Sedenión

En álgebra abstracta, los sedeniones forman un álgebra no conmutativa y no asociativa de 16 dimensiones sobre los números reales; se obtienen aplicando la construcción de Cayley-Dickson a los octoniones y, como tales, los octoniones son isomorfos a una subálgebra de los sedeniones. A diferencia de los octoniones, los sedeniones no son un álgebra alternativa. La aplicación de la construcción de Cayley-Dickson a los sedeniones produce un álgebra de 32 dimensiones, a veces llamada 32-iones o trigintaduoniones. Es posible continuar aplicando la construcción de Cayley-Dickson arbitrariamente muchas veces.

El término sedenión también se usa para otras estructuras algebraicas de 16 dimensiones, como un producto tensorial de dos copias de los bicuaterniones, o el álgebra de matrices de 4 × 4 sobre los números reales, o la estudiada por Smith (1995).

Aritmética

Una visualización de una extensión 4D a la octonión cúbica, mostrando los 35 tríos como hiperplanos a través de la real ${displaystyle (e_{0})}$ vértice del ejemplo de sedenión dado. Tenga en cuenta que la única excepción es que el triple ${displaystyle (e_{1})}$, ${displaystyle (e_{2})}$, ${displaystyle (e_{3})}$ no forma un hiperplano con ${displaystyle (e_{0})}$.

Como las octoniones, la multiplicación de sedeniones no es ni comunicativa ni asociativa. Pero a diferencia de las octoniones, las sedeniones ni siquiera tienen la propiedad de ser alternativa. Ellos tienen, sin embargo, la propiedad de la asociación de poder, que se puede decir como eso, para cualquier elemento x de ${displaystyle mathbb {S}$, el poder ${displaystyle x^{n}$ está bien definido. También son flexibles.

Cada sedenión es una combinación lineal de las sedeniones de la unidad ${displaystyle E_{0}$, ${displaystyle E_{1}$, ${displaystyle E_{2}$, ${displaystyle E_{3}$,... ${displaystyle e_{15}$, que forman una base del espacio vectorial de sedeniones. Cada sedenión puede ser representado en la forma

${displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+cdots +x_{14}e_{14}+x_{15}e_{15}$

La suma y la resta se definen por la suma y resta de los coeficientes correspondientes y la multiplicación es distributiva sobre la suma.

Como otros álgebras basados en la construcción Cayley-Dickson, los sedeniones contienen el álgebra de la que fueron construidos. Por lo tanto, contienen las octoniones (generadas por ${displaystyle E_{0}$ a ${displaystyle E_{7}$ en el cuadro que figura a continuación) y, por consiguiente, también las quaterniones (generadas por ${displaystyle E_{0}$ a ${displaystyle E_{3}$), números complejos (generados por ${displaystyle E_{0}$ y ${displaystyle E_{1}$) y números reales (generados por ${displaystyle E_{0}$).

Las sedeniones tienen un elemento de identidad multiplicativo ${displaystyle E_{0}$ y los inversos multiplicativos, pero no son un álgebra de división porque tienen cero divisores. Esto significa que dos sedeniones no cero se pueden multiplicar para obtener cero: un ejemplo es ${displaystyle (e_{3}+e_{10})(e_{6}-e_{15}$. Todos los sistemas de números hipercomplex después de sedeniones que se basan en la construcción Cayley-Dickson también contienen divisores cero.

A continuación se muestra una tabla de multiplicación de sedeniones:

${displaystyle E_{i}e_{j}$		${displaystyle E_{j}$
		${displaystyle E_{0}$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle e_{15}$
${displaystyle E_{i}$	${displaystyle E_{0}$	${displaystyle E_{0}$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle e_{15}$
	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{7}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle -e_{13}$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle - ¿Qué?$
	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{5}$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{13}$
	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle -e_{13}$	${displaystyle e_{12}$
	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle - E_{5}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{7}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$
	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle - E_{7}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle - E_{12}$	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle - ¿Qué?$
	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle - E_{5}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{12}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{9}$
	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle -e_{13}$	${displaystyle - E_{12}$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$
	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{12}$	${displaystyle -e_{13}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle E_{7}$
	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle -e_{13}$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle - E_{5}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle - ¿Qué?$
	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{7}$	${displaystyle E_{4}$	${displaystyle E_{5}$
	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle -e_{13}$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{7}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle - E_{5}$	${displaystyle E_{4}$
	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{12}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$
	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle - E_{12}$	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{5}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{7}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{1}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle - ¿Qué?$
	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{12}$	${displaystyle e_{13}$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle E_{9}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - E_{7}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{5}$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{1}$
	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle e_{15}$	${displaystyle e_{14}$	${displaystyle -e_{13}$	${displaystyle - E_{12}$	${displaystyle e_{11}$	${displaystyle e_{10}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{8}$	${displaystyle - E_{7}$	${displaystyle E_{6}$	${displaystyle - E_{5}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle E_{3}$	${displaystyle E_{2}$	${displaystyle - ¿Qué?$	${displaystyle - ¿Qué?$

Propiedades de Sedenion

De la tabla anterior, podemos ver que:

${displaystyle ¿Qué?$

${displaystyle ¿Qué?$ y

${displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{i},,{text{for},,ineq j,,,{text{with},, i,jneq 0}$

Antiasociativo

Las sedeniones no son totalmente anti-asociativas. Elija cuatro generadores, ${displaystyle i,j,k}$ y ${displaystyle l}$. El siguiente 5 ciclo muestra que estas cinco relaciones no pueden ser todas antiasociativas.

$${displaystyle (ij)(kl)=-(ij)k)l=(i(jk)))l=-i(jk)l)=i(j(kl))=-(ij)=0}$$

En particular, en el cuadro anterior, utilizando ${displaystyle E_{1},e_{2},e_{4}$ y ${displaystyle E_{8}$ la última expresión asocia. ${displaystyle (e_{1}e_{2})e_{12}=e_{1}(e_{2}e_{12})=-e_{15}$

Subálgebras cuaterniónicas

Las 35 tríadas que componen esta tabla de multiplicar sedenión específica con las 7 tríadas de octoniones utilizadas para crear el sedenión a través de la construcción de Cayley-Dickson que se muestran en negrita:

Las representaciones binarias de los índices de estos triples bit a bit XOR a 0.

{ {1, 2, 3}, {1, 4, 5}, {1, 7, 6}, { 1, 8, 9}, {1, 11, 10}, {1, 13, 12}, {1, 14, 15},
{2, 4, 6}, {2, 5, 7}, {2, 8, 10}, {2, 9, 11}, {2, 14, 12}, {2, 15, 13}, {3, 4, 7},
{3, 6, 5}, {3, 8, 11}, {3, 10, 9}, {3, 13, 14}, {3, 15, 12}, {4, 8, 12}, {4, 9, 13},
{4, 10, 14}, {4, 11, 15}, {5, 8, 13}, {5, 10, 15}, {5, 12, 9}, {5, 14, 11}, {6, 8, 14},
{6, 11, 13}, {6, 12, 10}, {6, 15, 9}, {7, 8, 15}, {7, 9, 14}, {7, 12, 11}, {7, 13, 10} }

La lista de 84 conjuntos de cero divisores ${displaystyle ¿Qué?$, donde ${displaystyle (e_{a}+e_{b})circ (e_{c}+e_{d}=0}$:

$${displaystyle {begin{c}{text{Sedenion Cero Divisores {e_{a},e_{b},e_{c},e_{d}\{text{where}~(e_{a}+e_{b})circ (e_{c}+e_{d})=0\{begin{array}{ccc}1leq aleq 6, implicac confianzaa, limit9leq bleq 159leq cleq 15 limitándose a 9geq dgeq {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Aplicaciones

Moreno (1998) demostró que el espacio de pares de sedeniones de norma uno que se multiplican a cero es homeomorfo a la forma compacta del excepcional grupo de Lie G2. (Tenga en cuenta que en su artículo, un 'divisor de cero' significa un par de elementos que se multiplican hasta cero).

Las redes neuronales de Sedenion proporcionan un medio de expresión eficiente y compacto en aplicaciones de aprendizaje automático y se han utilizado para resolver múltiples problemas de previsión de tráfico y series temporales.