Respuesta de estado cero

En teoría de circuitos eléctricos, la respuesta de estado cero (ZSR) es el comportamiento o respuesta de un circuito con estado inicial de cero. El ZSR resulta únicamente de las entradas externas o funciones de conducción del circuito y no del estado inicial.

La respuesta total del circuito es la superposición del ZSR y el ZIR, o respuesta de entrada cero. El ZIR resulta únicamente del estado inicial del circuito y no de ningún disco externo. El ZIR también se denomina respuesta natural, y las frecuencias resonantes del ZIR se denominan frecuencias naturales. Dada una descripción de un sistema en el dominio s, la respuesta de estado cero se puede describir como Y(s)=Init(s)/a(s) donde a(s) e Init(s) son específicos del sistema.

Respuesta de estado cero y respuesta de entrada cero en circuitos integradores y diferenciadores

Un ejemplo de respuesta de estado cero que se utiliza es en circuitos integradores y diferenciadores. Al examinar un circuito integrador simple, se puede demostrar que cuando una función se coloca en un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI), una salida se puede caracterizar por una superposición o suma de la respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero.

Un sistema se puede representar como

f()t){displaystyle f(t),} Sí.()t)=Sí.()t0)+∫ ∫ t0tf()τ τ )dτ τ {displaystyle y(t)=y(t_{0})+int ¿Qué?

con la entrada f()t). {displaystyle f(t).} en la izquierda y la salida Sí.()t). {displaystyle y(t).} a la derecha.

El producto Sí.()t). {displaystyle y(t).} se puede separar en una entrada cero y una solución de estado cero con

Sí.()t)=Sí.()t0)⏟ ⏟ Zero− − input response+∫ ∫ t0tf()τ τ )dτ τ ⏟ ⏟ Zero− − state response.{displaystyle y(t)=underbrace {y(t_{0} - ¿Qué? Respuesta del estado cero.

Contribuciones de Sí.()t0){displaystyle y(t_{0},} y f()t){displaystyle f(t),} a la producción Sí.()t){displaystyle y(t),} son aditivos y cada contribución Sí.()t0){displaystyle y(t_{0},} y ∫ ∫ t0tf()τ τ )dτ τ {displaystyle int ¿Qué? desaparece con desaparecimiento Sí.()t0){displaystyle y(t_{0},} y f()t).{displaystyle f(t).,}

Este comportamiento constituye un sistema lineal. Un sistema lineal tiene una salida que es una suma de componentes distintos de entrada cero y de estado cero, cada uno de los cuales varía linealmente, con el estado inicial del sistema y la entrada del sistema respectivamente.

La respuesta de entrada cero y la respuesta de estado cero son independientes entre sí y, por lo tanto, cada componente se puede calcular independientemente del otro.

Respuesta de estado cero en circuitos integradores y diferenciadores

Respuesta del Estado Cero ∫ ∫ t0tf()τ τ )dτ τ {displaystyle int ¿Qué? representa la salida del sistema Sí.()t){displaystyle y(t),} cuando Sí.()t0)=0.{displaystyle y(t_{0}=0.,}

Cuando no hay influencia de voltajes o corrientes internas debido a componentes previamente cargados

Sí.()t)=∫ ∫ t0tf()τ τ )dτ τ .{displaystyle y(t)=int ¿Qué?

La respuesta del estado cero varía con la entrada del sistema y, en condiciones de estado cero, podríamos decir que dos entradas independientes dan como resultado dos salidas independientes:

f1()t){displaystyle f_{1}(t),}Sí.1()t){displaystyle y_{1}(t),}

y

f2()t){displaystyle f_{2}(t),}Sí.2()t).{displaystyle y_{2}(t)}

Debido a la linealidad, podemos aplicar los principios de superposición para lograr

Kf1()t)+Kf2()t){displaystyle Kf_{1}(t)+Kf_{2}(t),}KSí.1()t)+KSí.2()t).{displaystyle Ky_{1}(t)+Ky_{2}(t)., }

Verificaciones de respuesta de estado cero en circuitos integradores y diferenciadores

Para llegar a la ecuación general

El circuito a la derecha actúa como un simple circuito integrador y se utilizará para verificar la ecuación Sí.()t)=∫ ∫ t0tf()τ τ )dτ τ {displaystyle y(t)=int ¿Qué? como la respuesta del estado cero de un circuito integrador.

Los capacitadores tienen la relación actual-voltaje i()t)=Cdvdt{displaystyle i(t)=C{frac {dv} {dt}}Donde C es la capacitancia, medida en farads, del condensador.

Al manipular la ecuación anterior, se puede demostrar que el capacitor integra efectivamente la corriente a través de él. La ecuación resultante también demuestra las respuestas de estado cero y entrada cero al circuito integrador.

Primero, integrando ambos lados de la ecuación anterior

∫ ∫ abi()t)dt=∫ ∫ abCdvdtdt.{displaystyle int _{a} {b}i(t)dt=int _{a}^{b}C{frac} No.

En segundo lugar, integrando el lado derecho

∫ ∫ abi()t)dt=C[v()b)− − v()a)].{displaystyle int _{a}^{b}i(t)dt=C[v(b)-v(a)]. }

Tercero, distribución y subtracto Cv()a){displaystyle Cv(a),} para llegar

Cv()b)=Cv()a)+∫ ∫ abi()t)dt.{displaystyle Cv(b)=Cv(a)+int _{a} {b}i(t)dt.}

Cuarto, dividir por C{displaystyle C,} para lograr

v()b)=v()a)+1C∫ ∫ abi()t)dt.{displaystyle v(b)=v(a)+{frac {1}int _{a} {b}i(t)dt.}

Por sustitución t{displaystyle t,} para b{displaystyle b,} y to{displaystyle . para a{displaystyle a,} y usando la variable de muñeco τ τ {displaystyle tau ,} como la variable de integración de la ecuación general

v()t)=v()t0)+1C∫ ∫ t0ti()τ τ )dτ τ {displaystyle v(t)=v(t_{0})+{frac {1}{C}int} ¿Qué?

se encuentra.

Para llegar al ejemplo específico del circuito

La ecuación general se puede utilizar para demostrar aún más esta verificación utilizando las condiciones del circuito integrador simple anterior.

Utilizando la capacitancia de 1 faradio como se muestra en el circuito integrador anterior

v()t)=v()t0)+∫ ∫ t0ti()τ τ )dτ τ ,{displaystyle v(t)=v(t_{0})+int ¿Qué?

que es la ecuación que contiene la entrada cero y la respuesta de estado cero que se ven en la parte superior de la página.

Para verificar la linealidad del estado cero

Para verificar su linealidad de estado cero establece el voltaje alrededor del condensador en el momento 0 igual a 0, o v()t0)=0{displaystyle v(t_{0}=0,}, lo que significa que no hay tensión inicial. Esto elimina el primer término que forma la ecuación

v()t)=∫ ∫ t0ti()τ τ )dτ τ .{displaystyle v(t)=int ¿Qué?.

De acuerdo con los métodos de sistemas lineales de tiempo-invariantes, poniendo dos entradas diferentes en el circuito integrador, i1()t){displaystyle i_{1}(t),} y i2()t){displaystyle i_{2}(t),}, las dos salidas diferentes

v1()t)=∫ ∫ t0ti1()τ τ )dτ τ {displaystyle v_{1}(t)=int ¿Qué?

y

v2()t)=∫ ∫ t0ti2()τ τ )dτ τ {displaystyle v_{2}(t)=int ¿Qué?

se encuentran respectivamente.

Usando el principio de la superposición las entradas i1()t){displaystyle i_{1}(t),} y i2()t){displaystyle i_{2}(t),} se puede combinar para obtener una nueva entrada

i3()t)=K1i1()t)+K2i2()t){displaystyle i_{3}(t)=K_{1}i_{1}(t)+K_{2}i_{2}(t),}

y una nueva salida

v3()t)=∫ ∫ t0t()K1i1()τ τ )+K2i2()τ τ ))dτ τ .{displaystyle v_{3}(t)=int ¿Por qué?

Al integrar el lado derecho de

v3()t)=K1∫ ∫ t0ti1()τ τ )dτ τ +K2∫ ∫ t0ti2()τ τ )dτ τ ,{displaystyle v_{3}(t)=K_{1}int ¿Qué? +K_{2}int ¿Qué?

v3()t)=K1v1()t)+K2v2()t){displaystyle v_{3}(t)=K_{1}v_{1}(t)+K_{2}v_{2}(t),}

se encuentra, lo que implica que el sistema es lineal en estado cero, v()t0)=0{displaystyle v(t_{0}=0,}.

Todo este ejemplo de verificación también podría haberse realizado con una fuente de voltaje en lugar de la fuente de corriente y un inductor en lugar del capacitor. Entonces habríamos estado resolviendo una corriente en lugar de un voltaje.

Usos de la industria de respuesta de estado cero

El método de análisis de circuitos para dividir la salida de un sistema en un estado cero y una respuesta de entrada cero se utiliza en toda la industria, incluidos circuitos, sistemas de control, procesamiento de señales y electromagnetismo. Además, la mayoría de los programas de simulación de circuitos, como SPICE, admiten el método de una forma u otra.