Secuencia exacta

Ilustración de una secuencia exacta de grupos ${displaystyle G_{i}$ usando diagramas Venn. Cada grupo homomorfismo ${displaystyle G_{i-1}to G_{i}$ mapas ${displaystyle G_{i-1}$ al núcleo del próximo homomorfismo. Esto es representado por la reducción de los subgrupos de izquierda a derecha.

Una secuencia exacta es una secuencia de morfismos entre objetos (por ejemplo, grupos, anillos, módulos y, más generalmente, objetos de una categoría abeliana) tal que la imagen de un morfismo es igual a la núcleo del siguiente.

Definición

En el contexto de la teoría de grupos, una secuencia

${displaystyle G_{0};{xrightarrow { f_{1} };G_{1};{xrightarrow { f_{2} };G_{2};{xrightarrow { f_{3} };cdots ;{xrightarrow { f_{n} };G_{n}$

de grupos y homomorfismos de grupo se dice que exacta a ${displaystyle G_{i}$ si ${displaystyle operatorname {im} (f_{i})=ker(f_{i+1}$. La secuencia se llama exacta si es exacto en cada uno ${displaystyle G_{i}$ para todos ${displaystyle 1leq I didn't}$, es decir, si la imagen de cada homomorfismo es igual al núcleo del siguiente.

La secuencia de grupos y homomorfismos puede ser finita o infinita.

Se puede hacer una definición similar para otras estructuras algebraicas. Por ejemplo, se podría tener una secuencia exacta de espacios vectoriales y aplicaciones lineales, o de módulos y homomorfismos de módulos. De forma más general, la noción de secuencia exacta tiene sentido en cualquier categoría con núcleos y conúcleos, y más especialmente en las categorías abelianas, donde se utiliza ampliamente.

Casos simples

Para entender la definición, es útil considerar casos relativamente simples donde la secuencia es de homomorfismos de grupo, es finita y comienza o termina con el grupo trivial. Tradicionalmente, esto, junto con el elemento de identidad único, se denota 0 (notación aditiva, generalmente cuando los grupos son abelianos), o se denota 1 (notación multiplicativa).

• Considere la secuencia 0 → A → B. La imagen del mapa más izquierdo es 0. Por lo tanto la secuencia es exacta si y sólo si el mapa más adecuado (de A a B) tiene núcleo {0}; es decir, si y sólo si ese mapa es un monomorfismo (inyector, o uno a uno).
• Considere la secuencia dual B → C → 0. El núcleo del mapa más adecuado es C. Por lo tanto la secuencia es exacta si y sólo si la imagen del mapa más izquierdo (de B a C) es todo de C; es decir, si y sólo si ese mapa es un epimorfismo (surjetivo, o sobre).
• Por lo tanto, la secuencia 0 → X → Y → 0 es exacto si y sólo si el mapa X a Y es un monomorfismo y epimorfismo (es decir, un bimorfismo), y por lo general un isomorfismo de X a Y (esto siempre se mantiene en categorías exactas como Set).

Secuencia exacta corta

Las sucesiones exactas cortas son sucesiones exactas de la forma

${displaystyle 0to Axrightarrow {f} Bxrightarrow {g} Cto 0.}$

Como se estableció anteriormente, para cualquier secuencia exacta corta, f es un monomorfismo y g es un epimorfismo. Además, la imagen de f es igual al kernel de g. Es útil pensar en A como un subobjeto de B con f incrustando A en B, y de C como el correspondiente objeto factor (o cociente), B/A, con g inducir un isomorfismo

${displaystyle Ccong B/operatorname {im} (f)=B/operatorname {ker} (g)}$

La sucesión exacta corta

${displaystyle 0to Axrightarrow {f} Bxrightarrow {g} Cto 0,}$

se llama split si existe un homomorfismo h: C → B tal que la composición g ∘ h es el mapa de identidad en C. Se sigue que si estos son grupos abelianos, B es isomorfo a la suma directa de A y C:

${displaystyle Bcong Aoplus C.}$

Secuencia exacta larga

Una secuencia exacta general a veces se denomina secuencia exacta larga, para distinguirla del caso especial de una secuencia exacta corta.

Una sucesión exacta larga es equivalente a una familia de sucesiones exactas cortas en el siguiente sentido: Dada una sucesión larga

${displaystyle A_{0};xrightarrow { f_{1};A_{1};xrightarrow { f_{2} } ;A_{2};xrightarrow { f_{3} } ;cdots ;xrightarrow { f_{n} }\;A_{n}}}\\\\\\\\\\\cH00}\c}c}c}\\cH00}c}cH00}cH00}\ccH00}cH00}c}c}\cH00}\cH00}cH00}c}cH00}ccH00ccH00}\cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}c}cH00}c}c}$1)

con n ≥ 2, podemos dividirlo en secuencias cortas

${displaystyle {begin{aligned}0rightarrow K_{1}derecho {fnMicrosoft Sans Serif} K_{2}derecha 0,$