Entero gaussiano

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Número complejo cuyas partes reales e imaginarias son ambos enteros

En teoría de números, a Gaussian integer es un número complejo cuyas partes reales e imaginarias son ambos enteros. Los enteros gausianos, con adición y multiplicación ordinaria de números complejos, forman un dominio integral, generalmente escrito como $mathbf {Z} [i]$ o ${displaystyle mathbb {Z} [i].}$

Los enteros gaussianos comparten muchas propiedades con los enteros: forman un dominio euclidiano y, por lo tanto, tienen una división euclidiana y un algoritmo euclidiano; esto implica factorización única y muchas propiedades relacionadas. Sin embargo, los enteros gaussianos no tienen un ordenamiento total que respete la aritmética.

Los enteros gaussianos son enteros algebraicos y forman el anillo más simple de enteros cuadráticos.

Los enteros gaussianos reciben su nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss.

Gaussian integers as lattice points in the complex plano

Definiciones básicas

Los enteros gaussianos son el conjunto

mathbf {Z} [i]={a+bimid a,bin mathbf {Z} },qquad {text{ where }}i^{2}=-1.

En otras palabras, un entero gaussiano es un número complejo tal que sus partes real e imaginaria son números enteros. Dado que los enteros gaussianos son cerrados en la suma y la multiplicación, forman un anillo conmutativo, que es un subanillo del campo de los números complejos. Por lo tanto, es un dominio integral.

Cuando se consideran dentro del plano complejo, los enteros gaussianos constituyen la red de enteros $2$ -dimensionales.

El conjugado de un entero gaussiano $a + bi$ es el entero gaussiano a – bi.

La norma de un entero gaussiano es su producto por su conjugado.

{displaystyle N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.}

La norma de un entero gaussiano es, por lo tanto, el cuadrado de su valor absoluto como número complejo. La norma de un entero gaussiano es un entero no negativo, que es una suma de dos cuadrados. Así una norma no puede ser de la forma 4k + 3, con k entero.

La norma es multiplicativa, es decir, uno tiene

{displaystyle N(zw)=N(z)N(w),}

para cada par de enteros gaussianos $z, w$ . Esto se puede demostrar directamente o usando la propiedad multiplicativa del módulo de los números complejos.

Las unidades del anillo de los enteros gaussianos (es decir, los enteros gaussianos cuyo inverso multiplicativo también es un entero gaussiano) son precisamente los enteros gaussianos de norma 1, es decir, 1, –1, <span class="texhtml" i y $- i$ .

División euclidiana

Visualización de la distancia máxima a un entero Gausiano

Los enteros gaussianos tienen una división euclidiana (división con resto) similar a la de los enteros y polinomios. Esto convierte a los enteros gaussianos en un dominio euclidiano e implica que los enteros gaussianos comparten con los enteros y polinomios muchas propiedades importantes, como la existencia de un algoritmo euclidiano para calcular los máximos comunes divisores, la identidad de Bézout, la propiedad ideal principal, Euclid' el lema de 39, el teorema de factorización única y el teorema del resto chino, todos los cuales se pueden probar usando solo la división euclidiana.

Un algoritmo de división euclidiana toma, en el anillo de enteros gaussianos, un dividendo $a$ y un divisor $b \neq 0$ , y produce un cociente $q$ y un resto $r$ tal que

<math alttext="{displaystyle a=bq+rquad {text{and}}quad N(r)a=bq+ryN()r).N()b).{displaystyle a=bq+rquad {text{and}quad N(r) interpretadoN(b).} <img alt="{displaystyle a=bq+rquad {text{and}}quad N(r)

De hecho, uno puede hacer que el resto sea más pequeño:

{displaystyle a=bq+rquad {text{and}}quad N(r)leq {frac {N(b)}{2}}.}

Incluso con esta mejor desigualdad, el cociente y el resto no son necesariamente únicos, pero se puede refinar la elección para asegurar la unicidad.

Para probar esto, se puede considerar el cociente de números complejos $x + iy = a / b$ . Hay enteros únicos $m$ y $n$ tales que $- 1 / 2 < x - m \leq 1 / 2$ y $- 1 / 2 < y - n \leq 1 / 2$ , y por lo tanto $N (x - m + i (y - n)) \leq 1 / 2$ . Tomando $q = m + in$ , uno tiene

{displaystyle a=bq+r,}

con

{displaystyle r=b{bigl (}x-m+i(y-n){bigr)},}

{displaystyle N(r)leq {frac {N(b)}{2}}.}

La elección de $x - m$ y $y - Se requiere n$ en un intervalo semiabierto para la unicidad. Esta definición de división euclidiana puede interpretarse geométricamente en el plano complejo (ver la figura), observando que la distancia desde un número complejo $ξ$ al entero gaussiano más cercano es como máximo $\sqrt 2 / 2$ .

Ideales principales

Dado que el anillo $G$ de enteros gaussianos es un dominio euclidiano, $G$ es un dominio ideal principal, lo que significa que todo ideal de $G$ es principal. Explícitamente, un $I$ ideal es un subconjunto de un anillo $R$ tal que toda suma de elementos de $I$ y todo producto de un elemento de $I$ por un elemento de $R$ pertenecen a $Yo$ . Un ideal es principal si consta de todos los múltiplos de un solo elemento $g$ , es decir, tiene la forma

{displaystyle {gxmid xin G}.}

En este caso, se dice que el ideal es generado por $g$ o que $g$ es un generador del ideal.

Todo ideal $I$ en el anillo de los enteros gaussianos es principal, porque, si se elige en $I$ un elemento distinto de cero $g$ de norma mínima, para cada elemento $x$ de $I$ , el resto de la división euclidiana de $x$ de $g$ también pertenece a $I$ y tiene una norma menor que la de $g$ ; debido a la elección de $g$ , esta norma es cero y, por lo tanto, el resto también es cero. Es decir, uno tiene $x = qg$ , donde $q$ es el cociente.

Para cualquier $g$ , el ideal generado por $g$ también es generado por cualquier asociado de $g$ , es decir, $g, gi, - g, - gi$ ; ningún otro elemento genera el mismo ideal. Como todos los generadores de un ideal tienen la misma norma, la norma de un ideal es la norma de cualquiera de sus generadores.

En algunas circunstancias, es útil elegir, de una vez por todas, un generador para cada ideal. Hay dos formas clásicas de hacerlo, ambas considerando primero los ideales de la norma impar. Si $g = a + bi$ tiene una norma impar $a 2 + b 2$ , luego uno de <span class="texhtml" a y $b$ es impar y el otro es par. Así $g$ tiene exactamente un asociado con una parte real $a$ que es impar y positivo. En su artículo original, Gauss hizo otra elección, eligiendo el asociado único tal que el resto de su división por $2 + 2 i$ sea uno. De hecho, como $N (2 + 2 i) = 8$ , la norma del resto no es mayor que 4 Como esta norma es impar, y 3 no es la norma de un entero gaussiano, la norma del resto es uno, es decir, el resto es una unidad. Multiplicando $g$ por el inverso de esta unidad, se encuentra un asociado que tiene uno como resto, cuando se divide por $2 + 2 i$ .

Si la norma de $g$ es par, entonces $g = 2 k h$ o $g = 2 k h (1 + i)$ , donde $k$ es un entero positivo y $N (h)$ es impar. Por lo tanto, uno elige el asociado de $g$ para obtener una $h$ que se ajusta a la elección de los asociados por elementos de norma impar.

Primos gaussianos

Como los enteros gaussianos forman un dominio ideal principal, también forman un dominio de factorización única. Esto implica que un entero gaussiano es irreducible (es decir, no es el producto de dos no unidades) si y solo si es primo (es decir, genera un ideal primo).

Los elementos primos de $Z [i]$ también se conocen como primos gaussianos. Un asociado de un primo gaussiano también es un primo gaussiano. El conjugado de un primo gaussiano también es un primo gaussiano (esto implica que los primos gaussianos son simétricos respecto a los ejes real e imaginario).

Un entero positivo es un primo gaussiano si y solo si es un número primo congruente con 3 módulo 4 (es decir, puede escribirse $4 n + 3$ , con $n$ un entero no negativo) (secuencia A002145 en la OEIA). Los otros números primos no son primos gaussianos, pero cada uno es el producto de dos primos gaussianos conjugados.

Un entero gaussiano $a + bi$ es un primo gaussiano si y solo si:

uno de $a, b$ es cero y el valor absoluto del otro es un número primo de la forma $4 n + 3$ (con $n$ un entero no negativo, o
ambos no son cero y $a 2 + b 2$ es un número primo (que lo hará no ser de la forma $4 n + 3$ ).

En otras palabras, un entero gaussiano es un primo gaussiano si y solo si su norma es un número primo o es el producto de una unidad ( $\pm1, \pm i$ ) y un número primo de la forma $4 n + 3$ .

Se sigue que hay tres casos para la factorización de un número primo $p$ en los enteros gaussianos:

Si $p$ es congruente con 3 modulo 4, entonces es un primo Gausiano; en el lenguaje de la teoría del número algebraico, $p$ se dice que es inerte en los enteros gausianos.
Si $p$ es congruente con 1 modulo 4, entonces es el producto de un primo gausiano por su conjugado, ambos no asociados primos gausianos (ni es el producto del otro por una unidad); $p$ se dice que es un primo descompuesto en los enteros gausianos. Por ejemplo, $5 = (2 + i 2 - i)$ y $13 = (3 + 2 i 3 - 2 i)$ .
Si $p = 2$ , tenemos $2 = 1 + i)(1 - i) i (1 - i) 2$ ; es decir, 2 es el producto de la plaza de una prima Gausiana por una unidad; es el primo ramificado único en los enteros gaussianos.

Factorización única

En cuanto a cada dominio de factorización único, cada entero gaussiano se puede factorizar como un producto de una unidad y números primos gaussianos, y esta factorización es única hasta el orden de los factores y el reemplazo de cualquier número primo por cualquiera de sus asociados (junto con un cambio correspondiente del factor unitario).

Si se elige, de una vez por todas, un primo gaussiano fijo para cada clase de equivalencia de primos asociados, y si se toman solo estos primos seleccionados en la factorización, entonces se obtiene una factorización prima que es única hasta el orden de los factores Con las opciones descritas anteriormente, la factorización única resultante tiene la forma

{displaystyle u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}cdots {p_{k}}^{e_{k}},}

donde $u$ es una unidad (es decir, $u \in {1, -1, i, - i}$ ), $e 0$ y $k$ son enteros no negativos, $e 1, \dots, e k$ son números enteros positivos, y $p 1, \dots, p k$ son números primos gaussianos distintos tales que, dependiendo de la elección de los asociados seleccionados,

o $p k = a k + ib k$ con $a$ extraño y positivo, y $b$ incluso,
o el resto de la división de Euclides $p k$ por $2 + 2 i$ equivale a 1 (es la opción original de Gauss).

Una ventaja de la segunda opción es que los asociados seleccionados se comportan bien bajo productos para enteros gaussianos de norma impar. Por otra parte, los asociados seleccionados para los primos gaussianos reales son los números enteros negativos. Por ejemplo, la factorización de 231 en los números enteros, y con la primera elección de asociados es 3 × 7 × 11, mientras que es (– 1) × (–3) × (–7) × (–11) con la segunda opción.

Racionales de Gauss

El campo de los racionales gaussianos es el campo de las fracciones del anillo de los enteros gaussianos. Consiste en los números complejos cuya parte real e imaginaria son ambas racionales.

El anillo de enteros gaussianos es el cierre integral de los enteros en los racionales gaussianos.

Esto implica que los enteros gaussianos son enteros cuadráticos y que un racional gaussiano es un entero gaussiano, si y solo si es una solución de una ecuación

{displaystyle x^{2}+cx+d=0,}

con $c$ y $d$ enteros. De hecho, $a + bi$ es la solución de la ecuación

{displaystyle x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},}

y esta ecuación tiene coeficientes enteros si y solo si $a$ y $b$ son ambos enteros.

Máximo común divisor

Como para cualquier dominio de factorización único, un máximo común divisor (mcd) de dos enteros gaussianos $a, b$ es un entero gaussiano $d$ que es un divisor común de $a$ y $b$ , que tiene todos los divisores comunes de $a$ y $b$ como divisor. Es decir (donde $|$ denota la relación de divisibilidad),

$d Silencio a$ y $d Silencio b$ , y
$c Silencio a$ y $c Silencio b$ implicación $c Silencio d$ .

Así, mayor se entiende en relación con la relación de divisibilidad, y no para una ordenación del anillo (para números enteros, ambos significados de mayor coinciden).

Más técnicamente, un máximo común divisor de $a$ y $b$ es un generador del ideal generado por $a$ y $b$ (esta caracterización es válida para dominios de ideales principales, pero no, en general, para dominios de factorización única).

El máximo común divisor de dos enteros gaussianos no es único, sino que se define hasta la multiplicación por una unidad. Es decir, dado un máximo común divisor $d$ de $a$ y $b$ , los máximos comunes divisores de $a$ y $b$ son $d, - d, id$ y $- id$ .

Hay varias formas de calcular el máximo común divisor de dos enteros gaussianos $a$ y $b$ . Cuando uno conoce las factorizaciones primas de $a$ y $b$ ,

{displaystyle a=i^{k}prod _{m}{p_{m}}^{nu _{m}},quad b=i^{n}prod _{m}{p_{m}}^{mu _{m}},}

donde los números primos $p m$ no están asociados por parejas y los exponentes $μ m$ no asociado, un máximo común divisor es

{displaystyle prod _{m}{p_{m}}^{lambda _{m}},}

con

{displaystyle lambda _{m}=min(nu _{m},mu _{m}).}

Desafortunadamente, excepto en casos simples, la factorización prima es difícil de calcular y el algoritmo euclidiano conduce a un cálculo mucho más fácil (y rápido). Este algoritmo consiste en reemplazar la entrada $(a, b)$ por $(b, r)$ , donde $r$ es el resto de la división euclidiana de $a$ por $b$ , y repitiendo esta operación hasta obtener un resto cero, es decir, un par $(d, 0)$ . Este proceso termina porque, en cada paso, la norma del segundo entero gaussiano disminuye. El $d$ resultante es un máximo común divisor, porque (en cada paso) $b$ y $r = a - bq$ tienen los mismos divisores que $a$ y $b$ , y por lo tanto el mismo máximo común divisor.

Este método de cálculo siempre funciona, pero no es tan simple como para los números enteros porque la división euclidiana es más complicada. Por lo tanto, a menudo se prefiere un tercer método para los cálculos escritos a mano. Consiste en remarcar que la norma $N (d)$ del máximo común divisor de <span class="texhtml" a y $b$ es un divisor común de $N (a)$ , $N (b)$ y $N (a + b)$ . Cuando el máximo común divisor $D$ de estos tres enteros tiene pocos factores, entonces es fácil probar, para divisor común, todos los enteros gaussianos con una norma dividiendo $D$ .

Por ejemplo, si $a = 5 + 3 i$ , y $b = 2 - 8 i$ , uno tiene $N (a) = 34$ , $N (b) = 68$ y $N (a + b) = 74$ . Como el máximo común divisor de las tres normas es 2, el máximo común divisor de $a$ y $b$ tiene 1 o 2 como norma. Como entero gaussiano de norma 2 es necesario asociado a $1 + i$ , y como $1 + i$ divide $a$ y $b$ , entonces el máximo común divisor es $1 + i$ .

Si $b$ se reemplaza por su conjugado $b = 2 + 8 i$ , entonces el máximo común divisor de las tres normas es 34, la norma de $a$ , por lo tanto uno puede suponer que el máximo común divisor es $a$ , es decir, que $a | b$ . De hecho, uno tiene $2 + 8 i = (5 + 3 i)(1 + i)$ .

Congruencias y clases de residuos

Dado un entero gaussiano $z 0$ , llamado módulo, dos enteros gaussianos $z 1, z 2$ son congruentes módulo $z 0$ , si su diferencia es múltiplo de $z 0$ , es decir, si existe un entero gaussiano $q$ tal que $z 1 - z 2 = qz 0$ . En otras palabras, dos enteros gaussianos son congruentes módulo $z 0$ , si su diferencia pertenece al ideal generado por z₀. Esto se denota como $z 1 \equiv z 2 (mod z 0)$ .

El módulo de congruencia $z 0$ es una relación de equivalencia (también llamada relación de congruencia), que define una partición de los enteros gaussianos en clases de equivalencia, denominadas aquí clases de congruencia o clases de residuos. El conjunto de las clases de residuos generalmente se denota $Z [i]/ z 0 Z [i]$ , o $Z [i]/⟨ z 0 ⟩$ , o simplemente $Z [i]/ z 0$ .

La clase de residuo de un entero gaussiano $a$ es el conjunto

{displaystyle {bar {a}}:=left{zin mathbf {Z} [i]mid zequiv a{pmod {z_{0}}}right}}

de todos los enteros gaussianos que son congruentes con $a$ . De ello se deduce que $a = b$ si y solo si $a \equiv b (mod z 0)$ .

La suma y la multiplicación son compatibles con las congruencias. Esto significa que $a 1 \equiv b 1 (mod z 0)$ y $a 2 \equiv b 2 (mod z 0)$ implica $a 1 + a 2 \equiv b 1 + b 2 (modificación z 0)$ y $a 1 a 2 \equiv b 1 b 2 (modificación z 0)$ . Esto define operaciones bien definidas (es decir, independientes de la elección de los representantes) sobre las clases de residuos:

{displaystyle {bar {a}}+{bar {b}}:={overline {a+b}}quad {text{and}}quad {bar {a}}cdot {bar {b}}:={overline {ab}}.}

Con estas operaciones, las clases de residuos forman un anillo conmutativo, el anillo cociente de los enteros gaussianos por el ideal generado por $z 0$ , que también se denomina tradicionalmente módulo de anillo de clase residual $z 0$ (para más detalles, ver Anillo de cociente).

Ejemplos

Hay exactamente dos clases de residuos para el módulo $1 + i$ , a saber $0 = 0, \pm 2, \pm4, \pm 1 \pm i \pm 3 \pm i,...$ (todas las múltiples $1 + i$ ), y $1 = {\pm1, \pm3, \pm5,... i \pm 2 \pm i,...$ , que forman un patrón de tablero en el plano complejo. Estas dos clases forman así un anillo con dos elementos, que es, de hecho, un campo único (hasta un isomorfismo) con dos elementos, y puede ser identificado con el modulo de enteros 2. Estas dos clases pueden considerarse como una generalización de la partición de enteros en enteros uniformes y extraños. Así uno puede hablar de incluso y extraño Integers gauss (Gauss dividió aún más los enteros gaussianos en incluso, que es divisible por 2, y medio siete).
Para el módulo 2 hay cuatro clases de residuos: $0, 1, i, 1 + i$ . Estas forman un anillo con cuatro elementos, en los cuales $x = x$ para todos $x$ . Así este anillo no es isomorfo con el anillo de enteros modulo 4, otro anillo con cuatro elementos. Uno tiene $1 + i 2 = 0$ , y por lo tanto este anillo no es el campo finito con cuatro elementos, ni el producto directo de dos copias del anillo de integers modulo 2.
Para el módulo $2 + 2i = i -1) 3$ hay ocho clases de residuos: $0, \pm1, \pm i, 1 \pm i, 2$ , de donde cuatro contienen sólo incluso los enteros gaussianos y cuatro contienen sólo extraños enteros gaussianos.

Descripción de clases de residuos

Las 13 clases de residuos con sus residuos mínimos (puntos azules) en la plaza

Q 00

(de fondo verde claro) para el módulo

z 0 = 3 + 2 i

. Una clase de residuos con

z 2 - 4 i ↑ i (modelo) z 0)

se destaca con puntos amarillos/orange.

Dado un módulo $z 0$ , todos los elementos de una clase de residuo tienen el mismo resto para la división euclidiana por $z 0$ , siempre que se use la división con cociente y resto únicos, que se describe arriba. Así, enumerar las clases de residuos es equivalente a enumerar los posibles residuos. Esto se puede hacer geométricamente de la siguiente manera.

En el plano complejo, se puede considerar una cuadrícula, cuyos cuadrados están delimitados por las dos líneas

{displaystyle {begin{aligned}V_{s}&=left{left.z_{0}left(s-{tfrac {1}{2}}+ixright)rightvert xin mathbf {R} right}quad {text{and}}\H_{t}&=left{left.z_{0}left(x+ileft(t-{tfrac {1}{2}}right)right)rightvert xin mathbf {R} right},end{aligned}}}

con $s$ y $t$ enteros (líneas azules en la figura). Estos dividen el plano en cuadrados semiabiertos (donde $m$ y $n$ son números enteros)

{displaystyle Q_{mn}=left{(s+it)z_{0}leftvert sin left[m-{tfrac {1}{2}},m+{tfrac {1}{2}}right),tin left[n-{tfrac {1}{2}},n+{tfrac {1}{2}}right)right.right}.}

Los intervalos semiabiertos que ocurren en la definición de $Q mn$ han sido elegidos para que cada complejo número pertenecen exactamente a un cuadrado; es decir, los cuadrados $Q mn$ forman una partición del plano complejo. Uno tiene

{displaystyle Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=left{(m+in)z_{0}+zmid zin Q_{00}right}.}

Esto implica que cada entero gaussiano es congruente módulo $z 0$ a un entero gaussiano único en $Q 00$ (el cuadrado verde en la figura), que es el resto de la división por $z 0$ . En otras palabras, cada clase de residuo contiene exactamente un elemento en $Q 00$ .

Los enteros gaussianos en $Q 00$ (o en su límite) a veces se denominan residuos mínimos porque su norma no es mayor que la norma de cualquier otro entero gaussiano en la misma clase de residuos (Gauss los llamó residuos absolutamente más pequeños).

De esto se puede deducir por consideraciones geométricas, que el número de clases de residuos módulo un entero gaussiano $z 0 = a + bi$ es igual a su norma $N (z 0) = a 2 + b 2$ (ver abajo para una prueba; De manera similar, para números enteros, el número de clases de residuos módulo $n$ es su valor absoluto $| n |$ ).

Prueba

La relación $Q mn = m + dentro) z 0 + Q 00$ significa que todo $Q mn$ se obtienen de $Q 00$ traduciéndolo por un entero Gaussiano. Esto implica que todo $Q mn$ tienen la misma zona $N = N () z 0)$ , y contener el mismo número $n g$ de enteros gaussianos.

Generalmente, el número de puntos de rejilla (aquí los enteros gausianos) en una plaza arbitraria con la zona $A$ es $A + . () \sqrt A)$ (ver Big theta para la notación). Si uno considera un gran cuadrado que consiste en $k \times k$ cuadrados $Q mn$ , entonces contiene $k 2 N + O () k \sqrt N)$ puntos de rejilla. A continuación $k 2 n g = k 2 N + . () k \sqrt N)$ , y así $n g = N + . () \sqrt N / k)$ , después de una división por $k 2$ . Tomando el límite cuando $k$ tiende a la infinidad da $n g = N = N () z 0)$ .

Campos de clase de residuos

El anillo de clase de residuos modulo a Gaussian integer $z 0$ es un campo si y sólo si $z_{0}$ es un primo de Gauss.

Si $z 0$ es un primo descompuesto o el primo ramificado $1 + i$ (es decir, si su norma $N (z 0)$ es un número primo, que es 2 o un número primo congruente con 1 módulo 4), entonces el campo de la clase residual tiene un número primo de elementos (es decir, $N (z 0)$ ). Por lo tanto, es isomorfo al campo de los números enteros módulo $N (z 0)$ .

Si, por el contrario, $z 0$ es un número primo inerte (es decir, $N (z 0) = p 2$ es el cuadrado de un número primo, que es congruente con 3 módulo 4), entonces el campo de clase residual tiene $p 2$ elementos, y es una extensión de grado 2 (único, hasta un isomorfismo) del campo primo con elementos $p$ (los enteros módulo $p$ ).

Grupo de clases de residuos primitivos y función totient de Euler

Muchos teoremas (y sus pruebas) para módulos de números enteros se pueden transferir directamente a módulos de números enteros gaussianos, si se reemplaza el valor absoluto del módulo por la norma. Esto es válido especialmente para el grupo de clases de residuos primitivos (también llamado grupo multiplicativo de enteros módulo n) y la función totient de Euler. El grupo de clases de residuos primitivos de un módulo $z$ se define como el subconjunto de sus clases de residuos, que contiene todas las clases de residuos $a$ que son coprimos con $z$ , es decir, $(a, z) = 1$ . Obviamente, este sistema construye un grupo multiplicativo. El número de sus elementos será denotado por $ϕ (z)$ (análogamente a la función totient de Euler $φ (n)$ para enteros $n$ ).

Para los primos gaussianos se sigue inmediatamente que $ϕ (p) = | p | 2 - 1$ y para enteros gaussianos compuestos arbitrarios

{displaystyle z=i^{k}prod _{m}{p_{m}}^{nu _{m}}}

La fórmula del producto de Euler se puede derivar como

0)}{bigl |}{p_{m}}^{nu _{m}}{bigr |}^{2}left(1-{frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}right)=|z|^{2}prod _{p_{m}|z}left(1-{frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}right)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">φ φ ()z)=∏ ∏ m().. m■0)Silenciopm.. mSilencio2()1− − 1SilenciopmSilencio2)=SilenciozSilencio2∏ ∏ pmSilencioz()1− − 1SilenciopmSilencio2){displaystyle phi (z)=prod _{m,(nu _{m}}{bigl Silencio. ¿Qué? ¿Por qué? ¿Por qué?0)}{bigl |}{p_{m}}^{nu _{m}}{bigr |}^{2}left(1-{frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}right)=|z|^{2}prod _{p_{m}|z}left(1-{frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}right)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f7f71a2bd6a3b6aa56ad822ffd4533297a11004" style="vertical-align: -3.505ex; width:60.688ex; height:7.176ex;"/>

donde el producto debe construirse sobre todos los divisores primos $p m$ de $z$ (con $ν m > 0$ ). También se puede transferir directamente el importante teorema de Euler:

Para todos

a

con

() a, z) = 1

, sostiene que

a φ () z) (modelo) z)

Antecedentes históricos

El anillo de enteros gaussianos fue introducido por Carl Friedrich Gauss en su segunda monografía sobre reciprocidad cuartica (1832). El teorema de la reciprocidad cuadrática (que había logrado probar por primera vez en 1796) relaciona la solucionabilidad de la congruencia $x 2 \equiv q (modificación p)$ a la de $x 2 \equiv p (modificación q)$ . De manera similar, la reciprocidad cúbica relaciona la solución de $x 3 \equiv q (mod p)$ al de $x 3 \equiv p (mod q)$ , y la reciprocidad bicuadrática (o cuartica) es una relación entre $x 4 \equiv q (modificación p)$ y $x 4 \equiv p (mod q)$ . Gauss descubrió que la ley de la reciprocidad bicuadrática y sus suplementos se enunciaban y demostraban más fácilmente como enunciados sobre "números complejos enteros". (es decir, los enteros gaussianos) de lo que son como enunciados sobre números enteros ordinarios (es decir, los enteros).

En una nota al pie, señala que los números enteros de Eisenstein son el dominio natural para establecer y probar resultados sobre reciprocidad cúbica e indica que extensiones similares de los números enteros son los dominios apropiados para estudiar leyes de reciprocidad superiores.

Este artículo no solo presentó los enteros gaussianos y demostró que son un dominio de factorización único, sino que también introdujo los términos norma, unidad, primario y asociado, que ahora son estándar en la teoría algebraica de números.

Problemas sin resolver

La distribución de los pequeños primos gausianos en el plano complejo

La mayoría de los problemas sin resolver están relacionados con la distribución de números primos gaussianos en el plano.

El problema del círculo de Gauss no se ocupa de los enteros gausianos por sí, sino que pide el número de puntos de celo dentro de un círculo de un radio dado centrado en el origen. Esto equivale a determinar el número de enteros gausianos con norma inferior a un valor dado.

También hay conjeturas y problemas sin resolver sobre los números primos gaussianos. Dos de ellos son:

Los ejes reales e imaginarios tienen el conjunto infinito de primos gausianos 3, 7, 11, 19... y sus asociados. ¿Hay alguna otra línea que tenga infinitamente muchos primos gausianos en ellos? En particular, hay infinitamente muchos primos gausianos de la forma $1 + #$ ?
¿Es posible caminar hasta el infinito utilizando los primos gaussianos como piedras de paso y tomando pasos de una longitud uniformemente ligada? Esto se conoce como el problema de la fosa gausiana; fue planteado en 1962 por Basil Gordon y sigue sin resolver.

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