Sección transversal (física)

AjustarCompartirImprimirCitar
Probability of a given process occurring in a partarticle collision

En física, la sección transversal es una medida de la probabilidad de que un proceso específico tenga lugar cuando algún tipo de excitación radiante (por ejemplo, un haz de partículas, una onda de sonido, una luz o una X- rayo) se cruza con un fenómeno localizado (por ejemplo, una partícula o una fluctuación de densidad). Por ejemplo, la sección transversal de Rutherford es una medida de la probabilidad de que una partícula alfa sea desviada por un ángulo dado durante una interacción con un núcleo atómico. La sección transversal generalmente se denota σ (sigma) y se expresa en unidades de área, más específicamente en graneros. En cierto modo, se puede considerar como el tamaño del objeto que debe alcanzar la excitación para que se produzca el proceso, pero más exactamente, es un parámetro de un proceso estocástico.

En la física clásica, esta probabilidad a menudo converge en una proporción determinista de la energía de excitación involucrada en el proceso, de modo que, por ejemplo, con la dispersión de la luz de una partícula, la sección transversal especifica la cantidad de potencia óptica dispersada por la luz de una irradiancia dada (potencia por área). Es importante tener en cuenta que aunque la sección transversal tiene las mismas unidades que el área, la sección transversal puede no corresponder necesariamente al tamaño físico real del objetivo dado por otras formas de medición. No es raro que el área de la sección transversal real de un objeto que se dispersa sea mucho mayor o menor que la sección transversal en relación con algún proceso físico. Por ejemplo, las nanopartículas plasmónicas pueden tener secciones transversales de dispersión de luz para frecuencias particulares que son mucho mayores que sus áreas transversales reales.

Cuando dos partículas discretas interactúan en la física clásica, su sección transversal mutua es el área transversal a su movimiento relativo dentro del cual deben encontrarse para dispersarse una de la otra. Si las partículas son esferas duras e inelásticas que interactúan solo por contacto, su sección transversal de dispersión está relacionada con su tamaño geométrico. Si las partículas interactúan a través de alguna fuerza de acción a distancia, como el electromagnetismo o la gravedad, su sección transversal de dispersión es generalmente mayor que su tamaño geométrico.

Cuando una sección transversal se especifica como el límite diferencial de una función de alguna variable de estado final, como el ángulo de una partícula o la energía, se denomina sección transversal diferencial (consulte la discusión detallada a continuación). Cuando una sección transversal se integra sobre todos los ángulos de dispersión (y posiblemente otras variables), se denomina sección transversal total o sección transversal total integrada. Por ejemplo, en la dispersión de Rayleigh, la intensidad dispersada en los ángulos hacia adelante y hacia atrás es mayor que la intensidad dispersada hacia los lados, por lo que la sección transversal de dispersión diferencial hacia adelante es mayor que la sección transversal diferencial perpendicular, y sumando todas las secciones transversales infinitesimales sobre toda la gama de ángulos con cálculo integral, podemos encontrar la sección transversal total.

Las secciones transversales de dispersión se pueden definir en física nuclear, atómica y de partículas para colisiones de haces acelerados de un tipo de partícula con objetivos (estacionarios o en movimiento) de un segundo tipo de partícula. La probabilidad de que ocurra cualquier reacción dada es proporcional a su sección transversal. Por lo tanto, especificar la sección transversal para una reacción dada es un indicador de la probabilidad de que ocurra un proceso de dispersión dado.

La velocidad de reacción medida de un proceso determinado depende en gran medida de variables experimentales como la densidad del material objetivo, la intensidad del haz, la eficiencia de detección del aparato o el ajuste del ángulo del aparato de detección. Sin embargo, estas cantidades se pueden eliminar, lo que permite la medición de la sección transversal de colisión de dos partículas subyacente.

Las secciones transversales de dispersión diferencial y total se encuentran entre las cantidades medibles más importantes en física nuclear, atómica y de partículas.

Colisión entre partículas de gas

Gráfico 1 En un gas de partículas de diámetro individual 2r, la sección transversal σ, para colisiones está relacionado con la densidad del número de partículas n, y significa camino libre entre colisiones λ.

En un gas de partículas de tamaño finito hay colisiones entre partículas que dependen del tamaño de su sección transversal. La distancia promedio que recorre una partícula entre colisiones depende de la densidad de las partículas de gas. Estas cantidades están relacionadas por

σ σ =1nλ λ ,{displaystyle sigma ={frac {1}{nlambda}}}}

dónde

σ es la sección transversal de una colisión de dos partículas (unidades SI: m2),
λ es el camino libre medio entre colisiones (unidades SI: m),
n es la densidad número de las partículas dianas (unidades I: m−3).

Si las partículas en el gas pueden tratarse como esferas duras de radio r que interactúan por contacto directo, como se ilustra en la Figura 1, entonces la sección transversal efectiva para la colisión de un par es

σ σ =π π ()2r)2{displaystyle sigma =pi left(2rright)^{2}

Si las partículas en el gas interactúan con una fuerza con un rango mayor que su tamaño físico, entonces la sección transversal es un área efectiva mayor que puede depender de una variedad de variables, como la energía de las partículas.

Las secciones transversales se pueden calcular para colisiones atómicas, pero también se utilizan en el ámbito subatómico. Por ejemplo, en física nuclear un "gas" de neutrones de baja energía choca con núcleos en un reactor u otro dispositivo nuclear, con una sección transversal que depende de la energía y, por lo tanto, también con un camino libre medio bien definido entre colisiones.

Atenuación de un haz de partículas

Si un haz de partículas entra en una capa delgada de material de espesor dz, el flujo Φ del haz disminuirá en dΦ según

dCCPR CCPR dz=− − nσ σ CCPR CCPR ,{displaystyle {frac {mathrm {d}{mathrm {d}} {m} {}} {m}} {m}}} {m}}} {cH00}}}}}} {m}}}} {m} z}=-nsigma Phi}

donde σ es la sección transversal total de todos los eventos, incluida la dispersión, la absorción o la transformación a otra especie. La densidad numérica volumétrica de los centros de dispersión se designa mediante n. Resolver esta ecuación exhibe la atenuación exponencial de la intensidad del haz:

CCPR CCPR =CCPR CCPR 0e− − nσ σ z,{displaystyle Phi =Phi _{0}e^{-nsigma z}

donde Φ0 es el flujo inicial, y z es el grosor total del material. Para la luz, esto se llama la ley de Beer-Lambert.

Sección transversal diferencial

Considere una medición clásica en la que una sola partícula se dispersa de una sola partícula objetivo estacionaria. Convencionalmente, se utiliza un sistema de coordenadas esféricas, con el objetivo colocado en el origen y el eje z de este sistema de coordenadas alineado con el haz incidente. El ángulo θ es el ángulo de dispersión, medido entre el haz incidente y el haz disperso, y el φ es el ángulo acimutal.

Differential cross section.svg

El parámetro de impacto b es el desplazamiento perpendicular de la trayectoria de la partícula entrante, y la partícula saliente emerge en un ángulo θ. Para una interacción dada (coulómbica, magnética, gravitatoria, de contacto, etc.), el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión tienen una dependencia funcional uno a uno definida entre sí. En general, el parámetro de impacto no se puede controlar ni medir de un evento a otro y se supone que toma todos los valores posibles al promediar muchos eventos de dispersión. El tamaño diferencial de la sección transversal es el elemento de área en el plano del parámetro de impacto, es decir, dσ = b d φ db. El rango angular diferencial de la partícula dispersa en el ángulo θ es el elemento de ángulo sólido dΩ = sen θ dθ dφ. La sección transversal diferencial es el cociente de estas cantidades, dσ /dΩ.

Es una función del ángulo de dispersión (y, por lo tanto, también del parámetro de impacto), además de otros observables, como el impulso de la partícula entrante. La sección transversal diferencial siempre se toma como positiva, aunque los parámetros de impacto más grandes generalmente producen menos deflexión. En situaciones cilíndricas simétricas (sobre el eje del haz), el ángulo azimutal φ no cambia por el proceso de dispersión, y la sección transversal diferencial se puede escribir como

dσ σ d()#⁡ ⁡ Silencio Silencio )=∫ ∫ 02π π dσ σ dΩ Ω dφ φ {displaystyle {frac {mathrm {d} {sigma}{mathrm {d}}=int _{0}^{2pi {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn} {fn}} {fnMicrom} {}} {fn}} {fnMicrom} {fn}} {fnMicroc {f}}} {fnMicroc}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}} {sigmam}}}}} {sigma}}}}}}}}}} {sigmam}} {m}}}}} {m}}}}}}}}} {m}}}}} {m} {m} {m} {m}} {m} {m} {m} {m} {m}} {m} {m} {m}} {m} {sigmam} {m} {m}}}}} {m}} Omega },mathrm {d} varphi }.

En situaciones en las que el proceso de dispersión no es azimutalmente simétrico, como cuando el haz o las partículas objetivo poseen momentos magnéticos orientados perpendicularmente al eje del haz, la sección transversal diferencial también debe expresarse como una función del ángulo azimutal.

Para la dispersión de partículas de flujo incidente Finc de un objetivo estacionario que consta de muchas partículas, la cruz diferencial sección dσ/dΩ en un ángulo (θ,φ) está relacionado con el flujo de detección de partículas dispersas F out(θ,φ) en partículas por unidad de tiempo por

dσ σ dΩ Ω ()Silencio Silencio ,φ φ )=1ntΔ Δ Ω Ω FFuera.()Silencio Silencio ,φ φ )Finc.{displaystyle {frac {mathrm {d}sigma}{mathrm {d} "Omega" [thetavarphi]={frac {1}{ntDeltaOmega}{frac {text{out}(thetavarphi)}{F_{text{inc}}}}}} {f} {f} {fnK}} {fnK}}} {f}} {f}}}} {fnKf}}}} {f}}}}}}}}}}} {\f} {f}} {f} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}} {

Aquí ΔΩ es el tamaño angular finito del detector (unidad SI: sr), n es la densidad numérica de las partículas objetivo (unidades SI: m−3), y t es el grosor del objetivo estacionario (unidades SI: m). Esta fórmula asume que el objetivo es lo suficientemente delgado como para que cada partícula del haz interactúe como máximo con una partícula objetivo.

La sección transversal total σ se puede recuperar integrando la sección transversal diferencial dσ/dΩ sobre el ángulo sólido completo ( estereorradianes):

σ σ =∮ ∮ 4π π dσ σ dΩ Ω dΩ Ω =∫ ∫ 02π π ∫ ∫ 0π π dσ σ dΩ Ω pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio dSilencio Silencio dφ φ .{displaystyle sigma =oint _{4pi {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn} {fn} {fnMicrom} {d} ################################################################################################################################################################################################################################################################ Omega }sin theta ,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi.}

Es común omitir el calificador "diferencial" cuando el tipo de sección transversal se puede inferir del contexto. En este caso, σ puede denominarse sección transversal integral o sección transversal total. El último término puede ser confuso en contextos donde se involucran múltiples eventos, ya que “total” también puede referirse a la suma de las secciones transversales de todos los eventos.

La sección transversal diferencial es una cantidad extremadamente útil en muchos campos de la física, ya que medirla puede revelar una gran cantidad de información sobre la estructura interna de las partículas objetivo. Por ejemplo, la sección transversal diferencial de la dispersión de Rutherford proporcionó una fuerte evidencia de la existencia del núcleo atómico.

En lugar del ángulo sólido, la transferencia de cantidad de movimiento puede usarse como la variable independiente de las secciones transversales diferenciales.

Las secciones transversales diferenciales en la dispersión inelástica contienen picos de resonancia que indican la creación de estados metaestables y contienen información sobre su energía y tiempo de vida.

Dispersión cuántica

En el formalismo independiente del tiempo de la dispersión cuántica, la función de onda inicial (antes de la dispersión) se considera una onda plana con momento definido k:

φ φ − − ()r)restablecimiento restablecimiento r→ → JUEGO JUEGO eikz,{displaystyle phi _{-}(mathbf {r});{stackrel {rto infty }{longrightarrow };e^{ikz}

donde z y r son los coordenadas relativas entre el proyectil y el blanco. La flecha indica que esto solo describe el comportamiento asintótico de la función de onda cuando el proyectil y el objetivo están demasiado separados para que la interacción tenga algún efecto.

Después de que se produzca la dispersión, se espera que la función de onda adopte la siguiente forma asintótica:

φ φ +()r)restablecimiento restablecimiento r→ → JUEGO JUEGO f()Silencio Silencio ,φ φ )eikrr,{displaystyle phi _{+}(mathbf {r});{stackrel {rto infty }{longrightarrow }};f(thetaphi){frac {e^{ikr}{r}}}}}}}}

donde f es una función de las coordenadas angulares conocida como amplitud de dispersión. Esta forma general es válida para cualquier interacción de conservación de energía de corto alcance. No es cierto para las interacciones de largo alcance, por lo que existen complicaciones adicionales cuando se trata de interacciones electromagnéticas.

La función de onda completa del sistema se comporta asintóticamente como la suma

φ φ ()r)restablecimiento restablecimiento r→ → JUEGO JUEGO φ φ − − ()r)+φ φ +()r).{displaystyle phi (mathbf {r});{stackrel {rto infty }{longrightarrow }};phi _{-}(mathbf {r})+phi _{+}(mathbf {r}).}}

La sección transversal diferencial está relacionada con la amplitud de dispersión:

dσ σ dΩ Ω ()Silencio Silencio ,φ φ )=Silenciof()Silencio Silencio ,φ φ )Silencio2.{displaystyle {frac {mathrm {d}sigma}{mathrm {d} Omega } {thetaphi)={bigl TEN}f(thetaphi){bigr TEN}^{2}

Esto tiene una interpretación simple como la densidad de probabilidad de encontrar el proyectil disperso en un ángulo determinado.

Por lo tanto, una sección transversal es una medida del área superficial efectiva vista por las partículas que chocan y, como tal, se expresa en unidades de área. La sección transversal de dos partículas (es decir, observada cuando las dos partículas chocan entre sí) es una medida del evento de interacción entre las dos partículas. La sección transversal es proporcional a la probabilidad de que ocurra una interacción; por ejemplo, en un experimento de dispersión simple, el número de partículas dispersas por unidad de tiempo (corriente de partículas dispersas Ir) depende únicamente del número de partículas incidentes por unidad de tiempo (corriente de partículas incidentes Ii), las características de objetivo (por ejemplo, el número de partículas por unidad de superficie N) y el tipo de interacción. Para ≪ 1 tenemos

Ir=IiNσ σ ,σ σ =IrIi1N=probabilidad de interacción× × 1N.{displaystyle {begin{aligned}I_{text{r} {i}Nsigma\sigma\sigma > {frac} {text{}}{I_{text{i}}}}}{frac}}}}}{frac}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}} {f}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f} {f}}}}}}}}} {f}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {1}{N}\\\text{probability of interaction}times {frac {1}{N}}end{aligned}}}

Relación con la matriz S

Si las masas y los momentos reducidos del sistema en colisión son mi, pi y mf, pf antes y después de la colisión respectivamente, la sección transversal diferencial está dada por

dσ σ dΩ Ω =()2π π )4mimfpfpiSilencioTfiSilencio2,{displaystyle {frac {mathrm {d}sigma}{mathrm {d} {4}m_{f}{frac} {f} {f} {f}}} {bigl}} {f}} {f}}}}} {bigl}}}}} {bigl}}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}} {big}}}}}} {big}}}}}}}}}}}} { Silencio. Silencio.

donde la matriz T está definida por

Sfi=δ δ fi− − 2π π iδ δ ()Ef− − Ei)δ δ ()pi− − pf)Tfi{displaystyle S_{fi}=delta _{fi}-2pi idelta left(E_{f}-E_{i}right)delta left(mathbf {p} _{i}-mathbf {p} _{f}right)T_{fi}}

en términos de la matriz S. Aquí δ es la función delta de Dirac. El cálculo de la matriz S es el objetivo principal de la teoría de la dispersión.

Unidades

Aunque la unidad SI de las secciones transversales totales es m2, en la práctica se suelen utilizar unidades más pequeñas.

En física nuclear y de partículas, la unidad convencional es el granero b, donde 1 b = 10−28 m2 = 100 fm2. Las unidades prefijadas más pequeñas, como mb y μb, también se utilizan ampliamente. En consecuencia, la sección transversal diferencial se puede medir en unidades como mb/sr.

Cuando la radiación dispersada es luz visible, es convencional medir la longitud del camino en centímetros. Para evitar la necesidad de factores de conversión, la sección transversal de dispersión se expresa en cm2 y la concentración numérica en cm−3. La medida de la dispersión de la luz visible se conoce como nefelometría y es eficaz para partículas de 2 a 50 µm de diámetro: como tal, se utiliza mucho en meteorología y en la medida de la contaminación atmosférica.

La dispersión de rayos X también se puede describir en términos de secciones transversales de dispersión, en cuyo caso el ångström cuadrado es una unidad conveniente: 1 Å2 = 10−20 m2 = 10000 pm2 = 108 b. La suma de las secciones transversales de dispersión, fotoeléctrica y de producción de pares (en graneros) se representa como el "coeficiente de atenuación atómica" (haz estrecho), en graneros.

Dispersión de luz

Para la luz, como en otros entornos, la sección transversal de dispersión de las partículas generalmente es diferente de la sección transversal geométrica de la partícula, y depende de la longitud de onda de la luz y la permitividad, la forma y el tamaño de la partícula. La cantidad total de dispersión en un medio disperso es proporcional al producto de la sección transversal de dispersión y el número de partículas presentes.

En la interacción de la luz con las partículas, ocurren muchos procesos, cada uno con sus propias secciones transversales, incluidas la absorción, la dispersión y la fotoluminiscencia. La suma de las secciones transversales de absorción y dispersión a veces se denomina sección transversal de atenuación o extinción.

σ σ =σ σ a+σ σ s+σ σ l.{displaystyle sigma =sigma ###{text{a}+sigma ### {text{s}+sigma - ¿Qué?

La sección transversal de extinción total está relacionada con la atenuación de la intensidad de la luz a través de la ley de Beer-Lambert, que dice que la atenuación es proporcional a la concentración de partículas:

Aλ λ =Clσ σ ,{displaystyle A_{lambda }=Clsigma}

donde Aλ es la atenuación en una determinada longitud de onda λ, C es la concentración de partículas como densidad numérica, y l es la longitud del camino. La absorbancia de la radiación es el logaritmo (decádico o, más comúnmente, natural) del recíproco de la transmitancia T:

Aλ λ =− − log⁡ ⁡ T.{displaystyle A_{lambda - Sí.

La combinación de las secciones transversales de dispersión y absorción de esta manera a menudo es necesaria debido a la incapacidad de distinguirlas experimentalmente, y se ha dedicado mucho esfuerzo de investigación al desarrollo de modelos que permitan distinguirlas, siendo la teoría de Kubelka-Munk una de las más importante en esta área.

Sección transversal y teoría de Mie

Secciones transversales comúnmente calculadas La teoría de Mie incluye coeficientes de eficiencia para la extinción Qext{textstyle Q_{text{ext}}, dispersando Qsc{textstyle Q_{text{sc}}, y absorción Qabdominales{textstyle Q_{text{abs}} secciones transversales. Los son normalizados por las secciones geométricas de la partícula σ σ geom=π π a2{textstyle sigma ¿Qué? como

Qα α =σ σ α α σ σ geom,α α =ext,sc,abdominales.{displaystyle Q_{alpha }={frac {sigma _{alpha }{sigma _{text{geom}}}}},qquad alpha ={text{ext}},{text{sc}}},{text{abs}}

σ σ α α =Wα α Iinc{displaystyle sigma _{alpha }={frac {W_{alpha } {I_{text{inc}}}} {f}}} {f}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {

Donde [Wα α ]=[W]{displaystyle left[W_{alpha }right]=left[{text{W}right] es el flujo de energía a través de la superficie circundante, y [Iinc]=[Wm2]{displaystyle left[I_{text{inc}right]=left[{frac {text{W}{text{m}}}}}}}right] es la intensidad de la onda del incidente. Para una onda de avión la intensidad va a ser Iinc=SilencioESilencio2/()2.. ){displaystyle I_{text{inc}= sobrevivirmathbf {E}, donde .. =μ μ μ μ 0/()ε ε ε ε 0){displaystyle eta ={sqrt {mu mu _{0}/(varepsilon varepsilon _{0}}}}}} es la impedancia del medio anfitrión.

El enfoque principal se basa en lo siguiente. En primer lugar, construimos una esfera imaginaria de radio r{displaystyle r} (superficie) A{displaystyle A}) alrededor de la partícula (el scatter). La tasa neta de energía electromagnética cruza la superficie A{displaystyle A} es

Wa=− − ∮ ∮ A▪ ▪ ⋅ ⋅ r^ ^ dA{displaystyle W_{a}=-oint ¿Por qué? }dA}

Donde ▪ ▪ =12Re⁡ ⁡ [EAlternativa Alternativa × × H]{displaystyle mathbf {Pi } ={frac {1}{2} {Re} left[mathbf {E}times mathbf {H} right]} es el tiempo promedio Poynting vector. Si 0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">Wa■0{displaystyle W_{a}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e461554c7838486700a30e3a73f867ac350e882b" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.556ex; height:2.509ex;"/> La energía se absorbe dentro de la esfera, de lo contrario la energía se está creando dentro de la esfera. Nosotros excluimos de la consideración la posterior. Una vez que el medio host no es absorbente, la energía es absorbida por la partícula. Descomponemos el campo total en partes afectadas y dispersas E=Ei+Es{displaystyle mathbf {E} {E} {I}+mathbf {E}, y lo mismo para el campo magnético H{displaystyle mathbf {H}. Así, podemos descomponernos Wa{displaystyle W_{a} en los tres términos Wa=Wi− − Ws+Wext{displaystyle ¿Qué?, donde

Wi=− − ∮ ∮ A▪ ▪ i⋅ ⋅ r^ ^ dA↑ ↑ 0,Ws=∮ ∮ A▪ ▪ s⋅ ⋅ r^ ^ dA,Wext=∮ ∮ A▪ ▪ ext⋅ ⋅ r^ ^ dA.{displaystyle W_{i}=-oint ¿Qué? }dAequiv 0,qquad W_{s}=oint ¿Qué? }dA,qquad W_{text{ext}=oint ¿Por qué? - Sí.

Donde ▪ ▪ i=12Re⁡ ⁡ [EiAlternativa Alternativa × × Hi]{displaystyle mathbf {Pi } _{i}={frac {1}{2} {Re} left[mathbf] {fnMicrosoft Sans Serif}, ▪ ▪ s=12Re⁡ ⁡ [EsAlternativa Alternativa × × Hs]{displaystyle mathbf {Pi } _{s}={frac} {1}{2} {Re} left[mathbf {E} _{s}times mathbf {H} _{s}right]}, y ▪ ▪ ext=12Re⁡ ⁡ [EsAlternativa Alternativa × × Hi+EiAlternativa Alternativa × × Hs]{displaystyle mathbf {Pi } {text{ext}={frac} {1}{2} {Re} left[mathbf] {E} _{*}times mathbf {H} _{i}+mathbf {fnMicrosoft Sans Serif}.

Todo el campo se puede descomponer en la serie de armónicos esféricos vectoriales (VSH). Después de eso, se pueden tomar todas las integrales. En el caso de un esfera uniforme de radio a{displaystyle a}, autorización ε ε {displaystyle varepsilon }, y permeabilidad μ μ {displaystyle mu } el problema tiene una solución precisa. Los coeficientes de dispersión y extinción son

Qsc=2k2a2.. n=1JUEGO JUEGO ()2n+1)()SilencioanSilencio2+SilenciobnSilencio2){displaystyle Q_{text{sc}={frac} {2}{2}a}a} {2}} {2}}} {2}}}} {c}}}}} {c}} {2}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} ¿Por qué?
Qext=2k2a2.. n=1JUEGO JUEGO ()2n+1)R R ()an+bn){displaystyle Q_{text{ext}={frac} {2}{2}a} {2}}}sum _{n=1} {infty }(2n+1)Re (a_{n}+b_{n}}} {c} {c}} {c}} {c}}}} {c}} {c}}} {c}}} {c}}}} {c}}}}} {c}}}}}}}}}} {cc}}}}}}}} {cccc}}}}}}}}} {cccccccccccccccccccccccccccccccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
k=nanfitriónk0{textstyle k=n_{text{host}k_{0}
σ σ ext=σ σ sc+σ σ abdominalesoQext=Qsc+Qabdominales{displaystyle sigma _{text{ext}=sigma ##{text{sc}+sigma ## {text{abs}qquad {text{or}qquad Q_{text{ext}=Q_{sc}+Q_{abs}}

Aproximación de dipolo para la sección transversal de dispersión

Supongamos que el soporte de partículas sólo los modos de dipolo eléctrico y magnético con polarizaciones p=α α eE{textstyle mathbf {p} =alpha ^{e}mathbf {E} y m=()μ μ μ μ 0)− − 1α α mH{textstyle mathbf {m} =(mu mu _{0}{-1}alpha ^{m}mathbf {H} (aquí usamos la notación de polarizabilidad magnética en la forma de Bekshaev et al. en lugar de la notación de Nieto-Vesperians et al.) expresada a través de los coeficientes Mie como

α α e=4π π ε ε 0⋅ ⋅ i3ε ε 2k3a1,α α m=4π π μ μ 0⋅ ⋅ i3μ μ 2k3b1.{displaystyle alpha ^{e}=4pi varepsilon ¿Qué? }{2k^{3}a_{1},qquad alpha ^{m}=4pi mu _{0}cdot i{frac {3mu - Sí.
σ σ ext=σ σ exte)+σ σ extm)=14π π ε ε ε ε 0⋅ ⋅ 4π π kI I ()α α e)+14π π μ μ μ μ 0⋅ ⋅ 4π π kI I ()α α m){displaystyle sigma _{text{ext}=sigma _{text{ext}^{text{(e)}}+sigma _{text{ext} {text{(m)}}={frac {1}{4varepsilonvarepsilonvarepsilon {0}}cdot 4pi kIm (alpha ^{e})+{frac {1}{4pi mu mu ¿Qué?
σ σ sc=σ σ sce)+σ σ scm)=1()4π π ε ε ε ε 0)2⋅ ⋅ 8π π 3k4Silencioα α eSilencio2+1()4π π μ μ μ μ 0)2⋅ ⋅ 8π π 3k4Silencioα α mSilencio2{displaystyle sigma _{text{sc}=sigma _{text{sc}^{text{(e)}}+sigma _{text{sc} {text{(m)}}={frac {1}{(4pivarepsilonvarepsilonvarepsilon ¿Qué? } {3}k^{4} ^{e} sobrevivir^{2}+{frac {1}{(4pimu mu ¿Qué? } {3}k^{4} sobreviviralpha
σ σ abdominales=σ σ abdominalese)+σ σ abdominalesm){textstyle sigma _{text{abs}=sigma _{text{abs}^{text{(e)}}}+sigma _{abs}} {text{(m)}}}}}}
σ σ abdominalese)=14π π ε ε ε ε 0⋅ ⋅ 4π π k[I I ()α α e)− − k36π π ε ε ε ε 0Silencioα α eSilencio2]{displaystyle sigma _{abs}}{text{(e)}={frac {1}{4pi varepsilon varepsilon _{0}cdot 4pi kleft[im (alpha ^{e})-{k^{3}{6pipsirepsi - Hola.
σ σ abdominalesm)=14π π μ μ μ μ 0⋅ ⋅ 4π π k[I I ()α α m)− − k36π π μ μ μ μ 0Silencioα α mSilencio2]{displaystyle sigma _{text{abs}{text{(m)}={frac {1}{4pi mu mu _{0}}}cdot 4pi kleft[Im (alpha ^{m})-{frac {k^{3}{6pi mu mu mu mu - Hola.

Para el caso de una partícula sin ganancia interna, es decir, no hay energía emitida internamente por la partícula (0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">σ σ abdominales■0{textstyle sigma _ {text{abs} {bs}0}0}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1c30c5d78a0b07062cebec71f8ce322c2bf4f1f" style="vertical-align: -0.671ex; width:8.204ex; height:2.509ex;"/>), tenemos un caso particular del teorema óptico

14π π ε ε ε ε 0I I ()α α e)+14π π μ μ μ μ 0I I ()α α m)≥ ≥ 2k33[Silencioα α eSilencio2()4π π ε ε ε ε 0)2+Silencioα α mSilencio2()4π π μ μ μ μ 0)2]{displaystyle {frac {1}{4pivarepsilon varepsilon ¿Qué? Im (alpha ^{e})+{frac {1}{4pi mu mu ¿Qué? Im (alpha ^{m})geq {2k^{3}{3}{3}left[{frac {fa ^{e} invalid}{2}{2}{4varepsilon varepsilon _{0}}{2}}}}}{2}{}{2}{2}{0}{0}{0} {} {} {} {}{}{}{}}}}}{}}}}{}}}}{}{}}} {} {} {}} {}{}}}}}}}{}}}}}}}}}}}}}}{}}}}}{}}}}}}}}{}}{}}}}}}}}}}}}}{}}}}}}}} {} {}}} {}}}{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
≥ ≥ → → ={textstyle geq to =}I I ()ε ε )=I I ()μ μ )=0{textstyle Im (varepsilon)=Im (mu)=0}

Dispersión de luz en cuerpos extendidos

En el contexto de la dispersión de la luz sobre cuerpos extendidos, la sección transversal de dispersión, σscat, describe la probabilidad de la luz que es dispersada por una partícula macroscópica. En general, la sección transversal de dispersión es diferente de la sección transversal geométrica de una partícula, ya que depende de la longitud de onda de la luz y la permitividad además de la forma y el tamaño de la partícula. La cantidad total de dispersión en un medio disperso está determinada por el producto de la sección transversal de dispersión y el número de partículas presentes. En términos de área, la sección transversal total (σ) es la suma de las secciones transversales debidas a absorción, dispersión y luminiscencia:

σ σ =σ σ a+σ σ s+σ σ l.{displaystyle sigma =sigma ###{text{a}+sigma ### {text{s}+sigma - ¿Qué?

La sección transversal total está relacionada con la absorbancia de la intensidad de la luz a través de la ley de Beer-Lambert, que dice que la absorbancia es proporcional a la concentración: Aλ = Clσ, donde Aλ es la absorbancia a una longitud de onda dada λ, C es la concentración como densidad numérica, y l es la longitud del camino. La extinción o absorbancia de la radiación es el logaritmo (decádico o, más comúnmente, natural) del recíproco de la transmitancia T:

Aλ λ =− − log⁡ ⁡ T.{displaystyle A_{lambda - Sí.

Relación con el tamaño físico

No existe una relación simple entre la sección transversal de dispersión y el tamaño físico de las partículas, ya que la sección transversal de dispersión depende de la longitud de onda de la radiación utilizada. Esto se puede ver cuando se mira un halo que rodea la luna en una noche de niebla decente: los fotones de luz roja experimentan un área transversal más grande de gotas de agua que los fotones de mayor energía. El halo alrededor de la luna tiene un perímetro de luz roja debido a que los fotones de menor energía se dispersan más lejos del centro de la luna. Los fotones del resto del espectro visible quedan en el centro del halo y se perciben como luz blanca.

Alcance meteorológico

La sección transversal de dispersión está relacionada con el rango meteorológico LV:

LV=3.9Cσ σ Scat.{displaystyle L_{text{V}={frac {3.9}{Csigma - ¿Qué?

La cantidad scat a veces se denota como bscat, el coeficiente de dispersión por unidad de longitud.

Ejemplos

Ejemplo 1: colisión elástica de dos esferas duras

La colisión elástica de dos esferas duras es un ejemplo instructivo que demuestra el sentido de llamar a esta cantidad una sección transversal. R y r son respectivamente los radios del centro de dispersión y esfera dispersa. La sección transversal total es

σ σ Tot=π π ()r+R)2.{displaystyle sigma _{text{tot}=pi left(r+Rright)^{2}

Entonces, en este caso, la sección transversal de dispersión total es igual al área del círculo (con radio r + R) dentro del cual tiene que llegar el centro de masa de la esfera entrante para que sea desviada, y fuera del cual pasa por el centro estacionario de dispersión. Cuando el radio de la esfera entrante se acerca a cero, la sección transversal es solo el área de un círculo con radio R.

Ejemplo 2: dispersión de luz de un espejo circular 2D

Otro ejemplo ilustra los detalles del cálculo de un modelo de dispersión de luz simple obtenido por una reducción de la dimensión. Para simplificar, consideraremos la dispersión de un haz de luz en un plano tratado como una densidad uniforme de rayos paralelos y en el marco de la óptica geométrica a partir de un círculo con radio r con un límite perfectamente reflectante. Su equivalente tridimensional es, por lo tanto, el problema más difícil de la dispersión de la luz de un láser o una linterna desde la esfera del espejo, por ejemplo, desde la bola de rodamiento mecánica. La unidad de sección transversal en una dimensión es la unidad de longitud, por ejemplo, 1 m. Sea α el ángulo entre el rayo de luz y el radio que une el punto de reflexión del rayo de luz con el punto central del espejo circular. Entonces, el aumento del elemento de longitud perpendicular al haz de luz se expresa mediante este ángulo como

dx=r#⁡ ⁡ α α dα α ,{displaystyle mathrm {d} x=rcos alpha ,mathrm {d} alpha}

el ángulo de reflexión de este rayo con respecto al rayo entrante es entonces 2α, y el ángulo de dispersión es

Silencio Silencio =π π − − 2α α .{displaystyle theta =pi -2alpha.}

La energía o el número de fotones reflejados por el haz de luz con la intensidad o densidad de fotones I en la longitud dx es

Idσ σ =Idx()x)=Ir#⁡ ⁡ α α dα α =Ir2pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)dSilencio Silencio =Idσ σ dSilencio Silencio dSilencio Silencio .{displaystyle I,mathrm {d} sigma =I,mathrm {d} x(x)=Ircos alpha ,mathrm {d} alpha =I{frac {r} {2}sin left({frac {theta }{2}}}derecha)mathrm {d} {d}theta= {d} theta.

La sección transversal diferencial es por lo tanto (dΩ = dθ)

dσ σ dSilencio Silencio =r2pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2).{displaystyle {frac {mathrm {d}sigma}{mathrm {d} theta }={frac {r} {2}sin left({frac {theta }}right). }

Como se ve del comportamiento de la función seno, esta cantidad tiene el máximo para la dispersión hacia atrás (θ = π; la luz se refleja perpendicularmente y regresa), y el cero mínimo para la dispersión desde el borde del círculo directamente hacia adelante (θ = 0). Confirma las expectativas intuitivas de que el círculo del espejo actúa como una lente divergente, y un haz delgado se diluye más cuanto más cerca está del borde definido con respecto a la dirección entrante. La sección transversal total se puede obtener sumando (integrando) la sección diferencial de todo el rango de ángulos:

σ σ =∫ ∫ 02π π dσ σ dSilencio Silencio dSilencio Silencio =∫ ∫ 02π π r2pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)dSilencio Silencio =− − r#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)Silencio02π π =2r,{displaystyle sigma =int _{0}^{2pi }{frac {mathrm {} sigma }{mathrm {d} {d} theta =int _{0}{2pi}{frac {r}{2}sin left({frac {theta }}right),mathrm {d} theta =left.-rcos left({frac {theta - ¿Qué? }=2r,}

así que es igual tanto como el espejo circular está protegiendo totalmente el espacio bidimensional para el haz de luz. En tres dimensiones para la bola de espejos con el radio r por lo tanto es igual σ = πr2.

Ejemplo 3: dispersión de luz de un espejo esférico 3D

Ahora podemos usar el resultado del Ejemplo 2 para calcular la sección transversal diferencial para la dispersión de la luz de la esfera perfectamente reflectante en tres dimensiones. Denotemos ahora el radio de la esfera como a. Parametricemos el plano perpendicular al haz de luz entrante mediante las coordenadas cilíndricas r y φ. En cualquier plano del rayo entrante y reflejado podemos escribir ahora del ejemplo anterior:

r=apecado⁡ ⁡ α α ,dr=a#⁡ ⁡ α α dα α ,{displaystyle {begin{aligned}r ventaja=asin alpha\\mathrm {d} riéndose=acos alpha ,mathrm {d}alphaend{aligned}}}

mientras el elemento del área de impacto está

dσ σ =dr()r)× × rdφ φ =a22pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)dSilencio Silencio dφ φ .{displaystyle mathrm {d} sigma =mathrm {d} r(r)times r,mathrm {d} varphi ={2} {2}sin left({frac {theta }{2}right)cos left({frac {theta }}right),mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi}varphi}varphi={frac={frac}fracfrac}frac}frac}frac}frac}f.

Usando la relación para el ángulo sólido en las coordenadas esféricas:

dΩ Ω =pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio dSilencio Silencio dφ φ {displaystyle mathrm {d} Omega =sin theta ,mathrm {d} theta ,mathrm {d} varphi }

y la identidad trigonométrica

pecado⁡ ⁡ Silencio Silencio =2pecado⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2)#⁡ ⁡ ()Silencio Silencio 2),{displaystyle sin theta =2sin left({frac {theta }{2}right)cos left({frac {theta }right),}}

obtenemos

dσ σ dΩ Ω =a24,{displaystyle {frac {mathrm {d}sigma}{mathrm {d} Omega }={frac {a^{2} {4}}}} {f}}

mientras que la sección transversal total como esperábamos es

σ σ =∮ ∮ 4π π dσ σ dΩ Ω dΩ Ω =π π a2.{displaystyle sigma =oint _{4pi {fnMicroc {fnK} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fn} {fn}} {fnMicrom} {}} {fn}} {fnMicrom} {fn}} {fnMicroc {f}}} {fnMicroc}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}} {sigmam}}}}} {sigma}}}}}}}}}} {sigmam}} {m}}}}} {m}}}}}}}}} {m}}}}} {m} {m} {m} {m}} {m} {m} {m} {m} {m}} {m} {m} {m}} {m} {sigmam} {m} {m}}}}} {m}} {d} Omega =pi a^{2}

Como se puede ver, también concuerda con el resultado del Ejemplo 1 si se supone que el fotón es una esfera rígida de radio cero.

Contenido relacionado

Newton (unidad)

El newton es la unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades (SI). Se define como 1 kg⋅m/s2, la fuerza que le da a una masa de 1 kilogramo una...

Trabajo (física)

En física, el trabajo se refiere a la energía transferida a un objeto, o desde este, mediante la aplicación de fuerza a lo largo de un desplazamiento. Esta...

Constante de faraday

En química física, la constante de Faraday, denotada por el símbolo F y a veces estilizada como ℱ, es la carga eléctrica por mol de cargas elementales....
Más resultados...