Relación de equivalencia

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Concepto matemático para comparar objetos

Relaciones binarias transitivas

	Simétrico	Antisymmetric	Conectado	Bien fundada	Has joineds	Has meets	Reflexivo	Irreflexivo	Asimétrica
			Total, Semiconnex					Anti- reflexivo
Equivalencia relación	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Preorden (Quasiorder)	✗	✗	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Orden parcial	✗	Y	✗	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Total preordenado	✗	✗	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Orden total	✗	Y	Y	✗	✗	✗	Y	✗	✗
Prewellordering	✗	✗	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Bien ordenado	✗	✗	✗	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Bien ordenado	✗	Y	Y	Y	✗	✗	Y	✗	✗
Lattice	✗	Y	✗	✗	Y	Y	Y	✗	✗
Join-semilattice	✗	Y	✗	✗	Y	✗	Y	✗	✗
Meet-semilattice	✗	Y	✗	✗	✗	Y	Y	✗	✗
Orden parcial estricta	✗	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Orden débil estricto	✗	Y	✗	✗	✗	✗	✗	Y	Y
Orden total estricta	✗	Y	Y	✗	✗	✗	✗	Y	Y
	Simétrico	Antisymmetric	Conectado	Bien fundada	Has joineds	Has meets	Reflexivo	Irreflexivo	Asimétrica
Definiciones, para todos $a,b$ y ${displaystyle Sneq varnothing:}$	${displaystyle {begin{aligned}&aRb\Rightarrow {}&bRaend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}aRb{text{ and }}&bRa\Rightarrow a={}&bend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}aneq {}&bRightarrow \aRb{text{ or }}&bRaend{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}min S\{text{exists}}end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}avee b\{text{exists}}end{aligned}}}$	${displaystyle {begin{aligned}awedge b\{text{exists}}end{aligned}}}$	${displaystyle aRa}$	${displaystyle {text{not }}aRa}$	${displaystyle {begin{aligned}aRbRightarrow \{text{not }}bRaend{aligned}}}$

Y indica que la propiedad de la columna es requerida por la definición del término de la fila (a la izquierda). Por ejemplo, la definición de una relación de equivalencia requiere que sea simétrica. ✗ indica que la propiedad puede, o no puede retener. Todas las definiciones requieren tácitamente la relación homogénea

R

ser transitivo: para todos

a,b,c,

{displaystyle aRb}

{displaystyle bRc}

entonces

{displaystyle aRc,}

y hay propiedades adicionales que una relación homogénea puede satisfacer.

Las 52 relaciones de equivalencia en un conjunto de 5 elementos representados como

5times 5

matrices lógicas (campos coloreados, incluyendo aquellos en gris claro, destacan por los; campos blancos para ceros). Los índices de fila y columna de células no blancas son los elementos relacionados, mientras que los diferentes colores, aparte del gris claro, indican las clases de equivalencia (cada célula gris claro es su propia clase de equivalencia).

En matemáticas, una relación de equivalencia es una relación binaria reflexiva, simétrica y transitiva. La relación de equipolencia entre segmentos de línea en geometría es un ejemplo común de una relación de equivalencia.

Cada relación de equivalencia proporciona una partición del conjunto subyacente en clases de equivalencia separadas. Dos elementos del conjunto dado son equivalentes entre sí si y solo si pertenecen a la misma clase de equivalencia.

Notación

Varias notaciones se utilizan en la literatura para denotar que dos elementos $a$ y $b$ de un conjunto son equivalentes con respecto a una relación de equivalencia ${displaystyle R;}$ los más comunes son " $asim b$ "y" $a ↑ b$ ", que se utilizan cuando $R$ es implícito, y variaciones de " ${displaystyle asim _{R}b}$ ", " $a ↑ R b$ ", o " ${displaystyle {amathop {R} b}}$ "para especificar $R$ explícitamente. La no equidad puede ser escrita " $a ≁ b$ "o" $anot equiv b$ ".

Definición

Una relación binaria $,sim,$ en un set $X$ se dice que es una relación de equivalencia, si y sólo si es reflexiva, simétrica y transitiva. Eso es, para todos $a, b,$ y $c$ dentro ${displaystyle X:}$

${displaystyle asim a}$ (reflexividad).
$asim b$ si ${displaystyle bsim a}$ (simetría).
Si $asim b$ y ${displaystyle bsim c}$ entonces ${displaystyle asim c}$ (transitividad).

$X$ junto con la relación $,sim,$ se llama setoide. La clase de equivalencia $a$ menores ${displaystyle ,sim}$ denotado ${displaystyle [a],}$ se define como ${displaystyle [a]={xin X:xsim a}.}$

Definición alternativa usando álgebra relacional

En álgebra relacional, si $Rsubseteq Xtimes Y$ y $Ssubseteq Ytimes Z$ son relaciones, entonces la relación compuesta ${displaystyle SRsubseteq Xtimes Z}$ se define de modo que ${displaystyle x,SR,z}$ si y sólo si hay $yin Y$ tales que ${displaystyle x,R,y}$ y ${displaystyle y,S,z}$ . Esta definición es una generalización de la definición de composición funcional. Las propiedades definitorias de una relación de equivalencia $R$ en un set $X$ puede entonces ser reformulado como sigue:

${displaystyle operatorname {id} subseteq R}$ . (reflexividad). (Aquí, ${displaystyle operatorname {id} }$ denota la función de identidad en $X$ .)
${displaystyle R=R^{-1}}$ (simetría).
${displaystyle RRsubseteq R}$ (transitividad).

Ejemplos

Ejemplo sencillo

En el set ${displaystyle X={a,b,c}}$ , la relación ${displaystyle R={(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}}$ es una relación de equivalencia. Los siguientes conjuntos son clases de equivalencia de esta relación:

{displaystyle [a]={a},~~~~[b]=[c]={b,c}.}

El conjunto de todas las clases de equivalencia para $R$ es ${displaystyle {{a},{b,c}}.}$ Este conjunto es una partición del conjunto $X$ con respecto a $R$ .

Relaciones de equivalencia

Las siguientes relaciones son todas relaciones de equivalencia:

"Es igual a" en el conjunto de números. Por ejemplo, ${tfrac {1}{2}}$ es igual a ${displaystyle {tfrac {4}{8}}.}$
"Tiene el mismo cumpleaños que" en el conjunto de todas las personas.
"Es similar a" en el conjunto de todos los triángulos.
"Es congruente con" en el conjunto de todos los triángulos.
Dado un número natural $n$ , "es congruente con, modulo $n$ "en los enteros.
Dada la función $f:Xto Y$ , "tiene la misma imagen bajo $f$ como" en los elementos de $f$ 's dominio $X$ . Por ejemplo, ${displaystyle 0}$ y $pi$ tener la misma imagen debajo $sin$ , viz. ${displaystyle 0}$ .
"Tiene el mismo valor absoluto que" en el conjunto de números reales
"Tiene el mismo cosino que" en el conjunto de todos los ángulos.

Relaciones que no son equivalencias

La relación "≥" entre números reales es reflexiva y transitiva, pero no simétrica. Por ejemplo, 7 ≥ 5 pero no 5 ≥ 7.
La relación "tiene un factor común superior a 1 con" entre números naturales mayores de 1, es reflexiva y simétrica, pero no transitiva. Por ejemplo, los números naturales 2 y 6 tienen un factor común mayor que 1, y 6 y 3 tienen un factor común mayor que 1, pero 2 y 3 no tienen un factor común mayor que 1.
La relación vacía R (definido de modo que aRb nunca es verdad) en un conjunto X es vacuosamente simétrico y transitivo; sin embargo, no es reflexivo (a menos X en sí mismo está vacía).
La relación "es aproximadamente igual a" entre números reales, incluso si se define más precisamente, no es una relación de equivalencia, porque aunque reflexiva y simétrica, no es transitiva, ya que múltiples pequeños cambios pueden acumularse para convertirse en un gran cambio. Sin embargo, si la aproximación se define asintomáticamente, por ejemplo diciendo que dos funciones f y g son aproximadamente iguales cerca de algún punto si el límite f − g es 0 en ese punto, entonces esto define una relación de equivalencia.

Conexiones con otras relaciones

Un orden parcial es una relación reflexiva, antisimétrico, y transitivo.
La igualdad es una relación de equivalencia y un orden parcial. La igualdad es también la única relación en un conjunto que es reflexivo, simétrico y antisimétrico. En expresiones algebraicas, las variables iguales pueden sustituirse entre sí, una instalación que no está disponible para variables relacionadas con la equivalencia. Las clases de equivalencia de una relación de equivalencia pueden sustituirse entre sí, pero no entre individuos dentro de una clase.
Un estricto orden parcial es irreflexivo, transitivo y asimétrico.
Una relación de equivalencia parcial es transitiva y simétrica. Tal relación es reflexiva si y sólo si es total, es decir, si para todos $a,$ existe ${displaystyle b{text{ such that }}asim b.}$ Por lo tanto, una relación de equivalencia puede definirse alternativamente como una relación simétrica, transitiva y total.
Una relación de equivalencia ternaria es un análogo ternario a la relación habitual (binaria) de equivalencia.
Una relación reflexiva y simétrica es una relación de dependencia (si finita), y una relación de tolerancia si infinita.
Un preorden es reflexivo y transitivo.
Una relación congruencia es una relación de equivalencia cuyo dominio $X$ es también el conjunto subyacente para una estructura algebraica, y que respeta la estructura adicional. En general, las relaciones de congruencia desempeñan el papel de los núcleos de homomorfismos, y se puede formar el cociente de una estructura por una relación de congruencia. En muchos casos importantes, las relaciones de congruencia tienen una representación alternativa como subestructuras de la estructura en la que se definen (por ejemplo, las relaciones de congruencia en grupos corresponden a los subgrupos normales).
Cualquier relación de equivalencia es la negación de una relación de separación, aunque la afirmación conversa sólo tiene en las matemáticas clásicas (a diferencia de las matemáticas constructivas), ya que es equivalente a la ley del medio excluido.
Cada relación que es tanto reflexiva como izquierda (o derecha) Euclidean es también una relación de equivalencia.

Bien definida bajo una relación de equivalencia

Si $,sim,$ es una relación de equivalencia $X,$ y $P(x)$ es una propiedad de elementos $X,$ tal como sea ${displaystyle xsim y,}$ $P(x)$ es verdad $P(y)$ es verdad, entonces la propiedad $P$ se dice que está bien definido o Clase invariable bajo la relación ${displaystyle ,sim.}$

Un caso particular frecuente ocurre cuando $f$ es una función $X$ a otro conjunto ${displaystyle Y;}$ si $x_1 sim x_2$ implicación ${displaystyle fleft(x_{1}right)=fleft(x_{2}right)}$ entonces $f$ se dice que es un morfismo para ${displaystyle ,sim}$ a Clase invariable bajo ${displaystyle ,sim}$ o simplemente invariable under ${displaystyle ,sim.}$ Esto ocurre, por ejemplo, en la teoría del carácter de grupos finitos. Este último caso con la función $f$ puede ser expresado por un triángulo conmutativo. Vea también invariante. Algunos autores utilizan "compatible con ${displaystyle ,sim }$ "o simplemente "respetos" ${displaystyle ,sim }$ "en vez de "invariante bajo ${displaystyle ,sim }$ ".

Más generalmente, una función puede mapear argumentos equivalentes (bajo una relación de equivalencia ${displaystyle ,sim _{A}}$ ) a valores equivalentes (bajo una relación de equivalencia ${displaystyle ,sim _{B}}$ ). Tal función se conoce como un morfismo de ${displaystyle ,sim _{A}}$ a ${displaystyle ,sim _{B}.}$

Clase de equivalencia, conjunto de cocientes, partición

Vamos ${displaystyle a,bin X.}$ Algunas definiciones:

Clase de equivalencia

Un subconjunto Y de X tales que $asim b$ para todos a y b dentro Y, y nunca para a dentro Y y b afuera Y, se llama un Clase de equivalencia de X Deja ${displaystyle [a]:={xin X:asim x}}$ denota la clase de equivalencia a la cual a pertenece. Todos los elementos X equivalentes entre sí son también elementos de la misma clase de equivalencia.

Conjunto de cocientes

El conjunto de todas las clases de equivalencia X por ~, denotado ${displaystyle X/{mathord {sim }}:={[x]:xin X},}$ es Conjunto de referencia de X por ~. Si X es un espacio topológico, hay una forma natural de transformación ${displaystyle X/sim }$ en un espacio topológico; ver espacio cociente para los detalles.

Proyección

El proyección de $,sim,$ es la función ${displaystyle pi:Xto X/{mathord {sim }}}$ definidas por $pi (x)=[x]$ que mapea elementos de $X$ en sus respectivas clases de equivalencia ${displaystyle ,sim.}$

Theorem sobre proyecciones: Dejar la función

{displaystyle f:Xto B}

ser tal si

asim b

entonces

{displaystyle f(a)=f(b).}

Entonces hay una función única

{displaystyle g:X/sim to B}

tales que

{displaystyle f=gpi.}

f

es una subjeción y

{displaystyle asim b{text{ if and only if }}f(a)=f(b),}

entonces

g

es una bijeción.

Núcleo de equivalencia

El kernel de equivalencia de una función $f$ es la relación de equivalencia ~ definida por ${displaystyle xsim y{text{ if and only if }}f(x)=f(y).}$ El núcleo de equivalencia de una inyección es la relación de identidad.

Partición

Una partición de X es un conjunto P de subconjuntos no vacíos de X, tal que cada elemento de X es un elemento de un solo elemento de P. Cada elemento de P es una celda de la partición. Además, los elementos de P son pares disjuntos y su unión es X.

Contar particiones

Sea X un conjunto finito con n elementos. Dado que toda relación de equivalencia sobre X corresponde a una partición de X y viceversa, el número de relaciones de equivalencia sobre X es igual al número de relaciones distintas particiones de X, que es el nésimo número de Bell B_n:

{displaystyle B_{n}={frac {1}{e}}sum _{k=0}^{infty }{frac {k^{n}}{k!}}quad }

(Fórmula de Dobinski).

Teorema fundamental de las relaciones de equivalencia

Un resultado clave vincula las relaciones de equivalencia y las particiones:

Una relación de equivalencia ~ en un conjunto X particiones X.
Por el contrario, correspondiente a cualquier partición de X, existe una relación de equivalencia ~ en X.

En ambos casos, las celdas de la partición de X son las clases de equivalencia de X por ~. Dado que cada elemento de X pertenece a una celda única de cualquier partición de X, y dado que cada celda de la partición es idéntica a una clase de equivalencia de X por ~, cada elemento de X pertenece a una única clase de equivalencia de X por ~. Por lo tanto, existe una biyección natural entre el conjunto de todas las relaciones de equivalencia en X y el conjunto de todas las particiones de X.

Comparar relaciones de equivalencia

Si $sim$ y $approx$ son dos relaciones de equivalencia en el mismo conjunto $S$ , y $asim b$ implicación $aapprox b$ para todos ${displaystyle a,bin S,}$ entonces $approx$ se dice que es un grueso relación que $sim$ , y $sim$ es un fino relación que $approx$ . Equivalentemente,

$sim$ es más fino que $approx$ si cada clase de equivalencia $sim$ es un subconjunto de una clase de equivalencia $approx$ , y así cada clase de equivalencia $approx$ es una unión de clases de equivalencia $sim$ .
$sim$ es más fino que $approx$ si la partición creada por $sim$ es un refinamiento de la partición creada por $approx$ .

La relación de equivalencia de igualdad es la relación de equivalencia más fina de cualquier conjunto, mientras que la relación universal, que relaciona todos los pares de elementos, es la más tosca.

La relación " $sim$ es más fino que $approx$ "en la colección de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto fijo es en sí una relación de orden parcial, lo que hace de la colección una celosía geométrica.

Generando relaciones de equivalencia

Dado cualquier conjunto $X,$ una relación de equivalencia sobre el conjunto ${displaystyle [Xto X]}$ de todas las funciones $Xto X$ se puede obtener de la siguiente manera. Dos funciones se consideran equivalentes cuando sus respectivos conjuntos de puntos fijos tienen la misma cardinalidad, correspondiente a ciclos de longitud uno en una permutación.
Relación de equivalencia $,sim,$ on $X$ es el núcleo de equivalencia de su proyección subjetiva ${displaystyle pi:Xto X/sim.}$ Por el contrario, cualquier superjección entre conjuntos determina una partición en su dominio, el conjunto de preimages de singletons en el codomain. Así una relación de equivalencia sobre $X,$ a partición de $X,$ y una proyección cuyo dominio es $X,$ son tres formas equivalentes de especificar lo mismo.
La intersección de cualquier colección de relaciones de equivalencia sobre X (relaciones binarias consideradas como un subconjunto de $Xtimes X$ ) es también una relación de equivalencia. Esto produce una manera conveniente de generar una relación de equivalencia: dada cualquier relación binaria R on X, la relación de equivalencia generado por R es la intersección de todas las relaciones de equivalencia que contienen R (también conocido como la relación de equivalencia más pequeña que contiene R). Concretamente, R genera la relación de equivalencia

asim b

si existe un número natural

n

y elementos

{displaystyle x_{0},ldotsx_{n}in X}

tales que

{displaystyle a=x_{0}}

{displaystyle b=x_{n}}

, y

{displaystyle x_{i-1}mathrel {R} x_{i}}

{displaystyle x_{i}mathrel {R} x_{i-1}}

, para

{displaystyle i=1,ldotsn.}

La relación de equivalencia generada de esta manera puede ser trivial. Por ejemplo, la relación de equivalencia generada por cualquier orden total sobre X tiene exactamente una clase de equivalencia, X en sí mismo.

Las relaciones de equidad pueden construir nuevos espacios "encolando las cosas juntos". Vamos X ser la unidad cuadrado cartesiano ${displaystyle [0,1]times [0,1],}$ y dejar ~ ser la relación de equivalencia en X definidas por ${displaystyle (a,0)sim (a,1)}$ para todos ${displaystyle ain [0,1]}$ y ${displaystyle (0,b)sim (1,b)}$ para todos ${displaystyle bin [0,1],}$ Luego el espacio cociente ${displaystyle X/sim }$ se puede identificar de forma natural (homeomorfismo) con un toro: tomar un pedazo cuadrado de papel, doblar y pegar juntos el borde superior e inferior para formar un cilindro, luego doblar el cilindro resultante para pegar juntos sus dos extremos abiertos, resultando en un toro.

Estructura algebraica

Gran parte de las matemáticas se basa en el estudio de equivalencias y relaciones de orden. La teoría de celosía captura la estructura matemática de las relaciones de orden. Aunque las relaciones de equivalencia son tan omnipresentes en matemáticas como las relaciones de orden, la estructura algebraica de las equivalencias no es tan conocida como la de los órdenes. La primera estructura se basa principalmente en la teoría de grupos y, en menor medida, en la teoría de celosías, categorías y groupoides.

Teoría de grupos

Así como las relaciones de orden se fundamentan en conjuntos ordenados, conjuntos cerrados bajo supremo e ínfimo por pares, las relaciones de equivalencia se fundamentan en conjuntos particionados, que son conjuntos cerrados bajo biyecciones que conservan la estructura de partición. Dado que todas estas biyecciones asignan una clase de equivalencia a sí misma, estas biyecciones también se conocen como permutaciones. Por lo tanto, los grupos de permutación (también conocidos como grupos de transformación) y la noción relacionada de órbita arrojan luz sobre la estructura matemática de las relaciones de equivalencia.

Dejar '~' denotar una relación de equivalencia sobre un conjunto no vacío A, llamado el universo o conjunto subyacente. Vamos G denota el conjunto de funciones bijetivas sobre A que conservan la estructura de la partición A, significa eso para todos $xin A$ y ${displaystyle gin G,g(x)in [x].}$ Luego los siguientes tres teoremas conectados sostienen:

~ particiones A en clases de equivalencia. (Este es el Teorema fundamental de las relaciones de equidad, mencionado anteriormente);
Dado una partición de A, G es un grupo de transformación bajo composición, cuyas órbitas son las células de la partición;

Dado un grupo de transformación G sobre A, existe una relación de equivalencia ~ sobre A, cuyas clases de equivalencia son las órbitas de G.

En suma, dada una relación de equivalencia ~ sobre A, existe un grupo de transformación G sobre A cuyas órbitas son las clases de equivalencia de A bajo ~.

Esta caracterización del grupo de transformación de las relaciones de equivalencia difiere fundamentalmente de la forma en que los retículos caracterizan las relaciones de orden. Los argumentos de la teoría de la red las operaciones encuentro y unión son elementos de algún universo A. Mientras tanto, los argumentos de las operaciones de grupo de transformación composición e inversa son elementos de un conjunto de biyecciones, A → A.

Mover a grupos en general, dejar H ser un subgrupo de algún grupo G. Let ~ ser una relación de equivalencia G, tal que ${displaystyle asim b{text{ if and only if }}ab^{-1}in H.}$ Las clases de equivalencia de ~ también llamadas las órbitas de la acción de H on G-son la derecha Cosets de H dentro G. Intercambiando a y b cede los cosets izquierdos.

El pensamiento relacionado se puede encontrar en Rosen (2008: cap. 10).

Categorías y groupoides

Vamos G ser un conjunto y dejar "~" denota una relación de equivalencia sobre G. Entonces podemos formar un groupoid representando esta relación de equivalencia como sigue. Los objetos son los elementos de G, y para cualquier dos elementos x y Sí. de G, existe un morfismo único de x a Sí. si ${displaystyle xsim y.}$

Las ventajas de considerar una relación de equivalencia como un caso especial de un grupoide incluyen:

Mientras que la noción de "relación de equivalencia libre" no existe, la de un grupoides libre en un gráfico dirigido lo hace. Por lo tanto, es significativo hablar de una "presentación de una relación de equivalencia", es decir, una presentación del grupoides correspondiente;
Los grupos, las acciones colectivas, los conjuntos y las relaciones de equivalencia pueden considerarse casos especiales de la noción de groupoid, punto de vista que sugiere varias analogías;
En muchos contextos "coordinar", y por lo tanto las relaciones de equivalencia apropiadas a menudo llamadas congruencias, son importantes. Esto conduce a la noción de un grupoides interno en una categoría.

Celosías

Las relaciones de equivalencia en cualquier conjunto X, cuando se ordenan por inclusión de conjunto, forman un retículo completo, llamado Con X por convención. El mapa canónico ker: X^X → Con X, relaciona el monoide X^X de todas las funciones en X y Con X. ker es sobreyectiva pero no inyectiva. Menos formalmente, la relación de equivalencia ker sobre X, toma cada función f: X→X a su kernel ker f. Asimismo, ker(ker) es una relación de equivalencia sobre X^X.

Relaciones de equivalencia y lógica matemática

Las relaciones de equivalencia son una fuente fácil de ejemplos o contraejemplos. Por ejemplo, una relación de equivalencia con exactamente dos clases de equivalencia infinitas es un ejemplo fácil de una teoría que es ω-categórica, pero no categórica para ningún número cardinal mayor.

Una implicación de la teoría de modelos es que las propiedades que definen una relación se pueden demostrar independientes entre sí (y, por lo tanto, como partes necesarias de la definición) si y solo si, para cada propiedad, se pueden encontrar ejemplos de relaciones que no satisfagan los requisitos dados. propiedad mientras se satisfacen todas las demás propiedades. Por lo tanto, las tres propiedades definitorias de las relaciones de equivalencia pueden demostrarse mutuamente independientes mediante los siguientes tres ejemplos:

Reflexivo y transitivo: La relación ≤ en N. O cualquier preorden;
Simétrico y transitivo: La relación R on N, definido como aRb Administración ab o cualquier relación de equivalencia parcial;
Reflexivo y simétrico: La relación R on Z, definido como aRb ↔ "a − b es divisible por al menos uno de 2 o 3." O cualquier relación de dependencia.

Las propiedades definibles en lógica de primer orden que una relación de equivalencia puede o no poseer incluyen:

El número de clases de equivalencia es finito o infinito;
El número de clases de equivalencia equivale al número natural (finito) n;
Todas las clases de equivalencia tienen infinita cardenalidad;
El número de elementos en cada clase de equivalencia es el número natural n.

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