Propagación de la incertidumbre

En estadística, la propagación de la incertidumbre (o propagación del error) es el efecto de las variables' incertidumbres (o errores, más específicamente errores aleatorios) sobre la incertidumbre de una función basada en ellos. Cuando las variables son los valores de mediciones experimentales, tienen incertidumbres debido a limitaciones de medición (por ejemplo, precisión del instrumento) que se propagan debido a la combinación de variables en la función.

La incertidumbre u se puede expresar de varias maneras. Puede definirse por el error absoluto Δx. Las incertidumbres también se pueden definir mediante el error relativo (Δx)/x, que normalmente se escribe como porcentaje. Lo más común es que la incertidumbre sobre una cantidad se cuantifique en términos de la desviación estándar, σ, que es la raíz cuadrada positiva de la diferencia. El valor de una cantidad y su error se expresan entonces como un intervalo x ± u. Sin embargo, la forma más general de caracterizar la incertidumbre es especificando su distribución de probabilidad. Si se conoce o se puede suponer la distribución de probabilidad de la variable, en teoría es posible obtener cualquiera de sus estadísticas. En particular, es posible derivar límites de confianza para describir la región dentro de la cual se puede encontrar el valor verdadero de la variable. Por ejemplo, los límites de confianza del 68% para una variable unidimensional que pertenece a una distribución normal están aproximadamente ± una desviación estándar σ del valor central < span class="texhtml">x, lo que significa que la región x ± σ cubrirá el valor real en aproximadamente el 68% de los casos.

Si las incertidumbres están correlacionadas, entonces se debe tener en cuenta la covarianza. La correlación puede surgir de dos fuentes diferentes. En primer lugar, los errores de medición pueden estar correlacionados. En segundo lugar, cuando los valores subyacentes están correlacionados en una población, las incertidumbres en los promedios del grupo estarán correlacionadas.

En un contexto general donde una función no lineal modifica los parámetros inciertos (correlacionados o no), las herramientas estándar para propagar la incertidumbre e inferir la distribución/estadística de probabilidad de la cantidad resultante son técnicas de muestreo de la familia de métodos Monte Carlo. Para datos muy extensos o funciones complejas, el cálculo de la propagación del error puede ser muy amplio, por lo que puede ser necesario un modelo sustituto o una estrategia de computación paralela.

En algunos casos particulares, el cálculo de la propagación de la incertidumbre se puede realizar mediante procedimientos algebraicos simplistas. Algunos de estos escenarios se describen a continuación.

Combinaciones lineales

Vamos ${displaystyle {f_{k}(x_{1},x_{2},dotsx_{n}}}$ ser un conjunto de m funciones, que son combinaciones lineales de ${displaystyle n}$ variables ${displaystyle x_{1},x_{2},dotsx_{n}$ con coeficientes combinados ${displaystyle A_{k1},A_{k2},dots A_{kn},(k=1,dotsm)}$:

$${displaystyle F_{k}=sum ¿Qué?$$

$${displaystyle mathbf {f} =mathbf {A} mathbf {x}$$

Dejar también la matriz de varianza-covariancia x =x₁,... x_n) ser denotado por ${displaystyle {boldsymbol {Sigma}} {x}}$ y dejar que el valor medio sea denotado por ${displaystyle {boldsymbol {mu}}$:

$${displaystyle {boldsymbol {Sigma}} {x}=E [mathbf {x} -{boldsymbol {mu })otimes (mathbf {x} {begin{pmatrix}sigma ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué? _{2}{2} diezsigma _{23} diezcdots \sigma _{31} limitsigma - ¿Qué? {3}{2} {cdots \vdots &vdots &vdots &ddots end{pmatrix}}}={begin{pmatrix}{cdots}{cdotscdotscdotscdots}={cdots}{c] Sigma }_{11} {x} {cH00} Sigma Sigma }_{13} {x} ################################################################################################################################################################################################################################################################ Sigma - ¿Qué? Sigma }_{23} {x} ################################################################################################################################################################################################################################################################ Sigma }_{32} {x} {cH00} Sigma }_{33} {x} {cdots \vdots &vdots &vdots &ddots end{pmatrix}}.}$$

${displaystyle otimes }$

Entonces, la matriz de varianza-covariancia ${displaystyle {boldsymbol {Sigma}}} {f}}$ de f es dado por

$${displaystyle {boldsymbol {fnMicrosoft Sans Serif} Mathbf {T}=Mathbf {A} {boldsymbol {fnMicrosoft Sans Serif} {A} ^{mathrm {T}}$$

En la notación de componentes, la ecuación

$${displaystyle {boldsymbol {Sigma. {A} {boldsymbol {Sigma } {x}máthbf {A} {fn}}$$

$${displaystyle Sigma _{ij} {f}=sum ¿Qué? Sigma - ¿Qué?$$

Ésta es la expresión más general para la propagación del error de un conjunto de variables a otro. Cuando los errores en x no están correlacionados, la expresión general se simplifica a

$${displaystyle Sigma _{ij} {f}=sum ¿Qué? Sigma ¿Qué?$$

${displaystyle Sigma _{k} {x}=sigma ¿Qué?$

${displaystyle {boldsymbol {Sigma}} {x}}$

${displaystyle {boldsymbol {Sigma}}} {f}}$

Las expresiones generales para una función escalar f son un poco más simples (aquí a es un vector de fila):

$${displaystyle f=sum ¿Qué? {ax}$$

$${displaystyle sigma _{f}{2}=sum ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? {Sigma } {x}mathbf {a} {mhm}}$$

Cada término de covariancia ${displaystyle sigma _{ij}$ se puede expresar en términos del coeficiente de correlación ${displaystyle rho _{ij}$ por ${displaystyle sigma _{ij}=rho _{ij}sigma ¿Qué? ¿Qué?$, de modo que una expresión alternativa para la diferencia f es

$${displaystyle sigma _{f}{2}=sum ¿Qué? _{i}{2}+sum _{i}{n}sum _{j(jneq i)}{n}a_{i}a_{j}rho _{ij}sigma ¿Qué? _{j}.$$

En el caso de que las variables en x no estén correlacionadas, esto simplifica aún más

$${displaystyle sigma _{f}{2}=sum ¿Qué? - ¿Qué?$$

En el caso simple de coeficientes y varianzas idénticos, encontramos

$${displaystyle sigma _{f}={sqrt {n}, Torturaa sometidasigma.}$$

Para la aritmética significa, ${displaystyle a=1/n}$, el resultado es el error estándar de la media:

$${displaystyle sigma _{f}={frac {sigma}{sqrt {n}}}$$

Combinaciones no lineales

Cuando f es un conjunto de combinaciones no lineales de las variables x, se podría realizar una propagación de intervalos para calcular intervalos que contengan todos los valores consistentes para la variables. En un enfoque probabilístico, la función f generalmente debe linealizarse mediante una aproximación a una expansión en serie de Taylor de primer orden, aunque en algunos casos se pueden derivar fórmulas exactas que no dependen de la expansión como lo es la caso de la variación exacta de los productos. La expansión de Taylor sería:

$${displaystyle F_{k}approx ¿Por qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}} {fnMicrosoft}} {fnMicrosoft}}}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft}}} {fnMicrosoft {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {b}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { {x_{i}}}x_{i}$$

${displaystyle partial f_{k}/partial x_{i}}$

$${displaystyle mathrm {f} approx mathrm {f} ^{0}+mathrm {J} mathrm {x} ,}$$

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} F_{k}{partial #$

${fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {fnMicrosoft {\fnMicrosoft} F_{k}{partial #$

$${displaystyle mathrm {Sigma} }=mathrm {J} mathrm {Sigma} }mathrm {J} {top }$$

Es decir, el Jacobiano de la función se utiliza para transformar las filas y columnas de la matriz de varianza-covariancia del argumento. Nota esto es equivalente a la expresión matriz para el caso lineal con ${displaystyle mathrm {J=A}$.

Simplificación

Despreciar las correlaciones o asumir variables independientes produce una fórmula común entre ingenieros y científicos experimentales para calcular la propagación del error, la fórmula de la varianza:

$${displaystyle {f} {f}f} {f}f}f}f}}}} {2}s_{x}c}+left({frac {f}{partial f}{2}}}} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f} {f} {f}}}}}}}}} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }$$

${displaystyle s_{f}$

${displaystyle f}$

${displaystyle s_{x}$

${displaystyle x}$

${displaystyle s_{y}$

${displaystyle y}$

Es importante señalar que esta fórmula se basa en las características lineales del gradiente de ${displaystyle f}$ y por lo tanto es una buena estimación para la desviación estándar ${displaystyle f}$ mientras ${displaystyle ¿Qué?$ son lo suficientemente pequeños. Específicamente, la aproximación lineal ${displaystyle f}$ tiene que estar cerca ${displaystyle f}$ dentro de un barrio de radio ${displaystyle ¿Qué?$.

Ejemplo

Cualquier función diferenciable no lineal, ${displaystyle f(a,b)}$, de dos variables, ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$, se puede ampliar como

$${displaystyle fapprox f^{0}+{frac {partial f}{partial a}a+{frac {partial f}{partial f}{partial f}{ b)$$

$${displaystyle operatorname {Var} (aX+bY)=a^{2}operatorname [Var] (X)+b^{2} [Var] (Y)+2aboperatorname {Cov} (X,Y)}$$

por lo tanto:

$${displaystyle sigma _{2}approxleft WordPress{frac {partial f}{partial a}}right sometida^{2}sigma _{2}+left detained{frac {partial f}{partial f}{partial f}{sigma} *justo a la vida* ################################################################################################################################################################################################################################################################ B}sigma _{ab}$$

${displaystyle sigma _{f}$

${displaystyle f}$

${displaystyle sigma _{a}$

${displaystyle a}$

${displaystyle sigma _{b}$

${displaystyle b}$

${displaystyle sigma _{ab}=sigma ¿Qué? ¿Qué?$

${displaystyle a}$

${displaystyle b}$

En el caso particular de que ${displaystyle f=ab}$, ${displaystyle {frac {partial f}{partial a}=b}$, ${displaystyle {frac {partial f}{partial B}=a}$. Entonces...

$${displaystyle sigma _{f}{2}approx b^{2}sigma ¿Qué? ¿Qué?$$

$${displaystyle left({frac {sigma ¿Por qué? {sigma ¿Por qué? ¿Qué? Bien. {sigma ¿Qué?$$

${displaystyle rho _{ab}$

${displaystyle a}$

${displaystyle b}$

Cuando las variables ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ no están relacionados, ${displaystyle rho _{ab}=0}$. Entonces...

$${displaystyle left({frac {sigma ¿Por qué? {sigma ¿Por qué? ¿Qué?$$

Advertencias y advertencias

Las estimaciones de error para funciones no lineales están sesgadas debido al uso de una expansión de series truncadas. El alcance de este sesgo depende de la naturaleza de la función. Por ejemplo, el sesgo en el error calculado para log(1+x) aumenta a medida que aumenta x, ya que la expansión a x es una buena aproximación sólo cuando x está cerca de cero.

Para funciones altamente no lineales, existen cinco categorías de enfoques probabilísticos para la propagación de la incertidumbre; consulte Cuantificación de la incertidumbre para obtener más detalles.

Recíproca y recíproca desplazada

En el caso especial del inverso o recíproco ${displaystyle 1/B}$, donde ${displaystyle B=N(0,1)}$ sigue una distribución normal estándar, la distribución resultante es una distribución normal recíproca y normal, y no hay variación definible.

Sin embargo, en el caso ligeramente más general de una función recíproca desplazada ${displaystyle 1/(p-B)}$ para ${displaystyle B=N(musigma)}$ después de una distribución general normal, entonces las estadísticas media y varianza existen en un sentido de valor principal, si la diferencia entre el polo ${displaystyle p}$ y la media ${displaystyle mu }$ es de valor real.

Ratios

Las proporciones también son problemáticas; Existen aproximaciones normales bajo ciertas condiciones.

Fórmulas de ejemplo

Esta tabla muestra las diferencias y desviaciones estándar de funciones simples de las variables reales ${displaystyle ¡A, B!$, con desviaciones estándar ${displaystyle sigma _{A},sigma _{B},,}$ covariancia ${displaystyle sigma _{AB}=rho ¿Por qué? _{A}sigma ¿Qué?$, y correlación ${displaystyle rho _{AB}$. Los coeficientes de valor real ${displaystyle a}$ y ${displaystyle b}$ son asumidos exactamente conocidos (deterministas), es decir, ${displaystyle sigma _{a}=sigma _{b}=0}$.

En las columnas "Variancia" y "Desviación estándar", A y B debe entenderse como valores de expectativa (es decir, valores alrededor de los cuales estamos estimando la incertidumbre), y ${displaystyle f}$ debe entenderse como el valor de la función calculada en el valor de expectativa ${displaystyle ¡A, B!$.

Function	Variance	Standard Deviation
${displaystyle f=aA,}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}=a^{2}sigma _{A}^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}=|a|sigma _{A}}$
${displaystyle f=aA+bB,}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}=a^{2}sigma _{A}^{2}+b^{2}sigma _{B}^{2}+2ab,sigma _{AB}}$	${displaystyle sigma _{f}={sqrt {a^{2}sigma _{A}^{2}+b^{2}sigma _{B}^{2}+2ab,sigma _{AB}}}}$
${displaystyle f=aA-bB,}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}=a^{2}sigma _{A}^{2}+b^{2}sigma _{B}^{2}-2ab,sigma _{AB}}$	${displaystyle sigma _{f}={sqrt {a^{2}sigma _{A}^{2}+b^{2}sigma _{B}^{2}-2ab,sigma _{AB}}}}$
${displaystyle f=A-B,}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}=sigma _{A}^{2}+sigma _{B}^{2}-2sigma _{AB}}$	${displaystyle sigma _{f}={sqrt {sigma _{A}^{2}+sigma _{B}^{2}-2sigma _{AB}}}}$
${displaystyle f=AB,}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx f^{2}left[left({frac {sigma _{A}}{A}}right)^{2}+left({frac {sigma _{B}}{B}}right)^{2}+2{frac {sigma _{AB}}{AB}}right]}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|fright|{sqrt {left({frac {sigma _{A}}{A}}right)^{2}+left({frac {sigma _{B}}{B}}right)^{2}+2{frac {sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${displaystyle f={frac {A}{B}},}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx f^{2}left[left({frac {sigma _{A}}{A}}right)^{2}+left({frac {sigma _{B}}{B}}right)^{2}-2{frac {sigma _{AB}}{AB}}right]}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|fright|{sqrt {left({frac {sigma _{A}}{A}}right)^{2}+left({frac {sigma _{B}}{B}}right)^{2}-2{frac {sigma _{AB}}{AB}}}}}$
${displaystyle f={frac {A}{A+B}},}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx {frac {f^{2}}{left(A+Bright)^{2}}}left({frac {B^{2}}{A^{2}}}sigma _{A}^{2}+sigma _{B}^{2}-2{frac {B}{A}}sigma _{AB}right)}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|{frac {f}{A+B}}right|{sqrt {{frac {B^{2}}{A^{2}}}sigma _{A}^{2}+sigma _{B}^{2}-2{frac {B}{A}}sigma _{AB}}}}$
${displaystyle f=aA^{b},}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx left({a}{b}{A}^{b-1}{sigma _{A}}right)^{2}=left({frac {{f}{b}{sigma _{A}}}{A}}right)^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|{a}{b}{A}^{b-1}{sigma _{A}}right|=left|{frac {{f}{b}{sigma _{A}}}{A}}right|}$
${displaystyle f=aln(bA),}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx left(a{frac {sigma _{A}}{A}}right)^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|a{frac {sigma _{A}}{A}}right|}$
${displaystyle f=alog _{10}(bA),}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx left(a{frac {sigma _{A}}{Aln(10)}}right)^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|a{frac {sigma _{A}}{Aln(10)}}right|}$
${displaystyle f=ae^{bA},}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx f^{2}left(bsigma _{A}right)^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|fright|left|left(bsigma _{A}right)right|}$
${displaystyle f=a^{bA},}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx f^{2}(bln(a)sigma _{A})^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|fright|left|bln(a)sigma _{A}right|}$
${displaystyle f=asin(bA),}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx left[abcos(bA)sigma _{A}right]^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|abcos(bA)sigma _{A}right|}$
${displaystyle f=acos left(bAright),}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx left[absin(bA)sigma _{A}right]^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|absin(bA)sigma _{A}right|}$
${displaystyle f=atan left(bAright),}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx left[absec ^{2}(bA)sigma _{A}right]^{2}}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|absec ^{2}(bA)sigma _{A}right|}$
${displaystyle f=A^{B},}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx f^{2}left[left({frac {B}{A}}sigma _{A}right)^{2}+left(ln(A)sigma _{B}right)^{2}+2{frac {Bln(A)}{A}}sigma _{AB}right]}$	${displaystyle sigma _{f}approx left|fright|{sqrt {left({frac {B}{A}}sigma _{A}right)^{2}+left(ln(A)sigma _{B}right)^{2}+2{frac {Bln(A)}{A}}sigma _{AB}}}}$
${displaystyle f={sqrt {aA^{2}pm bB^{2}}},}$	${displaystyle sigma _{f}^{2}approx left({frac {A}{f}}right)^{2}a^{2}sigma _{A}^{2}+left({frac {B}{f}}right)^{2}b^{2}sigma _{B}^{2}pm 2ab{frac {AB}{f^{2}}},sigma _{AB}}$	${displaystyle sigma _{f}approx {sqrt {left({frac {A}{f}}right)^{2}a^{2}sigma _{A}^{2}+left({frac {B}{f}}right)^{2}b^{2}sigma _{B}^{2}pm 2ab{frac {AB}{f^{2}}},sigma _{AB}}}}$

Para variables incorrelacionadas${displaystyle rho _{AB}=0}$, ${displaystyle sigma _{AB}=0}$) expresiones para funciones más complicadas se pueden derivar combinando funciones más simples. Por ejemplo, la multiplicación repetida, asumiendo que no hay correlación, da

$${displaystyle f=ABC;qquad left({frac {sigma ¿Por qué? {sigma ¿Por qué? ¿Por qué? {sigma - Sí.$$

Para el caso ${displaystyle f=AB}$ también tenemos la expresión de Goodman para la varianza exacta: para el caso no relacionado es

$${displaystyle V(XY)=E(X)^{2}V(Y)+E(Y)^{2}V(X)+E(X-E(X))^{2}(Y-E(Y)}{2}}}}$$

$${displaystyle sigma _{2}=A^{2}sigma ¿Qué? ¿Qué? - ¿Qué? ¿Qué?$$

Efecto de la correlación sobre las diferencias

Si A y B no están relacionados, su diferencia A-B tendrá más diferencia que cualquiera de ellos. Una correlación positiva creciente (${displaystyle rho _{AB}to 1}$) disminuirá la diferencia de la diferencia, convergiendo a cero varianza para variables perfectamente correlativas con la misma varianza. Por otro lado, una correlación negativa (${displaystyle rho _{AB}to -1}$) aumentará la diferencia de la diferencia, en comparación con el caso no relacionado.

Por ejemplo, la autosucción f=A-A tiene una varianza cero ${displaystyle sigma _{f}{2}=0}$ sólo si el variato es perfectamente autocorrelacionado (${displaystyle rho ¿Qué?$). Si A no está relacionado, ${displaystyle rho _{A}=0}$, entonces la diferencia de salida es el doble de la diferencia de entrada, ${displaystyle sigma _{f}{2}=2sigma ¿Qué?$. Y si A es perfectamente anticorrelacionado, ${displaystyle rho ¿Qué?$, entonces la diferencia de entrada se cuadruplica en la salida, ${displaystyle sigma _{f}{2}=4sigma ¿Qué?$ (noticia) ${displaystyle 1-rho _{A}=2}$ para f = aA − aA en el cuadro anterior).

Ejemplos de cálculos

Función tangente inversa

Podemos calcular la propagación de la incertidumbre para la función tangente inversa como ejemplo del uso de derivadas parciales para propagar el error.

Definir

$${displaystyle f(x)=arctan(x),}$$

${displaystyle Delta _{x}$

$${displaystyle {frac {}{dx}={frac} {1}{1+x^{2}}}$$

Por lo tanto, nuestra incertidumbre propagada es

$${displaystyle Delta _{f}approx {fnMicroc}Delta ¿Qué?$$

${displaystyle Delta _{f}$

Medición de resistencia

Una aplicación práctica es un experimento en el que se mide la corriente, I, y el voltaje, V, en una resistencia para determinar la resistencia, R, usando la ley de Ohm, R = V / I.

Dadas las variables medidas con incertidumbres, I ± σ_I y V ± σ_V, y sin tener en cuenta su posible correlación, la incertidumbre en la cantidad calculada, σ_R, es:

$${displaystyle sigma _{R}approx {sqrt {sigma} ¿Qué? {1} {I}right)}{2}+sigma ¿Qué? {-V}{2}}}} {2}}}= R{sqrt {left({frac {sigma ¿Por qué? - Sí.$$