momento de áreao segundo lugaro quadratic moment of area y también conocido como zona momento de inercia, es una propiedad geométrica de un área que refleja cómo se distribuyen sus puntos con respecto a un eje arbitrario. El segundo momento de la zona es típicamente denotado con ${displaystyle I}$ (para un eje que se encuentra en el plano de la zona) o con un ${displaystyle J}$ (para un eje perpendicular al plano). En ambos casos, se calcula con una integral múltiple sobre el objeto en cuestión. Su dimensión es L (duración) al cuarto poder. Su unidad de dimensión, cuando trabaja con el Sistema Internacional de Unidades, es metros a la cuarta potencia, m⁴, o pulgadas al cuarto poder, en⁴, al trabajar en el Sistema Imperial de Unidades o en el sistema consuetudinario estadounidense.

En ingeniería estructural, el segundo momento del área de una viga es una propiedad importante que se utiliza en el cálculo de la deflexión de la viga y el cálculo de la tensión causada por un momento aplicado a la viga. Para maximizar el segundo momento de área, una gran fracción del área de la sección transversal de una viga en I se ubica a la distancia máxima posible del centroide de la sección transversal de la viga en I. El segundo momento de área plano proporciona información sobre la resistencia de una viga a la flexión debido a un momento, fuerza o carga distribuida perpendicular a su eje neutro, en función de su forma. El segundo momento polar de área proporciona información sobre la resistencia de una viga a la deflexión torsional, debido a un momento aplicado paralelo a su sección transversal, en función de su forma.

Distintas disciplinas utilizan el término momento de inercia (MOI) para referirse a diferentes momentos. Puede referirse a cualquiera de los planar segundo momento de área (a menudo ${textstyle I_{x}=iint _{R}y^{2},dA}$ o ${textstyle I_{y}=iint _{R}x^{2},dA,}$ con respecto a algún plano de referencia), o polar segundo momento de área ( ${textstyle I=iint _{R}r^{2},dA}$ , donde r es la distancia a algún eje de referencia). En cada caso la integral está sobre todos los elementos infinitesimal de zona, dA, en una sección bidimensional. En física, momento de inercia es estrictamente el segundo momento de masa con respecto a la distancia de un eje: ${textstyle I=int _{Q}r^{2}dm}$ , donde r es la distancia a algún eje de rotación potencial, y la integral está sobre todos los elementos infinitesimal de masa, ♪, en un espacio tridimensional ocupado por un objeto $Q$ . El MOI, en este sentido, es el análogo de la masa para problemas de rotación. En ingeniería (especialmente mecánica y civil), momento de inercia comúnmente se refiere al segundo momento de la zona.

Definición

El segundo momento de la zona para una forma arbitraria $R$ con respecto a un eje arbitrario ${displaystyle BB'}$ () ${displaystyle BB'}$ axis no se dibuja en la imagen adyacente; es un coplanar de eje con x y Sí. ejes y es perpendicular al segmento de línea ${displaystyle rho }$ ) se define como

{displaystyle J_{BB'}=iint _{R}{rho }^{2},dA}

${displaystyle dA}$ es el elemento de área infinitesimal, y
${displaystyle rho }$ es la distancia de ${displaystyle BB'}$ Axis.

Por ejemplo, cuando el eje de referencia deseado es el eje x, el segundo momento del área ${displaystyle I_{xx}}$ (a menudo denotado como ${displaystyle I_{x}}$ ) se puede computar en coordenadas cartesianas como

{displaystyle I_{x}=iint _{R}y^{2},dx,dy}

El segundo momento del área es crucial en la teoría de vigas esbeltas de Euler-Bernoulli.

Momento del producto del área

De manera más general, el momento del producto del área se define como

{displaystyle I_{xy}=iint _{R}yx,dx,dy}

Teorema de los ejes paralelos

A veces es necesario calcular el segundo momento de la zona de una forma con respecto a una ${displaystyle x'}$ eje diferente al eje centralidal de la forma. Sin embargo, a menudo es más fácil derivar el segundo momento de la zona con respecto a su eje centralidal, ${displaystyle x}$ , y utilizar el eje paralelo teorema para derivar el segundo momento de área con respecto al ${displaystyle x'}$ Axis. El teorema de eje paralelo estados

{displaystyle I_{x'}=I_{x}+Ad^{2}}

${displaystyle A}$ es el área de la forma, y
${displaystyle d}$ es la distancia perpendicular entre ${displaystyle x}$ y ${displaystyle x'}$ ejes.

Una declaración similar se puede hacer sobre un ${displaystyle y'}$ axis y el centroidal paralelo ${displaystyle y}$ Axis. O, en general, cualquier centroidal ${displaystyle B}$ eje y paralelo ${displaystyle B'}$ Axis.

Teorema del eje perpendicular

Para la simplicidad del cálculo, a menudo se desea definir el momento polar de la zona (con respecto a un eje perpendicular) en términos de dos momentos de área de inercia (ambos con respecto a ejes en plano). El caso más simple se relaciona ${displaystyle J_{z}}$ a ${displaystyle I_{x}}$ y ${displaystyle I_{y}}$ .

{displaystyle J_{z}=iint _{R}rho ^{2},dA=iint _{R}left(x^{2}+y^{2}right)dA=iint _{R}x^{2},dA+iint _{R}y^{2},dA=I_{x}+I_{y}}

Esta relación se basa en el teorema pitagórico que se relaciona ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ a ${displaystyle rho }$ y en la linealidad de la integración.

Formas compuestas

Para áreas más complejas, suele ser más fácil dividir el área en una serie de áreas "más simples". formas. El segundo momento de área para toda la forma es la suma del segundo momento de áreas de todas sus partes alrededor de un eje común. Esto puede incluir formas que "faltan" (es decir, agujeros, formas huecas, etc.), en cuyo caso el segundo momento del área de la zona "faltante" Las áreas se restan, en lugar de sumar. En otras palabras, el segundo momento del área de "falta" Las piezas se consideran negativas para el método de formas compuestas.

Ejemplos

Ver lista de segundos momentos del área para otras formas.

Rectángulo con centroide en el origen

Considere un rectángulo con base ${displaystyle b}$ y altura ${displaystyle h}$ cuyo centroide se encuentra en el origen. ${displaystyle I_{x}}$ representa el segundo momento del área con respecto al eje x; ${displaystyle I_{y}}$ representa el segundo momento de área con respecto al eje y; ${displaystyle J_{z}}$ representa el momento polar de la inercia con respecto al eje z.

{displaystyle {begin{aligned}I_{x}&=iint _{R}y^{2},dA=int _{-{frac {b}{2}}}^{frac {b}{2}}int _{-{frac {h}{2}}}^{frac {h}{2}}y^{2},dy,dx=int _{-{frac {b}{2}}}^{frac {b}{2}}{frac {1}{3}}{frac {h^{3}}{4}},dx={frac {bh^{3}}{12}}\I_{y}&=iint _{R}x^{2},dA=int _{-{frac {b}{2}}}^{frac {b}{2}}int _{-{frac {h}{2}}}^{frac {h}{2}}x^{2},dy,dx=int _{-{frac {b}{2}}}^{frac {b}{2}}hx^{2},dx={frac {b^{3}h}{12}}end{aligned}}}

Usando el axis perpendicular teorema obtenemos el valor ${displaystyle J_{z}}$ .

{displaystyle J_{z}=I_{x}+I_{y}={frac {bh^{3}}{12}}+{frac {hb^{3}}{12}}={frac {bh}{12}}left(b^{2}+h^{2}right)}

Anillo centrado en el origen

Considere un annulus cuyo centro está en el origen, el radio exterior es ${displaystyle r_{2}}$ , y dentro del radio es ${displaystyle r_{1}}$ . Debido a la simetría del annulus, el centroide también se encuentra en el origen. Podemos determinar el momento polar de la inercia, ${displaystyle J_{z}}$ sobre el ${displaystyle z}$ axis por el método de formas compuestas. Este momento polar de la inercia equivale al momento polar de la inercia de un círculo con radio ${displaystyle r_{2}}$ menos el momento polar de la inercia de un círculo con radio ${displaystyle r_{1}}$ , ambos centrados en el origen. Primero, vamos a derivar el momento polar de la inercia de un círculo con radio ${displaystyle r}$ con respecto al origen. En este caso, es más fácil calcular directamente ${displaystyle J_{z}}$ como ya tenemos ${displaystyle r^{2}}$ , que tiene ambos ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ componente. En lugar de obtener el segundo momento de área de coordenadas cartesianas como se hace en la sección anterior, calcularemos ${displaystyle I_{x}}$ y ${displaystyle J_{z}}$ directamente usando coordenadas polares.

{displaystyle {begin{aligned}I_{x,{text{circle}}}&=iint _{R}y^{2},dA=iint _{R}left(rsin {theta }right)^{2},dA=int _{0}^{2pi }int _{0}^{r}left(rsin {theta }right)^{2}left(r,dr,dtheta right)\&=int _{0}^{2pi }int _{0}^{r}r^{3}sin ^{2}{theta },dr,dtheta =int _{0}^{2pi }{frac {r^{4}sin ^{2}{theta }}{4}},dtheta ={frac {pi }{4}}r^{4}\J_{z,{text{circle}}}&=iint _{R}r^{2},dA=int _{0}^{2pi }int _{0}^{r}r^{2}left(r,dr,dtheta right)=int _{0}^{2pi }int _{0}^{r}r^{3},dr,dtheta \&=int _{0}^{2pi }{frac {r^{4}}{4}},dtheta ={frac {pi }{2}}r^{4}end{aligned}}}

Ahora, el momento polar de la inercia sobre el ${displaystyle z}$ axis for annulus es simplemente, como se indicó anteriormente, la diferencia de los segundos momentos del área de un círculo con radio ${displaystyle r_{2}}$ y un círculo con radio ${displaystyle r_{1}}$ .

{displaystyle J_{z}=J_{z,r_{2}}-J_{z,r_{1}}={frac {pi }{2}}r_{2}^{4}-{frac {pi }{2}}r_{1}^{4}={frac {pi }{2}}left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}right)}

Alternativamente, podríamos cambiar los límites de los ${displaystyle dr}$ integral la primera vez alrededor para reflejar el hecho de que hay un agujero. Esto se haría así.

{displaystyle {begin{aligned}J_{z}&=iint _{R}r^{2},dA=int _{0}^{2pi }int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{2}left(r,dr,dtheta right)=int _{0}^{2pi }int _{r_{1}}^{r_{2}}r^{3},dr,dtheta \&=int _{0}^{2pi }left[{frac {r_{2}^{4}}{4}}-{frac {r_{1}^{4}}{4}}right],dtheta ={frac {pi }{2}}left(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}right)end{aligned}}}

Cualquier polígono

El segundo momento del área con respecto al origen de cualquier polígono simple en el plano XY se puede calcular en general sumando las contribuciones de cada segmento del polígono después de dividir el área en un conjunto de triángulos. Esta fórmula está relacionada con la fórmula del cordón de los zapatos y puede considerarse un caso especial del teorema de Green.

Se supone que un polígono tiene ${displaystyle n}$ vertices, numerados en forma contrapuesta. Si los vértices poligonales son numerados en sentido de reloj, los valores devueltos serán negativos, pero los valores absolutos serán correctos.

{displaystyle {begin{aligned}I_{y}&={frac {1}{12}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}right)left(x_{i}^{2}+x_{i}x_{i+1}+x_{i+1}^{2}right)\I_{x}&={frac {1}{12}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}right)left(y_{i}^{2}+y_{i}y_{i+1}+y_{i+1}^{2}right)\I_{xy}&={frac {1}{24}}sum _{i=1}^{n}left(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i}right)left(x_{i}y_{i+1}+2x_{i}y_{i}+2x_{i+1}y_{i+1}+x_{i+1}y_{i}right)end{aligned}}}

Donde ${displaystyle x_{i},y_{i}}$ son las coordenadas de las ${displaystyle i}$ - el vértice de polígono, para ${displaystyle 1leq ileq n}$ . También, ${displaystyle x_{n+1},y_{n+1}}$ se supone que son iguales a las coordenadas del primer vértice, es decir, ${displaystyle x_{n+1}=x_{1}}$ y ${displaystyle y_{n+1}=y_{1}}$ .

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