Función inversa

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Concepto matemático

Una función

f

y su inverso

f -1

. Porque...

f

mapas

a

a 3, el inverso

f -1

mapas 3 volver a

a

En matemáticas, la función inversa de una función $f$ (también llamado el inverso de $f$ ) es una función que deshacer la operación de $f$ . El inverso de $f$ existe si $f$ es bijetivo, y si existe, es denotado por ${displaystyle f^{-1}.}$

Para una función $fcolon Xto Y$ , su inverso ${displaystyle f^{-1}colon Yto X}$ admite una descripción explícita: envía cada elemento $yin Y$ al elemento único $xin X$ tales que $f () x) Sí.$ .

Como ejemplo, considere la función de valor real de una variable real dada por $f () x) = 5 x 7 -$ . Uno puede pensar en $f$ como la función que multiplica su entrada en 5 entonces resta 7 del resultado. Para deshacer esto, uno añade 7 a la entrada, luego divide el resultado por 5. Por lo tanto, el inverso de $f$ es la función ${displaystyle f^{-1}colon mathbb {R} to mathbb {R} }$ definidas por ${displaystyle f^{-1}(y)={frac {y+7}{5}}.}$

Definiciones

f

mapas

X

Y

, entonces

f -1

mapas

Y

volver a

X

Vamos $f$ ser una función cuyo dominio es el conjunto $X$ , y cuyo codominio es el conjunto $Y$ . Entonces... $f$ es invertible si existe una función $g$ desde $Y$ a $X$ tales que ${displaystyle g(f(x))=x}$ para todos $xin X$ y ${displaystyle f(g(y))=y}$ para todos $yin Y$ .

Si $f$ es invertible, entonces hay exactamente una función $g$ satisfaciendo esta propiedad. La función $g$ se denomina inversa de $f$ , y generalmente se denota como $f -1$ , una notación introducida por John Frederick William Herschel en 1813.

La función $f$ es invertible si y sólo si es bijetivo. Esto es porque la condición ${displaystyle g(f(x))=x}$ para todos $xin X$ implica que $f$ es inyectable, y la condición ${displaystyle f(g(y))=y}$ para todos $yin Y$ implica que $f$ es subjetivo.

La función inversa $f -1$ a $f$ se puede describir explícitamente como la función

{displaystyle f^{-1}(y)=({text{the unique element }}xin X{text{ such that }}f(x)=y)}

Inversas y composición

(feminine)

Recuerde que si $f$ es una función invertible con dominio $X$ y el codominio $Y$ , luego

{displaystyle f^{-1}left(f(x)right)=x}

, por cada

xin X

{displaystyle fleft(f^{-1}(y)right)=y}

para todos

{displaystyle yin Y}

Usando la composición de funciones, esta afirmación se puede reescribir en las siguientes ecuaciones entre funciones:

{displaystyle f^{-1}circ f=operatorname {id} _{X}}

{displaystyle fcirc f^{-1}=operatorname {id} _{Y},}

donde $id X$ es la función de identidad en el conjunto $X$ ; es decir, la función que deja su argumento sin cambios. En la teoría de categorías, esta declaración se usa como la definición de un morfismo inverso.

Tener en cuenta la composición de funciones ayuda a comprender la notación $f -1$ . La composición repetida de una función $f : X \to X$ consigo misma se llama iteración. Si $f$ se aplica $n$ veces, comenzando con el valor $x$ , entonces esto se escribe como $f n (x)$ ; entonces $f 2 (x) = f (f (x))$ , etc. Dado que $f -1 (f (x)) = x$ , componiendo $f -1$ y $f n$ produce $f n -1$ , "deshacer" el efecto de una aplicación de $f$ .

Notación

Mientras que la notación $f -1 () x)$ podría ser mal entendido, $() f () x) -1$ ciertamente denota el inverso multiplicativo de $f () x)$ y no tiene nada que ver con la función inversa $f$ . La notación ${displaystyle f^{langle -1rangle }}$ puede ser utilizado para la función inversa para evitar la ambigüedad con la inversa multiplicativa.

De acuerdo con la notación general, algunos autores ingleses utilizan expresiones como $pecado -1 () x)$ para denotar el inverso de la función sine aplicada a $x$ (realmente un inverso parcial; véase abajo). Otros autores sienten que esto puede confundirse con la notación de la inversa multiplicativa $pecado x)$ , que se puede denotar como $(sin) x) -1$ . Para evitar cualquier confusión, una función trigonométrica inversa suele ser indicada por el prefijo "arc" (para latín) arcus). Por ejemplo, el inverso de la función sine se llama típicamente la función arcsina, escrita como $arcsin(a) x)$ . Del mismo modo, el inverso de una función hiperbólica es indicado por el prefijo "ar" (para latín) ārea). Por ejemplo, el inverso de la función sine hiperbólica se escribe típicamente como $arsinh(x)$ . Tenga en cuenta que las expresiones como $pecado -1 () x)$ puede ser útil para distinguir el inverso multivalorado del inverso parcial: ${displaystyle sin ^{-1}(x)={(-1)^{k}arcsin(x)+pi n:nin mathbb {Z} }}$ . Otras funciones especiales inversas son a veces prefijadas con el prefijo "inv", si la ambigüedad de la $f -1$ Debe evitarse la notación.

Ejemplos

Funciones de raíz cuadrada y cuadrada

La función $f : R \to$ dado por $f () x) x 2$ no es inyectable porque ${displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ para todos ${displaystyle xin mathbb {R} }$ . Por lo tanto, $f$ no es invertible.

Si el dominio de la función está restringido a los reales no negativos, es decir, tomamos la función ${displaystyle fcolon [0,infty)to [0,infty); xmapsto x^{2}}$ con el mismo Regla como antes, entonces la función es bijetivista y así, invertible. La función inversa aquí se llama (positiva) función de raíz cuadrada y es denotado por ${displaystyle xmapsto {sqrt {x}}}$ .

Funciones inversas estándar

La siguiente tabla muestra varias funciones estándar y sus inversas:

Función $f () x)$	Inverso $f -1 () Sí.)$	Notas
$x + a$	$Sí. - a$
$a - x$	$a - Sí.$
$mx$	$Sí.$ / $m$	$m ل 0$
1/ $x$ (i.e. $x -1$ )	1/ $Sí.$ (i.e. $Sí. -1$ )	$x, Sí. ل 0$
$x 2$	${displaystyle {sqrt {y}}}$ (i.e. $Sí. 1/2$ )	$x, Sí. \geq 0$ sólo
$x3$	${displaystyle {sqrt[{3}]{y}}}$ (i.e. $Sí. 1/3$ )	ninguna restricción $x$ y $Sí.$
$x p$	${displaystyle {sqrt[{p}]{y}}}$ (i.e. $Sí. 1/ p$ )	$x, Sí. \geq 0$ si $p$ es incluso; entero $p ■ 0$
$2 x$	$lb Sí.$	$Sí. ■ 0$
$e x$	$In Sí.$	$Sí. ■ 0$
$10 x$	$log Sí.$	$Sí. ■ 0$
$a x$	$log a Sí.$	$Sí. ■ 0$ y $a ■ 0$
$x e x$	$W Sí.)$	$x \geq -1$ y $Sí. \geq -1/ e$
Funciones trigonométricas	funciones trigonométricas inversas	diversas restricciones (véase el cuadro infra)
funciones hiperbólicas	funciones hiperbólicas inversas	diversas restricciones

Fórmula para el inverso

Muchas funciones dadas por fórmulas algebraicas poseen una fórmula para su inverso. Esto es porque el inverso ${displaystyle f^{-1}}$ de una función invertible ${displaystyle fcolon mathbb {R} to mathbb {R} }$ tiene una descripción explícita

{displaystyle f^{-1}(y)=({text{the unique element }}xin mathbb {R} {text{ such that }}f(x)=y)}

Esto le permite a uno determinar fácilmente los inversos de muchas funciones dadas por fórmulas algebraicas. Por ejemplo, si $f$ es la función

f(x)=(2x+8)^{3}

entonces determinar ${displaystyle f^{-1}(y)}$ para un número real $Sí.$ , uno debe encontrar el número real único $x$ tales que $(22) x + 8) 3 = Sí.$ . Esta ecuación se puede resolver:

{begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\{sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\{sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\{dfrac {{sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.end{aligned}}

Así, la función inversa $f -1$ está dada por la fórmula

{displaystyle f^{-1}(y)={frac {{sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}

A veces, el inverso de una función no se puede expresar mediante una fórmula de forma cerrada. Por ejemplo, si $f$ es la función

f(x)=x-sin x,

entonces $f$ es una biyección, y por lo tanto posee una función inversa $f -1$ . La fórmula para este inverso tiene una expresión como una suma infinita:

{displaystyle f^{-1}(y)=sum _{n=1}^{infty }{frac {y^{n/3}}{n!}}lim _{theta to 0}left({frac {mathrm {d} ^{,n-1}}{mathrm {d} theta ^{,n-1}}}left({frac {theta }{sqrt[{3}]{theta -sin(theta)}}}right)^{n}right).}

Propiedades

Dado que una función es un tipo especial de relación binaria, muchas de las propiedades de una función inversa corresponden a propiedades de relaciones inversas.

Singularidad

Si existe una función inversa para una función determinada $f$ , entonces es única. Esto se debe a que la función inversa debe ser la relación inversa, que está completamente determinada por $f$ .

Simetría

Existe una simetría entre una función y su inversa. Específicamente, si $f$ es una función invertible con dominio $X$ y el codominio $Y$ , entonces su inverso $f -1$ tiene dominio $Y$ e imagen $X$ , y el inverso de $f -1$ es la función original $f$ . En símbolos, para funciones $f : X \to Y$ y $f -1 : Y \to X$ ,

{displaystyle f^{-1}circ f=operatorname {id} _{X}}

{displaystyle fcirc f^{-1}=operatorname {id} _{Y}.}

Esta afirmación es consecuencia de la implicación de que para que $f$ sea invertible, debe ser biyectiva. La naturaleza involutiva del inverso se puede expresar de manera concisa mediante

{displaystyle left(f^{-1}right)^{-1}=f.}

El inverso de

g \circ f

f -1 \circ g -1

La inversa de una composición de funciones viene dada por

{displaystyle (gcirc f)^{-1}=f^{-1}circ g^{-1}.}

Observe que el orden de $g$ y $f$ se han invertido; para deshacer $f$ seguido de $g$ , primero debemos deshacer $g$ , y luego deshacer $f$ .

Por ejemplo, sea $f (x) = 3 x$ y sea g(x) = x + 5. Entonces la composición $g \circ f$ es la función que primero multiplica por tres y luego suma cinco,

{displaystyle (gcirc f)(x)=3x+5.}

Para invertir este proceso, primero debemos restar cinco y luego dividir por tres,

{displaystyle (gcirc f)^{-1}(x)={tfrac {1}{3}}(x-5).}

Esta es la composición $(f -1 \circ g -1)(x)$ .

Auto-inversos

Si $X$ es un conjunto, entonces la función de identidad en $X$ es su propio inverso:

{displaystyle {operatorname {id} _{X}}^{-1}=operatorname {id} _{X}.}

Más generalmente, una función $f : X \to X$ es igual a su propia inversa, si y solo si la composición $f \circ f$ es igual a $id X$ . Tal función se llama involución.

Gráfica de la inversa

(feminine)

Los gráficos de

Sí. = f () x)

Sí. = f -1 () x)

. La línea de puntos es

Sí. = x

Si $f$ es invertible, entonces la gráfica de la función

y=f^{-1}(x)

es igual a la gráfica de la ecuación

x=f(y).

Esto es idéntico a la ecuación $y = f (x)$ que define el gráfico de $f$ , excepto que los roles de $x$ y $y$ se han invertido. Por lo tanto, el gráfico de $f -1$ se puede obtener del gráfico de $f$ cambiando las posiciones de $x$ y $y$ ejes. Esto es equivalente a reflejar el gráfico a través de la línea. $y = x$ .

Inversas y derivadas

El teorema de la función inversa establece que una función continua $f$ es invertible en su rango (imagen) si y solo si es ya sea estrictamente creciente o decreciente (sin máximos ni mínimos locales). Por ejemplo, la función

f(x)=x^{3}+x

es invertible, ya que la derivada $f' (x) = 3 x 2 + 1$ es siempre positivo.

Si la función $f$ es diferenciable en un intervalo $I$ y $f' (x) \neq 0$ para cada $x \in I$ , entonces el inverso $f -1$ es diferenciable en $f (I)$ . Si $y = f (x)$ , la derivada de la inversa viene dada por la teorema de la función inversa,

{displaystyle left(f^{-1}right)^{prime }(y)={frac {1}{f'left(xright)}}.}

Usando la notación de Leibniz, la fórmula anterior se puede escribir como

{displaystyle {frac {dx}{dy}}={frac {1}{dy/dx}}.}

Este resultado se sigue de la regla de la cadena (ver el artículo sobre funciones inversas y diferenciación).

El teorema de la función inversa se puede generalizar a funciones de varias variables. Específicamente, una función multivariable diferenciable $f : R n \to R n$ es invertible en una vecindad de un punto $p$ mientras la matriz jacobiana de $f$ en $p$ es invertible. En este caso, el jacobiano de $f -1$ en $f (p)$ es la matriz inversa del jacobiano de $f$ en $p$ .

Ejemplos del mundo real

Vamos $f$ ser la función que convierte una temperatura en grados Celsius a una temperatura en grados Fahrenheit, ${displaystyle F=f(C)={tfrac {9}{5}}C+32;}$ entonces su función inversa convierte grados Fahrenheit a grados Celsius, ${displaystyle C=f^{-1}(F)={tfrac {5}{9}}(F-32),}$ desde entonces ${displaystyle {begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}left({tfrac {9}{5}}C+32right)={tfrac {5}{9}}left(({tfrac {9}{5}}C+32)-32right)=C,\&{text{for every value of }}C,{text{ and }}\[6pt]fleft(f^{-1}(F)right)={}&fleft({tfrac {5}{9}}(F-32)right)={tfrac {9}{5}}left({tfrac {5}{9}}(F-32)right)+32=F,\&{text{for every value of }}F.end{aligned}}}$
Suppose $f$ asigna a cada niño en una familia su año de nacimiento. Una función inversa produciría qué niño nació en un año determinado. Sin embargo, si la familia tiene hijos nacidos en el mismo año (por ejemplo, gemelos o trillizos, etc.) entonces la producción no puede ser conocida cuando la entrada es el año de nacimiento común. Además, si se da un año en el que ningún niño nació, entonces no se puede nombrar a un niño. Pero si cada niño nació en un año separado, y si restringimos la atención a los tres años en que nació un niño, entonces tenemos una función inversa. Por ejemplo, ${displaystyle {begin{aligned}f({text{Allan}})&=2005,quad &f({text{Brad}})&=2007,quad &f({text{Cary}})&=2001\f^{-1}(2005)&={text{Allan}},quad &f^{-1}(2007)&={text{Brad}},quad &f^{-1}(2001)&={text{Cary}}end{aligned}}}$
Vamos $R$ ser la función que conduce a un $x$ porcentaje de aumento de cierta cantidad, y $F$ ser la función que produce $x$ porcentaje de caída. Aplicado a $100 con $x$ = 10%, encontramos que la aplicación de la primera función seguida por la segunda no restaura el valor original de $100, demostrando el hecho de que, a pesar de las apariencias, estas dos funciones no son inversas entre sí.
La fórmula para calcular el pH de una solución es $pH = -log 10 [HH +]$ . En muchos casos necesitamos encontrar la concentración de ácido a partir de una medición de pH. La función inversa $[HH + = 10 -pH$ se utiliza.

Generalizaciones

Inversos parciales

La raíz cuadrada

x

es un inverso parcial

f () x) x 2

Incluso si una función $f$ no es uno a uno, es posible definir un parcial inversa de $f$ restringiendo el dominio. Por ejemplo, la función

f(x)=x^{2}

no es uno a uno, ya que $x 2 = (- x) 2$ . Sin embargo, la función se convierte en uno a uno si restringimos al dominio $x \geq 0$ , en cuyo caso

f^{-1}(y)={sqrt {y}}.

(Si en cambio restringimos al dominio $x \leq 0$ , entonces el inverso es el negativo de la raíz cuadrada de $y$ .) Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si estamos contentos con que el inverso sea una función multivaluada:

f^{-1}(y)=pm {sqrt {y}}.

El inverso de esta función cúbica tiene tres ramas.

A veces, este inverso multivaluado se denomina inverso completo de $f$ , y las porciones (como √ $x$ y −√ $x$ ) se denominan ramas. La rama más importante de una función multivaluada (por ejemplo, la raíz cuadrada positiva) se denomina rama principal y su valor se encuentra en $y$ se llama el valor principal de $f -1 (y)$ .

Para una función continua en la línea real, se requiere una rama entre cada par de extremos locales. Por ejemplo, el inverso de una función cúbica con un máximo local y un mínimo local tiene tres ramas (ver la imagen adyacente).

El arcsine es un inverso parcial de la función sine.

Estas consideraciones son particularmente importantes para definir las inversas de las funciones trigonométricas. Por ejemplo, la función seno no es uno a uno, ya que

sin(x+2pi)=sin(x)

para cada $x$ real (y más generalmente $sin(x + 2 π n) = sin(x)$ para cada entero $n$ ). Sin embargo, el seno es uno a uno en el intervalo $[- π / 2, π / 2]$ , y la inversa parcial correspondiente se llama arcoseno. Esta se considera la rama principal del seno inverso, por lo que el valor principal del seno inverso siempre está entre − $π$ /2 y $π$ /2. La siguiente tabla describe la rama principal de cada función trigonométrica inversa:

función	Rango de valor principal habitual
arcsin	$- π / 2 \leq pecado -1 () x \leq π / 2$
arccos	$0 \leq -1 () x \leq π$
arctan	$- π / 2 Tan -1 () x) π / 2$
arccot	$0 cot -1 () x) π$
arcsec	$0 \leq sec -1 () x \leq π$
arccsc	$- π / 2 \leq csc -1 () x \leq π / 2$

Inversos izquierdo y derecho

La composición de funciones a la izquierda ya la derecha no tiene por qué coincidir. En general, las condiciones

"Existe $g$ tales que $g () f () x)= x$ "y
"Existe $g$ tales que $f () g () x)= x$ "

implica diferentes propiedades de $f$ . Por ejemplo, sea $f : R \to [0, \infty)$ denota el mapa de cuadratura, tal que $f (x) = x 2$ para todos los $x$ en $R$ , y vamos a $g : [0, \infty) \to R$ indican el mapa de raíz cuadrada, tal que $g (x) =$ √x para todos los $x \geq 0$ . Entonces $f (g (x)) = x$ para todos los $x$ en $[0, \infty)$ ; es decir, $g$ es un derecho inverso de $f$ . Sin embargo, $g$ no es un inverso izquierdo de $f$ , ya que, por ejemplo, $g (f (-1)) = 1 \neq -1$ .

Inversos a la izquierda

Si $f : X \to Y$ , una izquierda inversa para $f$ (o retracción de $f$ ) es una función $g : Y \to X$ tal que componer $f$ con $g$ desde la izquierda da la función de identidad

{displaystyle gcirc f=operatorname {id} _{X}{text{.}}}

g

f () x)= Sí.

, entonces

g () Sí.)= x

La función $g$ debe ser igual a la inversa de $f$ en la imagen de $f$ , pero puede tomar cualquier valor para los elementos de $Y$ no en la imagen.

Una función $f$ con dominio no vacío es inyectiva si y solo si tiene inversa a la izquierda. Una demostración elemental es la siguiente:

Si $g$ es el inverso izquierdo $f$ , y $f () x) f () Sí.)$ , entonces $g () f () x) = g () f () Sí.) = x = Sí.$ .
If nonempty $f : X \to Y$ es inyectable, construir un inverso izquierdo $g : Y \to X$ como sigue: para todos $Sí. ▪ Y$ , si $Sí.$ está en la imagen de $f$ , entonces existe $x ▪ X$ tales que $f () x) Sí.$ . Vamos $g () Sí.) x$ ; esta definición es única porque $f$ es inyectable. De lo contrario, déjalo $g () Sí.)$ ser un elemento arbitrario $X$ .
Para todos $x ▪ X$ , $f () x)$ está en la imagen de $f$ . Por construcción, $g () f () x) = x$ , la condición para un inverso izquierdo.

En matemáticas clásicas, cada función inyectiva $f$ con un dominio no vacío necesariamente tiene una inversa izquierda; sin embargo, esto puede fallar en matemáticas constructivas. Por ejemplo, un inverso a la izquierda de la inclusión ${0,1} \to R$ del conjunto de dos elementos en los reales viola la indescomponibilidad al dar una retracción de la línea real al conjunto ${0,1}$ .

Inversos a la derecha

Ejemplo derecho inverso con función no inyectable, subjetiva

Una derecha inversa para $f$ (o sección de $f$ ) es una función $h : Y \to X$ tal que

{displaystyle fcirc h=operatorname {id} _{Y}.}

Es decir, la función $h$ cumple la regla

displaystyle h(y)=x

, entonces

{displaystyle displaystyle f(x)=y.}

Por lo tanto, $h (y)$ puede ser cualquiera de los elementos de $X$ que se asignan a $y$ en $f$ .

Una función $f$ tiene inversa derecha si y solo si es sobreyectiva (aunque la construcción de tal inversa en general requiere la axioma de elección).

h

es el inverso derecho de

f

, entonces

f

es subjetivo. Para todos

yin Y

, hay

x = h(y)

tales que

{displaystyle f(x)=f(h(y))=y}

f

es subjetivo,

f

tiene un derecho inverso

h

, que se puede construir como sigue: para todos

yin Y

, hay al menos uno

xin X

tales que

{displaystyle f(x)=y}

(porque

f

es subjetivo), así que elegimos uno para ser el valor de

h () Sí.)

Inversos de dos caras

Un inverso que es a la vez un inverso izquierdo y derecho (un inverso de dos lados), si existe, debe ser único. De hecho, si una función tiene una inversa a la izquierda y una inversa a la derecha, ambos son la misma inversa de dos lados, por lo que se puede llamar la inversa.

g

es un inverso izquierdo y

h

a derecha inversa de

f

, para todos

yin Y

{displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}

Una función tiene inversa de dos lados si y solo si es biyectiva.

Una función bijeactiva

f

es inyectable, por lo que tiene un inverso izquierdo (si

f

es la función vacía,

{displaystyle fcolon varnothing to varnothing }

es su propia izquierda inversa).

f

es subjetivo, así que tiene un inverso derecho. Por lo anterior, el inverso izquierdo y derecho son los mismos.

f

tiene un inverso de dos caras

g

, entonces

g

es un inverso izquierdo y derecho inverso de

f

Así que

f

es inyectable y subjetivo.

Preimágenes

Si $f : X \to Y$ es cualquier función (no necesariamente invertible), la preimagen (o imagen inversa) de un elemento $y \in Y$ se define como el conjunto de todos los elementos de $X$ que se asignan al estilo $y$ :

f^{-1}({y})=left{xin X:f(x)=yright}.

La preimagen de $y$ se puede considerar como la imagen de $y$ debajo del inverso completo (multivalor) de la función $f$ .

Del mismo modo, si $S$ es cualquier subconjunto de $Y$ , la preimage de $S$ , denotado ${displaystyle f^{-1}(S)}$ , es el conjunto de todos los elementos de $X$ ese mapa a $S$ :

f^{-1}(S)=left{xin X:f(x)in Sright}.

Por ejemplo, tome la función $f : R \to R; x \mapsto x 2$ . Esta función no es invertible ya que no es biyectiva, pero se pueden definir preimágenes para subconjuntos del codominio, p.

f^{-1}(left{1,4,9,16right})=left{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4right}

La preimagen de un único elemento $y \in Y$ – un conjunto singleton ${y}$ : a veces se denomina fibra de $y. Cuando Y es el conjunto de números reales, es común referirse a f -1 ({y}) como un conjunto de niveles .$

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