Producto Kronecker

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En matemáticas, el producto de Kronecker, a veces denotado por ⊗, es una operación sobre dos matrices de tamaño arbitrario que da como resultado una matriz de bloques. Es una especialización del producto tensorial (que se denota con el mismo símbolo) de vectores a matrices y proporciona la matriz del mapa lineal del producto tensorial con respecto a una elección estándar de base. El producto de Kronecker debe distinguirse de la multiplicación de matrices habitual, que es una operación completamente diferente. El producto Kronecker también se denomina a veces producto directo de matriz.

El producto Kronecker lleva el nombre del matemático alemán Leopold Kronecker (1823–1891), aunque hay poca evidencia de que fuera el primero en definirlo y utilizarlo. El producto de Kronecker también se ha denominado matriz Zehfuss y producto Zehfuss, en honor a Johann Georg Zehfuss [de], quien en 1858 describió esta operación matricial, pero el producto de Kronecker es actualmente el más utilizado. La atribución errónea a Kronecker y no a Zehfuss se debió a Kurt Hensel.

Definición

Si A es una matriz m × n y B es una matriz p × q, luego el producto de Kronecker A ⊗ B es el pm × qn matriz de bloques:

{displaystyle mathbf {A} otimes mathbf {B} {begin{bmatrix}a_{11}mathbf {B}cdots ' {1n}mathbf {B} \vdots &ddots &vdots \a_{m1}mathbf {B}cdots ' {mn}mathbf {B}end{bmatrix}}}

más explícitamente:

{displaystyle {mathbf {A} otimes mathbf {B}={begin{bmatrix}a_{11}b_{11} limita_{11}b_{12} {12} {cdots " a_{11}b_{1q} " a_{1n}b_{11} [A_{1n}b_{1q}a_{11}b_{21}] " a_{11}b_{2q} {1n}b_{21} limita_{1n}b_{22} 'a_{1n}b_{2q}\vdots > 'vdots &vdots &vdots ' limitantevdots &vdots > \a_{11}b_{p1} limita_{11}b_{p2} " a_{11}b_{pq} limitcdots ' }b_{1n} {a_{1n}b_{p2} 'a_{1n}b_{pq}vdots &vdots ' limites &vdots ' limitvdots &vdots " limitvdots " \vdots " ̈vdots " sensibles " \a_{m1}b_{11} limita_{m1}b_{12} " a_{m1}b_{1q} ## {mn}b_{11} limita_{mn}b_{12} âcdots {mn}b_{1q}a_{m1}b_{21} limita_{m1}b_{22} " a_{m1}b_{2q} ### {mn}b_{21} tardea_{mn}b_{22} âcdots 'a_{mn}b_{2q}\vdots > 'vdots &vdots &vdots ' limitantevdots &vdots > \a_{m1}b_{p1} {m1}b_{p2} " {m1}b_{pq} limitcdots ' }b_{p1} {mn}b_{p2} implicacdots {fnK}}

Uso $¡Displaystyle!$ y ${displaystyle}$ to denote truncating integer division and remainder, respectively, and numbering the matriz elements starting from 0, one obtains ${displaystyle (Aotimes B)_{pr+v,qs+w}=a_{rs}b_{vw}$ y ${displaystyle (Aotimes B)_{i,j}=a_{i/p,j/!/q}b_{i%p,j%q}$ Para la numeración habitual a partir de 1, uno obtiene ${displaystyle (Aotimes B)_{p(r-1)+v,q(s-1)+w}=a_{rs}b_{vw}}$ y ${displaystyle (Aotimes B)_{i,j}=a_{lceil i/prceillceil j/qrceil }b_{(i-1)%p+1,(j-1)%q+1}$

Si A y B representan transformaciones lineales V₁ → < b>W₁ y V₂ → W₂, respectivamente, entonces el producto tensorial de los dos mapas está representado por A ⊗ B , que es lo mismo que V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

Ejemplos

{fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans Serif} 01times 52times 7\\hline 3times 0 3times 5 limit4times 0 limit4times 53times 63times 7\hline 3times 0 limit3times 5 limit4times 0 limit4times 53times6x7{0} 0,15 segundos0,20\18,21 segundos, 24, 28, punto.

Del mismo modo:

{displaystyle {begin{bmatrix}1⁄4 ventaja72 concluido3end{bmatrix}otimes {begin{bmatrix}8-9 tendría-651⁄4 punto 3 punto 72 punto 8 segundos 31 segundo punto 5 punto 3 punto 1 punto {bmatrix}=left[{begin{array}{ccccъltimos vidasccc}8 segundos-9-67 segundos-32 convict12 y 202 adultos -16 tendría 18 años.

Propiedades

Relaciones con otras operaciones matriciales

Bilinearidad y asociación:
El producto Kronecker es un caso especial del producto tensor, por lo que es bilinear y asociativo:
${displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} otimes (mathbf {B} +mathbf {C}) {A} otimes mathbf {B} +mathbf {A} otimes mathbf {C}(mathbf {B} +mathbf {C})otimes mathbf {fnMicrosoft}$
Donde A, B y C son matrices, 0 es una matriz cero, y k es un cuero cabelludo.
Nomutativo:
En general, A ⊗ B y B ⊗ A son diferentes matrices. Sin embargo, A ⊗ B y B ⊗ A son permutación equivalente, lo que significa que existen matrices de permutación P y Q tales que
${displaystyle mathbf {B} otimes mathbf {A} =mathbf {P} ,(mathbf {A} otimes mathbf {B}),mathbf {Q}.}$
Si A y B son matrices cuadradas, entonces A ⊗ B y B ⊗ A son incluso permutación similar, lo que significa que podemos tomar P = Q^T.
Las matrices P y Q son matrices perfectas. La matriz perfecta del shuffle S_p,q se puede construir tomando rebanadas de los I_r matriz de identidad, donde ${displaystyle r=pq}$ .
${displaystyle mathbf {S} ¿Por qué? [I] _{r}(1:q:r,:)\Mathbf [I] _{r}(2:q:r,:)\\vdots \Mathbf {I} {r}(q:r:)end{bmatrix}}$
La notación de colon MATLAB se utiliza aquí para indicar submatrices, y I_r es r × r matriz de identidad. Si ${displaystyle mathbf {A} in mathbb Horas No.$ y ${displaystyle mathbf {B} in mathbb {R} {m_{2}times No.$ Entonces
${displaystyle mathbf {B} otimes mathbf {A} =mathbf {S} _{m_{1},m_{2}(mathbf {A} otimes mathbf {B})mathbf {S} ¿Por qué? {T}}$
La propiedad mixta producto:
Si A, B, C y D son matrices de tal tamaño que uno puede formar los productos de matriz AC y BDEntonces
${displaystyle (mathbf {A} otimes mathbf {B})(mathbf {C} otimes mathbf {D})=(mathbf {AC})otimes (mathbf {BD}). }$
Esto se llama propiedad mixta-product, porque mezcla el producto matriz ordinario y el producto Kronecker.
Como consecuencia inmediata,
${displaystyle mathbf {A} otimes mathbf {B} =(mathbf {I_{m_{1}}} otimes mathbf {B})(mathbf {A} otimes mathbf {I_{n_{2}}})=(mathbf {A} otimes mathbf {I_{m_{2}}})(mathbf {I_{n_}} {otimes mathbf} {}} {}}}} {otimes}}}} {otimes} {otimes}}} {bf}} {}}}}}}} {}}}}}}}} {otimes}}}} {otimes}}}}} {}}}}}} {otimes} {}}}} {otimes} {otimesotimesotimes}}}}} {otimes}}}}}}}}}}}}}}} {otimes}}}}}}}}} {othbf}} {$
En particular, utilizando el transpose propiedad de abajo, esto significa que si
${displaystyle mathbf {A} =mathbf {Q} otimes mathbf {U}$
y Q y U son ortogonales (o unitarios), entonces A es también ortogonal (resp., unitario).
El producto mixto Kronecker matriz-vector puede ser escrito como:
${displaystyle left(mathbf {A} otimes mathbf {B} right)operatorname {vec} left(mathbf {V} right)=operatorname {vec} (mathbf {B} mathbf {V} mathbf {A} ^{T})}}$
Donde ${displaystyle operatorname {vec} (mathbf {V})}$ es el operador de vectorización aplicado en ${displaystyle mathbf {V}$ (formado por la remodelación de la matriz).
Hadamard product (element-wise multiplication):
La propiedad mixta-producto también funciona para el producto a base de elementos. Si A y C son matrices del mismo tamaño, B y D son matrices del mismo tamaño, entonces
${displaystyle (mathbf {A} otimes mathbf {B})circ (mathbf {C} otimes mathbf {D})=(mathbf {A} circ mathbf {C})otimes (mathbf {B} circ mathbf {D}). }$
El inverso de un producto Kronecker:
De ello se desprende que A ⊗ B es invertible si y sólo si ambos A y B son invertibles, en cuyo caso el inverso es dado por
${displaystyle (mathbf {A} otimes mathbf {B}^{-1}=mathbf {A} ^{-1}otimes mathbf {B} }$
La propiedad de producto invertible tiene para el seudoinverso Moore-Penrose también, eso es
${displaystyle (mathbf {A} otimes mathbf {B}^{+}=mathbf {A} ^{+}otimes mathbf {B} ^{+}$
En el lenguaje de la teoría de la categoría, la propiedad mixta-producto del producto Kronecker (y más producto de tensor general) muestra que la categoría Mat_F de matrices sobre un campo F, es de hecho una categoría monoidal, con objetos números naturales nmorfismos n → m son n×m matrices con entradas F, la composición se da por multiplicación matriz, flechas de identidad son simplemente n × n matemáticas de identidad I_n, y el producto tensor es dado por el producto Kronecker.
Mat_F es una categoría de esqueleto de hormigón para la categoría equivalente FinVect_F de espacios vectoriales dimensionales finitos sobre F, cuyos objetos son tales espacios vectoriales dimensionales finitos V, flechas son F- mapas lineales L: V → W, y las flechas de identidad son los mapas de identidad de los espacios. La equivalencia de categorías equivale a elegir simultáneamente una base en cada espacio vectorial finito V sobre F; los elementos de matrices representan estas asignaciones con respecto a las bases elegidas; y igualmente el producto Kronecker es la representación del producto tensor en las bases elegidas.
Transpose:
Transposición y transposición conyugal son distributivos sobre el producto Kronecker:
${displaystyle (mathbf {A} otimes mathbf {B}^{textsf {T}=mathbf {A} ^{textsf {T}otimes mathbf {B} {textosf}}$ y ${displaystyle (mathbf {A} otimes mathbf {B}^{*}=mathbf {A} ^{*}otimes mathbf {B} ^{*}$
Determinante:
Vamos. A ser un n × n matriz y dejar B ser un m × m matriz. Entonces...
${displaystyle left WordPressmathbf {A} otimes mathbf {B} right sobre la vida=left sobre la muerte {B} {B}right sobrevivir.}$
El exponente en la vidaASilencio es el orden B y el exponente enBSilencio es el orden A.
Suma de Kronecker y exponenciación:
Si A es n × n, B es m × m y I_k denota los k × k matriz de identidad entonces podemos definir lo que a veces se llama Kronecker suma, por
${displaystyle mathbf {A} oplus mathbf {B} =mathbf {A} otimes mathbf {I} _{m}+mathbf {I} {n}otimes mathbf {B}$
Esto es diferentes de la suma directa de dos matrices. Esta operación está relacionada con el producto tensor en álgebras Lie, como se detalla a continuación (Propiedades#Astracción) en el punto "Relación al producto tensor abstracto".
Tenemos la siguiente fórmula para la matriz exponencial, que es útil en algunas evaluaciones numéricas.
${displaystyle exp({mathbf {N} oplus mathbf {M})=exp(mathbf {N})otimes exp(mathbf {M})}$
Las sumas de Kronecker aparecen naturalmente en la física al considerar conjuntos de sistemas de no interacción. Vamos. H^k ser el Hamiltonian del ktal sistema. Entonces el total Hamiltoniano del conjunto es
${displaystyle H_{mathrm {Tot}=bigoplus _{k} H^{k}$
Vectorización de un producto Kronecker:
Vamos. ${displaystyle A}$ ser un ${displaystyle mtimes n}$ matriz ${displaystyle B}$ a ${displaystyle ptimes q}$ matriz. Cuando se intercambia el orden del producto Kronecker y la vectorización, las dos operaciones pueden vincularse linealmente a través de una función que implica la matriz de conmutación. Eso es, ${displaystyle mathrm {vec} (mathrm {Kron} (A,B)}$ y ${displaystyle mathrm {Kron} (mathrm {vec} A,mathrm {vec} B)}$ tener la siguiente relación:
${displaystyle mathrm {vec} (Aotimes B)=(I_{n}otimes K_{qm}otimes I_{q})(mathrm {vec} Aotimes mathrm {vec} B).}$
Además, la relación anterior puede reorganizarse en términos de cualquiera de los ${displaystyle mathrm {vec} A}$ o ${displaystyle mathrm {vec} B}$ como sigue:
${displaystyle mathrm {vec} (Aotimes B)=(I_{n}otimes G)mathrm {vec} A=(Hotimes I_{p})mathrm {vec} B,}$
Donde
${displaystyle G=(K_{qm}otimes I_{p})(I_{m}otimes mathrm {vec} B){text{ and }}H=(I_{n}otimes K_{qm})(mathrm {vec} Aotimes I_{q}). }$
Producto externo:
Si ${displaystyle xin mathbb {R} {fn}$ y ${displaystyle yin mathbb {R} {m}$ son vectores arbitrarios, luego el producto exterior entre ${displaystyle x}$ y ${displaystyle y}$ se define como ${displaystyle xy^{T}$ . El producto Kronecker está relacionado con el producto externo por: ${displaystyle yotimes x=mathrm {vec} (xy^{T}$ .

Propiedades abstractas

Espectro:
Supongamos que A y B son matrices cuadradas de tamaño n y m respectivamente. Vamos. λ₁,... λ_n ser los eigenvalues de A y μ₁,... μ_m ser los de B (listed according to multiplicity). Entonces los eigenvalues de A ⊗ B son
${displaystyle lambda _{i}mu ¿Por qué?$
Sigue que el rastro y determinante de un producto Kronecker son dados por
${fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {f}f} {f}f} {f}f}f} {f}f} {f}f}f}f} {f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f} {f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}f} {f}f} {f}f}f}f}\f}f}\f}f}f}f}f}f}f}f}}f}f}$
Valores lineales:
Si A y B son matrices rectangulares, entonces uno puede considerar sus valores singulares. Supongamos que A tiene r_A valores no cero singulares:
${displaystyle sigma _{mathbf {A}i},qquad i=1,ldotsr_{mathbf }$
Análogamente, denota los valores no cero singulares de B por
${displaystyle sigma _{mathbf {B}i},qquad i=1,ldotsr_{mathbf {B}$
Luego el producto Kronecker A ⊗ B tiene r_Ar_B valores no cero singulares:
${displaystyle sigma _{mathbf {A}i}sigma _{mathbf {B}j},qquad i=1,ldotsr_{mathbf {A} },,j=1,ldotsr_{mathbf {B}.$
Puesto que el rango de una matriz equivale al número de valores no cero singulares, encontramos que
${displaystyle operatorname {rank} (mathbf {A} otimes mathbf {B}=operatorname {rank} mathbf {A} ,operatorname {rank} mathbf {B}$
Relación con el producto tensor abstracto:
El producto Kronecker de matrices corresponde al producto tensor abstracto de mapas lineales. Específicamente, si los espacios vectoriales V, W, X, y Y tienen bases {}v₁,... v_m} {}w₁,... w_n} {}x₁,... x_d} y {}Sí.₁,... Sí._e} respectivamente, y si las matrices A y B representan las transformaciones lineales S: V → X y T: W → Y, respectivamente en las bases apropiadas, luego la matriz A ⊗ B representa el producto tensor de los dos mapas, S ⊗ T: V ⊗ W → X ⊗ Y con respecto a la base {}v₁ ⊗ w₁, v₁ ⊗ w₂,... v₂ ⊗ w₁,... v_m ⊗ w_n} de V ⊗ W y la base igualmente definida X ⊗ Y con la propiedad que A ⊗ B()v_i ⊗ w_j) =Av_i⊗Bw_j), donde i y j son enteros en el rango adecuado.
Cuando V y W son álgebras de Lie, y S: V → V y T: W → W son los homomorfismos de álgebra Lie, la suma de Kronecker A y B representa el algebra inducido homomorfismos V ⊗ W → V ⊗ W.
Relación con los productos de los gráficos:
El producto Kronecker de las matrices adjacency de dos gráficos es la matriz adyacency del gráfico de producto tensor. La suma Kronecker de las matrices adjacency de dos gráficos es la matriz adyacency del gráfico de productos cartesianos.

Ecuaciones matriciales

El producto de Kronecker se puede utilizar para obtener una representación conveniente de algunas ecuaciones matriciales. Considere, por ejemplo, la ecuación AXB = C, donde A, B y C reciben matrices y la matriz X es la incógnita. Podemos utilizar el "truco vec" reescribir esta ecuación como

{displaystyle left(mathbf {B} ^{textsf {T}otimes mathbf {A} right),operatorname {vec} (mathbf {X})=operatorname {vec} (mathbf {AXB})=operatorname {vec} (mathbf {C}). }

Aquí, vec(X) denota la vectorización de la matriz X formada al apilar las columnas de X en un vector de una sola columna..

Ahora se deduce de las propiedades del producto de Kronecker que la ecuación AXB = C tiene una solución única, si y sólo si A y B son invertibles (Horn & Johnson 1991, Lema 4.3.1).

Si X y C están ordenados por filas en los vectores de columna u y v, respectivamente, entonces (Jain 1989, 2.8 matrices de bloques y productos Kronecker)

{displaystyle mathbf {v} =left(mathbf {A} otimes mathbf {B} ^{textsf {T}right)mathbf {u}

La razón es que

{displaystyle mathbf {v} =operatorname {vec} left(mathbf {AXB})^{textsf {T}right)=operatorname {vec} left(mathbff)} [B] ^{textsf {T}mathbf {X} ^{textsf {T}mathbf {A} {textosf {T}right)=left(mathbf {A} otimes mathbf {B} ^{textsf {T}right)operatorname {vec} left(mathbf {X^{textsf {T}}right)=left(mathbf {A} otimes mathbf {B} ^{textsf {T}right)mathbf {u}

Aplicaciones

Para ver un ejemplo de la aplicación de esta fórmula, consulte el artículo sobre la ecuación de Lyapunov. Esta fórmula también resulta útil para mostrar que la distribución normal matricial es un caso especial de la distribución normal multivariada. Esta fórmula también es útil para representar operaciones de procesamiento de imágenes 2D en forma de matriz-vector.

Otro ejemplo es cuando una matriz se puede factorizar como un producto de Kronecker, entonces la multiplicación de matrices se puede realizar más rápido usando la fórmula anterior. Esto se puede aplicar de forma recursiva, como se hace en la FFT radix-2 y la transformada Fast Walsh-Hadamard. La división de una matriz conocida en el producto de Kronecker de dos matrices más pequeñas se conoce como "producto de Kronecker más cercano". problema, y se puede resolver exactamente usando el SVD. Dividir una matriz en el producto de Kronecker de más de dos matrices, de manera óptima, es un problema difícil y objeto de investigación en curso; algunos autores lo plantean como un problema de descomposición tensorial.

Junto con el método de mínimos cuadrados, el producto Kronecker se puede utilizar como una solución precisa al problema de calibración ojo-mano.

Operaciones matriciales relacionadas

Dos operaciones matriciales relacionadas son los productos Tracy–Singh y Khatri–Rao, que operan en matrices particionadas. Deje que la matriz m × n A se divida en la m_i × n_j< /span> bloquea A_ij y p × q matriz B en p_k × q_ℓ bloquea B_kl, con, por supuesto, Σ _i m_i = m, Σ _j n_j = n, Σ_k p_k = p y Σ_{ℓ q_ℓ} = q.

Producto Tracy-Singh

El producto Tracy–Singh se define como

{displaystyle mathbf {A} circ mathbf {B} =left(mathbf) {A} _{ij}circ mathbf {B}right)_{ij}=left(mathbf) {A} _{ij}otimes mathbf {B} _{kl}right)_{kl}right)_{ij}}

que significa que elij)-th subblock del MP × nq producto A ${displaystyle circ }$ B es m_i p × n_j q matriz A_ij ${displaystyle circ }$ B, de los cuales el (kl)-th subblock iguala el m_i p_k × n_j q_l matriz A_ij ⊗ B_kl. Esencialmente el producto Tracy-Singh es el producto pareado Kronecker para cada par de particiones en las dos matrices.

Por ejemplo, si A y B son matrices particionadas 2 × 2, por ejemplo:

{displaystyle mathbf {A} =left[{begin{rray}{c TEN}mathbf {A} _{11} {A} _{12}\hline mathbf {A} _{21} limitemathbf {A} _{22}end{array}}right]=left[{begin{array} {c c ¦ habitc c}1 tendría 2 cambios en 34 segundos5 consecutivo6\hline 7 limit8 coinciden9end{array] {B} =left[{begin{c }{c ¦ on c}mathbf {B} _{11} limitmathbf {B} _{12}hline mathbf {B} _{21} {mathbf {B} _{22}end{}}}derecha]={8} {begin} {}}}}}}}} {}}} {c}}}}}} {c}}}}} {c}}} {c}}}}}}} {c} {c} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}} {c}}} {c}c}c}}}c}}cc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cc}}}}}c}}

obtenemos:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {A} circ mathbf {B} ={} {} {begin{y}{c Н}mathbf {A} _{11}circ mathbf {B} {A} _{12}circ mathbf {B} \hline mathbf {A} _{21}circ mathbf {B} {A} _{22}circ mathbf {B}end{array}right]={} {={begin{begin{array}{c }{c durable c}mathbf {A} _{11}otimes mathbff {B} _{11} {A} _{11}otimes mathbf {B} _{12} {A} _{12}otimes mathbf {B} _{11} {A} _{12}otimes mathbf {B} _{12}\hline mathbf {A} _{11}otimes mathbf {B} _{21} {A} _{11}otimes mathbf {B} _{22} {A} _{12}otimes mathbf {B} _{21} {A} _{12}otimes mathbf {B} _{22}\hline mathbf {A} _{21}otimes mathbf {B} _{11} {A} _{21}otimes mathbf {B} _{12} {A} _{22}otimes mathbf {B} _{11} {A} _{22}otimes mathbf {B} _{12}\hline mathbf {A} _{21}otimes mathbf {B} _{21} {A} _{21}otimes mathbf {B} _{22} {A} _{22}otimes mathbf {B} _{21} {22}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}cnMicrosoft Sans Serif} {c} {c c c c c c c ficac c habit c}1 coincidiendo4 dr9 dr9 dr14 pc2 pc2 pc2 p >

Producto Khatri-Rao

Block Kronecker producto
Columna de Khatri– Producto rao

Producto que te partirá la cara

Propiedades de productos mixtos

{displaystyle mathbf {A} otimes (mathbf {B} bullet mathbf {C})=(mathbf {A} otimes mathbf {B})bullet mathbf {C}}}}

Donde ${displaystyle bullet }$ denota el producto que suministra la cara.

{displaystyle (mathbf {A} bullet mathbf {B})(mathbf {C} otimes mathbf {D})=(mathbf {A} mathbf {C})bullet (mathbf {B} mathbf {D}),}}

Del mismo modo:

{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}cdots (mathbf {C} otimes mathbf {S})=(mathbf {A} mathbf {B}

{displaystyle mathbf {c} {textosf {T}bullet mathbf {d} ^{textsf {T}=mathbf {c} {textosf {T}otimes mathbf {d} ^{textsf {T}}}

Donde ${displaystyle mathbf {c}$ y ${displaystyle mathbf}$ son vectores,

{displaystyle (mathbf {A} bullet mathbf {B})(mathbf {c} otimes mathbf {d})=(mathbf {A} mathbf {c})circ (mathbf {B} mathbf {d}),}}

Donde ${displaystyle mathbf {c}$ y ${displaystyle mathbf}$ son vectores, y ${displaystyle circ }$ denota el producto Hadamard.

Del mismo modo:

{f} {f} {f} {f} {f}}} {f}} {f} {f} {f} {f}}} {f}} {f} {f} {f}f} {f}} {f}}f} {f}f}f}

{displaystyle {mathcal {f}(C^{(1)}xstar C^{(2)}y)=({mathcal {F}}C^{(1)}bullet {mathcal {f}C^{(2)})(xotimes y)={mathcal {F}}}C^{(1)}xcirc {fnMitcal {}C^{(2)}y}

Donde ${displaystyle star }$ es la revolución vectorial y ${displaystyle {fnMithcal}}$ es la matriz de transformación de Fourier (este resultado es una evolución de las propiedades del boceto de cuenta),

{fnMicrosoft Sans Serif}

Donde ${displaystyle ast }$ denota el producto Khatri-Rao de Columna.

Del mismo modo:

{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif}

{fnMicrosoft Sans Serif}

Donde ${displaystyle mathbf {c}$ y ${displaystyle mathbf}$ son vectores.

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