Proyección de Mercator

Proyección de Mercator del mundo entre 85°S y 85°N. Observe la comparación de tamaño de Groenlandia y África.

La proyección Mercator con la indicación de Tissot de la deformación.

Mercator 1569 mapa mundial (en inglés)Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendate Accommodata) mostrando latitudes 66°S a 80°N.

La proyección de Mercator () es una proyección cartográfica cilíndrica presentada por el geógrafo y cartógrafo flamenco Gerardus Mercator en 1569. Se convirtió en la proyección cartográfica estándar para la navegación porque es la única que representa el norte como arriba y el sur. como abajo en todas partes, conservando las direcciones y formas locales. El mapa es por lo tanto conforme. Como efecto secundario, la proyección de Mercator infla el tamaño de los objetos alejándolos del ecuador. Esta inflación es muy pequeña cerca del ecuador pero se acelera al aumentar la latitud hasta volverse infinita en los polos. Como resultado, las masas de tierra como Groenlandia, la Antártida y Rusia parecen mucho más grandes de lo que realmente son en relación con las masas de tierra cerca del ecuador, como África Central.

Historia

Existe cierta controversia sobre los orígenes de Mercator. El erudito alemán Erhard Etzlaub grabó en miniatura "compass maps" (alrededor de 10 × 8 cm) de Europa y partes de África que abarcaban latitudes de 0° a 67° para permitir el ajuste de sus relojes de sol portátiles de bolsillo. La proyección encontrada en estos mapas, que datan de 1511, fue declarada por John Snyder en 1987 como la misma proyección que la de Mercator. Sin embargo, dada la geometría de un reloj de sol, estos mapas bien pueden haberse basado en la proyección cilíndrica central similar, un caso límite de la proyección gnomónica, que es la base de un reloj de sol. Snyder modificó su evaluación a "una proyección similar" en 1993.

Joseph Needham, un historiador de China, escribió que los chinos desarrollaron la proyección de Mercator cientos de años antes que Mercator, usándola en mapas estelares durante la dinastía Song. Sin embargo, este fue un caso simple y común de identificación errónea. La proyección en uso fue la proyección equirrectangular.

El matemático y cosmógrafo portugués Pedro Nunes describió por primera vez el principio matemático de la loxódromo y su uso en la navegación marítima. En 1537, propuso construir un atlas náutico compuesto por varias hojas a gran escala en la proyección equidistante cilíndrica como una forma de minimizar la distorsión de las direcciones. Si estas láminas se llevaran a la misma escala y se ensamblaran, se aproximarían a la proyección de Mercator.

En 1569, Gerhard Kremer, conocido por su nombre comercial Gerardus Mercator, anunció una nueva proyección al publicar un gran mapa planisférico que medía 202 por 124 cm (80 por 49 pulgadas) e impreso en dieciocho hojas separadas. Mercator tituló el mapa Nova et Aucta Orbis Terrae Descriptio ad Usum Navigantium Emendata: "Un nuevo y aumentado descripción de la Tierra corregida para el uso de marineros". Este título, junto con una explicación detallada del uso de la proyección que aparece como una sección de texto en el mapa, muestra que Mercator entendió exactamente lo que había logrado y que pretendía que la proyección ayudara a la navegación. Mercator nunca explicó el método de construcción o cómo llegó a él. Se han planteado varias hipótesis a lo largo de los años, pero en cualquier caso, la amistad de Mercator con Pedro Nunes y su acceso a las tablas loxodrómicas que Nunes creó probablemente ayudaron en sus esfuerzos.

El matemático inglés Edward Wright publicó las primeras tablas precisas para construir la proyección en 1599 y, con más detalle, en 1610, llamando a su tratado "Certaine Errors in Navigation". La primera formulación matemática fue publicada alrededor de 1645 por un matemático llamado Henry Bond (c. 1600-1678). Sin embargo, las matemáticas involucradas fueron desarrolladas pero nunca publicadas por el matemático Thomas Harriot a partir de 1589.

El desarrollo de la proyección de Mercator representó un gran avance en la cartografía náutica del siglo XVI. Sin embargo, se adelantó mucho a su tiempo, ya que las antiguas técnicas de navegación y topografía no eran compatibles con su uso en la navegación. Dos problemas principales impedían su aplicación inmediata: la imposibilidad de determinar la longitud en el mar con la precisión adecuada y el hecho de que en la navegación se utilizaban direcciones magnéticas, en lugar de direcciones geográficas. Solo a mediados del siglo XVIII, después de que se inventara el cronómetro marino y se conociera la distribución espacial de la declinación magnética, los navegantes pudieron adoptar plenamente la proyección de Mercator.

A pesar de esas limitaciones para encontrar la posición, la proyección de Mercator se puede encontrar en muchos mapas del mundo en los siglos posteriores a la primera publicación de Mercator. Sin embargo, no comenzó a dominar los mapas del mundo hasta el siglo XIX, cuando el problema de la determinación de la posición se había resuelto en gran medida. Una vez que Mercator se convirtió en la proyección habitual de los mapas comerciales y educativos, fue objeto de persistentes críticas por parte de los cartógrafos por su representación desequilibrada de las masas de tierra y su incapacidad para mostrar de manera útil las regiones polares.

Las críticas formuladas contra el uso inapropiado de la proyección de Mercator dieron como resultado una serie de nuevos inventos a fines del siglo XIX y principios del XX, a menudo promocionados directamente como alternativas a Mercator. Debido a estas presiones, los editores redujeron gradualmente el uso de la proyección a lo largo del siglo XX. Sin embargo, la llegada de la cartografía web dio a la proyección un resurgimiento abrupto en forma de proyección Web Mercator.

Hoy en día, Mercator se puede encontrar en cartas marinas, mapas del mundo ocasionales y servicios de mapas web, pero los atlas comerciales lo han abandonado en gran medida y los mapas murales del mundo se pueden encontrar en muchas proyecciones alternativas. Google Maps, que se basó en él desde 2005, todavía lo usa para mapas de área local, pero eliminó la proyección de las plataformas de escritorio en 2017 para mapas que se alejan de las áreas locales. Muchos otros servicios de mapas en línea todavía utilizan exclusivamente Web Mercator.

Propiedades

Comparación de formas tangentes y secant de proyecciones normales, oblicuas y transversales de Mercator con paralelos estándar en rojo

Como en todas las proyecciones cilíndricas, los paralelos y meridianos de Mercator son rectos y perpendiculares entre sí. Al lograr esto, el inevitable estiramiento este-oeste del mapa, que aumenta a medida que aumenta la distancia desde el ecuador, está acompañado en la proyección de Mercator por un correspondiente estiramiento norte-sur, de modo que en cada punto de ubicación la escala este-oeste es lo mismo que la escala norte-sur, lo que la convierte en una proyección cartográfica conforme. Las proyecciones conformes preservan los ángulos alrededor de todas las ubicaciones.

Debido a que la escala lineal de un mapa de Mercator aumenta con la latitud, distorsiona el tamaño de los objetos geográficos lejos del ecuador y transmite una percepción distorsionada de la geometría general del planeta. En latitudes superiores a 70° norte o sur, la proyección de Mercator es prácticamente inutilizable, porque la escala lineal se vuelve infinitamente grande en los polos. Por lo tanto, un mapa de Mercator nunca puede mostrar completamente las áreas polares (siempre que la proyección se base en un cilindro centrado en el eje de rotación de la Tierra; vea la proyección transversal de Mercator para otra aplicación).

La proyección de Mercator mapea todas las líneas con rumbo constante (loxódromos (matemáticamente conocidas como loxódromos, aquellas que forman ángulos constantes con los meridianos) a líneas rectas. Las dos propiedades, la conformidad y las líneas loxodrómicas rectas, hacen que esta proyección sea especialmente adecuada para la navegación marítima.: los rumbos y rumbos se miden utilizando rosas de los vientos o transportadores, y las direcciones correspondientes se transfieren fácilmente de un punto a otro, en el mapa, con la ayuda de una regla paralela (por ejemplo).

La proyección de Mercator a menudo se compara y se confunde con la proyección cilíndrica central, que es el resultado de proyectar puntos desde la esfera sobre un cilindro tangente a lo largo de líneas radiales rectas, como si proviniera de una fuente de luz colocada en la Tierra. centro de s. Ambos tienen una distorsión extrema lejos del ecuador y no pueden mostrar los polos. Sin embargo, son proyecciones diferentes y tienen propiedades diferentes.

Distorsión de tamaños

Proporciones de tamaño aparente y tamaño real (animado)

Como en todas las proyecciones de mapas, las formas o los tamaños son distorsiones del diseño real de la superficie de la Tierra.

La proyección de Mercator exagera las áreas alejadas del ecuador.

Ejemplos de distorsión de tamaño

• La Antártida parece ser extremadamente grande. Si todo el mundo fuera mapeado, la Antártida se inflaría infinitamente. En realidad, es el tercer continente más pequeño.

• La isla Ellesmere en el norte del archipiélago del Ártico de Canadá tiene el mismo tamaño que Australia, aunque Australia es más de 39 veces más grande. Todas las islas del archipiélago Ártico de Canadá miran al menos 4 veces demasiado grande, y las islas más septentrionales parecen aún más grandes.

• Groenlandia aparece del mismo tamaño que África, cuando en realidad la zona de África es 14 veces más grande.
  • El área real de Groenlandia es comparable a la de la República Democrática del Congo.
  • África parece ser aproximadamente del mismo tamaño que América del Sur, cuando en realidad África es más de una y media veces más grande.

• Svalbard parece ser más grande que Borneo, cuando, en realidad, Borneo es aproximadamente 12 veces más grande que Svalbard.

• Alaska parece ser el mismo tamaño que Australia, aunque Australia es en realidad 4+1/2 tiempos tan grandes.
  • Alaska también toma tanto área en el mapa como Brasil, mientras que la zona de Brasil es casi 5 veces la de Alaska.

• Madagascar y Gran Bretaña parecen del mismo tamaño, mientras que Madagascar es más del doble que Gran Bretaña.
  • Suecia parece mucho más grande que Madagascar. En realidad Madagascar es un poco más grande.

• Rusia aparece más grande que toda África, o Norteamérica (sin las islas de este último). También aparece el doble del tamaño de China y los Estados Unidos contiguos combinados, cuando, en realidad, la suma es comparable en tamaño.

Crítica

Debido a las grandes distorsiones del área terrestre, algunos consideran que la proyección no es adecuada para los mapas mundiales generales. El mismo Mercator usó la proyección sinusoidal de áreas iguales para mostrar áreas relativas. Sin embargo, a pesar de tales distorsiones, la proyección de Mercator fue, especialmente a fines del siglo XIX y principios del XX, quizás la proyección más común utilizada en los mapas del mundo, a pesar de ser muy criticada por este uso.

Debido a su uso muy común, se supone que la proyección de Mercator influyó en la visión del mundo de las personas y porque muestra a los países cercanos al ecuador como demasiado pequeños en comparación con los de Europa y América del Norte. se supone que hace que la gente considere a esos países como menos importantes. Como resultado de estas críticas, los atlas modernos ya no usan la proyección de Mercator para mapas del mundo o para áreas distantes del ecuador, prefiriendo otras proyecciones cilíndricas o formas de proyección de áreas iguales. Sin embargo, la proyección de Mercator todavía se usa comúnmente para áreas cercanas al ecuador donde la distorsión es mínima. También se encuentra con frecuencia en mapas de zonas horarias.

Arno Peters suscitó controversia a partir de 1972 cuando propuso lo que ahora se suele llamar la proyección de Gall-Peters para remediar los problemas del Mercator, afirmando que era su propio trabajo original sin hacer referencia al trabajo anterior de cartógrafos como Gall&#39 Su trabajo de 1855. La proyección que promovió es una parametrización específica de la proyección cilíndrica de áreas iguales. En respuesta, una resolución de 1989 de siete grupos geográficos de América del Norte menospreció el uso de proyecciones cilíndricas para mapas mundiales de propósito general, que incluirían tanto Mercator como Gall-Peters.

Usos

Prácticamente todas las cartas náuticas impresas se basan en la proyección de Mercator debido a sus propiedades excepcionalmente favorables para la navegación. También es comúnmente utilizado por los servicios de mapas de calles alojados en Internet, debido a sus propiedades excepcionalmente favorables para los mapas de áreas locales calculados bajo demanda. Las proyecciones de Mercator también fueron importantes en el desarrollo matemático de la tectónica de placas en la década de 1960.

Navegación marina

Línea rhumb (azul) en comparación con un arco de gran círculo (rojo) entre Lisboa, Portugal y La Habana, Cuba. Top: proyección ortográfico. Tema: Proyección de Mercator.

La proyección de Mercator se diseñó para su uso en la navegación marítima debido a su propiedad única de representar cualquier rumbo de rumbo constante como un segmento recto. Dicho rumbo, conocido como rumbo (o, matemáticamente, loxódromo) se prefiere en la navegación marina porque los barcos pueden navegar en una dirección constante de la brújula, lo que reduce las correcciones de rumbo difíciles y propensas a errores que, de lo contrario, se necesitarían con frecuencia al navegar en un lugar diferente. curso. Para distancias pequeñas comparadas con el radio de la Tierra, la diferencia entre la loxodrómica y el rumbo técnicamente más corto, un gran segmento de círculo, es insignificante, e incluso para distancias más largas, la simplicidad del rumbo constante lo hace atractivo. Como observó Mercator, en ese curso, el barco no llegaría por la ruta más corta, pero seguramente llegará. Navegar una loxodrómica significaba que todo lo que los marineros tenían que hacer era mantener un rumbo constante siempre que supieran dónde estaban cuando empezaban, dónde pretendían estar cuando terminaran, y tenían un mapa en proyección de Mercator que mostraba correctamente esos dos coordenadas

Web Mercator

Muchos de los principales servicios de mapas de calles en línea (Bing Maps, Google Maps, Mapbox, MapQuest, OpenStreetMap, Yahoo! Maps y otros) utilizan una variante de la proyección de Mercator para sus imágenes de mapas denominada Web Mercator o Google Web Mercator. A pesar de su variación de escala obvia a escalas pequeñas, la proyección es adecuada como un mapa del mundo interactivo que se puede ampliar sin problemas a mapas (locales) a gran escala, donde hay relativamente poca distorsión debido a la proyección de la variante cerca. -conformidad.

Los principales servicios de mapas de calles en línea' Los sistemas de mosaico muestran la mayor parte del mundo en el nivel de zoom más bajo como una sola imagen cuadrada, excluyendo las regiones polares por truncamiento en latitudes de φ_max = ±85.05113°. (Consulte a continuación). Los valores de latitud fuera de este rango se mapean usando una relación diferente que no diverge en φ = ±90°.

Matemáticas

Salientes cilíndricos

Aunque la superficie de la Tierra se modela mejor mediante un elipsoide achatado de revolución, para mapas a pequeña escala, el elipsoide se aproxima mediante una esfera de radio a, donde a es aproximadamente 6.371 km. Esta aproximación esférica de la Tierra se puede representar mediante una esfera más pequeña de radio R, denominada globo en esta sección. El globo determina la escala del mapa. Las diversas proyecciones cilíndricas especifican cómo se transfiere el detalle geográfico del globo a un cilindro tangencial a él en el ecuador. Luego se desenrolla el cilindro para dar el mapa plano. La fracción R/a se denomina fracción representativa (RF) o escala principal de la proyección. Por ejemplo, un mapa de Mercator impreso en un libro podría tener un ancho ecuatorial de 13,4 cm que corresponde a un radio de globo de 2,13 cm y un RF de aproximadamente 1/300M (M se usa como abreviatura de 1,000,000 en escribiendo un RF), mientras que el mapa original de Mercator de 1569 tiene un ancho de 198 cm que corresponde a un radio de globo de 31,5 cm y un RF de aproximadamente 1/20M.

Una proyección cartográfica cilíndrica se especifica mediante fórmulas que vinculan las coordenadas geográficas de latitud φ y longitud λ con coordenadas cartesianas en el mapa con origen en el ecuador y eje x a lo largo del ecuador. Por construcción, todos los puntos en el mismo meridiano se encuentran en el mismo generador del cilindro a un valor constante de x, pero la distancia y a lo largo de el generador (medido desde el ecuador) es una función arbitraria de la latitud, y(φ). En general, esta función no describe la proyección geométrica (como los rayos de luz sobre una pantalla) desde el centro del globo al cilindro, que es solo una de un número ilimitado de formas de proyectar conceptualmente un mapa cilíndrico.

Dado que el cilindro es tangencial al globo en el ecuador, el factor de escala entre el globo y el cilindro es la unidad en el ecuador pero en ningún otro lugar. En particular, dado que el radio de un paralelo, o círculo de latitud, es R cos φ, el paralelo correspondiente en el mapa debe haberse estirado por un factor de 1/cos φ = seg φ. Este factor de escala en el paralelo se denota convencionalmente por k y el factor de escala correspondiente en el meridiano se denota por h.

Factor de escala

La proyección de Mercator está determinada por el requisito de que la proyección sea conforme. Una implicación de esto es la "isotropía de los factores de escala", lo que significa que el factor de escala del punto es independiente de la dirección, por lo que la proyección conserva las formas pequeñas. Esto implica que el factor de escala vertical, h, es igual al factor de escala horizontal, k. Dado que k = sec φ, también debe hacerlo h.

El gráfico muestra la variación de este factor de escala con la latitud. Algunos valores numéricos se enumeran a continuación.

a latitud 30° el factor de escala k= sec 30° = 1.15,

en latitud 45° el factor de escala k= sec 45° = 1,41,

a latitud 60° el factor de escala k= sec 60° = 2,

a latitud 80° el factor de escala k= sec 80° = 5.76,

en latitud 85° el factor de escala k= sec 85° = 11.5

El factor de escala del área es el producto de las escalas paralela y meridiana hk = sec²φ . Para Groenlandia, tomando 73° como latitud media, hk = 11,7. Para Australia, tomando 25° como latitud media, hk = 1,2. Para Gran Bretaña, tomando 55° como latitud media, hk = 3,04.

La variación con la latitud a veces se indica mediante varias escalas de barras, como se muestra a continuación.

Las indicaciones de Tissot sobre la proyección del Mercator

La forma clásica de mostrar la distorsión inherente a una proyección es utilizar la indicatriz de Tissot. Nicolas Tissot señaló que los factores de escala en un punto de una proyección cartográfica, especificados por los números h y k, definen una elipse en ese punto. Para proyecciones cilíndricas, los ejes de la elipse están alineados con los meridianos y paralelos. Para la proyección de Mercator, h = k, por lo que las elipses degeneran en círculos con radio proporcional al valor del factor de escala para esa latitud. Estos círculos se representan en el mapa proyectado con una variación extrema de tamaño, lo que indica las variaciones de escala de Mercator.

Transformaciones de proyección de Mercator

Derivación

Como se discutió anteriormente, la condición de isotropía implica que h = k = sec φ. Considere un punto en el globo de radio R con longitud λ y latitud φ. Si φ aumenta en una cantidad infinitesimal, dφ, el punto se mueve R dφ a lo largo de un meridiano del globo de radio R, por lo que el cambio correspondiente en y, dy, debe ser hR dφ = R seg φ dφ. Por lo tanto, y′(φ) = R sec φ. De manera similar, aumentar λ en dλ mueve el punto R cos φ dλ a lo largo de una paralelo del globo, entonces dx = kR cos φ dλ = R dλ. Es decir, x′(λ) = R. Integrando las ecuaciones

x.()λ λ )=R,Sí..()φ φ )=Rsec⁡ ⁡ φ φ ,{displaystyle x'(lambda)=R,qquad y'(varphi)=Rsec varphi}

con x(λ₀) = 0 y y(0) = 0, da x(λ) y y(φ). El valor λ₀ es la longitud de un meridiano central arbitrario que suele ser, pero no siempre, el de Greenwich (es decir, cero). Los ángulos λ y φ se expresan en radianes. Por la integral de la función secante,

x=R()λ λ − − λ λ 0),Sí.=RIn⁡ ⁡ [#⁡ ⁡ ()π π 4+φ φ 2)].{displaystyle x=R(lambda -lambda _{0}),qquad y=Rln left[tan left({frac {pi {4}}+{frac {varphi } {2}right)right].}

La función y(φ) se traza junto a φ para el caso R = 1: tiende hasta el infinito en los polos. Los valores del eje y lineal no suelen mostrarse en los mapas impresos; en cambio, algunos mapas muestran la escala no lineal de valores de latitud a la derecha. La mayoría de las veces, los mapas muestran solo una retícula de meridianos y paralelos seleccionados.

Transformaciones inversas

λ λ =λ λ 0+xR,φ φ =2#− − 1⁡ ⁡ [exp⁡ ⁡ ()Sí.R)]− − π π 2.{displaystyle lambda =lambda ¿Por qué? } {2},.}

La expresión a la derecha de la segunda ecuación define la función Gudermanniana; es decir, φ = gd(y/R): por lo tanto, la ecuación directa puede escribirse como y = R·gd⁻¹(φ).

Expresiones alternativas

Hay muchas expresiones alternativas para y(φ), todas derivadas de manipulaciones elementales.

Sí.=R2In⁡ ⁡ [1+pecado⁡ ⁡ φ φ 1− − pecado⁡ ⁡ φ φ ]=RIn⁡ ⁡ [1+pecado⁡ ⁡ φ φ #⁡ ⁡ φ φ ]=RIn⁡ ⁡ ()sec⁡ ⁡ φ φ +#⁡ ⁡ φ φ )=RTanh− − 1⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ φ φ )=Rpecado− − 1⁡ ⁡ ()#⁡ ⁡ φ φ )=RSgn⁡ ⁡ ()φ φ )cosh− − 1⁡ ⁡ ()sec⁡ ⁡ φ φ )=Rgd− − 1⁡ ⁡ ()φ φ ).{displaystyle {begin{aligned}y Pulse= {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif}

Los inversos correspondientes son:

φ φ =pecado− − 1⁡ ⁡ ()Tanh⁡ ⁡ Sí.R)=#− − 1⁡ ⁡ ()pecado⁡ ⁡ Sí.R)=Sgn⁡ ⁡ ()Sí.)sec− − 1⁡ ⁡ ()cosh⁡ ⁡ Sí.R)=gd⁡ ⁡ Sí.R.{displaystyle varphi =sin ^{-1}left(tanh {frac {fnh}derecha)=tan ^{-1}left(sinh {fracfnh} {y} {R}right)=fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc} {y} {R}right)=fnMicroc Sí.

Para ángulos expresados en grados:

x=π π R()λ λ ∘ ∘ − − λ λ 0∘ ∘ )180,Sí.=RIn⁡ ⁡ [#⁡ ⁡ ()45+φ φ ∘ ∘ 2)].{displaystyle x={frac {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\\fnMicrosoft\fnMicrosoftfnMicrosoft {fnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\fnMicrosoft\\fnMicrosoftfnMicrosoft\\\fnMicrosoft\\\\\\\\\\\fnMicrosoftfnMicrosoft {fnMicrosoftfnMicrosoftfnMicrosoftfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoftfnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicro R(lambda ^{circ }-lambda {}}{180}}qquad quad y=Rln left[tan left(45+{frac {varphi ^{circ Bien.

Las fórmulas anteriores están escritas en términos del radio del globo R. A menudo es conveniente trabajar directamente con el ancho del mapa W = 2πR. Por ejemplo, las ecuaciones de transformación básicas se convierten en

x=W2π π ()λ λ − − λ λ 0),Sí.=W2π π In⁡ ⁡ [#⁡ ⁡ ()π π 4+φ φ 2)].{displaystyle x={frac {W}{2pi}left(lambda) -lambda _{0}right),qquad quad y={frac {W}{2pi}ln left[tan left({frac {pi {4}}+{frac {varphi } {2}right)right].}

Truncamiento y relación de aspecto

La ordenada y de la proyección de Mercator se vuelve infinita en los polos y el mapa debe truncarse en alguna latitud inferior a los noventa grados. Esto no necesita hacerse simétricamente. El mapa original de Mercator está truncado en 80°N y 66°S con el resultado de que los países europeos se movieron hacia el centro del mapa. La relación de aspecto de su mapa es 198/120 = 1,65. Se han utilizado truncamientos aún más extremos: un atlas escolar finlandés se truncó en aproximadamente 76°N y 56°S, una relación de aspecto de 1,97.

Gran parte del mapeo basado en la web utiliza una versión ampliable de la proyección de Mercator con una relación de aspecto de uno. En este caso la máxima latitud alcanzada debe corresponder a y = ±W /2, o equivalentemente y/R = π. Cualquiera de las fórmulas de transformación inversa se puede utilizar para calcular las latitudes correspondientes:

φ φ =#− − 1⁡ ⁡ [pecado⁡ ⁡ ()Sí.R)]=#− − 1⁡ ⁡ [pecado⁡ ⁡ π π ]=#− − 1⁡ ⁡ [11.5487]=85.05113∘ ∘ .{displaystyle varphi =tan ^{-1}left[sinh piright]=tan ^{-1}left[sinh piright]=tan ^{-1}left [sinhpiright]=tan ^{-1}left[11.5487right]=85.05113^{circ }}}

Geometría de elementos pequeños

Las relaciones entre y(φ) y las propiedades de la proyección, como la transformación de ángulos y la variación de escala, se derivan de la geometría de los correspondientes pequeños elementos en el globo terráqueo y mapa. La siguiente figura muestra un punto P en la latitud φ y longitud λ en el globo y un punto Q cercano en la latitud φ + δφ y longitud λ + δλ. Las líneas verticales PK y MQ son arcos de meridianos de longitud Rδφ. Las líneas horizontales PM y KQ son arcos de paralelas de longitud R(cos φ)δλ. Los puntos correspondientes en la proyección definen un rectángulo de ancho δx y alto δy.

Para elementos pequeños, el ángulo PKQ es aproximadamente un ángulo recto y por lo tanto

#⁡ ⁡ α α .. R#⁡ ⁡ φ φ δ δ λ λ Rδ δ φ φ ,#⁡ ⁡ β β =δ δ xδ δ Sí.,{displaystyle tan alpha approx {frac {Rcos varphi ,delta lambda }{R,delta varphi}},qquad qquad tan beta ={frac {delta x}{delta y}}}}}}

Los factores de escala mencionados anteriormente del globo al cilindro están dados por

factor de escala paralela k()φ φ )=P.M.PM=δ δ xR#⁡ ⁡ φ φ δ δ λ λ ,{displaystyle quad k(varphi);=;{frac {cH00};=;{frac {cH00} {cH00}cH00}\cH00};=\;{\fnfnMic {cH00}cH00}cH00}\cH00}fnfnfnfnMic}}\\fn\\fncH00}cH00}cH00}cH00}\cH00}cH00}cH00}\cH00}\cH00}\\cH00}\fn\\\\\\\\\\\cH00}\cH00}\cH00}\fncH00}fn\\\\cH00}\\\cH00}\cH00}\\cH x}{Rcos varphi ,delta lambda }}}}

factor de escala meridiana h()φ φ )=P.K.PK=δ δ Sí.Rδ δ φ φ .{displaystyle quad h(varphi);=;{frac {fnK}};=;{frac {delta Sí. Rdelta varphi ,}}}

Dado que los meridianos están asignados a líneas de constante x, debemos tener x = R(λ − λ₀) y δx = Rδλ, (λ en radianes). Por lo tanto, en el límite de elementos infinitesimalmente pequeños

#⁡ ⁡ β β =Rsec⁡ ⁡ φ φ Sí..()φ φ )#⁡ ⁡ α α ,k=sec⁡ ⁡ φ φ ,h=Sí..()φ φ )R.{displaystyle tan beta ={frac {Rsecvarphi }{y'(varphi)}tan alpha ,qquad k=sec varphi ,qquad h={frac {y'(varphi)}{R}}} {R} {cH} {ccH0}} {ccH00}} {cH00}}} {cccH00}}} {cH00}}}} {cH00}}}}} {cccccccccccccH00}cccccccccccccccccccccH00ccH00cccH00}}cH00}}cH00}}cH00cccH00ccH00}}}ccc

En el caso de la proyección de Mercator, y'(φ) = R seg φ, entonces esto nos da h = k y α = β. El hecho de que h = k es la isotropía de los factores de escala discutidos anteriormente. El hecho de que α = β refleja otra implicación de que el mapeo sea conforme, a saber, el hecho de que un curso de navegación de azimut constante en el globo se mapea en el mismo rumbo de cuadrícula constante en el mapa.

Fórmulas para la distancia

Convertir la distancia de la regla en el mapa de Mercator en la distancia real (gran círculo) en la esfera es sencillo a lo largo del ecuador pero en ningún otro lugar. Un problema es la variación de la escala con la latitud, y otro es que las líneas rectas en el mapa (rhumb lines), distintas de los meridianos o el ecuador, no corresponden a círculos máximos.

Mercator entendía claramente la distinción entre la distancia loxodrómica (navegación) y la distancia ortodrómica (verdadera). (Consulte la Leyenda 12 en el mapa de 1569). Hizo hincapié en que la distancia de la línea loxodrómica es una aproximación aceptable para la verdadera distancia del gran círculo para recorridos de distancia corta o moderada, particularmente en latitudes más bajas. Incluso cuantifica su afirmación: "Cuando las distancias del gran círculo que han de medirse en la vecindad del ecuador no excedan los 20 grados de un gran círculo, o 15 grados cerca de España y Francia, o 8 y hasta 10 grados en las partes del norte es conveniente usar distancias de línea loxodrómica.

Para una medición con regla de una línea corta, con el punto medio en la latitud φ, donde el factor de escala es k = seg φ = 1/cos φ:

Verdadera distancia = rhumb distanciaφ - RF.

Con radio y circunferencia máxima igual a 6371 km y 40 030 km respectivamente un RF de 1/300M, para los cuales R = 2,12 cm y W = 13,34 cm, implica que una medida de regla de 3 mm. en cualquier dirección desde un punto en el ecuador corresponde a aproximadamente 900 km. Las distancias correspondientes para las latitudes 20°, 40°, 60° y 80° son 846 km, 689 km, 450 km y 156 km respectivamente.

Las distancias más largas requieren varios enfoques.

En el ecuador

La escala es la unidad en el ecuador (para una proyección no secante). Por lo tanto, interpretar las medidas de la regla en el ecuador es simple:

Distancia verdadera = distancia de regla / RF (equator)

Para el modelo anterior, con RF = 1/300M, 1 cm corresponde a 3000 km.

En otras paralelas

(feminine)

En cualquier otro paralelo el factor de escala es sec φ de modo que

Distancia paralela = distancia de regla × porqueφ / RF (paralela).

Para el modelo anterior, 1 cm corresponde a 1500 km en una latitud de 60°.

Esta no es la distancia más corta entre los extremos elegidos en el paralelo porque un paralelo no es un gran círculo. La diferencia es pequeña para distancias cortas pero aumenta a medida que aumenta λ, la separación longitudinal. Para dos puntos, A y B, separados por 10° de longitud en el paralelo a 60°, la distancia a lo largo del paralelo es aproximadamente 0,5 km mayor que la distancia del gran círculo. (La distancia AB a lo largo del paralelo es (a cos φ) λ. La longitud de la cuerda AB es 2(a cos φ) sen λ/2. Esta cuerda subtiende un ángulo en el centro igual a 2arcsin(cos φ sin λ/2) y la distancia del gran círculo entre A y B es 2a arcsin(cos φ sin λ/ 2).) En el caso extremo donde la separación longitudinal es de 180°, la distancia a lo largo del paralelo es la mitad de la circunferencia de ese paralelo; es decir, 10.007,5 km. Por otro lado, la geodésica entre estos puntos es un gran arco de círculo a través del polo que subtiende un ángulo de 60° en el centro: la longitud de este arco es una sexta parte de la circunferencia del gran círculo, unos 6.672 km. La diferencia es de 3338 km, por lo que la distancia de la regla medida desde el mapa es bastante engañosa incluso después de corregir la variación de latitud del factor de escala.

En un meridiano

Un meridiano del mapa es un gran círculo en el globo, pero la variación de escala continua significa que la medición con regla por sí sola no puede proporcionar la distancia real entre puntos distantes en el meridiano. Sin embargo, si el mapa está marcado con una escala de latitud precisa y finamente espaciada desde la cual la latitud se puede leer directamente, como es el caso del mapa mundial Mercator 1569 (hojas 3, 9, 15) y todas las cartas náuticas posteriores, el meridiano la distancia entre dos latitudes φ₁ y φ₂ es simplemente

m12=aSilencioφ φ 1− − φ φ 2Silencio.{displaystyle m_{12}=atenciónvarphi _{1}-varphi - Buenas tardes.

Si las latitudes de los puntos finales no se pueden determinar con confianza, se pueden encontrar calculando la distancia de la regla. Llamar a la regla las distancias de los puntos finales en el meridiano del mapa medido desde el ecuador y₁ y y₂, la verdadera distancia entre estos puntos en la esfera se da usando cualquiera de las fórmulas inversas de Mercator:

m12=aSilencio#− − 1⁡ ⁡ [pecado⁡ ⁡ ()Sí.1R)]− − #− − 1⁡ ⁡ [pecado⁡ ⁡ ()Sí.2R)]Silencio,{displaystyle m_{12}=aleft ^{-1}left[sinh left({frac {y_{1} {R}right)tan ^{-1}left[sinh left({frac] "Justo en la vida"

donde R se puede calcular a partir del ancho W del mapa mediante R = W/2π. Por ejemplo, en un mapa con R = 1 los valores de y = 0, 1, 2, 3 corresponden a latitudes de φ = 0 °, 50°, 75°, 84° y por lo tanto los intervalos sucesivos de 1 cm en el mapa corresponden a intervalos de latitud en el globo de 50°, 25°, 9° y distancias de 5560 km, 2780 km y 1000 km en la tierra.

En un rumbo

Una línea recta en el mapa de Mercator en ángulo α con los meridianos es una línea loxodrómica. Cuando α = π/2 o 3π/2 el rumbo corresponde a uno de los paralelos; sólo uno, el ecuador, es un gran círculo. Cuando α = 0 o π corresponde a un gran círculo meridiano (si continúa alrededor de la Tierra). Para todos los demás valores, es una espiral de polo a polo en el globo que cruza todos los meridianos en el mismo ángulo y, por lo tanto, no es un gran círculo. En esta sección se analiza sólo el último de estos casos.

Si α no es ni 0 ni π entonces la figura anterior de los elementos infinitesimales muestra que la longitud de una línea loxodrómica infinitesimal en la esfera entre las latitudes φ; y φ + δφ es a sec α δφ. Dado que α es constante en la loxodrómica, esta expresión se puede integrar para dar, para líneas loxodrómicas finitas en la Tierra:

r12=asec⁡ ⁡ α α Silencioφ φ 1− − φ φ 2Silencio=asec⁡ ⁡ α α Δ Δ φ φ .{displaystyle r_{12}=asec alpha , sometidavarphi _{1}-varphi _{2} habit=a,sec alpha Delta varphi.}

Una vez más, si Δφ se puede leer directamente desde una escala de latitud precisa en el mapa, entonces la distancia loxodrómica entre los puntos del mapa con latitudes φ₁ y φ₂ viene dado por lo anterior. Si no existe tal escala, la regla mide la distancia entre los puntos finales y el ecuador, y₁ y y₂, dar el resultado a través de una fórmula inversa:

r12=asec⁡ ⁡ α α Silencio#− − 1⁡ ⁡ pecado⁡ ⁡ ()Sí.1R)− − #− − 1⁡ ⁡ pecado⁡ ⁡ ()Sí.2R)Silencio.{displaystyle r_{12}=asec alpha left durabletan ^{-1}sinh left({frac {y_{1} {R}right)-tan ^{-1}sinh left({frac] Está bien.

Estas fórmulas dan distancias loxodrómicas en la esfera que pueden diferir mucho de las distancias reales cuya determinación requiere cálculos más sofisticados.

Generalización al elipsoide

Cuando la Tierra se modela mediante un esferoide (elipsoide de revolución), la proyección de Mercator debe modificarse para que permanezca conforme. Las ecuaciones de transformación y el factor de escala para la versión no secante son

x=R()λ λ − − λ λ 0),Sí.=RIn⁡ ⁡ [#⁡ ⁡ ()π π 4+φ φ 2)()1− − epecado⁡ ⁡ φ φ 1+epecado⁡ ⁡ φ φ )e2]=R()pecado− − 1⁡ ⁡ ()#⁡ ⁡ φ φ )− − eTanh− − 1⁡ ⁡ ()epecado⁡ ⁡ φ φ )),k=sec⁡ ⁡ φ φ 1− − e2pecado2⁡ ⁡ φ φ .{displaystyle {begin{aligned}x ventaja=Rleft(lambda) -lambda _{0}derecha),\y punto=Rln left[tan left({frac {pi {4}}+{frac {varphi}{2}right)left({frac {1-esin varphi }{1+esin varphi }}right)^{frac {e}{2}right]=Rleft(sinh ^{-1}left(tan varphi right)-etanh ^{-1}(esin varphi)right),k limit=sec varphi {sqrt {1-e^{2}sin ^{2}varphi }end{aligned}}

El factor de escala es la unidad en el ecuador, como debe ser ya que el cilindro es tangencial al elipsoide en el ecuador. La corrección elipsoidal del factor de escala aumenta con la latitud pero nunca es superior a e², una corrección inferior al 1%. (El valor de e² es aproximadamente 0,006 para todos los elipsoides de referencia). Esto es mucho menor que la inexactitud de la escala, excepto que está muy cerca del ecuador. Solo las proyecciones precisas de Mercator de las regiones cercanas al ecuador necesitarán las correcciones elipsoidales.

La inversa se resuelve iterativamente, ya que la latitud isométrica está involucrada.