Representación del grupo

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Homomorfismo de grupo en el grupo lineal general sobre un espacio vectorial

Una representación de un grupo "actúa" en un objeto. Un ejemplo simple es cómo las simetrías de un polígono regular, consistentes en reflexiones y rotaciones, transforman el polígono.

En el campo matemático de la teoría de la representación, las representaciones de grupo describen grupos abstractos en términos de transformaciones lineales biyectivas de un espacio vectorial a sí mismo (es decir, automorfismos del espacio vectorial); en particular, se pueden usar para representar elementos de grupo como matrices invertibles, de modo que la operación de grupo se pueda representar mediante la multiplicación de matrices.

En química, una representación de grupo puede relacionar elementos de grupos matemáticos con rotaciones simétricas y reflexiones de moléculas.

Las representaciones de grupos son importantes porque permiten que muchos problemas de teoría de grupos se reduzcan a problemas de álgebra lineal, lo cual se entiende bien. También son importantes en física porque, por ejemplo, describen cómo el grupo de simetría de un sistema físico afecta las soluciones de las ecuaciones que describen ese sistema.

El término representación de un grupo también se usa en un sentido más general para referirse a cualquier "descripción" de un grupo como un conjunto de transformaciones de algún objeto matemático. Más formalmente, una "representación" significa un homomorfismo del grupo al grupo de automorfismos de un objeto. Si el objeto es un espacio vectorial tenemos una representación lineal. Algunas personas usan realización para la noción general y reservan el término representación para el caso especial de representaciones lineales. La mayor parte de este artículo describe la teoría de la representación lineal; ver la última sección para generalizaciones.

Ramas de la teoría de la representación de grupos

La teoría de la representación de grupos se divide en subteorías según el tipo de grupo representado. Las diversas teorías son bastante diferentes en los detalles, aunque algunas definiciones y conceptos básicos son similares. Las divisiones más importantes son:

Grupos finitos — Las representaciones de grupos son una herramienta muy importante en el estudio de grupos finitos. También surgen en las aplicaciones de la teoría del grupo finito a la cristalografía y a la geometría. Si el campo de los escalares del espacio vectorial tiene características p, y si p divide el orden del grupo, entonces esto se llama teoría de la representación modular; este caso especial tiene propiedades muy diferentes. Ver Teoría de Representación de grupos finitos.
Grupos compactos o grupos locales — Muchos de los resultados de la teoría de la representación de grupos finitos son probados por el promedio sobre el grupo. Estas pruebas se pueden llevar a grupos infinitos mediante la sustitución del promedio con una integral, siempre que se pueda definir una noción aceptable de integral. Esto se puede hacer para grupos localmente compactos, utilizando la medida Haar. La teoría resultante es una parte central del análisis armónico. La dualidad Pontryagin describe la teoría de los grupos comunicativos, como un transformado Fourier generalizado. Vea también: Peter-Weyl teorem.
Grupos de mentira - Muchos importantes Los grupos de mentira son compactos, por lo que los resultados de la teoría de la representación compacta se aplican a ellos. También se utilizan otras técnicas específicas para los grupos Lie. La mayoría de los grupos importantes en física y química son grupos de mentira, y su teoría de la representación es crucial para la aplicación de la teoría del grupo en esos campos. Ver Representaciones de grupos de Lie y Representaciones de álgebras Lie.
Grupos algebraicos lineales (o más generalmente affine group schemes) Estos son los análogos de los grupos de Lie, pero sobre campos más generales que simplemente R o C. Aunque los grupos algebraicos lineales tienen una clasificación que es muy similar a la de los grupos Lie, y dan lugar a las mismas familias de álgebras Lie, sus representaciones son bastante diferentes (y mucho menos bien entendido). Las técnicas analíticas utilizadas para estudiar grupos Lie deben ser reemplazadas por técnicas de geometría algebraica, donde la topología Zariski relativamente débil causa muchas complicaciones técnicas.
Non-compact topological groups — La clase de grupos no compuestos es demasiado amplia para construir cualquier teoría general de la representación, pero se han estudiado casos especiales específicos, a veces utilizando técnicas ad hoc. El semisimple Grupos de mentira tener una teoría profunda, basándose en el caso compacto. Complementos solvable Los grupos de mentira no pueden clasificarse de la misma manera. La teoría general de los grupos Lie trata de productos semidirectos de los dos tipos, por medio de resultados generales llamados Teoría de Mackey, que es una generalización de los métodos de clasificación de Wigner.

La teoría de la representación también depende en gran medida del tipo de espacio vectorial sobre el que actúa el grupo. Se distingue entre representaciones de dimensión finita y de dimensión infinita. En el caso de dimensión infinita, las estructuras adicionales son importantes (por ejemplo, si el espacio es o no un espacio de Hilbert, un espacio de Banach, etc.).

También hay que considerar el tipo de campo sobre el que se define el espacio vectorial. El caso más importante es el campo de los números complejos. Los otros casos importantes son el campo de números reales, campos finitos y campos de números p-ádicos. En general, los campos cerrados algebraicamente son más fáciles de manejar que los no cerrados algebraicamente. La característica del campo también es significativa; muchos teoremas para grupos finitos dependen de la característica del campo que no divide el orden del grupo.

Definiciones

Una representación de un grupo G en un espacio vectorial V sobre un campo K es un homomorfismo de grupo de G a GL(V), el grupo lineal general en V. Es decir, una representación es un mapa.

{displaystyle rho colon Gto mathrm {GL} left(Vright)}

tal que

rho (g_{1}g_{2})=rho (g_{1})rho (g_{2}),qquad {text{for all }}g_{1},g_{2}in G.

Aquí V se denomina espacio de representación y la dimensión de V se denomina dimensión de la representación. Es una práctica común referirse a V como la representación cuando el homomorfismo es claro por el contexto.

En el caso de que V sea de dimensión finita n, es común elegir una base para V e identificar GL( V) con GL(n, K), el grupo de n-por-n matrices invertibles en el campo K.

Si G es un grupo topológico y V es un espacio vectorial topológico, un Representación continua de G on V es una representación *** tal que la aplicación ⋅: G × V → V definidas por Negotiat(g, v) ***()g)v) es continuo.
El kernel de una representación *** de un grupo G se define como el subgrupo normal de G cuya imagen bajo *** es la transformación de la identidad:

ker rho =left{gin Gmid rho (g)=mathrm {id} right}.

Una representación fiel es una en la que el homomorfismo G → GL(V) es inyectable; en otras palabras, uno cuyo núcleo es el subgrupo trivial {e} que consiste sólo en el elemento de identidad del grupo.

Dado dos K vectores de espacios V y W, dos representaciones ***: G → GL(V) y π: G → GL(W) se dice que equivalente o isomorfo si existe un isomorfismo espacio vectorial α: V → W para siempre g dentro G,

alpha circ rho (g)circ alpha ^{-1}=pi (g).

Ejemplos

Considere el número complejo u = e^{2πi / 3} que tiene la propiedad u³ = 1. El conjunto C₃ = {1,1 u, u²} forma un grupo cíclico bajo multiplicación. Este grupo tiene una representación ρ en $mathbb{C}^2$ dado por:

rho left(1right)={begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}}qquad rho left(uright)={begin{bmatrix}1&0\0&u\end{bmatrix}}qquad rho left(u^{2}right)={begin{bmatrix}1&0\0&u^{2}\end{bmatrix}}.

Esta representación es fiel porque ρ es un mapa de uno a uno.

Otra representación para C₃ on $mathbb{C}^2$ , isomorfa a la anterior, es σ dada por:

{displaystyle sigma left(1right)={begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}}qquad sigma left(uright)={begin{bmatrix}u&0\0&1\end{bmatrix}}qquad sigma left(u^{2}right)={begin{bmatrix}u^{2}&0\0&1\end{bmatrix}}.}

El grupo C₃ puede ser representado fielmente $mathbb {R} ^{2}$ por τ dado por:

{displaystyle tau left(1right)={begin{bmatrix}1&0\0&1\end{bmatrix}}qquad tau left(uright)={begin{bmatrix}a&-b\b&a\end{bmatrix}}qquad tau left(u^{2}right)={begin{bmatrix}a&b\-b&a\end{bmatrix}}}

dónde

a={text{Re}}(u)=-{tfrac {1}{2}},qquad b={text{Im}}(u)={tfrac {sqrt {3}}{2}}.

Otro ejemplo:

Vamos $V$ ser el espacio de polinomios de grado homogéneo-3 sobre los números complejos en variables ${displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

Entonces... $S_{3}$ actos $V$ por permutación de las tres variables.

Por ejemplo, $(12)$ envía ${displaystyle x_{1}^{3}}$ a ${displaystyle x_{2}^{3}}$ .

Reducibilidad

Un subespacio W de V que es invariable bajo la acción del grupo se llama subrepresentación. Si V tiene exactamente dos subrepresentaciones, a saber, el subespacio de dimensión cero y V mismo, entonces se dice que la representación es irreducible; si tiene una subrepresentación adecuada de dimensión distinta de cero, se dice que la representación es reducible. La representación de la dimensión cero se considera ni reducible ni irreducible, al igual que el número 1 no se considera ni compuesto ni primo.

Bajo el supuesto de que la característica del campo K no divide el tamaño del grupo, las representaciones de grupos finitos se pueden descomponer en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles (ver Maschke's teorema). Esto es válido en particular para cualquier representación de un grupo finito sobre los números complejos, ya que la característica de los números complejos es cero, que nunca divide el tamaño de un grupo.

En el ejemplo anterior, las dos primeras representaciones dadas (ρ y σ) se pueden descomponer en dos subrepresentaciones unidimensionales (dadas por span{(1,0)} y span{(0,1)}), mientras que la tercera representación (τ) es irreducible.

Generalizaciones

Representaciones teóricas de conjuntos

Una representación teórica de conjuntos (también conocida como acción de grupo o representación de permutación) de un grupo G en un conjunto X viene dado por una función ρ: G → X^X, el conjunto de funciones de X a X, tal que para todo g₁, g₂ en G y todo x en X:

rho (1)[x]=x

{displaystyle rho (g_{1}g_{2})[x]=rho (g_{1})[rho (g_{2})[x]],}

Donde $1$ es el elemento de identidad G. Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ(g) es una bijeción (o permutación) para todos g dentro G. Así podemos definir equivalentemente una representación de permutación para ser un homomorfismo de grupo de G al grupo simétrico S_X de X.

Para obtener más información sobre este tema, consulte el artículo sobre acción grupal.

Representaciones en otras categorías

Cada grupo G se puede ver como una categoría con un solo objeto; los morfismos en esta categoría son solo los elementos de G. Dada una categoría arbitraria C, una representación de G en C es un funtor de G a C. Dicho funtor selecciona un objeto X en C y un homomorfismo de grupo de G a Aut(X), el grupo de automorfismos de X.

En el caso de que C sea Vect_K, la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K, esta definición es equivalente a una representación lineal. Del mismo modo, una representación teórica de conjuntos es solo una representación de G en la categoría de conjuntos.

Cuando C es Ab, la categoría de los grupos abelianos, los objetos obtenidos se denominan G-módulos.

Para otro ejemplo, considere la categoría de espacios topológicos, Superior. Las representaciones en Top son homomorfismos de G al grupo de homeomorfismos de un espacio topológico X.

Dos tipos de representaciones estrechamente relacionadas con las representaciones lineales son:

representaciones proyectivas: en la categoría de espacios proyectores. Estos pueden describirse como "representaciones lineales hasta transformaciones escalares".
affine representations: en la categoría de espacios affine. Por ejemplo, el grupo euclidiano actúa afinalmente sobre el espacio euclidiano.

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