Proyección paralela

En geometría tridimensional, una proyección paralela (o proyección axonométrica) es una proyección de un objeto en un espacio tridimensional sobre un plano fijo, conocido como plano de proyección o plano de imagen, donde se encuentran los rayos, conocidos como líneas de visión o líneas de proyección, son paralelos entre sí. Es una herramienta básica en geometría descriptiva. La proyección se llama ortográfica si los rayos son perpendiculares (ortogonales) al plano de la imagen, y oblicua o sesgada si no lo son.

Descripción general

Una proyección paralela es un caso particular proyección en matemáticas y proyección gráfica en el dibujo técnico. Las proyecciones paralelas pueden verse como el límite de una proyección central o de perspectiva, en la que los rayos pasan a través de un punto fijo llamado el centro o mirador, como este punto se mueve hacia el infinito. Dicho de otra manera, una proyección paralela corresponde a una proyección de perspectiva con una longitud focal infinita (la distancia entre el objetivo y el punto focal en la fotografía) o "zoom". Además, en proyecciones paralelas, las líneas paralelas en el espacio tridimensional permanecen paralelas en la imagen proyectada bidimensionalmente.

Una proyección en perspectiva de un objeto a menudo se considera más realista que una proyección paralela, ya que se parece más a la visión humana y a la fotografía. Sin embargo, las proyecciones paralelas son populares en aplicaciones técnicas, ya que se preserva el paralelismo de las líneas y caras de un objeto y se pueden tomar medidas directas de la imagen. Entre las proyecciones paralelas, las proyecciones ortográficas se consideran las más realistas y las utilizan habitualmente los ingenieros. Por otro lado, ciertos tipos de proyecciones oblicuas (por ejemplo, proyección caballera, proyección militar) son muy simples de implementar y se utilizan para crear imágenes rápidas e informales de objetos.

El término proyección paralela se utiliza en la literatura para describir ambos procedimiento en sí mismo (una función de mapeo matemático) así como la imagen resultante producida por el procedimiento.

Propiedades

Cada proyección paralela tiene las siguientes propiedades:

• Es una definición única por su plano de proyección ▪ y la dirección v→ → {displaystyle {vec}} de las líneas de proyección (paralelas). La dirección no debe ser paralela al plano de proyección.
• Cualquier punto del espacio tiene una imagen única en el plano de proyección ▪, y los puntos de ▪ están arreglados.
• Cualquier línea no paralela a la dirección v→ → {displaystyle {vec}} se mapea en una línea; cualquier línea paralela a v→ → {displaystyle {vec}} se mapea en un punto.
• Las líneas paralelas se mapean en líneas paralelas, o en un par de puntos (si son paralelas a v→ → {displaystyle {vec}}).
• La relación de la longitud de dos segmentos de línea en una línea se mantiene sin cambios. Como caso especial, los puntos intermedios se mapean en puntos intermedios.
• La longitud de un segmento de línea paralelo al plano de proyección permanece inalterada. La longitud de cualquier segmento de línea se acorta si la proyección es ortográfico.
• Cualquier círculo que se encuentra en un plano paralelo al plano de proyección se mapea en un círculo con el mismo radio. Cualquier otro círculo se mapea en un elipse o un segmento de línea (si dirección v→ → {displaystyle {vec}} es paralelo al plano del círculo).
• Los ángulos en general no se conservan. Pero los ángulos rectos con una línea paralela al plano de proyección permanecen sin cambios.
• Cualquier rectángulo se mapea en un paralelograma o en un segmento de línea (si v→ → {displaystyle {vec}} es paralelo al plano del rectángulo).
• Cualquier figura en un plano que sea paralelo al plano de la imagen es congruente con su imagen.

Tipos

Proyección ortográfica

La proyección ortográfica se deriva de los principios de la geometría descriptiva y es un tipo de proyección paralela donde los rayos de proyección son perpendiculares al plano de proyección. Es el tipo de proyección elegido para dibujos de trabajo. El término ortográfico a veces se reserva específicamente para representaciones de objetos donde los ejes o planos principales del objeto también son paralelos al plano de proyección (o al papel en el que se dibuja la proyección ortográfica o paralela). Sin embargo, también se utiliza el término vista primaria. En las proyecciones multivista se producen hasta seis imágenes de un objeto, con cada plano de proyección perpendicular a uno de los ejes de coordenadas. Sin embargo, cuando los planos o ejes principales de un objeto no son paralelos al plano de proyección, sino que están inclinados hasta cierto punto para revelar múltiples lados del objeto, se denominan vistas auxiliares o imágenes. A veces, el término proyección axonométrica se reserva únicamente para estas vistas y se yuxtapone con el término proyección ortográfica. Pero proyección axonométrica podría describirse con mayor precisión como sinónimo de proyección paralela, y proyección ortográfica un tipo de proyección axonométrica.

Las vistas principales incluyen plantas, alzados y secciones; y las proyecciones isométrica, dimétrica y trimétrica podrían considerarse vistas auxiliares. Una característica típica (pero no obligatoria) de las proyecciones ortográficas multivista es que un eje del espacio normalmente se muestra vertical.

Cuando la dirección de visión es perpendicular a la superficie del objeto representado, independientemente de la orientación del objeto, se denomina proyección normal. Así, en el caso de un cubo orientado con un sistema de coordenadas espacial, las vistas primarias del cubo se considerarían proyecciones normales.

Proyección oblicua

En una proyección oblicua, los rayos de proyección paralelos no son perpendiculares al plano de visión, sino que inciden en el plano de proyección en un ángulo distinto de noventa grados. Tanto en la proyección ortográfica como en la oblicua, las líneas paralelas en el espacio aparecen paralelas en la imagen proyectada. Debido a su simplicidad, la proyección oblicua se utiliza exclusivamente con fines pictóricos y no para dibujos formales de trabajo. En un dibujo pictórico oblicuo, los ángulos mostrados que separan los ejes de coordenadas, así como los factores de escorzo (escala), son arbitrarios. La distorsión creada de esta manera generalmente se atenúa alineando un plano del objeto fotografiado para que sea paralelo al plano de proyección, creando una imagen verdaderamente formada y de tamaño completo del plano elegido. Los tipos especiales de proyecciones oblicuas incluyen militar, cavalier y proyección de gabinete.

Representación analítica

Si el plano de la imagen es dado por ecuación ▪ ▪ : n→ → ⋅ ⋅ x→ → − − d=0{displaystyle {fnMicrosoft Sans Serif} y la dirección de proyección por v→ → {displaystyle {vec}}, entonces la línea de proyección a través del punto P: p→ → {displaystyle P:~{vec {p}} es parametrizado por

g: x→ → =p→ → +tv→ → {displaystyle g:~{vec {x}={vec {p}+t{vec {v} con t▪ ▪ R{displaystyle tin mathbb {R}.

La imagen P.{displaystyle P'} de P{displaystyle P} es la intersección de la línea g{displaystyle g} con avión ▪ ▪ {displaystyle Pi }; se da por la ecuación

P.: p→ → .=p→ → +d− − p→ → ⋅ ⋅ n→ → n→ → ⋅ ⋅ v→ → v→ → .{displaystyle P':~{vec {p}={vec} {p}+{frac} {d-{vec {p}cdot {vec} {fn}{fn} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}} {fnfn}} {fn}}} {fn}}} {fnfn}}} {\fnfnfnfnfnfnfn}}}}}}}}}}}} {\\\\\\\\\\\\\\fn\\\fn\fn\\\fn\\\fnfn\\fn\\fn\\fn\\\\\\\\\fn\\fnfnfnfnfn\\\\fn\\fn\\fn {n}cdot {vec} {}};{vec} .

En varios casos, estas fórmulas se pueden simplificar.

(S1) Si uno puede elegir los vectores n→ → {displaystyle {vec}} y v→ → {displaystyle {vec}} tales que n→ → ⋅ ⋅ v→ → =1{displaystyle {vec}cdot {vec}=1}, la fórmula para la imagen simplifica

p→ → .=p→ → +()d− − p→ → ⋅ ⋅ n→ → )v→ → .{displaystyle {vec}={vec} {p}+(d-{vec}cdot {vecn});{vec {v}.}}

(S2) En una proyección ortográfica, los vectores n→ → {displaystyle {vec}} y v→ → {displaystyle {vec}} son paralelos. En este caso, uno puede elegir v→ → =n→ → ,Silencion→ → Silencio=1{displaystyle {vec}={vec} {n}},; {n}Sobrevivir=1} y uno se pone

p→ → .=p→ → +()d− − p→ → ⋅ ⋅ n→ → )n→ → .{displaystyle {vec}={vec} {p}+(d-{vec}cdot {vec});{vec {n}.}

(S3) Si uno puede elegir los vectores n→ → {displaystyle {vec}} y v→ → {displaystyle {vec}} tales que n→ → ⋅ ⋅ v→ → =1{displaystyle {vec}cdot {vec}=1}, y si el plano de la imagen contiene el origen, uno tiene d=0{displaystyle d=0} y la proyección paralela es un mapeo lineal:

p→ → .=p→ → − − ()p→ → ⋅ ⋅ n→ → )v→ → =p→ → − − ()v→ → ⊗ ⊗ n→ → ) p→ → =()I3− − v→ → ⊗ ⊗ n→ → )p→ → .{displaystyle {vec}={vec} {p}-({vec {}cdot {vec {n});{vec} {}={vec} {}-({vec {}otimes {vec})~{vec} {p}=(I_{3}-{vec}otimes {vec {n});{vec {p}}.}

(Aquí) I3{displaystyle I_{3} es la matriz de identidad y ⊗ ⊗ {displaystyle otimes } el producto exterior.)

De esta representación analítica de una proyección paralela se puede deducir la mayoría de las propiedades indicadas en las secciones anteriores.

Historia

La axonometría se originó en China. Su función en el arte chino era diferente a la perspectiva lineal en el arte europeo, ya que su perspectiva no era objetiva ni miraba desde el exterior. En cambio, sus patrones utilizaban proyecciones paralelas dentro de la pintura que permitían al espectador considerar tanto el espacio como la progresión continua del tiempo en un solo rollo. Según el autor científico y periodista de Medium, Jan Krikke, la axonometría y la gramática pictórica que la acompaña habían adquirido un nuevo significado con la introducción de la informática visual y el dibujo de ingeniería.

El concepto de isometría había existido en una forma empírica aproximada durante siglos, mucho antes de que el profesor William Farish (1759-1837) de la Universidad de Cambridge fuera el primero en proporcionar reglas detalladas para el dibujo isométrico.

Farish publicó sus ideas en el artículo de 1822 "Sobre perspectiva isométrica", en el que reconocía la "necesidad de dibujos técnicos precisos y libres de distorsión óptica". Esto le llevaría a formular la isometría. Isometría significa "medidas iguales" porque se utiliza la misma escala para alto, ancho y profundidad".

Desde mediados del siglo XIX, según Jan Krikke (2006), la isometría se convirtió en una "herramienta invaluable para los ingenieros, y poco después la axonometría y la isometría se incorporaron al plan de estudios de los cursos de formación de arquitectura en Europa y Estados Unidos". La aceptación popular de la axonometría se produjo en la década de 1920, cuando los arquitectos modernistas de la Bauhaus y De Stijl la adoptaron. Los arquitectos de De Stijl como Theo van Doesburg utilizaron la axonometría para sus diseños arquitectónicos, lo que causó sensación cuando se expuso en París en 1923".

Desde la década de 1920, la axonometría, o perspectiva paralela, ha proporcionado una técnica gráfica importante para artistas, arquitectos e ingenieros. Al igual que la perspectiva lineal, la axonometría ayuda a representar el espacio tridimensional en un plano de imagen bidimensional. Por lo general, viene como una característica estándar de los sistemas CAD y otras herramientas informáticas visuales.

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  Modelo de motor de perforación óptica (1822), dibujado en perspectiva isométrica de 30°
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  Ejemplo de una perspectiva dimétrica a partir de una patente estadounidense (1874)
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  Ejemplo de una proyección trimétrica que muestra la forma de la Torre del Banco de China en Hong Kong.
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  Ejemplo de proyección dimétrica en el arte chino en una edición ilustrada de la Romance of the Three Kingdoms, China, c. siglo XV CE.
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  Detalle de la versión original de A lo largo del río Durante el festival Qingming atribuido a Zhang Zeduan (1085–1145). Tenga en cuenta que la imagen cambia de una y otra vez entre proyección axonométrica y perspectiva en diferentes partes de la imagen, y por lo tanto es inconsistente.

Limitaciones

En este dibujo, la esfera azul es dos unidades más altas que la roja. Sin embargo, esta diferencia en la elevación no es evidente si uno cubre la mitad derecha de la imagen.

Las escaleras del Penrose representan una escalera que parece ascender (anteriormente) o descender (en horario) sin embargo forma un bucle continuo.

Los objetos dibujados con proyección paralela no parecen más grandes ni más pequeños cuando se encuentran más cerca o más lejos del espectador. Si bien es ventajoso para dibujos arquitectónicos, donde las mediciones deben tomarse directamente de la imagen, el resultado es una distorsión percibida, ya que, a diferencia de la proyección en perspectiva, no es así como normalmente funciona la visión humana o la fotografía. También puede resultar fácilmente en situaciones en las que la profundidad y la altitud son difíciles de medir, como se muestra en la ilustración de la derecha.

Esta ambigüedad visual ha sido explotada en el op art, así como en la creación de "objeto imposible" dibujos. Aunque no es estrictamente paralela, Cascada (1961) de M. C. Escher es una imagen muy conocida, en la que un canal de agua parece viajar sin ayuda a lo largo de un camino descendente, para luego, paradójicamente, caer una vez más. nuevamente cuando regresa a su fuente. Por tanto, el agua parece desobedecer la ley de conservación de la energía. A Oscar Reutersvard se le atribuye el descubrimiento del objeto imposible, un ejemplo del triángulo imposible (arriba) que se muestra en este mural de Paul Kuniholm.