PSL(2,7)

En matemáticas, el grupo lineal especial proyectivo PSL(2, 7), isomorfo a GL(3, 2), es un grupo finito simple que tiene importantes aplicaciones en álgebra, geometría y teoría de números. Es el grupo de automorfismo del cuartico de Klein así como el grupo de simetría del plano de Fano. Con 168 elementos, PSL(2, 7) es el grupo simple no abeliano más pequeño después del grupo alterno A₅ con 60 elementos, isomorfo a PSL(2, 5).

Definición

El grupo lineal general GL(2, 7) consta de todas las matrices invertibles 2×2 sobre F₇, el campo finito con 7 elementos. Estos tienen determinante distinto de cero. El subgrupo SL(2, 7) consta de todas esas matrices con determinante unitario. Entonces PSL(2, 7) se define como el grupo cociente

SL(2, 7) / {I, −I}

obtenido identificando I y −I, donde I es la matriz de identidad. En este artículo, dejamos que G denote cualquier grupo isomorfo a PSL(2, 7).

Propiedades

G = PSL(2, 7) tiene 168 elementos. Esto se puede ver contando las posibles columnas; hay 7² − 1 = 48 posibilidades para la primera columna, luego 7² − 7 = 42 posibilidades para la segunda columna. Debemos dividir por 7 − 1 = 6 para forzar que el determinante sea igual a uno, y luego debemos dividir por 2 cuando identificamos I y −I. El resultado es (48 × 42) / (6 × 2) = 168.

Es un resultado general que PSL(n, q) es simple para n, q ≥ 2 (q es alguna potencia de un número primo), a menos que (n, q) = (2, 2) o (2, 3). PSL(2, 2) es isomorfo al grupo simétrico S₃, y PSL(2, 3) es isomorfo al grupo alterno A₄. De hecho, PSL(2, 7) es el segundo grupo simple no abeliano más pequeño, después del grupo alterno A₅ = PSL(2, 5) = PSL(2, 4).

El número de clases de conjugación y representaciones irreducibles es 6. Los tamaños de las clases de conjugación son 1, 21, 42, 56, 24, 24. Las dimensiones de las representaciones irreducibles son 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Tabla de caracteres

1A12A214A423A567A247B24χ χ 1111111χ χ 23− − 110σ σ σ σ ̄ ̄ χ χ 33− − 110σ σ ̄ ̄ σ σ χ χ 46200− − 1− − 1χ χ 57− − 1− − 1100χ χ 6800− − 111,{displaystyle {begin{array}{r vidascccc} limit1A_{1} limit2A_{21} limit4A_{42} limit3A_{56} limit7A_{24} limit7B_{24}\\hline chi _{1} unos pocos1 segundos1 unos cuantos1 tendrían 1\chi _{2} unos 3 segundos a uno de los dos, tres, tres, tres. {sigma }\\chi ################################################################################################################################################################################################################################################################ {sigma } \chi - ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?

donde:

σ σ =− − 1+i72.{displaystyle sigma ={frac {-1+i{sqrt {7}} {2}}}

La siguiente tabla describe las clases de conjugación en términos del orden de un elemento en la clase, el tamaño de la clase, el polinomio mínimo de cada representante en GL(3, 2) y la notación de función para un representante en PSL(2, 7). Tenga en cuenta que las clases 7A y 7B se intercambian mediante un automorfismo, por lo que los representantes de GL(3, 2) y PSL(2, 7) se pueden cambiar arbitrariamente.

El orden del grupo es 168 = 3 × 7 × 8, esto implica la existencia de subgrupos de Sylow de órdenes 3, 7 y 8. Es fácil describe los dos primeros, son cíclicos, ya que cualquier grupo de orden primo es cíclico. Cualquier elemento de la clase de conjugación 3A₅₆ genera 3 subgrupos de Sylow. Cualquier elemento de las clases de conjugación 7A₂₄, 7B₂₄ genera el subgrupo 7 de Sylow. El subgrupo 2 de Sylow es un grupo diédrico de orden 8. Puede describirse como centralizador de cualquier elemento de la clase de conjugación 2A₂₁. En la representación GL(3, 2), un subgrupo Sylow 2 consta de las matrices triangulares superiores.

Este grupo y su subgrupo Sylow 2 proporcionan un contraejemplo para varios teoremas del complemento p normal para p = 2.

Acciones sobre espacios proyectivos

G = PSL(2, 7) actúa mediante transformación fraccionaria lineal en la línea proyectiva P ¹(7) sobre el campo con 7 elementos:

Paraγ γ =()abcd)▪ ▪ PSL()2,7)yx▪ ▪ P1()7),γ γ ⋅ ⋅ x=ax+bcx+d.{displaystyle {text{For }gamma ={begin{pmatrix}a Duebcdend{pmatrix}in {text{PSL}(2,7){text{ and }}xin mathbb {P} {1}!(7), gamma cdot x={ax+b}{cx+d}}}}}}}}}}}

Cada automorfismo que conserva la orientación de P¹(7) surge de esta manera, por lo que G = PSL(2, 7) puede considerarse geométricamente como un grupo de simetrías de la línea proyectiva P¹(7); el grupo completo de automorfismos lineales proyectivos que posiblemente invierten la orientación es, en cambio, la extensión de orden 2 PGL(2, 7), y el grupo de colineaciones de la línea proyectiva es el grupo simétrico completo de los puntos.

Sin embargo, PSL(2, 7) también es isomorfo a PSL(3, 2) (= SL(3, 2) = GL(3, 2)), el grupo lineal especial (general) de matrices de 3×3 sobre el campo con 2 elementos. De manera similar, G = PSL(3, 2) actúa en el plano proyectivo P²(2) sobre el campo con 2 elementos, también conocido como plano de Fano:

Para γ γ =()abcdefghi)▪ ▪ PSL()3,2){displaystyle gamma ={begin{pmatrix}a tendría un problemac\d reducidae cosechaf\g conduciend{pmatrix}in {text{PSL}}(3,2) } y x=()xSí.z)▪ ▪ P2()2),γ γ ⋅ ⋅ x=()ax+bSí.+czdx+eSí.+fzgx+hSí.+iz){displaystyle mathbf {x} ={begin{pmatrix}x\y\zend{pmatrix}}in mathbb {P} ^{2}!(2), gamma cdot \mathbf {x} ={begin{pmatrix}ax+by+cz\dx+ey+fzgx+hy+izend{pmatrix}}

Nuevamente, cada automorfismo de P²(2) surge de esta manera, por lo que G = PSL(3, 2) puede considerarse geométricamente como el grupo de simetría de este plano proyectivo. El plano de Fano se puede utilizar para describir la multiplicación de octoniones, por lo que G actúa sobre el conjunto de tablas de multiplicación de octoniones.

Simetrías del cuartico de Klein

El cuartico de Klein es la variedad proyectiva sobre los números complejos C definidos por el polinomio cuartico

x³Sí. + Sí.³z + z³x = 0.

Es una superficie compacta de Riemann de género g = 3, y es la única superficie para la cual el tamaño del grupo de automorfismo conforme alcanza el máximo de 84(g−1). Este límite se debe al teorema de los automorfismos de Hurwitz, que es válido para todo g>1. Tales "superficies de Hurwitz" son raros; el siguiente género para el que existe es g = 7, y el siguiente es g = 14.

Al igual que con todas las superficies de Hurwitz, a la cuartica de Klein se le puede dar una métrica de curvatura negativa constante y luego revestirla con heptágonos regulares (hiperbólicos), como cociente del mosaico heptagonal de orden 3, con las simetrías de la superficie como un Superficie de Riemann o curva algebraica exactamente igual a las simetrías del mosaico. Para el cuártico de Klein, esto produce un mosaico de 24 heptágonos y, por lo tanto, el orden de G está relacionado con el hecho de que 24 × 7 = 168. De manera dual, se puede revestir con 56 triángulos equiláteros, con 24 vértices, cada uno de grado 7, como cociente del mosaico triangular de orden 7.

La cuartica de Klein surge en muchos campos de las matemáticas, incluida la teoría de la representación, la teoría de la homología, la multiplicación de octoniones, el último teorema de Fermat y el teorema de Stark sobre campos numéricos cuadráticos imaginarios de clase número 1..

Grupo Mathieu

PSL(2, 7) es un subgrupo máximo del grupo de Mathieu M₂₁; los grupos M₂₁ y M₂₄ se pueden construir como extensiones de PSL(2, 7). Estas extensiones pueden interpretarse en términos del mosaico de la cuartica de Klein, pero no se realizan mediante simetrías geométricas del mosaico.

Acciones de permutación

El grupo PSL(2, 7) actúa sobre varios conjuntos finitos:

• En su interpretación original PSL(2, 7), automorfismos lineales de orientación reserva de la línea de proyecto P¹()F₇), actúa transitivamente en los 8 puntos con un estabilizador del orden 21 fijando un punto dado. También actúa 2-transitivamente con estabilizador del orden 3 en cada par de puntos; y tiene dos órbitas en triples de puntos, con estabilizador trivial en cada triple. (El grupo más grande) PGL(2, 7) actúa agudamente 3-transitivamente.)
• Interpretado como PGL(3, 2), automorfismos lineales del plano Fano P²()F₂), actúa 2-transitivamente en los 7 puntos, con estabilizador del orden 24 fijando cada punto, y estabilizador del orden 4 fijando cada par de puntos.
• Interpretado como automorfismos de un revestimiento de la cuartic Klein, actúa transitivamente en los 24 vértices (o dualmente, 24 heptagones), con estabilizador del orden 7 (correspondiendo a una rotación sobre el vértice/heptógono).
• Interpretado como subgrupo del grupo Mathieu M₂₁, el subgrupo actúa no transitivamente en 21 puntos.