Prueba directa

En matemáticas y lógica, una prueba directa es una forma de mostrar la verdad o falsedad de una declaración dada por una combinación directa de hechos establecidos, generalmente axiomas, lemas y teoremas existentes, sin hacer más suposiciones. Para probar directamente un enunciado condicional de la forma "Si p, entonces q", basta considerar las situaciones en las que el enunciado p es cierto. La deducción lógica se emplea para razonar desde las suposiciones hasta la conclusión. El tipo de lógica empleada es casi invariablemente lógica de primer orden, empleando los cuantificadores para todos y existe. Las reglas de prueba comunes utilizadas son modus ponens e instanciación universal.

En contraste, una prueba indirecta puede comenzar con ciertos escenarios hipotéticos y luego proceder a eliminar las incertidumbres en cada uno de estos escenarios hasta forzar una conclusión ineludible. Por ejemplo, en lugar de mostrar directamente p ⇒ q, uno prueba su contrapositivo ~q ⇒ ~p (uno asume ~q y muestra que conduce a ~p). Dado que p ⇒ q y ~q ⇒ ~p son equivalentes por el principio de transposición (ver ley de exclusión medio), p ⇒ q se demuestra indirectamente. Los métodos de prueba que no son directos incluyen la prueba por contradicción, incluida la prueba por descenso infinito. Los métodos de prueba directa incluyen prueba por agotamiento y prueba por inducción.

Historia y etimología

Una prueba directa es la forma más simple de prueba que existe. La palabra "prueba" proviene de la palabra latina probare, que significa "probar". El primer uso de las pruebas fue prominente en los procedimientos legales. Se decía que una persona con autoridad, como un noble, tenía probidad, lo que significa que la evidencia era por su autoridad relativa, que pesaba más que el testimonio empírico. En días pasados, las matemáticas y la demostración a menudo se entrelazaban con preguntas prácticas, con poblaciones como los egipcios y los griegos que mostraban interés en medir la tierra. Esto llevó a una curiosidad natural con respecto a la geometría y la trigonometría, particularmente los triángulos y los rectángulos. Estas fueron las formas que generaron la mayoría de las preguntas en términos de cosas prácticas, por lo que los primeros conceptos geométricos se centraron en estas formas, por ejemplo, los edificios y las pirámides usaron estas formas en abundancia. Otra forma que es crucial en la historia de la prueba directa es el círculo, que fue crucial para el diseño de arenas y tanques de agua. Esto significaba que la geometría antigua (y la geometría euclidiana) hablaban de círculos.

La primera forma de matemáticas fue fenomenológica. Por ejemplo, si alguien pudiera hacer un dibujo razonable o dar una descripción convincente, eso cumpliría con todos los criterios para que algo se describa como un "hecho" matemático. En ocasiones se producían argumentos analógicos, o incluso “invocando a los dioses”. La idea de que los enunciados matemáticos pudieran probarse aún no se había desarrollado, por lo que estas fueron las primeras formas del concepto de prueba, a pesar de no ser una prueba real en absoluto.

La prueba tal como la conocemos surgió con una pregunta específica: "¿Qué es una prueba?" Tradicionalmente, una prueba es una plataforma que convence a alguien más allá de toda duda razonable de que una afirmación es matemáticamente cierta. Naturalmente, uno asumiría que la mejor manera de probar la verdad de algo como esto (B) sería hacer una comparación con algo antiguo (A) que ya ha sido probado como verdadero. Así se creó el concepto de derivar un nuevo resultado de un resultado anterior.

Ejemplos

La suma de dos enteros pares es igual a un entero par

Considere dos enteros pares x y y. Como son pares, se pueden escribir como

x=2a{displaystyle x=2a}

Sí.=2b{displaystyle y=2b}

respectivamente para números enteros a y b. Entonces la suma se puede escribir como

x+Sí.=2a+2b=2()a+b)=2p{displaystyle x+y=2a+2b=2(a+b)=2p} Donde p=a+b{displaystyle p=a+b}, a y b todos son enteros.

Se sigue que x + y tiene 2 como factor y por lo tanto es par, por lo que la suma de cualquier dos enteros pares es par.

Pitágoras N.º 39; teorema

Observe que tenemos cuatro triángulos rectángulos y un cuadrado empaquetados en un cuadrado grande. Cada uno de los triángulos tiene lados a y b e hipotenusa c. El área de un cuadrado se define como el cuadrado de la longitud de sus lados, en este caso, (a + b)². Sin embargo, el área del cuadrado grande también se puede expresar como la suma de las áreas de sus componentes. En este caso, sería la suma de las áreas de los cuatro triángulos y el pequeño cuadrado del medio.

Sabemos que el área del cuadrado grande es igual a (a + b)².

El área de un triángulo es igual a 12ab.{fnMicroc} {1}{2}ab.}

Sabemos que el área de la plaza grande también es igual a la suma de las áreas de los triángulos, más el área de la pequeña plaza, y por lo tanto el área de la plaza grande iguala 4()12ab)+c2.{displaystyle 4({frac {2}ab)+c^{2}

Estos son iguales, y así

()a+b)2=4()12ab)+c2.{displaystyle (a+b)^{2}=4({frac {1}{2}ab)+c^{2}}

Después de simplificar un poco,

a2+2ab+b2=2ab+c2.{displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=2ab+c^{2}

Quitar el ab que aparece en ambos lados da

a2+b2=c2,{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}

lo que demuestra que Pitágoras' teorema. ∎

El cuadrado de un número impar también es impar

Por definición, si n es un número entero impar, se puede expresar como

n=2k+1{displaystyle n=2k+1}

para algún número entero k. De este modo

n2=()2k+1)2=()2k+1)()2k+1)=4k2+2k+2k+1=4k2+4k+1=2()2k2+2k)+1.{displaystyle {begin{aligned}n^{2} limit=(2k+1)^{2}\\2k+1)(2k+1)\=4k^{2}+2k+2k+1\\\4k^{2}+4k+1\2\2cH0}endal} {c}}}}c}}c}}}}}}}c}}}}cc}}}}}}}}}c}c}}}}}}ccccccccc}}}}}}}}}}}}}}}ccccc}}}}}}}}}}}}}}}ccHcccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cccc}}}}}}}}

Como 2k²+ 2k es un número entero, n² también es extraño. ∎