Relación de congruencia

En álgebra abstracta, una relación de congruencia (o simplemente congruencia) es una relación de equivalencia en una estructura algebraica (como un grupo, anillo o espacio vectorial) que es compatible con la estructura en el sentido de que las operaciones algebraicas realizadas con elementos equivalentes producirán elementos equivalentes. Cada relación de congruencia tiene una estructura de cociente correspondiente, cuyos elementos son las clases de equivalencia (o clases de congruencia) para la relación.

Ejemplo básico

El ejemplo prototípico de una relación congruencia es congruencia modulo n{displaystyle n} en el conjunto de enteros. Para un entero positivo dado n{displaystyle n}, dos números enteros a{displaystyle a} y b{displaystyle b} se llaman congruente modulo n{displaystyle n}, escrito

a↑ ↑ b()modn){displaystyle aequiv b{pmod {n}

si a− − b{displaystyle a-b} es divisible por n{displaystyle n} (o equivalente si a{displaystyle a} y b{displaystyle b} tienen el mismo resto cuando se divide n{displaystyle n}).

Por ejemplo, 37{displaystyle 37} y 57{displaystyle 57} son modulo congruente 10{displaystyle 10},

37↑ ↑ 57()mod10){displaystyle 37equiv 57{pmod {10}}

desde entonces 37− − 57=− − 20{displaystyle 37-57=-20} es un múltiple de 10, o equivalentemente desde ambos 37{displaystyle 37} y 57{displaystyle 57} tener un resto de 7{displaystyle 7} cuando se divide 10{displaystyle 10}.

Congruence modulo n{displaystyle n} (para un fijo n{displaystyle n}) es compatible con la adición y la multiplicación en los enteros. Eso es,

si

a1↑ ↑ a2()modn){displaystyle a_{1}equiv A_{2}{pmod {n}} y b1↑ ↑ b2()modn){displaystyle b_{1}equiv ¿Qué?

entonces

a1+b1↑ ↑ a2+b2()modn){displaystyle a_{1}+b_{1}equiv - ¿Qué? y a1b1↑ ↑ a2b2()modn){displaystyle a_{1}b_{1}equiv A_{2}b_{2}{pmod {n}}

La adición y multiplicación correspondientes de clases de equivalencia se conoce como aritmética modular. Desde el punto de vista del álgebra abstracta, modulo de congruencia n{displaystyle n} es una relación de congruencia en el anillo de los enteros, y modulo aritmético n{displaystyle n} se produce en el anillo de cociente correspondiente.

Definición

La definición de una congruencia depende del tipo de estructura algebraica bajo consideración. Se pueden hacer definiciones particulares de congruencia para grupos, anillos, espacios vectoriales, módulos, semigrupos, celosías, etc. El tema común es que una congruencia es una relación de equivalencia sobre un objeto algebraico que es compatible con la estructura algebraica, en el sentido de que las operaciones están bien definidas sobre las clases de equivalencia.

Ejemplo: Grupos

Por ejemplo, un grupo es un objeto algebraico que consiste en un conjunto junto con una única operación binaria, satisfaciendo ciertos axiomas. Si G{displaystyle G. es un grupo con operación Alternativa Alternativa {displaystyle ast }, a relación con la congruencia on G{displaystyle G. es una relación de equivalencia ↑ ↑ {displaystyle equiv } sobre los elementos G{displaystyle G. satisfacción

g1↑ ↑ g2{displaystyle G_{1}equiv g_{2}\\ \,} y h1↑ ↑ h2⟹ ⟹ g1Alternativa Alternativa h1↑ ↑ g2Alternativa Alternativa h2{displaystyle ,h_{1}equiv ¿Qué? h_{1}equiv G_{2}ast h_{2}

para todos g1,g2,h1,h2▪ ▪ G{displaystyle G_{1},g_{2},h_{1},h_{2}in G.. Para una congruencia en un grupo, la clase de equivalencia que contiene el elemento de identidad es siempre un subgrupo normal, y las otras clases de equivalencia son los otros cosets de este subgrupo. Juntos, estas clases de equivalencia son los elementos de un grupo cociente.

Ejemplo: Anillos

Cuando una estructura algebraica incluye más de una operación, se requiere que las relaciones de congruencia sean compatibles con cada operación. Por ejemplo, un anillo posee tanto la suma como la multiplicación, y una relación de congruencia en un anillo debe satisfacer

r1+s1↑ ↑ r2+s2{displaystyle r_{1}+s_{1}equiv R_{2}+s_{2} y r1s1↑ ↑ r2s2{displaystyle r_{1}s_{1}equiv R_{2}s_{2}

siempre r1↑ ↑ r2{displaystyle ¿Qué? y s1↑ ↑ s2{displaystyle S_{1}equiv S_{2}. Para una congruencia en un anillo, la clase de equivalencia que contiene 0 es siempre un ideal de dos caras, y las dos operaciones en el conjunto de clases de equivalencia definen el anillo de cociente correspondiente.

Generales

La noción general de una relación congruencia se puede definir formalmente en el contexto del álgebra universal, un campo que estudia ideas comunes a todas las estructuras algebraicas. En este entorno, una relación R{displaystyle R. sobre una estructura algebraica dada se llama compatible si

para cada uno n{displaystyle n} y cada uno n{displaystyle n}- Operación diaria μ μ {displaystyle mu } definido en la estructura: cuando a1Ra1.{displaystyle a_{1} {R} a_{1} y... anRan.{displaystyle a_{n} {R} a_{n}, entonces μ μ ()a1,...... ,an)Rμ μ ()a1.,...... ,an.){displaystyle mu (a_{1},ldotsa_{n})mathrel {R} mu (a'_{1},ldotsa'_{n}) }.

Una relación de congruencia sobre la estructura se define entonces como una relación de equivalencia que también es compatible.

Relación con homomorfismos

Si f:A→ → B{displaystyle f:A,derecho B. es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas (como el homomorfismo de grupos, o un mapa lineal entre espacios vectoriales), entonces la relación R{displaystyle R. definidas por

a1Ra2{displaystyle a_{1},R,a_{2} si f()a1)=f()a2){displaystyle f(a_{1}=f(a_{2}}

es una relación de congruencia A{displaystyle A}. Por el primer teorema isomorfismo, la imagen A menores f{displaystyle f} es una subestructura B isomorfo al cociente de A por esta congruencia.

Por otro lado, la relación congruencia R{displaystyle R. induce un homomorfismo único f:A→ → A/R{displaystyle f:Arightarrow A/R} dado por

f()x)={}Sí.▪ ▪ xRSí.}{displaystyle f(x)={ymid x,R,y}.

Por lo tanto, existe una correspondencia natural entre las congruencias y los homomorfismos de cualquier estructura algebraica dada.

Congruencias de grupos, y subgrupos normales e ideales

En el caso particular de los grupos, las relaciones de congruencia se pueden describir en términos elementales de la siguiente manera: Si G es un grupo (con elemento de identidad e y operación *) y ~ es una relación binaria sobre G, entonces ~ es una congruencia siempre que:

1. Dado cualquier elemento a de G, a ~ a ()reflexividad);
2. Dados los elementos a y b de G, si a ~ b, entonces b ~ a ()simetría);
3. Dados los elementos a, b, y c de G, si a ~ b y b ~ c, entonces a ~ c ()transitividad);
4. Dados los elementos a, a ' , b, y b ' de G, si a ~ a ' y b ~ b ' , entonces a * b ~ a ' * b ' ;
5. Dados los elementos a y a ' de G, si a ~ a ' , entonces a⁻¹ ~ a ' ⁻¹ (esto puede ser probado de los otros cuatro, así que es estrictamente redundante).

Las condiciones 1, 2 y 3 dicen que ~ es una relación de equivalencia.

Una congruencia ~ está determinada enteramente por el conjunto {a ∈ G: a ~ e} de aquellos elementos de G que son congruentes con el elemento identidad, y este conjunto es un subgrupo normal. Específicamente, a ~ b si y solo si b⁻¹ * a ~ e. Entonces, en lugar de hablar de congruencias en grupos, la gente suele hablar en términos de subgrupos normales de ellos; de hecho, cada congruencia corresponde únicamente a algún subgrupo normal de G.

Ideales de anillos y el caso general

Un truco similar permite hablar de núcleos en la teoría de anillos como ideales en lugar de relaciones de congruencia, y en la teoría de módulos como submódulos en lugar de relaciones de congruencia.

Una situación más general en la que este truco es posible es con los grupos Omega (en el sentido general, que permiten operadores con aridad múltiple). Pero esto no se puede hacer, por ejemplo, con monoides, por lo que el estudio de las relaciones de congruencia juega un papel más central en la teoría de monoides.

Álgebra universal

La noción general de congruencia es particularmente útil en álgebra universal. Una formulación equivalente en este contexto es la siguiente:

Una relación de congruencia en un álgebra A es un subconjunto del producto directo A × A que es a la vez una relación de equivalencia en A y una subálgebra de A × A.

El núcleo de un homomorfismo es siempre una congruencia. De hecho, cada congruencia surge como un núcleo. Para una congruencia ~ dada en A, al conjunto A/~ de clases de equivalencia se le puede dar la estructura de un álgebra de forma natural, el álgebra del cociente. La función que asigna cada elemento de A a su clase de equivalencia es un homomorfismo, y el núcleo de este homomorfismo es ~.

La red Con(A) de todas las relaciones de congruencia en un álgebra A es algebraica.

John M. Howie describió cómo la teoría de semigrupos ilustra las relaciones de congruencia en el álgebra universal:

En un grupo se determina una congruencia si conocemos una clase de congruencia única, en particular si conocemos el subgrupo normal que es la clase que contiene la identidad. Del mismo modo, en un anillo se determina una congruencia si conocemos el ideal que es la clase de congruencia que contiene el cero. En semigrupos no hay tal ocurrencia afortunada, por lo que nos enfrentamos a la necesidad de estudiar congruencias como tales. Más que nada, es esta necesidad la que da a la teoría de semigrupos su sabor característico. Los semigrupos son de hecho el primer y más simple tipo de álgebra a la que se deben aplicar los métodos del álgebra universal...

Notas explicativas