Regla de L'Hôpital

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Regla matemática para evaluar ciertos límites

Ejemplo de aplicación de la regla de l'Hôpital para

f () x) = pecado(x)

g () x) = -0,5 x

: la función

h () x) = f () x) / g () x)

es indefinido

x = 0

, pero se puede completar a una función continua en todo

R

definiendo

h (0) = f'(0) / g'(0) = 2

En cálculo, regla de l'Hôpital's o regla de l'Hospital's (francés: [lopital], loh-pee-TAHL), también conocido como regla de Bernoulli, es un teorema que proporciona una técnica para evaluar límites de formas indeterminadas. La aplicación (o aplicación repetida) de la regla a menudo convierte una forma indeterminada en una expresión que puede evaluarse fácilmente por sustitución. La regla lleva el nombre del matemático francés del siglo XVII Guillaume de l'Hôpital. Aunque la regla a menudo se atribuye a l'Hôpital, el teorema se le presentó por primera vez en 1694 por el matemático suizo Johann Bernoulli.

La regla de L'Hôpital dice que para funciones $f$ y $g$ que son diferentes en un intervalo abierto $I$ excepto posiblemente en un punto $c$ contenidas en $I$ , si ${textstyle lim _{xto c}f(x)=lim _{xto c}g(x)=0{text{ or }}pm infty}$ y ${textstyle g'(x)neq 0}$ para todos $x$ dentro $I$ con $x ل c$ , y ${textstyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ existe, entonces

{displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}.}

La diferenciación del numerador y el denominador a menudo simplifica el cociente o lo convierte en un límite que se puede evaluar directamente.

Historia

Guillaume de l'Hôpital (también escrito l'Hospital) publicó esta regla en su libro de 1696 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (traducción literal: Análisis de lo infinitamente pequeño para la comprensión de líneas curvas), el primer libro de texto sobre cálculo diferencial. Sin embargo, se cree que la regla fue descubierta por el matemático suizo Johann Bernoulli.

Forma general

La forma general de la regla de L'Hôpital abarca muchos casos. Vamos $c$ y $L$ ser números reales extendidos (es decir, números reales, infinito positivo o infinito negativo). Vamos $I$ ser un intervalo abierto que contenga $c$ (para un límite de dos caras) o un intervalo abierto con punto final $c$ (para un límite unilateral, o un límite en el infinito si $c$ es infinito). Las funciones de valor real $f$ y $g$ se supone que son diferentes $I$ excepto posiblemente $c$ , y además ${displaystyle g'(x)neq 0}$ on $I$ excepto posiblemente $c$ . También se supone que ${textstyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}$ Así la regla se aplica a situaciones en las que la relación de los derivados tiene un límite finito o infinito, pero no a situaciones en las que esa proporción fluctúa permanentemente como $x$ se acerca más y más $c$ .

Si cualquiera

{displaystyle lim _{xto c}f(x)=lim _{xto c}g(x)=0}

{displaystyle lim _{xto c}|f(x)|=lim _{xto c}|g(x)|=infty}

{displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=L.}

x \to c

x \to c +

x \to c -

c

I

En el segundo caso, la hipótesis de que $f$ Las divergencias a la infinidad no se utilizan en la prueba (ver nota al final de la sección de pruebas); por lo tanto, mientras que las condiciones de la regla se enuncian normalmente como anteriores, la segunda condición suficiente para que el procedimiento de la regla sea válido puede ser más brevemente declarada como ${textstyle lim _{xto c}|g(x)|=infty.}$

La hipótesis de que ${displaystyle g'(x)neq 0}$ aparece más comúnmente en la literatura, pero algunos autores acompañan esta hipótesis añadiendo otras hipótesis en otro lugar. Un método es definir el límite de una función con el requisito adicional de que la función de limitación se define en todas partes en el intervalo pertinente $I$ excepto posiblemente $c$ . Otro método es exigir que ambos $f$ y $g$ ser diferente en todas partes en un intervalo que contiene $c$ .

Casos donde no se puede aplicar el teorema (Necesidad de condiciones)

Las cuatro condiciones para la regla de L'Hôpital'son necesarias:

Indeterminación de la forma: ${displaystyle lim _{xto c}f(x)=lim _{xto c}g(x)=0}$ o ${displaystyle pm infty }$ ; y
Diferenciabilidad de las funciones: $f(x)$ y $g(x)$ son diferentes en un intervalo abierto ${mathcal {I}}$ excepto posiblemente en un punto $c$ contenidas en ${mathcal {I}}$ (el mismo punto del límite); y
Derivado no cero del denominador: ${displaystyle g'(x)neq 0}$ para todos $x$ dentro ${mathcal {I}}$ con ${displaystyle xneq c}$ ; y
Existencia de límite del cociente de los derivados: ${displaystyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ existe.

Cuando no se cumple una de las condiciones anteriores, la regla de L'Hôpital's no es válida en general, por lo que no siempre se puede aplicar.

La forma no es indeterminada

La necesidad de la primera condición se puede ver considerando el contraejemplo donde las funciones son ${displaystyle f(x)=x+1}$ y ${displaystyle g(x)=2x+1}$ y el límite es ${displaystyle xto 1}$ .

La primera condición no está satisfecha para este contraexample porque ${displaystyle lim _{xto 1}f(x)=lim _{xto 1}(x+1)=(1)+1=2neq 0}$ y ${displaystyle lim _{xto 1}g(x)=lim _{xto 1}(2x+1)=2(1)+1=3neq 0}$ . Esto significa que la forma no es indeterminada.

Las condiciones segunda y tercera están satisfechas por $f(x)$ y $g(x)$ . La cuarta condición también está satisfecha con ${displaystyle lim _{xto 1}{frac {f'(x)}{g'(x)}}=lim _{xto 1}{frac {(x+1)'}{(2x+1)'}}=lim _{xto 1}{frac {1}{2}}={frac {1}{2}}}$ .

Pero la regla de L'Hôpital falla en este contraejemplo, ya que ${displaystyle lim _{xto 1}{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{xto 1}{frac {x+1}{2x+1}}={frac {lim _{xto 1}(x+1)}{lim _{xto 1}(2x+1)}}={frac {2}{3}}neq {frac {1}{2}}=lim _{xto 1}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ .

Diferenciabilidad de funciones

Diferenciabilidad de las funciones es un requisito porque si una función no es diferente, entonces el derivado de las funciones no está garantizado que exista en cada punto en ${mathcal {I}}$ . El hecho de que ${mathcal {I}}$ es un intervalo abierto se agranda de la hipótesis de la Teorema de Valor de Significado Cauchy. La notable excepción de la posibilidad de que las funciones no sean diferentes $c$ existe porque la regla de L'Hôpital sólo requiere que el derivado exista a medida que la función se acerca $c$ ; el derivado no necesita ser tomado en $c$ .

Por ejemplo, vamos ${displaystyle f(x)={begin{cases}sin x,&xneq 0\1,&x=0end{cases}}}$ ${displaystyle g(x)=x}$ , y ${displaystyle c=0}$ . En este caso, $f(x)$ no es diferente en $c$ . Sin embargo, desde entonces $f(x)$ es diferente en todas partes excepto $c$ , entonces ${displaystyle lim _{xto c}f'(x)}$ todavía existe. Así pues, desde

${displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}={frac {0}{0}}}$ y ${displaystyle lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}}$ existe, la regla de L'Hôpital sigue vigente.

La derivada del denominador es cero

La necesidad de la condición de que ${displaystyle g'(x)neq 0}$ cerca $c$ puede ser visto por el siguiente contraejemplo debido a Otto Stolz. Vamos ${displaystyle f(x)=x+sin xcos x}$ y ${displaystyle g(x)=f(x)e^{sin x}.}$ Entonces no hay límite para $f(x)/g(x)$ como $xto infty.$ Sin embargo,

{displaystyle {begin{aligned}{frac {f'(x)}{g'(x)}}&={frac {2cos ^{2}x}{(2cos ^{2}x)e^{sin x}+(x+sin xcos x)e^{sin x}cos x}}\&={frac {2cos x}{2cos x+x+sin xcos x}}e^{-sin x},end{aligned}}}

que tiende a 0 como $xto infty$ . Otros ejemplos de este tipo fueron encontrados por Ralph P. Boas Jr.

El límite de derivadas no existe

(feminine)

El requisito de que el límite

lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}

existe es esencial. Sin esta condición, $f'$ o $g'$ puede exhibir oscilaciones sin humedad como $x$ enfoques $c$ , en cuyo caso la regla de L'Hôpital no se aplica. Por ejemplo, si ${displaystyle f(x)=x+sin(x)}$ , $g(x)=x$ y ${displaystyle c=pm infty }$ , entonces

{displaystyle {frac {f'(x)}{g'(x)}}={frac {1+cos(x)}{1}};}

esta expresión no se acerca a un límite $x$ va a $c$ , ya que la función cosina oscila entre $1$ y $-1$ . Pero trabajar con las funciones originales, $lim _{xto infty }{frac {f(x)}{g(x)}}$ se puede demostrar que existen:

{displaystyle lim _{xto infty }{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{xto infty }left({frac {x+sin(x)}{x}}right)=lim _{xto infty }left(1+{frac {sin(x)}{x}}right)=1+lim _{xto infty }left({frac {sin(x)}{x}}right)=1+0=1.}

En un caso como este, todo lo que se puede concluir es que

{displaystyle liminf _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}leq liminf _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}leq limsup _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}leq limsup _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}},}

de modo que si existe el límite de f/g, entonces debe estar entre los límites inferior y superior de f′/g′. (En el ejemplo anterior, esto es cierto, ya que 1 se encuentra entre 0 y 2).

Ejemplos

Aquí hay un ejemplo básico que implica la función exponencial, que implica la forma indeterminada 0/0 a $x = 0$ : ${displaystyle {begin{aligned}lim _{xto 0}{frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=lim _{xto 0}{frac {{frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\[4pt]&=lim _{xto 0}{frac {e^{x}}{2x+1}}\[4pt]&=1.end{aligned}}}$
Este es un ejemplo más elaborado que implica 0/0. Aplicar la regla de L'Hôpital una sola vez resulta en una forma indeterminada. En este caso, el límite puede evaluarse aplicando la regla tres veces: ${displaystyle {begin{aligned}lim _{xto 0}{frac {2sin(x)-sin(2x)}{x-sin(x)}}&=lim _{xto 0}{frac {2cos(x)-2cos(2x)}{1-cos(x)}}\[4pt]&=lim _{xto 0}{frac {-2sin(x)+4sin(2x)}{sin(x)}}\[4pt]&=lim _{xto 0}{frac {-2cos(x)+8cos(2x)}{cos(x)}}\[4pt]&={frac {-2+8}{1}}\[4pt]&=6.end{aligned}}}$
Aquí hay un ejemplo que implica JUEGO/JUEGO: ${displaystyle lim _{xto infty }x^{n}cdot e^{-x}=lim _{xto infty }{frac {x^{n}}{e^{x}}}=lim _{xto infty }{frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=ncdot lim _{xto infty }{frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.}$ Repetidamente aplicar la regla de L'Hôpital hasta que el exponente sea cero (si $n$ es un entero) o negativo (si $n$ es fraccional) para concluir que el límite es cero.
Aquí hay un ejemplo que involucra la forma indeterminada $0 \cdot Bolivia$ (véase infra), que se reescribe como forma JUEGO/JUEGO: ${displaystyle lim _{xto 0^{+}}xln x=lim _{xto 0^{+}}{frac {ln x}{frac {1}{x}}}=lim _{xto 0^{+}}{frac {frac {1}{x}}{-{frac {1}{x^{2}}}}}=lim _{xto 0^{+}}-x=0.}$
Aquí hay un ejemplo que implica la fórmula de reembolso hipotecaria y 0/0. Vamos $P$ ser el principal (número de préstamo), $r$ la tasa de interés por período y $n$ el número de períodos. Cuando $r$ es cero, la cantidad de reembolso por período es ${displaystyle {frac {P}{n}}}$ (ya que sólo el principal está siendo pagado); esto es coherente con la fórmula para los tipos de interés no cero: ${displaystyle {begin{aligned}lim _{rto 0}{frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}&=Plim _{rto 0}{frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}\[4pt]&={frac {P}{n}}.end{aligned}}}$
También se puede utilizar la regla de L'Hôpital para probar el siguiente teorema. Si $f$ es dos veces diferente en un barrio $x$ y que su segundo derivado es continuo en este barrio, entonces ${displaystyle {begin{aligned}lim _{hto 0}{frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=lim _{hto 0}{frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\[4pt]&=lim _{hto 0}{frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\[4pt]&=f''(x).end{aligned}}}$
A veces la regla de L'Hôpital es invocada de una manera difícil: supongamos $f () x) + f . x)$ converge como $x \to$ y eso ${displaystyle e^{x}cdot f(x)}$ converge en el infinito positivo o negativo. Entonces:
${displaystyle lim _{xto infty }f(x)=lim _{xto infty }{frac {e^{x}cdot f(x)}{e^{x}}}=lim _{xto infty }{frac {e^{x}{bigl (}f(x)+f'(x){bigr)}}{e^{x}}}=lim _{xto infty }{bigl (}f(x)+f'(x){bigr)}}$ y así, ${textstyle lim _{xto infty }f(x)}$ existe y ${textstyle lim _{xto infty }f'(x)=0.}$
El resultado sigue siendo cierto sin la hipótesis añadida de que ${displaystyle e^{x}cdot f(x)}$ converge a la infinidad positiva o negativa, pero la justificación es entonces incompleta.

Complicaciones

A veces, la regla de L'Hôpital's no conduce a una respuesta en un número finito de pasos a menos que se apliquen algunos pasos adicionales. Los ejemplos incluyen lo siguiente:

Dos aplicaciones pueden dar lugar a un retorno a la expresión original que debía evaluarse: ${displaystyle lim _{xto infty }{frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=lim _{xto infty }{frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=lim _{xto infty }{frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=cdots.}$ Esta situación puede abordarse mediante la sustitución $y=e^{x}$ y notar eso $Sí.$ va al infinito como $x$ va al infinito; con esta sustitución, este problema se puede resolver con una única aplicación de la regla: ${displaystyle lim _{xto infty }{frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=lim _{yto infty }{frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=lim _{yto infty }{frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={frac {1}{1}}=1.}$ Alternativamente, el numerador y el denominador pueden ser multiplicados por ${displaystyle e^{x},}$ en qué punto la regla de L'Hôpital se puede aplicar inmediatamente con éxito: ${displaystyle lim _{xto infty }{frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=lim _{xto infty }{frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=lim _{xto infty }{frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.}$
Un número arbitrario de solicitudes nunca puede dar lugar a una respuesta incluso sin repetir: ${displaystyle lim _{xto infty }{frac {x^{frac {1}{2}}+x^{-{frac {1}{2}}}}{x^{frac {1}{2}}-x^{-{frac {1}{2}}}}}=lim _{xto infty }{frac {{frac {1}{2}}x^{-{frac {1}{2}}}-{frac {1}{2}}x^{-{frac {3}{2}}}}{{frac {1}{2}}x^{-{frac {1}{2}}}+{frac {1}{2}}x^{-{frac {3}{2}}}}}=lim _{xto infty }{frac {-{frac {1}{4}}x^{-{frac {3}{2}}}+{frac {3}{4}}x^{-{frac {5}{2}}}}{-{frac {1}{4}}x^{-{frac {3}{2}}}-{frac {3}{4}}x^{-{frac {5}{2}}}}}=cdots.}$ Esta situación también puede ser abordada por una transformación de variables, en este caso $y={sqrt {x}}$ : ${displaystyle lim _{xto infty }{frac {x^{frac {1}{2}}+x^{-{frac {1}{2}}}}{x^{frac {1}{2}}-x^{-{frac {1}{2}}}}}=lim _{yto infty }{frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=lim _{yto infty }{frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={frac {1}{1}}=1.}$ Una vez más, un enfoque alternativo es multiplicar numerador y denominador por $x^{1/2}$ antes de aplicar la regla de L'Hôpital: ${displaystyle lim _{xto infty }{frac {x^{frac {1}{2}}+x^{-{frac {1}{2}}}}{x^{frac {1}{2}}-x^{-{frac {1}{2}}}}}=lim _{xto infty }{frac {x+1}{x-1}}=lim _{xto infty }{frac {1}{1}}=1.}$

Un error común es usar la regla de L'Hôpital's con algún razonamiento circular para calcular una derivada a través de un cociente de diferencias. Por ejemplo, considere la tarea de probar la fórmula derivada para potencias de x:

{displaystyle lim _{hto 0}{frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.}

Aplicando la regla de L'Hôpital's y encontrando las derivadas con respecto a $h$ del numerador y el denominador se obtiene $nx n -1$ como se esperaba. Sin embargo, diferenciar el numerador requiere el uso del mismo hecho que se está probando. Este es un ejemplo de petición de principio, ya que uno no puede suponer que el hecho está probado durante el curso de la prueba.

Otras formas indeterminadas

Otras formas indeterminadas, como $1 \infty$ , $00, \infty 0, 0 \cdot \infty y \infty - \infty, a veces se puede evaluar usando la regla de L'Hôpital'. Por ejemplo, para evaluar un límite que involucre \infty - \infty, convierta la diferencia de dos funciones en un cociente:$

{displaystyle {begin{aligned}lim _{xto 1}left({frac {x}{x-1}}-{frac {1}{ln x}}right)&=lim _{xto 1}{frac {xcdot ln x-x+1}{(x-1)cdot ln x}}&quad (1)\[6pt]&=lim _{xto 1}{frac {ln x}{{frac {x-1}{x}}+ln x}}&quad (2)\[6pt]&=lim _{xto 1}{frac {xcdot ln x}{x-1+xcdot ln x}}&quad (3)\[6pt]&=lim _{xto 1}{frac {1+ln x}{1+1+ln x}}&quad (4)\[6pt]&=lim _{xto 1}{frac {1+ln x}{2+ln x}}\[6pt]&={frac {1}{2}},end{aligned}}}

donde se aplica la regla de L'Hôpital's al pasar de (1) a (2) y nuevamente al pasar de (3) a (4).

La regla de L'Hôpital'se puede usar en formas indeterminadas que involucran exponentes usando logaritmos para "mover el exponente hacia abajo". Aquí hay un ejemplo que involucra la forma indeterminada $00$ :

{displaystyle lim _{xto 0^{+}}x^{x}=lim _{xto 0^{+}}e^{ln(x^{x})}=lim _{xto 0^{+}}e^{xcdot ln x}=e^{lim limits _{xto 0^{+}}(xcdot ln x)}.}

Es válido mover el límite dentro de la función exponencial porque la función exponencial es continua. Ahora el exponente $x$ ha sido "movido". El límite ${displaystyle lim _{xto 0^{+}}xcdot ln x}$ es de la forma indeterminada $0 \cdot Bolivia$ , pero como se muestra en un ejemplo anterior, la regla de l'Hôpital se puede utilizar para determinar que

{displaystyle lim _{xto 0^{+}}xcdot ln x=0.}

Así

{displaystyle lim _{xto 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1.}

La siguiente tabla enumera las formas indeterminadas más comunes y las transformaciones para aplicar la regla de l'Hôpital's:

Forma indeterminada	Condiciones	Transformación a $0/0$
0/0	$lim_{x to c} f(x) = 0, lim_{x to c} g(x) = 0 !$	—
$infty$ / $infty$	$lim_{x to c} f(x) = infty, lim_{x to c} g(x) = infty !$	$lim_{x to c} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x to c} frac{1/g(x)}{1/f(x)} !$
$0cdot infty$	$lim_{x to c} f(x) = 0, lim_{x to c} g(x) = infty !$	$lim_{x to c} f(x)g(x) = lim_{x to c} frac{f(x)}{1/g(x)} !$
$infty -infty$	$lim_{x to c} f(x) = infty, lim_{x to c} g(x) = infty !$	$lim_{x to c} (f(x) - g(x)) = lim_{x to c} frac{1/g(x) - 1/f(x)}{1/(f(x)g(x))} !$
$0^{0}$	$lim_{x to c} f(x) = 0^+, lim_{x to c} g(x) = 0 !$	$lim_{x to c} f(x)^{g(x)} = exp lim_{x to c} frac{g(x)}{1/ln f(x)} !$
$1^{infty }$	$lim_{x to c} f(x) = 1, lim_{x to c} g(x) = infty !$	$lim_{x to c} f(x)^{g(x)} = exp lim_{x to c} frac{ln f(x)}{1/g(x)} !$
${displaystyle infty ^{0}}$	$lim_{x to c} f(x) = infty, lim_{x to c} g(x) = 0 !$	$lim_{x to c} f(x)^{g(x)} = exp lim_{x to c} frac{g(x)}{1/ln f(x)} !$

Teorema de Stolz-Cesàro

El teorema de Stolz-Cesàro es un resultado similar que involucra límites de secuencias, pero usa operadores de diferencias finitas en lugar de derivadas.

Interpretación geométrica

Considere la curva en el plano cuya coordenada $x$ viene dada por $g (t)$ y cuya coordenada $y$ viene dada por $f (t)$ , con ambas funciones continuas, es decir, el lugar geométrico de los puntos de la forma $[g (t), f (t)]$ . Supongamos que $f (c) = g (c) = 0. El límite de la relación f (t) / g (t) como t \to c es la pendiente de la tangente a la curva en el punto [g (c), f (c)] = [0,0] . La tangente a la curva en el punto [g (t), f (t)] está dada por [g'(t), f' (t)] . La regla de L'Hôpital establece que la pendiente de la curva cuando t = c es la límite de la pendiente de la tangente a la curva cuando la curva se aproxima al origen, siempre que éste esté definido.$

Prueba de la regla de L'Hôpital'

Caso especial

La prueba de la regla de L'Hôpital's es simple en el caso donde $f$ y $g$ son continuamente diferenciables en el punto $c$ y donde se encuentra un límite finito después de la primera ronda de diferenciación. No es una prueba de la regla general de L'Hôpital' porque es más estricta en su definición y requiere diferenciabilidad y que c sea un número real. Dado que muchas funciones comunes tienen derivadas continuas (por ejemplo, polinomios, seno y coseno, funciones exponenciales), es un caso especial digno de atención.

Supongamos que $f$ y $g$ son continuamente diferenciables en un número real $c$ , eso ${displaystyle f(c)=g(c)=0}$ , y eso $g'(c)neq 0$ . Entonces...

{displaystyle {begin{aligned}&lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=lim _{xto c}{frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=lim _{xto c}{frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\[6pt]={}&lim _{xto c}{frac {left({frac {f(x)-f(c)}{x-c}}right)}{left({frac {g(x)-g(c)}{x-c}}right)}}={frac {lim limits _{xto c}left({frac {f(x)-f(c)}{x-c}}right)}{lim limits _{xto c}left({frac {g(x)-g(c)}{x-c}}right)}}={frac {f'(c)}{g'(c)}}=lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}.end{aligned}}}

Esto se deriva de la definición diferencia-cociente del derivado. La última igualdad se deriva de la continuidad de los derivados en $c$ . El límite de la conclusión no es indeterminado porque ${displaystyle g'(c)neq 0}$ .

La demostración de una versión más general de la regla de L'Hôpital se muestra a continuación.

Prueba general

La siguiente prueba se debe a Taylor (1952), donde una prueba unificada para la 0/0 y ±∞/±∞ se dan formas indeterminadas. Taylor señala que se pueden encontrar diferentes pruebas en Lettenmeyer (1936) y Wazewski (1949).

Vamos f y g ser funciones que satisfagan las hipótesis en la sección de forma general. Vamos ${mathcal {I}}$ ser el intervalo abierto en la hipótesis con el punto final c. Considerando que ${displaystyle g'(x)neq 0}$ en este intervalo y g es continuo, ${mathcal {I}}$ puede ser elegido más pequeño para que g no es cero en ${mathcal {I}}$ .

Para cada uno x en el intervalo, definir $m(x)=inf {frac {f'(xi)}{g'(xi)}}$ y $M(x)=sup {frac {f'(xi)}{g'(xi)}}$ como $xi$ rangos sobre todos los valores entre x y c. (Los símbolos inf y sup denotan el infimum y supremum.)

De la diferenciabilidad f y g on ${mathcal {I}}$ El teorema de valor medio de Cauchy asegura que para cualquier dos puntos distintos x y Sí. dentro ${mathcal {I}}$ existe $xi$ entre x y Sí. tales que ${frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={frac {f'(xi)}{g'(xi)}}$ . En consecuencia, $m(x)leq {frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}leq M(x)$ para todas las opciones distintas x y Sí. en el intervalo. El valor g()x)g()Sí.) es siempre no cero para diferencia x y Sí. en el intervalo, porque si no fuera así, el teorema de valor medio implicaría la existencia de un p entre x y Sí. tales que g ' ()p)=0.

La definición de m(x) y M(x) dará como resultado un número real extendido, por lo que es posible que tomen los valores ±∞. En los dos casos siguientes, m(x) y M(x) establecerán límites en la relación f/g.

Caso 1: ${displaystyle lim _{xto c}f(x)=lim _{xto c}g(x)=0}$

Para cualquier x en el intervalo ${mathcal {I}}$ , y punto Sí. entre x y c,

{displaystyle m(x)leq {frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={frac {{frac {f(x)}{g(x)}}-{frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{frac {g(y)}{g(x)}}}}leq M(x)}

y, por consiguiente, Sí. enfoques c, ${frac {f(y)}{g(x)}}$ y ${frac {g(y)}{g(x)}}$ convertirse en cero, y así

{displaystyle m(x)leq {frac {f(x)}{g(x)}}leq M(x).}

Caso 2: ${displaystyle lim _{xto c}|g(x)|=infty }$

Por todos x en el intervalo ${mathcal {I}}$ , definir $S_{x}={ymid y{text{ is between }}x{text{ and }}c}$ . Por cada punto Sí. entre x y c,

{displaystyle m(x)leq {frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={frac {{frac {f(y)}{g(y)}}-{frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{frac {g(x)}{g(y)}}}}leq M(x).}

As Sí. enfoques c, ambos ${frac {f(x)}{g(y)}}$ y ${frac {g(x)}{g(y)}}$ convertirse en cero, y por lo tanto

{displaystyle m(x)leq liminf _{yin S_{x}}{frac {f(y)}{g(y)}}leq limsup _{yin S_{x}}{frac {f(y)}{g(y)}}leq M(x).}

El límite superior y el límite inferior son necesarios ya que existe el límite de f/g aún no se ha establecido.

También se da el caso de que

{displaystyle lim _{xto c}m(x)=lim _{xto c}M(x)=lim _{xto c}{frac {f'(x)}{g'(x)}}=L.}

{displaystyle lim _{xto c}left(liminf _{yin S_{x}}{frac {f(y)}{g(y)}}right)=liminf _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}}

{displaystyle lim _{xto c}left(limsup _{yin S_{x}}{frac {f(y)}{g(y)}}right)=limsup _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}.}

En el caso 1, el teorema de presión establece que ${displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}}$ existe y es igual a L. En el caso 2, y el teorema de presión afirma de nuevo que ${displaystyle liminf _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=limsup _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}=L}$ , y así el límite ${displaystyle lim _{xto c}{frac {f(x)}{g(x)}}}$ existe y es igual a L. Este es el resultado que debía probarse.

En el caso 2, la suposición de que f(x) diverge hasta el infinito no se usó en la prueba. Esto significa que si |g(x)| diverge hasta el infinito cuando x tiende a c y tanto f como g satisfacen las hipótesis de L'Hôpital&# 39;s, entonces no se necesita suposición adicional sobre el límite de f(x): Incluso podría darse el caso de que el límite de f(x) no existe. En este caso, el teorema de L'Hopital es en realidad una consecuencia de Cesàro-Stolz.

En el caso de que |g(x)| diverge hasta el infinito cuando x se aproxima a c y f(x) converge a un límite finito en c , entonces la regla de L'Hôpital's sería aplicable, pero no absolutamente necesaria, ya que el cálculo básico de límites mostrará que el límite de f(x)/g(x) cuando x se acerca a c debe ser cero.

Corolario

Una consecuencia simple pero muy útil de la regla de L'Hopital es un criterio bien conocido para la diferenciabilidad. Declara lo siguiente: Supongamos que f es continuo a, y eso $f'(x)$ existe para todos x en un intervalo abierto que contiene a, excepto quizás $x=a$ . Supongamos, además, que ${displaystyle lim _{xto a}f'(x)}$ existe. Entonces... $f'(a)$ también existe y

{displaystyle f'(a)=lim _{xto a}f'(x).}

En particular, f' también es continua en a.

Prueba

Considerar las funciones ${displaystyle h(x)=f(x)-f(a)}$ y $g(x)=x-a$ . La continuidad de f a a nos dice que ${displaystyle lim _{xto a}h(x)=0}$ . Además, ${displaystyle lim _{xto a}g(x)=0}$ ya que una función polinomio es siempre continua en todas partes. Aplicar la regla de L'Hopital muestra que ${displaystyle f'(a):=lim _{xto a}{frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=lim _{xto a}{frac {h(x)}{g(x)}}=lim _{xto a}f'(x)}$ .