![y = f^{-1}left(frac{1}{n}left[f(x_1) + f(x_2) + cdots + f(x_n)right]right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fea48be50f3fe5836ae433848e3e4ca0c9827a5)
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Promedio
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En lenguaje ordinario, un promedio es un solo número tomado como representativo de una lista de números, generalmente la suma de los números dividida por cuántos números hay en la lista (la media aritmética). Por ejemplo, el promedio de los números 2, 3, 4, 7 y 9 (que suman 25) es 5. Según el contexto, un promedio puede ser otra estadística, como la mediana o la moda. Por ejemplo, el ingreso personal promedio a menudo se da como la mediana (el número por debajo del cual se encuentra el 50 % de los ingresos personales y por encima del cual se encuentra el 50 % de los ingresos personales) porque la media sería engañosamente alta al incluir los ingresos personales de unos pocos multimillonarios.
Propiedades generales
Si todos los números en una lista son el mismo número, entonces su promedio también es igual a este número. Esta propiedad es compartida por cada uno de los muchos tipos de promedio.
Otra propiedad universal es la monotonicidad: si dos listas de números A y B tienen la misma longitud, y cada entrada de la lista A es al menos tan grande como la entrada correspondiente en la lista B, entonces el promedio de la lista A es al menos el de la lista B. _ Además, todos los promedios satisfacen la homogeneidad lineal: si todos los números de una lista se multiplican por el mismo número positivo, entonces su promedio cambia por el mismo factor.
En algunos tipos de promedio, a los elementos de la lista se les asignan pesos diferentes antes de determinar el promedio. Estos incluyen la media aritmética ponderada, la media geométrica ponderada y la mediana ponderada. Además, para algunos tipos de promedio móvil, el peso de un elemento depende de su posición en la lista. Sin embargo, la mayoría de los tipos de promedio satisfacen la insensibilidad a la permutación: todos los elementos cuentan por igual para determinar su valor promedio y sus posiciones en la lista son irrelevantes; el promedio de (1, 2, 3, 4, 6) es el mismo que el de (3, 2, 6, 4, 1).
Medios pitagóricos
La media aritmética, la media geométrica y la media armónica se conocen colectivamente como las medias pitagóricas.
Ubicación estadística
La moda, la mediana y el rango medio se usan a menudo además de la media como estimaciones de tendencia central en estadísticas descriptivas. Todos estos pueden verse como minimizando la variación en alguna medida; ver Tendencia central § Soluciones a problemas variacionales.
| Tipo | Descripción | Ejemplo | Resultado |
|---|---|---|---|
| Media aritmetica | Suma de valores de un conjunto de datos dividida por el número de valores: | (1+2+2+3+4+7+9) / 7 | 4 |
| Mediana | Valor medio que separa las mitades mayor y menor de un conjunto de datos | 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 | 3 |
| Moda | Valor más frecuente en un conjunto de datos | 1, 2, 2, 3, 4, 7, 9 | 2 |
| Rango medio | La media aritmética de los valores más altos y más bajos de un conjunto | (1+9) / 2 | 5 |
Modo
El número que aparece con más frecuencia en una lista se llama moda. Por ejemplo, la moda de la lista (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) es 3. Puede ocurrir que haya dos o más números que aparezcan con la misma frecuencia y más que cualquier otro número. En este caso no hay una definición acordada de modo. Algunos autores dicen que son todos modos y otros dicen que no hay modo.
Mediana
La mediana es el número medio del grupo cuando se clasifican en orden. (Si hay un número par de números, se toma la media de los dos del medio).
Por lo tanto, para encontrar la mediana, ordene la lista de acuerdo con la magnitud de sus elementos y luego elimine repetidamente el par que consta de los valores más altos y más bajos hasta que queden uno o dos valores. Si queda exactamente un valor, es la mediana; si son dos valores, la mediana es la media aritmética de estos dos. Este método toma la lista 1, 7, 3, 13 y ordena que se lea 1, 3, 7, 13. Luego se eliminan el 1 y el 13 para obtener la lista 3, 7. Como hay dos elementos en esta lista restante, la mediana es su media aritmética, (3 + 7)/2 = 5.
Rango medio
El rango medio es la media aritmética de los valores más altos y más bajos de un conjunto.
Resumen de tipos
| Nombre | Ecuación o descripción |
|---|---|
| Significado aritmetico |  |
| Mediana | El valor medio que separa la mitad superior de la mitad inferior del conjunto de datos |
| mediana geométrica | Una extensión invariante de rotación de la mediana para puntos en R |
| Modo | El valor más frecuente en el conjunto de datos. |
| Significado geometrico | ![{displaystyle {sqrt[{n}]{prod _{i=1}^{n}x_{i}}}={sqrt[{n}]{x_{1}cdot x_{2} dotsb x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3740b9924a63fcde06a3fd26d9691c082910d78) |
| Significado armonico |  |
| Media cuadrática(o RMS) |  |
| media cúbica | ![{sqrt[ {3}]{{frac {1}{n}}sum_{{i=1}}^{{n}}x_{i}^{3}}}={sqrt[ {3}]{{frac{1}{n}}izquierda(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+cdots +x_{n}^{3}derecha) }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ea526bc6b48f6abb52bc522d57c9fedacbaf90) |
| Media generalizada | ![sqrt[p]{frac{1}{n} cdot sum_{i=1}^n x_{i}^p}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b914d893b094e9e15a5681ef60069e9e5fac54ab) |
| media ponderada |  |
| Media truncada | La media aritmética de los valores de datos después de descartar un cierto número o proporción de los valores de datos más altos y más bajos |
| Media intercuartil | Un caso especial de la media truncada, utilizando el rango intercuartílico. Un caso especial de la media truncada entre cuantiles, que opera en cuantiles (a menudo deciles o percentiles) que son equidistantes pero en lados opuestos de la mediana. |
| Rango medio |  |
| Media Winsorizada | Similar a la media truncada, pero, en lugar de eliminar los valores extremos, se igualan a los valores más grandes y más pequeños que quedan. |
La tabla de símbolos matemáticos explica los símbolos utilizados a continuación.
Tipos varios
Otros promedios más sofisticados son: trimeana, trimediana y media normalizada, con sus generalizaciones.
Uno puede crear su propia métrica promedio usando el f -mean generalizado:
donde f es cualquier función invertible. La media armónica es un ejemplo de esto usando f (x) = 1/ x, y la media geométrica es otra, usando f (x) = log x.
Sin embargo, este método para generar medios no es lo suficientemente general para capturar todos los promedios. Un método más general para definir un promedio toma cualquier función g (x 1, x 2,..., x n) de una lista de argumentos que es continua, estrictamente creciente en cada argumento y simétrica (invariante bajo permutación de los argumentos). El promedio y es entonces el valor que, al reemplazar cada miembro de la lista, da como resultado el mismo valor de función: g (y, y,..., y) = g (x 1, x 2,..., xn ). Esta definición más general aún captura la propiedad importante de todos los promedios de que el promedio de una lista de elementos idénticos es ese elemento mismo. La función g (x 1, x 2,..., x n) = x 1 + x 2 + ··· + x n proporciona la media aritmética. La función g (x 1, x 2,..., x n) = x 1 x 2 ··· x n(donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media geométrica. La función g (x 1, x 2,..., x n) = −(x 1 + x 2 + ··· + x n) (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media armónica.
Rendimiento porcentual promedio y CAGR
Un tipo de promedio utilizado en finanzas es el rendimiento porcentual promedio. Es un ejemplo de una media geométrica. Cuando los rendimientos son anuales, se denomina Tasa de Crecimiento Anual Compuesto (CAGR). Por ejemplo, si estamos considerando un período de dos años y el rendimiento de la inversión en el primer año es −10 % y el rendimiento en el segundo año es +60 %, entonces se puede obtener el rendimiento porcentual promedio o CAGR, R. resolviendo la ecuación: (1 − 10 %) × (1 + 60 %) = (1 − 0,1) × (1 + 0,6) = (1 + R) × (1 + R). El valor de Rque hace verdadera esta ecuación es 0.2, o 20%. Esto significa que el rendimiento total durante el período de 2 años es el mismo que si hubiera habido un crecimiento del 20% cada año. El orden de los años no hace ninguna diferencia: el rendimiento porcentual promedio de +60 % y −10 % es el mismo resultado que el de −10 % y +60 %.
Este método se puede generalizar a ejemplos en los que los períodos no son iguales. Por ejemplo, considere un período de medio año para el cual el rendimiento es −23% y un período de dos años y medio para el cual el rendimiento es +13%. El rendimiento porcentual promedio para el período combinado es el rendimiento de un solo año, R, que es la solución de la siguiente ecuación: (1 − 0.23) × (1 + 0.13) = (1 + R), lo que da un rendimiento promedio R de 0.0600 o 6,00%.
Media móvil
Dada una serie de tiempo, como los precios diarios del mercado de valores o las temperaturas anuales, la gente a menudo quiere crear una serie más fluida. Esto ayuda a mostrar las tendencias subyacentes o quizás el comportamiento periódico. Una manera fácil de hacer esto es el promedio móvil: uno elige un número n y crea una nueva serie tomando la media aritmética del primer nvalores, luego avanzar un lugar eliminando el valor más antiguo e introduciendo un nuevo valor en el otro extremo de la lista, y así sucesivamente. Esta es la forma más simple de media móvil. Las formas más complicadas involucran el uso de un promedio ponderado. La ponderación se puede usar para mejorar o suprimir varios comportamientos periódicos y hay un análisis muy extenso de qué ponderaciones usar en la literatura sobre filtrado. En el procesamiento de señales digitales, el término "promedio móvil" se usa incluso cuando la suma de los pesos no es 1,0 (por lo que la serie de salida es una versión escalada de los promedios). La razón de esto es que el analista suele estar interesado solo en la tendencia o el comportamiento periódico.
Historia
Origen
La primera vez registrada en que la media aritmética se amplió de 2 a n casos para el uso de la estimación fue en el siglo XVI. Desde finales del siglo XVI en adelante, gradualmente se convirtió en un método común para reducir los errores de medición en varias áreas. En ese momento, los astrónomos querían saber un valor real a partir de mediciones ruidosas, como la posición de un planeta o el diámetro de la luna. Utilizando la media de varios valores medidos, los científicos asumieron que los errores suman un número relativamente pequeño en comparación con el total de todos los valores medidos. De hecho, el método de tomar la media para reducir los errores de observación se desarrolló principalmente en la astronomía.Un posible precursor de la media aritmética es el rango medio (la media de los dos valores extremos), utilizado por ejemplo en la astronomía árabe de los siglos IX al XI, pero también en la metalurgia y la navegación.
Sin embargo, hay varias referencias vagas más antiguas al uso de la media aritmética (que no son tan claras, pero que podrían tener una relación razonable con nuestra definición moderna de la media). En un texto del siglo IV, se escribió que (el texto entre corchetes es un posible texto faltante que podría aclarar el significado):En primer lugar, debemos colocar en fila la secuencia de números desde la mónada hasta el nueve: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Luego debemos sumar la cantidad de todos de ellos juntos, y como la fila contiene nueve términos, debemos buscar la novena parte del total para ver si ya está naturalmente presente entre los números de la fila; y encontraremos que la propiedad de ser [un] noveno [de la suma] sólo pertenece a la media [aritmética] misma...
Incluso existen referencias potenciales más antiguas. Hay registros de que desde alrededor del 700 a. C., los comerciantes y los cargadores acordaron que los daños a la carga y al barco (su "contribución" en caso de daños por el mar) deberían ser compartidos por igual entre ellos. Esto podría haberse calculado usando el promedio, aunque parece que no hay un registro directo del cálculo.
Etimología
La raíz se encuentra en árabe como عوار ʿawār, un defecto, o cualquier cosa defectuosa o dañada, incluida la mercancía parcialmente estropeada; y عواري ʿawārī (también عوارة ʿawāra) = "perteneciente o relativo a ʿawār, un estado de daño parcial". Dentro de las lenguas occidentales, la historia de la palabra comienza en el comercio marítimo medieval en el Mediterráneo. Génova de los siglos XII y XIII Latín avaria significaba "daños, pérdidas y gastos no normales que surgen en relación con un viaje por mar mercante"; y el mismo significado para avaria está en Marsella en 1210, Barcelona en 1258 y Florencia a finales del XIII. avarie francesa del siglo XVtenía el mismo significado, y engendró el inglés "averay" (1491) y el inglés "average" (1502) con el mismo significado. Hoy en día, el italiano avaria, el catalán avaria y el francés avarie todavía tienen el significado principal de "daño". La gran transformación del significado en inglés comenzó con la práctica en los contratos de la ley de la marina mercante occidental de finales de la Edad Media y principios de la Edad Moderna según los cuales si el barco se enfrentaba a una fuerte tormenta y algunos de los bienes debían arrojarse por la borda para que el barco fuera más ligero y seguro., entonces todos los comerciantes cuyas mercancías estaban en el barco debían sufrir proporcionalmente (y no los bienes de quien fuera arrojado por la borda); y, más generalmente, debía haber una distribución proporcional de cualquier avaria. A partir de ahí, la palabra fue adoptada por aseguradores, acreedores y comerciantes británicos para referirse a sus pérdidas como repartidas en toda su cartera de activos y con una proporción media. El significado de hoy se desarrolló a partir de eso, y comenzó a mediados del siglo XVIII, y comenzó en inglés. [1].
Los daños marítimos pueden ser de avería particular, que solo corre a cargo del propietario de la propiedad dañada, o avería gruesa, en la que el propietario puede reclamar una contribución proporcional de todas las partes de la empresa marítima. El tipo de cálculos utilizados para ajustar el promedio general dio lugar al uso de "promedio" en el sentido de "media aritmética".
Un segundo uso en inglés, documentado ya en 1674 y, a veces, escrito como "averish", es como el residuo y el segundo crecimiento de los cultivos de campo, que se consideraban aptos para el consumo de animales de tiro ("avers").
Hay un uso anterior (desde al menos el siglo XI) no relacionado de la palabra. Parece ser un término legal antiguo para la obligación laboral de un inquilino con un sheriff, probablemente anglicanizado de "avera" que se encuentra en el Domesday Book inglés (1085).
El Oxford English Dictionary, sin embargo, dice que las derivaciones del alemán hafen haven y el árabe ʿawâr loss, Damage, han sido "totalmente eliminadas" y la palabra tiene un origen romance.
Los promedios como herramienta retórica
Debido a la naturaleza coloquial antes mencionada del término "promedio", el término puede usarse para ofuscar el verdadero significado de los datos y sugerir diferentes respuestas a las preguntas basadas en el método de promedio (con mayor frecuencia media aritmética, mediana o moda) utilizado. En su artículo "Framed for Lying: Statistics as In/Artistic Proof", el miembro de la facultad de la Universidad de Pittsburgh, Daniel Libertz, comenta que la información estadística con frecuencia se descarta de los argumentos retóricos por este motivo.Sin embargo, debido a su poder persuasivo, los promedios y otros valores estadísticos no deben descartarse por completo, sino usarse e interpretarse con cautela. Libertz nos invita a involucrarnos críticamente no solo con la información estadística como los promedios, sino también con el lenguaje utilizado para describir los datos y sus usos, diciendo: "Si las estadísticas se basan en la interpretación, los retóricos deberían invitar a su audiencia a interpretar en lugar de insistir en una interpretación." En muchos casos, se proporcionan datos y cálculos específicos para ayudar a facilitar esta interpretación basada en la audiencia.