Prueba de primalidad de lucas

En teoría computacional de números, la prueba de Lucas es una prueba de primalidad para un número natural n; requiere que los factores primos de n − 1 ya se conozcan. Es la base del certificado Pratt que proporciona una verificación concisa de que n es primo.

Conceptos

Sea n un número entero positivo. Si existe un número entero a, 1 < a < n, tal que

an− − 1↑ ↑ 1()modn){displaystyle a^{n-1}equiv 1{pmodn},}

y para cada factor primo q de n − 1

a()n− − 1)/q≢1()modn){displaystyle a^{n-1}/q} not equiv 1{pmod {n},}

entonces n es primo. Si no existe tal número a, entonces n es 1, 2 o compuesto.

La razón de la exactitud de esta afirmación es la siguiente: si la primera equivalencia es válida para a, podemos deducir que a y n > son coprimos. Si a también sobrevive al segundo paso, entonces el orden de a en el grupo (Z/nZ)* es igual a n−1, lo que significa que el orden de ese grupo es n−1 (porque el orden de cada elemento de un grupo divide el orden del grupo), lo que implica que n es primo. Por el contrario, si n es primo, entonces existe una raíz primitiva módulo n, o generador del grupo (Z/nZ )*. Un generador de este tipo tiene orden |(Z/nZ)*| = n−1 y ambas equivalencias se cumplirán para cualquier raíz primitiva de este tipo.

Tenga en cuenta que si existe un a < n tal que la primera equivalencia falla, a se llama testigo de Fermat de la composición de n.

Ejemplo

Por ejemplo, toma n = 71. Entonces n − 1 = 70 y los factores primos de 70 son 2, 5 y 7. Seleccionamos aleatoriamente un a=17 < n. Ahora calculamos:

1770↑ ↑ 1()mod71).{displaystyle 17^{70}equiv 1{pmod {71}}

Para todos los números enteros a se sabe que

an− − 1↑ ↑ 1()modn)siord()a)Silencio()n− − 1).{displaystyle a^{n-1}equiv 1{pmod {n}\text{ if and only if }{text{ ord} {fn1}(a) perpetua(n-1). }

Por lo tanto, el orden multiplicativo de 17 (mod 71) no es necesariamente 70 porque algún factor de 70 también puede funcionar arriba. Entonces revisa 70 dividido por sus factores primos:

1735↑ ↑ 70≢1()mod71){displaystyle 17^{35}equiv 70not equiv 1{pmod {71}}

1714↑ ↑ 25≢1()mod71){displaystyle 17^{14}equiv 25not equiv 1{pmod {71}}

1710↑ ↑ 1↑ ↑ 1()mod71).{displaystyle 17^{10}equiv 1equiv 1{pmod {71}}

Desafortunadamente, obtenemos que 17¹⁰≡1 (mod 71). Entonces todavía no sabemos si 71 es primo o no.

Probamos con otro a aleatorio, esta vez eligiendo a = 11. Ahora calculamos:

1170↑ ↑ 1()mod71).{displaystyle 11^{70}equiv 1{pmod {71}}

Nuevamente, esto no muestra que el orden multiplicativo de 11 (mod 71) sea 70 porque algún factor de 70 también puede funcionar. Entonces revisa 70 dividido por sus factores primos:

1135↑ ↑ 70≢1()mod71){displaystyle 11^{35}equiv 70not equiv 1{pmod {71}}

1114↑ ↑ 54≢1()mod71){displaystyle 11^{14}equiv 54not equiv 1{pmod {71}}

1110↑ ↑ 32≢1()mod71).{displaystyle 11^{10}equiv 32not equiv 1{pmod {71}}

Entonces el orden multiplicativo de 11 (mod 71) es 70 y, por lo tanto, 71 es primo.

(Para llevar a cabo estas exponenciaciones modulares, se podría utilizar un algoritmo de exponenciación rápida como la exponenciación binaria o de cadena de suma).

Algoritmo

El algoritmo se puede escribir en pseudocódigo de la siguiente manera:

algoritmo lucas_primality_test es entrada: n > 2, un número extraño para ser probado para la primalidad.
 k, un parámetro que determina la exactitud de la prueba.
 Producto: primo si n es primo, de lo contrario composite o posiblemente compuesto.

determinar los principales factores n−1.

LOOP1: repetición k veces:
Elige. a al azar en el rango [2, n − 1
 si      a  n − −  1   ≢ 1   () mod  n )    {displaystyle a^{n-1}not equiv 1{pmodn}}  entonces retorno composite más #        a  n − −  1   ↑ ↑  1   () mod  n )      {displaystyle color {Gray}{n-1}equiv 1{pmod {n}}} LOOP2: para todos los factores principales q de n−1
 si      a    n − −  1  q    ≢ 1   () mod  n )    {displaystyle a^{frac {n-1}not equiv 1{pmod {n}}}  entonces si comprobamos esta igualdad para todos los factores principales n−1 entonces retorno primo más continuar LOOP2
 más #        a    n − −  1  q    ↑ ↑  1   () mod  n )      {displaystyle color {Gray}{frac} {n-1}{q}equiv} 1{pmod {n}}}  continuar LOOP1

 retorno posiblemente compuesto.