Retardo de grupo y retardo de fase

En el procesamiento de señales, el retraso de grupo y el retraso de fase son tiempos de retraso experimentados por los diversos componentes de frecuencia de una señal cuando la señal pasa a través de un tiempo lineal invariante. (LTI), como un micrófono, un cable coaxial, un amplificador, un altavoz, un sistema de telecomunicaciones o un cable ethernet. Estos retrasos generalmente dependen de la frecuencia, lo que significa que diferentes componentes de frecuencia experimentan diferentes retrasos. Como resultado, la forma de onda de la señal experimenta distorsión a medida que pasa por el sistema. Esta distorsión puede causar problemas tales como baja fidelidad en video analógico y audio analógico, o una alta tasa de error de bits en un flujo de bits digital. Para una señal de modulación (señal de banda de paso), la información transportada por la señal se transporta exclusivamente en la envolvente de la onda. Por lo tanto, el retardo de grupo opera solo con los componentes de frecuencia derivados de la envolvente.

Introducción

Las propiedades de retardo de grupo y de fase de un sistema lineal invariable en el tiempo (LTI) son funciones de la frecuencia, lo que proporciona el tiempo desde que un componente de frecuencia de una cantidad física variable en el tiempo (por ejemplo, una señal de voltaje) aparece en el LTI. entrada del sistema, hasta el momento en que una copia de ese mismo componente de frecuencia, tal vez de un fenómeno físico diferente, aparece en la salida del sistema LTI.

Una respuesta de fase variable en función de la frecuencia, a partir de la cual se puede calcular el retraso de grupo y de fase, suele ocurrir en dispositivos como micrófonos, amplificadores, altavoces, grabadoras magnéticas, auriculares, cables coaxiales y filtros antisolapamiento. Todos los componentes de frecuencia de una señal se retrasan cuando pasan a través de dichos dispositivos o cuando se propagan a través del espacio o un medio, como el aire o el agua.

Retardo de fase

Un sistema o dispositivo lineal invariable en el tiempo tiene una propiedad de respuesta de fase y una propiedad de retraso de fase, donde una puede calcularse exactamente a partir de la otra. El retardo de fase mide directamente el retardo de tiempo del dispositivo o sistema de los componentes de frecuencia individuales. Si la función de retardo de fase en cualquier frecuencia dada, dentro de un rango de frecuencia de interés, tiene la misma constante de proporcionalidad entre la fase en una frecuencia seleccionada y la frecuencia seleccionada en sí, el sistema/dispositivo tendrá la propiedad ideal de un retardo de fase plano., también conocido como fase lineal. Dado que el retardo de fase es una función de la frecuencia que genera el retardo de tiempo, una desviación de la planitud de su gráfico de función puede revelar diferencias de retardo de tiempo entre los diversos componentes de frecuencia de la señal, en cuyo caso esas diferencias contribuirán a la distorsión de la señal, que se manifiesta como la salida la forma de la forma de onda de la señal es diferente a la de la señal de entrada. La propiedad de retardo de fase en general no brinda información útil si la entrada del dispositivo es una señal modulada. Para eso, se debe usar el retardo de grupo.

Retraso de grupo

Figura 1: Dispositivos LTI externos e internos

El retardo de grupo es una medida conveniente de la linealidad de la fase con respecto a la frecuencia en un sistema de modulación.

Sistema básico de modulación

El retraso de grupo de un dispositivo se puede calcular exactamente a partir de la respuesta de fase del dispositivo, pero no al revés.

El caso de uso más simple para el retardo de grupo se ilustra en la Figura 1, que muestra un sistema de modulación conceptual, que en sí mismo es un sistema LTI con una salida de banda base que, idealmente, es una copia exacta de la entrada de señal de banda base. Este sistema en su conjunto se denomina aquí sistema/dispositivo LTI externo, que contiene un sistema/dispositivo LTI interno (bloque rojo). Como suele ser el caso de un sistema de radio, el sistema LTI rojo interno en la Fig. 1 puede representar dos sistemas LTI en cascada, por ejemplo, un amplificador que controla una antena transmisora en el extremo emisor y el otro una antena y un amplificador en el extremo receptor.

Modulación de amplitud

La modulación de amplitud crea la señal de banda de paso al cambiar los componentes de frecuencia de banda base a un rango de frecuencia mucho más alto. Aunque las frecuencias son diferentes, la señal de banda de paso lleva la misma información que la señal de banda base. El demodulador hace lo contrario, cambiando las frecuencias de la banda de paso de vuelta al rango de frecuencia de la banda base original. Idealmente, la señal de salida (banda base) es una versión retardada en el tiempo de la señal de entrada (banda base) donde la forma de onda de la salida es idéntica a la de la entrada.

En la Figura 1, el retraso de fase del sistema externo es la métrica de rendimiento significativa. Para la modulación de amplitud, el retraso del grupo de dispositivos LTI rojo interno se convierte en el retraso de fase del dispositivo LTI externo. Si el retraso del grupo del dispositivo rojo interno es completamente plano en el rango de frecuencia de interés, el dispositivo externo tendrá el ideal de un retraso de fase que también es completamente plano, donde la contribución de la distorsión debida a la respuesta de fase del dispositivo LTI externo, determinada completamente por la posible respuesta de fase diferente del dispositivo interno—se elimina. En ese caso, el retardo de grupo del dispositivo rojo interior y el retardo de fase del dispositivo exterior dan la misma cifra de retardo de tiempo para la señal en su conjunto, desde la entrada de banda base hasta la salida de banda base. Es importante notar que es posible que el dispositivo interno (rojo) tenga un retraso de fase muy no plano (pero un retraso de grupo plano), mientras que el dispositivo externo tiene el ideal de un retraso de fase perfectamente plano. Esto es una suerte porque en el diseño de dispositivos LTI, un retardo de grupo plano es más fácil de lograr que un retardo de fase plano.

Modulación de ángulo

En un sistema de modulación de ángulo, como con modulación de frecuencia (FM) o modulación de fase (PM), la señal de banda de paso (FM o PM) aplicada a una entrada del sistema LTI se puede analizar como dos señales de banda de paso separadas, una en señal de banda de paso de AM con modulación de amplitud de fase (I) y una señal de banda de paso de AM con modulación de amplitud de fase en cuadratura (Q), donde su suma reconstruye exactamente la señal de banda de paso de modulación de ángulo original (FM o PM). Si bien la señal de banda de paso (FM/PM) no es de modulación de amplitud y, por lo tanto, no tiene una envolvente exterior aparente, las señales de banda de paso I y Q sí tienen envolventes de modulación de amplitud. (Sin embargo, a diferencia de la modulación de amplitud regular, las envolventes I y Q no se asemejan a la forma de onda de las señales de banda base, aunque el 100 por ciento de la señal de banda base está representada de manera compleja por sus envolventes). Entonces, para cada una de las Señales de banda de paso I y Q, un retardo de grupo plano garantiza que ni la envolvente de banda de paso I ni la envolvente de banda de paso Q tendrán distorsión de forma de onda, por lo que cuando la señal de banda de paso I y la señal de banda de paso Q se vuelven a sumar, la suma es la original Señal de banda de paso FM/PM, que tampoco se verá alterada.

Antecedentes

Componentes de frecuencia de una señal

Para una señal periódica, un componente de frecuencia es una sinusoide con propiedades que incluyen frecuencia y fase basadas en el tiempo.

Generando una sinusoide básica

El sinusoide, con o sin una propiedad de frecuencia basada en el tiempo, es generado por un círculo como se muestra en la figura. En este ejemplo, el sinusoide es una onda sine que se rastrea usando el ${displaystyle sin }$ Función trigonométrica.

Trazando a un sinusoide de un círculo: ${displaystyle y=sin(x)}$. En este ejemplo, el ${displaystyle sin }$ La función trigonométrica se utiliza. Para el sinusoide y el círculo de unidad, la variable de salida dependiente ${displaystyle y}$ está en el eje vertical. Para el sinusoide solamente, el ángulo en grados es la variable de entrada independiente ${displaystyle x}$ en el eje horizontal. Para el círculo de unidad sólo, el ángulo en grados es el valor de entrada independiente ${displaystyle x}$, representado como el ángulo real en el diagrama hecho entre el eje horizontal y el vector rojo, actualmente en cero grados en la imagen, pero puede estar en cualquier ángulo

Rotating vector trazando hacia fuera ${displaystyle sin()}$ función. Paso 1 Juego de prensa. Paso 2 Maximizar Paso 3 Seleccione WebM Fuente

Cuando un ángulo creciente ${displaystyle x}$ hace una rotación completa de CCW alrededor del círculo, se genera un ciclo del patrón de la función. Seguir aumentando el ángulo más allá de 360 grados simplemente gira alrededor del círculo de nuevo, completando otro ciclo, donde cada ciclo sucesor repite el mismo patrón, haciendo la función periódica. (Vea la animación "Rotating vector..." a la izquierda.) El valor del ángulo no tiene límite, por lo que el número de veces que el patrón se repite también no tiene límite. Debido a esto, un sinusoide no tiene principio ni fin. Una función sinusoidal se basa en cualquiera o ambas funciones trigonométricas ${displaystyle sin(x)}$ y ${displaystyle cos(x)}$.

Teoría

En la teoría del sistema LTI, la teoría del control y en el procesamiento digital o analógico de señales, la relación entre la señal de entrada, ${displaystyle displaystyle x(t)}$ y la señal de salida, ${displaystyle displaystyle y(t)}$, de un sistema LTI se rige por una operación de convolución:

${displaystyle y(t)=(h*x)(t) {fncipal {mhm {f}{=}int _{-infty }x(u)h(t-u),du}$

O, en el dominio de la frecuencia,

${displaystyle Y(s)=H(s)X(s),}$

dónde

${fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {f}} {f}}} {f}}}f}}\fnfnf}}\cH00}f}}\fnMicrom} {f}}}}\f}}\f}f}}}\f}\f}}f}f}\f}}}f}f}f}\\f}}\\\\\\fnK\\\\fnKfnKfnKfnKfnKfnK\fnK\fnKfnK\fnKfnKfnH00}}fnKfnMinMicrobhnKcH00}}}}}}}}}}} ¿Qué?$

${fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft}}}\fnMicrosoft} {f}} {f}}}f}f}}\fnf}\fnf}}\\fnMicrom} ¿Qué?$

y

${fnMicrosoft Sans Serif} {Big}h(t){Big }} {fnK} {fnK}}} ¿Qué?$.

Aquí. ${displaystyle displaystyle h(t)}$ es la respuesta del impulso de dominio del tiempo del sistema LTI y ${displaystyle displaystyle X(s)}$, ${displaystyle displaystyle Y(s)}$, ${displaystyle displaystyle H(s)}$, son las transformaciones de Laplace de la entrada ${displaystyle displaystyle x(t)}$, salida ${displaystyle displaystyle y(t)}$, y respuesta de impulso ${displaystyle displaystyle h(t)}$, respectivamente. ${displaystyle displaystyle H(s)}$ se llama la función de transferencia del sistema LTI y, como la respuesta del impulso ${displaystyle displaystyle h(t)}$, plenamente define las características de entrada-salida del sistema LTI.

Supongamos que tal sistema es impulsado por una señal cuasi-sinusoidal, como un sinusoide que tiene un sobre de amplitud ${displaystyle displaystyle a(t)}$ que está cambiando lentamente en relación con la frecuencia ${displaystyle displaystyle omega }$ del sinusoide. Matemáticamente, esto significa que la señal de conducción cuasi-sinusoidal tiene el formulario

${displaystyle x(t)=a(t)cos(omega t+theta)$

y el sobre de amplitud cambiante lentamente ${displaystyle displaystyle a(t)}$ significa que

${displaystyle lefttención{frac {dt}log {big (}a(t){big)}right sobre la vidallomega .}$

Entonces, la salida de dicho sistema LTI se aproxima muy bien como

${displaystyle y(t)={big ⋅}H(iomega){big } a(t-tau _{g})cos {big (}omega (t-tau _{phi })+theta {big)};.}}$

Aquí. ${displaystyle displaystyle tau _{g}$ es el retraso del grupo y ${displaystyle displaystyle tau _{phi }$ es el retraso de la fase, y son dados por las expresiones siguientes (y potencialmente son funciones de la frecuencia angular ${displaystyle displaystyle omega }$). La fase del sinusoide, como se indica en las posiciones de los cero cruces, se retrasa en el tiempo por una cantidad igual a la demora de la fase, ${displaystyle displaystyle tau _{phi }$. El sobre del sinusoide se retrasa en el tiempo por el retraso del grupo, ${displaystyle displaystyle tau _{g}$.

En un sistema de fase lineal (con ganancia no invertida), ambos ${displaystyle displaystyle tau _{g}$ y ${displaystyle displaystyle tau _{phi }$ son constantes (es decir, independientes de ${displaystyle displaystyle omega }$) e igual, y su valor común equivale a la demora general del sistema; y el cambio de fase no roto del sistema (nombre ${displaystyle displaystyle -omega tau _{phi }$) es negativo, con magnitud creciente linealmente con frecuencia ${displaystyle displaystyle omega }$.

Más generalmente, se puede demostrar que para un sistema LTI con función de transferencia ${displaystyle displaystyle H(s)}$ impulsado por un complejo sinusoide de amplitud de unidad,

${displaystyle x(t)=e^{iomega t}$

la salida es

${fnMiga)fncipe {fnMiga]fnunciofnunciofnuncio}fnuncié]fnuncié]efnuncié]efnunciofnunciomfnunciofnunciofnMinunciocncipe] \end{aligned}$

donde el cambio de fase ${displaystyle displaystyle phi }$ es

${displaystyle phi (omega) {mathrm {def}{=}\\gleft{H(iomega)right};.}$

Además, se puede demostrar que el retraso del grupo, ${displaystyle displaystyle tau _{g}$, y retraso de fase, ${displaystyle displaystyle tau _{phi }$, son dependientes de frecuencia. Pueden ser computados desde el cambio de fase no roto ${displaystyle displaystyle phi }$ por

${displaystyle tau _{g}(omega)=-{frac {dphi (omega)}{domega }}$

${displaystyle tau _{phi }(omega)=-{frac {phi (omega)}{omega }}}$.

Es decir, el retardo de grupo en cada frecuencia es igual al negativo de la pendiente de la fase en esa frecuencia (en comparación con la frecuencia instantánea).

Retraso de grupo negativo

Son posibles los circuitos con retardo de grupo negativo, aunque no se viola la causalidad. Si las señales (en una banda donde el retardo de grupo es negativo) son predecibles (como un pulso gaussiano), los filtros de retardo de grupo negativo pueden predecir la entrada, proporcionando la ilusión de un avance de tiempo no causal. Sin embargo, si la señal contiene un evento impredecible (como un truncamiento del pulso gaussiano), la ilusión se rompe.

Retardo de grupo en audio

El retardo de grupo tiene cierta importancia en el campo del audio y especialmente en el campo de la reproducción de sonido. Muchos componentes de una cadena de reproducción de audio, en particular los altavoces y las redes cruzadas de altavoces multivía, introducen un retardo de grupo en la señal de audio. Por lo tanto, es importante conocer el umbral de audibilidad del retardo de grupo con respecto a la frecuencia, especialmente si se supone que la cadena de audio debe proporcionar una reproducción de alta fidelidad. La mejor tabla de umbrales de audibilidad ha sido proporcionada por Blauert y Laws.

Flanagan, Moore y Stone concluyen que a 1, 2 y 4 kHz, se escucha un retardo de grupo de aproximadamente 1,6 ms con auriculares en una condición no reverberante. Otros resultados experimentales sugieren que cuando el retraso del grupo en el rango de frecuencia de 300 Hz a 1 kHz está por debajo de 1,0 ms, es inaudible.

La forma de onda de una señal de audio puede reproducirse exactamente mediante un sistema que tenga una respuesta de frecuencia plana sobre el ancho de banda de la señal y un retraso de fase que sea igual al retraso de grupo. Leach introdujo el concepto de distorsión diferencial de retardo de tiempo, definida como la diferencia entre el retardo de fase y el retardo de grupo, que viene dada por:

${displaystyle Delta tau =tau _{phi }-tau _{g}$.

Un sistema ideal debería exhibir una distorsión de retardo de tiempo diferencial cero o insignificante.

Es posible utilizar técnicas de procesamiento de señales digitales para corregir la distorsión de retardo de grupo que surge debido al uso de redes cruzadas en sistemas de altavoces multivía. Esto implica un modelado computacional considerable de los sistemas de altavoces con el fin de aplicar con éxito la ecualización de retardo, utilizando el algoritmo de diseño de filtro de ondulación equivalente de Parks-McClellan FIR.

Retardo de grupo en óptica

El retardo de grupo es importante en física y, en particular, en óptica.

En una fibra óptica, el retardo de grupo es el tiempo de tránsito necesario para que la potencia óptica, viajando a la velocidad de grupo de un modo determinado, recorra una distancia determinada. Para propósitos de medición de dispersión de fibra óptica, la cantidad de interés es el retraso de grupo por unidad de longitud, que es el recíproco de la velocidad de grupo de un modo particular. El retardo de grupo medido de una señal a través de una fibra óptica exhibe una dependencia de la longitud de onda debido a los diversos mecanismos de dispersión presentes en la fibra.

A menudo es deseable que el retraso del grupo sea constante a través de todas las frecuencias; de lo contrario, hay un cálculo temporal de la señal. Porque el retraso del grupo es ${textstyle tau _{g}(omega)=-{frac {dphi }{domega }$, por lo tanto, sigue que se puede lograr un retraso constante de grupo si la función de transferencia del dispositivo o medio tiene una respuesta de fase lineal (es decir, ${displaystyle phi (omega)=phi (0)-tau _{g}omega }$ donde el grupo retrasa ${displaystyle tau _{g}$ es una constante). El grado de no linealidad de la fase indica que la desviación del grupo se retrasa de un valor constante.

Retraso de tiempo real

Se dice que un aparato transmisor tiene retardo de tiempo real (TTD) si el retardo de tiempo es independiente de la frecuencia de la señal eléctrica. TTD es una característica importante de las líneas de transmisión sin pérdidas y de baja pérdida y sin dispersión. TTD permite un amplio ancho de banda de señal instantánea prácticamente sin distorsión de señal, como la ampliación de pulso durante la operación pulsada.