Resonancia

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La resonancia describe el fenómeno de aumento de amplitud que ocurre cuando la frecuencia de una fuerza periódica aplicada (o un componente de Fourier de la misma) es igual o cercana a una frecuencia natural del sistema sobre el que actúa. Cuando se aplica una fuerza oscilante a una frecuencia resonante de un sistema dinámico, el sistema oscilará a una amplitud mayor que cuando se aplica la misma fuerza a otras frecuencias no resonantes.

Las frecuencias en las que la amplitud de respuesta es un máximo relativo también se conocen como frecuencias resonantes o frecuencias de resonancia del sistema. Las pequeñas fuerzas periódicas que están cerca de una frecuencia resonante del sistema tienen la capacidad de producir oscilaciones de gran amplitud en el sistema debido al almacenamiento de energía vibratoria.

Los fenómenos de resonancia se dan con todo tipo de vibraciones u ondas: hay resonancia mecánica, resonancia acústica, resonancia electromagnética, resonancia magnética nuclear (RMN), resonancia de espín electrónico (ESR) y resonancia de funciones de onda cuánticas. Los sistemas resonantes se pueden utilizar para generar vibraciones de una frecuencia específica (p. ej., instrumentos musicales) o seleccionar frecuencias específicas de una vibración compleja que contiene muchas frecuencias (p. ej., filtros).

El término resonancia (del latín resonantia, 'eco', de resonare, 'resonar') se originó en el campo de la acústica, particularmente la resonancia simpática que se observa en los instrumentos musicales, por ejemplo, cuando una cuerda comienza a vibrar y produce sonido después de otra. es golpeado

Visión general

La resonancia ocurre cuando un sistema puede almacenar y transferir fácilmente energía entre dos o más modos de almacenamiento diferentes (como la energía cinética y la energía potencial en el caso de un péndulo simple). Sin embargo, hay algunas pérdidas de ciclo a ciclo, llamadas amortiguamiento. Cuando el amortiguamiento es pequeño, la frecuencia de resonancia es aproximadamente igual a la frecuencia natural del sistema, que es una frecuencia de vibraciones no forzadas. Algunos sistemas tienen múltiples frecuencias resonantes distintas.

Ejemplos

Un ejemplo familiar es el columpio de un parque infantil, que actúa como un péndulo. Empujar a una persona en un columpio a tiempo con el intervalo natural del columpio (su frecuencia de resonancia) hace que el columpio suba cada vez más (amplitud máxima), mientras que los intentos de empujar el columpio a un ritmo más rápido o más lento producen arcos más pequeños. Esto se debe a que la energía que absorbe el columpio se maximiza cuando los empujones coinciden con las oscilaciones naturales del columpio.

La resonancia ocurre ampliamente en la naturaleza y se aprovecha en muchos dispositivos. Es el mecanismo por el cual se generan prácticamente todas las ondas y vibraciones sinusoidales. Muchos sonidos que escuchamos, como cuando se golpean objetos duros de metal, vidrio o madera, son causados por breves vibraciones resonantes en el objeto. La luz y otras radiaciones electromagnéticas de longitud de onda corta se producen por resonancia a escala atómica, como los electrones en los átomos. Otros ejemplos de resonancia:

Mecanismos de cronometraje de relojes y relojes modernos, por ejemplo, el volante en un reloj mecánico y el cristal de cuarzo en un reloj de cuarzo.
Resonancia de marea de la Bahía de Fundy
Resonancias acústicas de instrumentos musicales y el tracto vocal humano
Rotura de una copa de vino de cristal cuando se expone a un tono musical del tono correcto (su frecuencia resonante)
Idiófonos de fricción, como hacer vibrar un objeto de vidrio (vidrio, botella, jarrón) frotando alrededor de su borde con la punta de un dedo
Resonancia eléctrica de circuitos sintonizados en radios y televisores que permiten recibir selectivamente radiofrecuencias
Creación de luz coherente por resonancia óptica en una cavidad láser
Resonancia orbital ejemplificada por algunas lunas de los gigantes gaseosos del Sistema Solar
Las resonancias de materiales a escala atómica son la base de varias técnicas espectroscópicas que se utilizan en la física de la materia condensada.
- Resonancia de espín de electrones
- efecto Mössbauer
- Resonancia magnética nuclear

Sistemas lineales

La resonancia se manifiesta en muchos sistemas lineales y no lineales como oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio. Cuando el sistema es impulsado por una entrada externa sinusoidal, una salida medida del sistema puede oscilar en respuesta. La relación entre la amplitud de las oscilaciones de estado estable de la salida y las oscilaciones de la entrada se denomina ganancia, y la ganancia puede ser una función de la frecuencia de la entrada externa sinusoidal. Los picos en la ganancia a ciertas frecuencias corresponden a resonancias, donde la amplitud de las oscilaciones de la salida medida es desproporcionadamente grande.

Dado que muchos sistemas lineales y no lineales que oscilan se modelan como osciladores armónicos cerca de su equilibrio, esta sección comienza con una derivación de la frecuencia resonante para un oscilador armónico amortiguado accionado. Luego, la sección utiliza un circuito RLC para ilustrar las conexiones entre la resonancia y la función de transferencia, la respuesta de frecuencia, los polos y los ceros de un sistema. Partiendo del ejemplo del circuito RLC, la sección luego generaliza estas relaciones para sistemas lineales de orden superior con múltiples entradas y salidas.

El oscilador armónico amortiguado y accionado

Considere una masa amortiguada en un resorte impulsado por una fuerza sinusoidal aplicada externamente. La segunda ley de Newton toma la forma

{displaystyle m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}sin(omega t)-kx-c{ fracción {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}},}

donde m es la masa, x es el desplazamiento de la masa desde el punto de equilibrio, F ₀ es la amplitud impulsora, ω es la frecuencia angular impulsora, k es la constante elástica y c es el coeficiente de amortiguamiento viscoso. Esto se puede reescribir en la forma

{displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}+2zeta omega_{0}{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+omega _{0}^{2}x={frac {F_{0}}{m}}sin(omega t),}

dónde ${displaystyle omega _{0}={sqrt {frac {k}{m}}}}$ se denomina frecuencia angular no amortiguada del oscilador o frecuencia natural, ${ estilo de visualización zeta = { frac {c} {2 { sqrt {mk}}}}}}$ se llama relación de amortiguamiento.

Muchas fuentes también se refieren a ω ₀ como la frecuencia de resonancia. Sin embargo, como se muestra a continuación, cuando se analizan las oscilaciones del desplazamiento x (t), la frecuencia de resonancia es cercana pero no igual a ω ₀. En general, la frecuencia de resonancia es cercana pero no necesariamente igual a la frecuencia natural. El ejemplo del circuito RLC en la siguiente sección da ejemplos de diferentes frecuencias resonantes para el mismo sistema.

La solución general de la Ecuación (2) es la suma de una solución transitoria que depende de las condiciones iniciales y una solución de estado estable que es independiente de las condiciones iniciales y depende solo de la amplitud impulsora F ₀, frecuencia impulsora ω, frecuencia angular no amortiguada ω ₀, y la relación de amortiguamiento ζ. La solución transitoria decae en un período de tiempo relativamente corto, por lo que para estudiar la resonancia es suficiente considerar la solución de estado estacionario.

Es posible escribir la solución de estado estacionario para x (t) como una función proporcional a la fuerza impulsora con un cambio de fase inducido φ,

{displaystyle x(t)={frac {F_{0}}{m{sqrt {left(2omega omega_{0}zeta right)^{2}+(omega_{ 0}^{2}-omega ^{2})^{2}}}}}sin(omega t+varphi),}

dónde ${displaystyle varphi =arctan left({frac {2omega omega _{0}zeta }{omega ^{2}-omega _{0}^{2}}}right) +npi.}$

El valor de fase generalmente se considera entre −180 ° y 0, por lo que representa un retraso de fase para los valores positivos y negativos del argumento arctan.

La resonancia ocurre cuando, en ciertas frecuencias impulsoras, la amplitud de estado estacionario de x (t) es grande en comparación con su amplitud en otras frecuencias impulsoras. Para la masa sobre un resorte, la resonancia corresponde físicamente a las oscilaciones de la masa que tienen grandes desplazamientos desde la posición de equilibrio del resorte a ciertas frecuencias impulsoras. Mirando la amplitud de x (t) como una función de la frecuencia impulsora ω, la amplitud es máxima en la frecuencia impulsora

{ estilo de visualización omega _ {r} = omega _ {0} { sqrt {1-2 zeta ^ {2}}}.}

ω _r es la frecuencia de resonancia para este sistema. Nuevamente, tenga en cuenta que la frecuencia resonante no es igual a la frecuencia angular no amortiguada ω ₀ del oscilador. Son proporcionales, y si la relación de amortiguamiento llega a cero, son iguales, pero para un amortiguamiento distinto de cero, no tienen la misma frecuencia. Como se muestra en la figura, la resonancia también puede ocurrir en otras frecuencias cercanas a la frecuencia resonante, incluido ω ₀, pero la respuesta máxima está en la frecuencia resonante.

También tenga en cuenta que ω _r solo es real y distinto de cero si <img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb2a3ad351a6939c7406d2cd8fb171107289a27" alt="{ estilo de visualización zeta , por lo que este sistema solo puede resonar cuando el oscilador armónico está significativamente subamortiguado. Para sistemas con una relación de amortiguamiento muy pequeña y una frecuencia impulsora cercana a la frecuencia resonante, las oscilaciones en estado estacionario pueden llegar a ser muy grandes.

El péndulo

Para otros osciladores armónicos accionados y amortiguados cuyas ecuaciones de movimiento no se parecen exactamente a la masa en un ejemplo de resorte, la frecuencia resonante permanece ${ estilo de visualización omega _ {r} = omega _ {0} { sqrt {1-2 zeta ^ {2}}},}$

pero las definiciones de ω ₀ y ζ cambian según la física del sistema. Para un péndulo de longitud l y pequeño ángulo de desplazamiento θ, la ecuación (1) se convierte en ${displaystyle ml{frac {mathrm {d} ^{2}theta }{mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}sin(omega t)-mgtheta - cl{frac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} t}}}$

y por lo tanto ${displaystyle omega _{0}={sqrt {frac {g}{l}}},}$ ${displaystyle zeta ={frac {c}{2m}}{sqrt {frac {l}{g}}}.}$

Circuitos en serie RLC

Considere un circuito que consta de un resistor con resistencia R, un inductor con inductancia L y un capacitor con capacitancia C conectados en serie con corriente i (t) y accionados por una fuente de voltaje con voltaje v _en (t). La caída de voltaje alrededor del circuito es

{displaystyle L{frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+V(0)+{frac {1}{C}}int_{0}^{t}i(tau)dtau =v_{in}(t).}

En lugar de analizar una solución candidata para esta ecuación como en el ejemplo anterior de masa en un resorte, esta sección analizará la respuesta de frecuencia de este circuito. Tomando la transformada de Laplace de la Ecuación (4), ${displaystyle sLI(s)+RI(s)+{frac {1}{sC}}I(s)=V_{in}(s),}$

donde I (s) y V _in (s) son la transformada de Laplace de la corriente y el voltaje de entrada, respectivamente, y s es un parámetro de frecuencia complejo en el dominio de Laplace. Reordenando términos, ${displaystyle I(s)={frac {s}{s^{2}L+Rs+{frac {1}{C}}}}V_{in}(s).}$

Voltaje a través del capacitor

Un circuito RLC en serie presenta varias opciones sobre dónde medir un voltaje de salida. Suponga que el voltaje de salida de interés es la caída de voltaje en el capacitor. Como se muestra arriba, en el dominio de Laplace este voltaje es ${displaystyle V_{out}(s)={frac {1}{sC}}I(s)}$

o ${displaystyle V_{salida}={frac {1}{LC(s^{2}+{frac {R}{L}}s+{frac {1}{LC}})}}V_{entrada }(s).}$

Defina para este circuito una frecuencia natural y una relación de amortiguamiento, ${displaystyle omega _{0}={frac {1}{sqrt {LC}}},}$ ${displaystyle zeta ={frac {R}{2}}{sqrt {frac {C}{L}}}.}$

La relación entre el voltaje de salida y el voltaje de entrada se convierte en ${displaystyle H(s)triangleq {frac {V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}={frac {omega_{0}^{2}}{s^ {2}+2zetaomega_{0}s+omega_{0}^{2}}}}$

H (s) es la función de transferencia entre el voltaje de entrada y el voltaje de salida. Tenga en cuenta que esta función de transferencia tiene dos polos, raíces del polinomio en el denominador de la función de transferencia, en

{ displaystyle s = - zeta omega _ {0} pm y omega _ {0} { sqrt {1- zeta ^ {2}}}}

y sin ceros: raíces del polinomio en el numerador de la función de transferencia. Además, observe que para ζ ≤ 1, la magnitud de estos polos es la frecuencia natural ω ₀ y que para ζ < 1/ ${ sqrt {2}}$ , nuestra condición de resonancia en el ejemplo del oscilador armónico, los polos están más cerca del eje imaginario que del eje real. eje.

Evaluando H (s) a lo largo del eje imaginario s = iω, la función de transferencia describe la respuesta de frecuencia de este circuito. De manera equivalente, la respuesta de frecuencia se puede analizar tomando la transformada de Fourier de la Ecuación (4) en lugar de la transformada de Laplace. La función de transferencia, que también es compleja, se puede escribir como ganancia y fase, ${ estilo de visualización H (i omega) = G ( omega) e^{i Phi ( omega)}.}$

Un voltaje de entrada sinusoidal a la frecuencia ω da como resultado un voltaje de salida a la misma frecuencia que ha sido escalado por G (ω) y tiene un cambio de fase Φ (ω). La ganancia y la fase se pueden trazar frente a la frecuencia en un diagrama de Bode. Para el voltaje del capacitor del circuito RLC, la ganancia de la función de transferencia H (iω) es

{displaystyle G(omega)={frac {omega _{0}^{2}}{sqrt {left(2omega omega_{0}zeta right)^{2}+ (omega _{0}^{2}-omega^{2})^{2}}}}.}

Note la similitud entre la ganancia aquí y la amplitud en la Ecuación (3). Una vez más, la ganancia se maximiza a la frecuencia resonante ${ estilo de visualización omega _ {r} = omega _ {0} { sqrt {1-2 zeta ^ {2}}}.}$

Aquí, la resonancia corresponde físicamente a tener una amplitud relativamente grande para las oscilaciones de estado estacionario del voltaje a través del capacitor en comparación con su amplitud en otras frecuencias de excitación.

Voltaje a través del inductor

La frecuencia de resonancia no siempre tiene que tomar la forma dada en los ejemplos anteriores. Para el circuito RLC, suponga que el voltaje de salida de interés es el voltaje a través del inductor. Como se muestra arriba, en el dominio de Laplace, el voltaje en el inductor es ${displaystyle V_{salida}(s)=sLI(s),}$ ${displaystyle V_{out}(s)={frac {s^{2}}{s^{2}+{frac {R}{L}}s+{frac {1}{LC}}} }V_{en}(s),}$ ${displaystyle V_{out}(s)={frac {s^{2}}{s^{2}+2zeta omega_{0}s+omega_{0}^{2}}} V_{en}(s),}$

utilizando las mismas definiciones para ω ₀ y ζ que en el ejemplo anterior. La función de transferencia entre V _in (s) y esta nueva V _out (s) a través del inductor es ${displaystyle H(s)={frac {s^{2}}{s^{2}+2zeta omega_{0}s+omega_{0}^{2}}}.}$

Tenga en cuenta que esta función de transferencia tiene los mismos polos que la función de transferencia del ejemplo anterior, pero también tiene dos ceros en el numerador en s = 0. Evaluando H (s) a lo largo del eje imaginario, su ganancia se convierte en ${displaystyle G(omega)={frac {omega ^{2}}{sqrt {left(2omega omega _{0}zeta right)^{2}+(omega _ {0}^{2}-omega^{2})^{2}}}}.}$

En comparación con la ganancia en la Ecuación (6) usando el voltaje del capacitor como salida, esta ganancia tiene un factor de ω en el numerador y por lo tanto tendrá una frecuencia resonante diferente que maximiza la ganancia. esa frecuencia es ${ estilo de visualización omega _ {r} = { frac { omega _ {0}} { sqrt {1-2 zeta ^ {2}}}},}$

Entonces, para el mismo circuito RLC pero con el voltaje a través del inductor como salida, la frecuencia resonante ahora es mayor que la frecuencia natural, aunque todavía tiende hacia la frecuencia natural a medida que la relación de amortiguamiento llega a cero. Que el mismo circuito pueda tener diferentes frecuencias resonantes para diferentes opciones de salida no es contradictorio. Como se muestra en la Ecuación (4), la caída de tensión en el circuito se divide entre los tres elementos del circuito y cada elemento tiene una dinámica diferente. El voltaje del capacitor crece lentamente al integrar la corriente con el tiempo y, por lo tanto, es más sensible a las frecuencias más bajas, mientras que el voltaje del inductor crece cuando la corriente cambia rápidamente y, por lo tanto, es más sensible a las frecuencias más altas. Mientras que el circuito como un todo tiene una frecuencia natural en la que tiende a oscilar, la dinámica diferente de cada elemento del circuito hace que cada elemento resuene a una frecuencia ligeramente diferente.

Voltaje a través de la resistencia

Suponga que el voltaje de salida de interés es el voltaje a través de la resistencia. En el dominio de Laplace, el voltaje a través de la resistencia es ${displaystyle V_{salida}(s)=RI(s),}$ ${displaystyle V_{out}(s)={frac {Rs}{L(s^{2}+{frac {R}{L}}s+{frac {1}{LC}})}} V_{en}(s),}$

y utilizando la misma frecuencia natural y relación de amortiguamiento que en el ejemplo del capacitor, la función de transferencia es ${ estilo de visualización H (s) = { frac {2 zeta omega _ {0} s} {s ^ {2} +2 zeta omega _ {0} s + omega _ {0} ^ {2 } }}.}$

Tenga en cuenta que esta función de transferencia también tiene los mismos polos que los ejemplos de circuitos RLC anteriores, pero solo tiene un cero en el numerador en s = 0. Para esta función de transferencia, su ganancia es ${displaystyle G(omega)={frac {2zeta omega _{0}omega }{sqrt {left(2omega omega_{0}zeta right)^{2} +(omega _{0}^{2}-omega^{2})^{2}}}}.}$

La frecuencia resonante que maximiza esta ganancia es ${ estilo de visualización omega _ {r} = omega _ {0},}$

y la ganancia es una a esta frecuencia, por lo que el voltaje a través de la resistencia resuena a la frecuencia natural del circuito y, a esta frecuencia, la amplitud del voltaje a través de la resistencia es igual a la amplitud del voltaje de entrada.

Antirresonancia

Algunos sistemas exhiben antirresonancia que se puede analizar de la misma manera que la resonancia. Para la antirresonancia, la amplitud de la respuesta del sistema a ciertas frecuencias es desproporcionadamente pequeña en lugar de ser desproporcionadamente grande. En el ejemplo del circuito RLC, este fenómeno se puede observar analizando tanto el inductor como el capacitor combinados.

Suponga que el voltaje de salida de interés en el circuito RLC es el voltaje a través del inductor y el capacitor combinados en serie. La ecuación (4) mostró que la suma de los voltajes en los tres elementos del circuito se suma al voltaje de entrada, por lo que medir el voltaje de salida como la suma de los voltajes del inductor y del capacitor combinados es igual a v _en menos la caída de voltaje en la resistencia.. El ejemplo anterior mostró que a la frecuencia natural del sistema, la amplitud de la caída de voltaje a través de la resistencia es igual a la amplitud de v _en y, por lo tanto, el voltaje a través del inductor y el capacitor combinados tiene amplitud cero. Podemos mostrar esto con la función de transferencia.

La suma de los voltajes del inductor y del capacitor es ${displaystyle V_{out}(s)=(sL+{frac {1}{sC}})I(s),}$ ${displaystyle V_{out}(s)={frac {s^{2}+{frac {1}{LC}}}{s^{2}+{frac {R}{L}}s+ {frac{1}{LC}}}}V_{in}(s).}$

Usando las mismas relaciones de frecuencia natural y amortiguamiento que en los ejemplos anteriores, la función de transferencia es ${displaystyle H(s)={frac {s^{2}+omega_{0}^{2}}{s^{2}+2zeta omega_{0}s+omega_{ 0}^{2}}}.}$

Tenga en cuenta que esta transferencia tiene los mismos polos que los ejemplos anteriores pero tiene ceros en

Evaluando la función de transferencia a lo largo del eje imaginario, su ganancia es ${displaystyle G(omega)={frac {omega _{0}^{2}-omega ^{2}}{sqrt {left(2omega omega_{0}zeta derecha)^{2}+(omega _{0}^{2}-omega ^{2})^{2}}}}.}$

En lugar de buscar resonancia, es decir, picos de la ganancia, observe que la ganancia llega a cero en ω = ω ₀, lo que complementa nuestro análisis del voltaje de la resistencia. Esto se llama antirresonancia, que tiene el efecto opuesto a la resonancia. En lugar de dar como resultado salidas que son desproporcionadamente grandes a esta frecuencia, este circuito con esta elección de salida no tiene ninguna respuesta a esta frecuencia. La frecuencia que se filtra corresponde exactamente a los ceros de la función de transferencia, que se mostraron en la Ecuación (7) y estaban en el eje imaginario.

Relaciones entre la resonancia y la respuesta de frecuencia en el ejemplo del circuito en serie RLC

Estos ejemplos de circuitos RLC ilustran cómo se relaciona la resonancia con la respuesta de frecuencia del sistema. Específicamente, estos ejemplos ilustran:

Cómo se pueden encontrar frecuencias resonantes buscando picos en la ganancia de la función de transferencia entre la entrada y la salida del sistema, por ejemplo, en un gráfico de magnitud de Bode
Cómo la frecuencia de resonancia para un solo sistema puede ser diferente para diferentes opciones de salida del sistema
La conexión entre la frecuencia natural del sistema, la relación de amortiguamiento del sistema y la frecuencia resonante del sistema.
La conexión entre la frecuencia natural del sistema y la magnitud de los polos de la función de transferencia, señalada en la Ecuación (5), y por lo tanto una conexión entre los polos y la frecuencia resonante
Una conexión entre los ceros de la función de transferencia y la forma de la ganancia en función de la frecuencia y, por lo tanto, una conexión entre los ceros y la frecuencia resonante que maximiza la ganancia.
Una conexión entre los ceros de la función de transferencia y la antirresonancia.

La siguiente sección extiende estos conceptos a la resonancia en un sistema lineal general.

Generalización de resonancia y antirresonancia para sistemas lineales

A continuación, considere un sistema lineal arbitrario con múltiples entradas y salidas. Por ejemplo, en la representación de espacio de estado, un sistema lineal invariante en el tiempo de tercer orden con tres entradas y dos salidas podría escribirse como ${displaystyle {begin{bmatrix}{dot {x}}_{1}\{dot {x}}_{2}\{dot {x}}_{3}end{bmatrix }}=A{begin{bmatriz}x_{1}(t)\x_{2}(t)\x_{3}(t)end{bmatriz}}+B{begin{bmatriz}u_ {1}(t)\u_{2}(t)\u_{3}(t)end{bmatriz}},}$ ${displaystyle {begin{bmatrix}y_{1}(t)\y_{2}(t)end{bmatrix}}=C{begin{bmatrix}x_{1}(t)\x_{ 2}(t)\x_{3}(t)end{bmatriz}}+D{begin{bmatriz}u_{1}(t)\u_{2}(t)\u_{3} (t)end{bmatriz}},}$

donde u _i (t) son las entradas, x _i (t) son las variables de estado, y _i (t) son las salidas y A, B, C y D son matrices que describen la dinámica entre las variables.

Este sistema tiene una matriz de funciones de transferencia cuyos elementos son las funciones de transferencia entre las distintas entradas y salidas. Por ejemplo, ${displaystyle {begin{bmatrix}Y_{1}(s)\Y_{2}(s)end{bmatrix}}={begin{bmatrix}H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}(s)\H_{21}(s)&H_{22}(s)&H_{23}(s)end{bmatrix}}{begin{bmatrix}U_{1}(s)\U_{2}(s)\U_{3}(s)end{bmatriz}}.}$

Cada H _ij (s) es una función de transferencia escalar que vincula una de las entradas con una de las salidas. Los ejemplos de circuito RLC anteriores tenían un voltaje de entrada y mostraban cuatro voltajes de salida posibles: a través del capacitor, a través del inductor, a través de la resistencia y a través del capacitor y el inductor combinados en serie, cada uno con su propia función de transferencia. Si el circuito RLC se configurara para medir estos cuatro voltajes de salida, ese sistema tendría una matriz de función de transferencia de 4 × 1 que vincularía la entrada única con cada una de las cuatro salidas.

Evaluado a lo largo del eje imaginario, cada H _ij (iω) se puede escribir como ganancia y cambio de fase, ${ estilo de visualización H_ {ij} (i omega) = G_ {ij} ( omega) e ^ {i Phi _ {ij} ( omega)}.}$

Los picos en la ganancia a ciertas frecuencias corresponden a resonancias entre la entrada y la salida de esa función de transferencia, suponiendo que el sistema sea estable.

Cada función de transferencia H _ij (s) también se puede escribir como una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios de s. ${displaystyle H_{ij}(s)={frac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}}.}$

Las raíces complejas del numerador se llaman ceros y las raíces complejas del denominador se llaman polos. Para un sistema estable, las posiciones de estos polos y ceros en el plano complejo dan alguna indicación de si el sistema puede resonar o antiresonar ya qué frecuencias. En particular, cualquier par de polos conjugados complejos estables o marginalmente estables con componentes imaginarios se puede escribir en términos de una frecuencia natural y una relación de amortiguamiento como ${ displaystyle s = - zeta omega _ {0} pm y omega _ {0} { sqrt {1- zeta ^ {2}}},}$

como en la Ecuación (5). La frecuencia natural ω ₀ de ese polo es la magnitud de la posición del polo en el plano complejo y la relación de amortiguamiento de ese polo determina qué tan rápido decae esa oscilación. En general,

Los pares de polos complejos conjugados cerca del eje imaginario corresponden a un pico o resonancia en la respuesta de frecuencia en la vecindad de la frecuencia natural del polo. Si el par de polos está en el eje imaginario, la ganancia es infinita en esa frecuencia.
Los pares de ceros complejos conjugados cerca del eje imaginario corresponden a una muesca o antirresonancia en la respuesta de frecuencia en la vecindad de la frecuencia del cero, es decir, la frecuencia igual a la magnitud del cero. Si el par de ceros está en el eje imaginario, la ganancia es cero en esa frecuencia.

En el ejemplo del circuito RLC, la primera generalización que relaciona los polos con la resonancia se observa en la Ecuación (5). La segunda generalización que relaciona los ceros con la antirresonancia se observa en la Ecuación (7). En los ejemplos del oscilador armónico, el voltaje del capacitor del circuito RLC y el voltaje del inductor del circuito RLC, los "polos cerca del eje imaginario" corresponden a la condición significativamente subamortiguada ζ < 1/ ${ sqrt {2}}$ .

Ondas estacionarias

Un sistema físico puede tener tantas frecuencias naturales como grados de libertad tiene y puede resonar cerca de cada una de esas frecuencias naturales. Una masa sobre un resorte, que tiene un grado de libertad, tiene una frecuencia natural. Un péndulo doble, que tiene dos grados de libertad, puede tener dos frecuencias naturales. A medida que aumenta el número de osciladores armónicos acoplados, el tiempo que lleva transferir energía de uno a otro se vuelve significativo. Los sistemas con un gran número de grados de libertad pueden considerarse continuos en lugar de tener osciladores discretos.

La energía se transfiere de un oscilador al siguiente en forma de ondas. Por ejemplo, la cuerda de una guitarra o la superficie del agua en un cuenco se pueden modelar como un continuo de pequeños osciladores acoplados y las ondas pueden viajar a lo largo de ellos. En muchos casos, estos sistemas tienen el potencial de resonar a ciertas frecuencias, formando ondas estacionarias con oscilaciones de gran amplitud en posiciones fijas. La resonancia en forma de ondas estacionarias es la base de muchos fenómenos familiares, como el sonido producido por los instrumentos musicales, las cavidades electromagnéticas utilizadas en los láseres y los hornos de microondas y los niveles de energía de los átomos.

Ondas estacionarias en una cuerda

Cuando una cuerda de longitud fija se impulsa a una frecuencia particular, una onda se propaga a lo largo de la cuerda a la misma frecuencia. Las ondas se reflejan en los extremos de la cuerda y finalmente se alcanza un estado estacionario con ondas que viajan en ambas direcciones. La forma de onda es la superposición de las ondas.

A ciertas frecuencias, la forma de onda de estado estable no parece viajar a lo largo de la cuerda. En posiciones fijas llamadas nodos, la cuerda nunca se desplaza. Entre los nodos, la cuerda oscila y exactamente a mitad de camino entre los nodos, en posiciones llamadas antinodos, las oscilaciones tienen su mayor amplitud.

Para una cuerda de longitud $L$ con extremos fijos, el desplazamiento $y(x,t)$ de la cuerda perpendicular al $X$ eje en el tiempo $t$ es ${displaystyle y(x,t)=2y_{text{max}}sin(kx)cos(2pi ft),}$

dónde

${displaystyle y_{text{máximo}}}$ es la amplitud de las ondas que viajan hacia la izquierda y hacia la derecha que interfieren para formar la onda estacionaria,
$k$ es el número de onda,
$F$ es la frecuencia.

Las frecuencias que resuenan y forman ondas estacionarias se relacionan con la longitud de la cuerda como ${displaystyle f={frac{nv}{2L}}}$ , ${displaystyle n=1,2,3,puntos}$

donde $v$ es la velocidad de la onda y el número entero $norte$ denota diferentes modos o armónicos. La onda estacionaria con $norte$ = 1 oscila a la frecuencia fundamental y tiene una longitud de onda que es el doble de la longitud de la cuerda. Los posibles modos de oscilación forman una serie armónica.

Tipos

Mecánica y acústica

La resonancia mecánica es la tendencia de un sistema mecánico a absorber más energía cuando la frecuencia de sus oscilaciones coincide con la frecuencia natural de vibración del sistema que en otras frecuencias. Puede causar movimientos de balanceo violentos e incluso fallas catastróficas en estructuras construidas incorrectamente, incluidos puentes, edificios, trenes y aeronaves. Al diseñar objetos, los ingenieros deben asegurarse de que las frecuencias de resonancia mecánica de los componentes no coincidan con las frecuencias vibratorias de los motores u otras piezas oscilantes, un fenómeno conocido como desastre de resonancia.

Evitar los desastres de resonancia es una preocupación importante en todos los proyectos de construcción de edificios, torres y puentes. Como contramedida, se pueden instalar amortiguadores para absorber las frecuencias resonantes y así disipar la energía absorbida. El edificio Taipei 101 se basa en un péndulo de 660 toneladas (730 toneladas cortas), un amortiguador de masa sintonizado, para cancelar la resonancia. Además, la estructura está diseñada para resonar a una frecuencia que normalmente no ocurre. Los edificios en zonas sísmicas a menudo se construyen para tener en cuenta las frecuencias oscilantes del movimiento del suelo esperado. Además, los ingenieros que diseñan objetos que tienen motores deben asegurarse de que las frecuencias de resonancia mecánica de los componentes no coincidan con las frecuencias vibratorias de los motores u otras piezas que oscilan fuertemente.

Los relojes marcan el tiempo por resonancia mecánica en un volante, péndulo o cristal de cuarzo.

Se ha planteado la hipótesis de que la cadencia de los corredores es energéticamente favorable debido a la resonancia entre la energía elástica almacenada en el miembro inferior y la masa del corredor.

La resonancia acústica es una rama de la resonancia mecánica que se ocupa de las vibraciones mecánicas en el rango de frecuencia del oído humano, en otras palabras, el sonido. Para los humanos, la audición normalmente se limita a frecuencias entre aproximadamente 20 Hz y 20 000 Hz (20 kHz). Muchos objetos y materiales actúan como resonadores con frecuencias resonantes dentro de este rango y, cuando se golpean, vibran mecánicamente, empujando el aire circundante para crear ondas de sonido.. Esta es la fuente de muchos sonidos de percusión que escuchamos.

La resonancia acústica es una consideración importante para los constructores de instrumentos, ya que la mayoría de los instrumentos acústicos utilizan resonadores, como las cuerdas y el cuerpo de un violín, la longitud del tubo de una flauta y la forma y la tensión de una membrana de tambor.

Al igual que la resonancia mecánica, la resonancia acústica puede provocar una falla catastrófica del objeto en resonancia. El ejemplo clásico de esto es romper una copa de vino con sonido a la frecuencia de resonancia precisa de la copa, aunque esto es difícil en la práctica.

Estación Espacial Internacional

Los motores de los cohetes de la Estación Espacial Internacional (ISS) están controlados por un piloto automático. Por lo general, los parámetros cargados para controlar el sistema de control del motor para el módulo Zvezda hacen que los motores del cohete impulsen la Estación Espacial Internacional a una órbita más alta. Los motores de los cohetes están montados en bisagras y, por lo general, la tripulación no se da cuenta de la operación. Sin embargo, el 14 de enero de 2009, los parámetros cargados hicieron que el piloto automático moviera los motores del cohete en oscilaciones cada vez mayores, a una frecuencia de 0,5 Hz. Estas oscilaciones fueron capturadas en video y duraron 142 segundos.

Eléctrico

La resonancia eléctrica ocurre en un circuito eléctrico a una frecuencia resonante particular cuando la impedancia del circuito es mínima en un circuito en serie o máxima en un circuito paralelo (generalmente cuando la función de transferencia alcanza su valor absoluto). La resonancia en los circuitos se utiliza tanto para transmitir como para recibir comunicaciones inalámbricas, como televisión, teléfonos celulares y radio.

Óptico

Una cavidad óptica, también llamada resonador óptico, es una disposición de espejos que forma un resonador de cavidad de onda estacionaria para ondas de luz. Las cavidades ópticas son un componente principal de los láseres, rodean el medio de ganancia y proporcionan retroalimentación de la luz del láser. También se utilizan en osciladores paramétricos ópticos y algunos interferómetros. La luz confinada en la cavidad se refleja múltiples veces produciendo ondas estacionarias para ciertas frecuencias resonantes. Los patrones de ondas estacionarias producidos se denominan "modos". Los modos longitudinales difieren solo en la frecuencia, mientras que los modos transversales difieren en diferentes frecuencias y tienen diferentes patrones de intensidad a lo largo de la sección transversal del haz. Los resonadores de anillo y las galerías susurrantes son ejemplos de resonadores ópticos que no forman ondas estacionarias.

Los diferentes tipos de resonadores se distinguen por las distancias focales de los dos espejos y la distancia entre ellos; los espejos planos no se utilizan a menudo debido a la dificultad de alinearlos con precisión. La geometría (tipo de resonador) debe elegirse de modo que el haz permanezca estable, es decir, el tamaño del haz no siga creciendo con cada reflexión. Los tipos de resonador también están diseñados para cumplir con otros criterios, como la cintura mínima del haz o no tener un punto focal (y, por lo tanto, una luz intensa en ese punto) dentro de la cavidad.

Las cavidades ópticas están diseñadas para tener un factor Q muy grande. Un rayo se refleja una gran cantidad de veces con poca atenuación; por lo tanto, el ancho de la línea de frecuencia del rayo es pequeño en comparación con la frecuencia del láser.

Las resonancias ópticas adicionales son las resonancias de modo guiado y la resonancia de plasmón de superficie, que dan como resultado una reflexión anómala y campos evanescentes elevados en resonancia. En este caso, los modos resonantes son modos guiados de una guía de onda o modos de plasmón de superficie de una interfaz dieléctrico-metálica. Estos modos generalmente son excitados por una rejilla de sublongitud de onda.

Orbital

En la mecánica celeste, se produce una resonancia orbital cuando dos cuerpos en órbita ejercen una influencia gravitacional periódica y regular entre sí, generalmente debido a que sus períodos orbitales están relacionados por una proporción de dos números enteros pequeños. Las resonancias orbitales aumentan en gran medida la influencia gravitacional mutua de los cuerpos. En la mayoría de los casos, esto resulta en una inestabilidadinteracción, en la que los cuerpos intercambian impulso y cambian de órbita hasta que ya no existe la resonancia. Bajo algunas circunstancias, un sistema resonante puede ser estable y autocorregible, de modo que los cuerpos permanezcan en resonancia. Algunos ejemplos son la resonancia 1:2:4 de las lunas de Júpiter, Ganímedes, Europa e Io, y la resonancia 2:3 entre Plutón y Neptuno. Las resonancias inestables con las lunas internas de Saturno dan lugar a espacios en los anillos de Saturno. El caso especial de resonancia 1:1 (entre cuerpos con radios orbitales similares) hace que los cuerpos grandes del Sistema Solar despejen el vecindario alrededor de sus órbitas al expulsar casi todo lo que los rodea; este efecto se utiliza en la definición actual de un planeta.

Atómica, de partículas y molecular

La resonancia magnética nuclear (RMN) es el nombre dado a un fenómeno de resonancia física que implica la observación de propiedades magnéticas mecánicas cuánticas específicas de un núcleo atómico en presencia de un campo magnético externo aplicado. Muchas técnicas científicas aprovechan los fenómenos de RMN para estudiar la física molecular, los cristales y los materiales no cristalinos a través de la espectroscopia de RMN. La RMN también se usa de forma rutinaria en técnicas avanzadas de formación de imágenes médicas, como en la formación de imágenes por resonancia magnética (IRM).

Todos los núcleos que contienen un número impar de nucleones tienen un momento magnético intrínseco y un momento angular. Una característica clave de la RMN es que la frecuencia de resonancia de una sustancia en particular es directamente proporcional a la fuerza del campo magnético aplicado. Es esta característica la que se explota en las técnicas de imagen; si una muestra se coloca en un campo magnético no uniforme, las frecuencias resonantes de los núcleos de la muestra dependen de en qué parte del campo se encuentren. Por lo tanto, la partícula se puede ubicar con bastante precisión por su frecuencia resonante.

La resonancia paramagnética de electrones, también conocida como resonancia de espín de electrones (ESR), es una técnica espectroscópica similar a la RMN, pero en su lugar utiliza electrones desapareados. Los materiales a los que se puede aplicar esto son mucho más limitados, ya que el material debe tener un espín desapareado y ser paramagnético.

El efecto Mössbauer es la emisión y absorción resonante y sin retroceso de fotones de rayos gamma por átomos unidos en forma sólida.

La resonancia en la física de partículas aparece en circunstancias similares a las de la física clásica al nivel de la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Las resonancias también se pueden considerar como partículas inestables, con la fórmula en la sección de la curva de resonancia universal de este artículo que se aplica si Γ es la tasa de descomposición de la partícula y Ω es la masa M de la partícula. En ese caso, la fórmula proviene del propagador de la partícula, con su masa reemplazada por el número complejo M + iΓ. La fórmula está además relacionada con la tasa de descomposición de la partícula por el teorema óptico.

Desventajas

Una columna de soldados que marcha con paso regular sobre un puente estrecho y estructuralmente flexible puede generar oscilaciones de amplitud peligrosamente grandes. El 12 de abril de 1831, el puente colgante de Broughton cerca de Salford, Inglaterra, se derrumbó mientras un grupo de soldados británicos cruzaba. Desde entonces, el ejército británico ha tenido una orden permanente para que los soldados interrumpan el paso cuando cruzan puentes, para evitar la resonancia de su patrón de marcha regular que afecta el puente.

Las vibraciones de un motor o motor pueden inducir vibraciones resonantes en sus estructuras de soporte si su frecuencia natural es cercana a la de las vibraciones del motor. Un ejemplo común es el traqueteo de la carrocería de un autobús cuando el motor se deja al ralentí.

La resonancia estructural de un puente colgante inducida por los vientos puede provocar su colapso catastrófico. Varios de los primeros puentes colgantes en Europa y EE. UU. fueron destruidos por resonancia estructural inducida por vientos moderados. El colapso del puente Tacoma Narrows el 7 de noviembre de 1940 se caracteriza en física como un ejemplo clásico de resonancia. Robert H. Scanlan y otros han argumentado que la destrucción fue causada por el aleteo aeroelástico, una interacción complicada entre el puente y los vientos que lo atraviesan, un ejemplo de una autooscilación o una especie de "vibración autosostenida". como se menciona en la teoría no lineal de vibraciones.

Factor Q

El factor Q o factor de calidad es un parámetro adimensional que describe cuán subamortiguado está un oscilador o resonador y caracteriza el ancho de banda de un resonador en relación con su frecuencia central. Un valor alto de Q indica una menor tasa de pérdida de energía en relación con la energía almacenada, es decir, el sistema está ligeramente amortiguado. El parámetro está definido por la ecuación: ${displaystyle Q=2pi {text{ }}{frac {text{energía máxima almacenada}}{text{energía total perdida por ciclo en resonancia}}}}$ .

Cuanto mayor sea el factor Q, mayor será la amplitud en la frecuencia resonante y menor será el ancho de banda, o rango de frecuencias alrededor de la resonancia. En resonancia eléctrica, un circuito de alto Q en un receptor de radio es más difícil de sintonizar, pero tiene una mayor selectividad, por lo que sería mejor para filtrar las señales de otras estaciones. Los osciladores de alto Q son más estables.

Ejemplos que normalmente tienen un factor Q bajo incluyen cierrapuertas (Q=0.5). Los sistemas con factores Q altos incluyen diapasones (Q=1000), relojes atómicos y láseres (Q≈10).

Curva de resonancia universal

La respuesta exacta de una resonancia, especialmente para frecuencias alejadas de la frecuencia resonante, depende de los detalles del sistema físico y, por lo general, no es exactamente simétrica con respecto a la frecuencia resonante, como se ilustra para el oscilador armónico simple anterior. Para un oscilador lineal ligeramente amortiguado con una frecuencia de resonancia Ω, la intensidad de las oscilaciones I cuando el sistema se activa con una frecuencia de activación ω se aproxima típicamente mediante una fórmula que es simétrica con respecto a la frecuencia de resonancia: ${displaystyle I(omega)equiv |chi |^{2}propto {frac {1}{(omega -Omega)^{2}+left({frac {Gamma }{ 2}}derecha)^{2}}}.}$

Donde la susceptibilidad ${ estilo de visualización chi ( omega)}$ vincula la amplitud del oscilador a la fuerza impulsora en el espacio de frecuencias:

{displaystyle x(omega)=chi (omega)F(omega)}

La intensidad se define como el cuadrado de la amplitud de las oscilaciones. Esta es una función lorentziana, o distribución de Cauchy, y esta respuesta se encuentra en muchas situaciones físicas que involucran sistemas resonantes. Γ es un parámetro que depende de la amortiguación del oscilador y se conoce como el ancho de línea de la resonancia. Los osciladores fuertemente amortiguados tienden a tener anchos de línea amplios y responden a un rango más amplio de frecuencias impulsoras alrededor de la frecuencia resonante. El ancho de línea es inversamente proporcional al factor Q, que es una medida de la nitidez de la resonancia.

En ingeniería de radio e ingeniería electrónica, esta respuesta simétrica aproximada se conoce como curva de resonancia universal, un concepto introducido por Frederick E. Terman en 1932 para simplificar el análisis aproximado de circuitos de radio con un rango de frecuencias centrales y valores de Q.