Problema de maximización de la utilidad

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La maximización de la utilidad fue desarrollada por primera vez por los filósofos utilitaristas Jeremy Bentham y John Stuart Mill. En microeconomía, el problema de maximización de la utilidad es el problema que enfrentan los consumidores: "¿Cómo debo gastar mi dinero para maximizar mi utilidad?" Es un tipo de problema de decisión óptima. Consiste en elegir qué cantidad de cada bien o servicio disponible consumir, teniendo en cuenta una restricción del gasto total (ingreso), los precios de los bienes y sus preferencias.

La maximización de la utilidad es un concepto importante en la teoría del consumidor, ya que muestra cómo los consumidores deciden asignar sus ingresos. Como los consumidores son racionales, buscan extraer el mayor beneficio para ellos mismos. Sin embargo, debido a la racionalidad limitada y otros sesgos, los consumidores a veces eligen paquetes que no necesariamente maximizan su utilidad. La cesta de maximización de la utilidad del consumidor tampoco está fijada y puede cambiar con el tiempo dependiendo de sus preferencias individuales de bienes, los cambios de precios y los aumentos o disminuciones de los ingresos.

Configuración básica

Para la maximización de la utilidad, hay un proceso de cuatro pasos básicos para derivar la demanda del consumidor y encontrar la cesta maximizadora de la utilidad del consumidor, dados los precios, los ingresos y las preferencias.

1) Compruebe si se cumple la ley de Walras 2) 'Excelente inversión' 3) la restricción presupuestaria 4) Comprueba si hay negatividad

1) Ley de Walras

La ley de Walras establece que si las preferencias de un consumidor son completas, monótonas y transitivas, entonces la demanda óptima estará en la recta presupuestaria.

Preferencias de la consumidora

(feminine)

Para que exista una representación de utilidad las preferencias del consumidor deben ser completas y transitivas (condiciones necesarias).

Completa

La integridad de las preferencias indica que el consumidor puede comparar todos los paquetes del conjunto de consumo. Por ejemplo, si el consumidor tiene 3 paquetes A, B y C, entonces;

A ${displaystyle succcurlyeq }$ B, A ${displaystyle succcurlyeq }$ C, B ${displaystyle succcurlyeq }$ A, B ${displaystyle succcurlyeq }$ C, C ${displaystyle succcurlyeq }$ B, C ${displaystyle succcurlyeq }$ A, A ${displaystyle succcurlyeq }$ A, B ${displaystyle succcurlyeq }$ B, C ${displaystyle succcurlyeq }$ C. Por lo tanto, el consumidor tiene preferencias completas ya que pueden comparar cada paquete.

Transitiva

(feminine)

La transitividad establece que las preferencias de los individuos son consistentes en todos los paquetes.

por lo tanto, si el consumidor prefiere débilmente A sobre B (A) ${displaystyle succcurlyeq }$ B) y B ${displaystyle succcurlyeq }$ C esto significa que A ${displaystyle succcurlyeq }$ C (A es débilmente preferido a C)

Monótono

Para que una relación de preferencia sea monótona, aumentar la cantidad de ambos bienes debería mejorar estrictamente la situación del consumidor (aumentar su utilidad), y aumentar la cantidad de un bien manteniendo constante la cantidad del otro no debería empeorar la situación del consumidor (lo mismo utilidad).

La preferencia ${displaystyle succcurlyeq }$ es monotone si y sólo si;

1) ${displaystyle (x+epsilony)succcurlyeq (x,y)}$

2) ${displaystyle (x,y+epsilon)succcurlyeq (x,y)}$

3) ${displaystyle (x+epsilony+epsilon)succ (x,y)}$

Donde ${displaystyle epsilon }$ ■ 0

2) 'Bang for buck '

La rentabilidad es un concepto principal en la maximización de la utilidad y consiste en que el consumidor desee obtener el mejor valor por su dinero. Si se cumple la ley de Walras, la solución óptima del consumidor se encuentra en el punto donde se cruzan la recta presupuestaria y la curva de indiferencia óptima, esto se denomina condición de tangencia. Para encontrar este punto, diferencia la función de utilidad con respecto a x e y para encontrar las utilidades marginales, luego divide por los precios respectivos de los bienes.

${displaystyle MU_{x}/p_{x}=MU_{y}/p_{y}$

Esto se puede resolver para encontrar la cantidad óptima del bien x o del bien y.

3) Restricción presupuestaria

El establecimiento básico de la limitación presupuestaria del consumidor es: ${displaystyle P_{x}x+p_{y}yleq I}$

Debido a que la ley de Walras está satisfecha: ${displaystyle P_{x}x+p_{y=I}$

La condición de la tangencia se sustituye a esto para resolver por la cantidad óptima del otro bien.

4) Compruebe si hay negatividad

Se debe comprobar la negatividad, ya que el problema de maximización de la utilidad puede dar una respuesta cuando la demanda óptima de un bien es negativa, lo que en realidad no es posible ya que esto está fuera del dominio. Si la demanda de un bien es negativa, la cesta de consumo óptima será aquella en la que se consuma 0 de este bien y todos los ingresos se gasten en el otro bien (una solución de esquina). Consulte la figura 1 para ver un ejemplo en el que la demanda del bien x es negativa.

Una representación técnica

Supongamos el conjunto de consumo del consumidor, o la enumeración de todos los paquetes de consumo posibles que podrían seleccionarse si hubiera una restricción presupuestaria.

El conjunto de consumo = ${fnMicrosoft Sans Serif}$ (un conjunto de números reales positivos, el consumidor no puede preferir la cantidad negativa de productos básicos).

${displaystyle xin mathbb {R} _{+} {n}fn}$

Supongamos también que el vector de precios (p) de los n productos es positivo,

${displaystyle pin mathbb [R] _{+} {n}}$

y que el ingreso del consumidor es ${displaystyle w}$ ; entonces el conjunto de todos los paquetes asequibles, el conjunto de presupuesto es,

${displaystyle B(p,I)={xin mathbb [R] _{+}Insistente 'mathbb {Sigma} ##{i=1} {n}p_{i}x_{i}leq Yo...$

Al consumidor le gustaría comprar el paquete de productos básicos más asequible.

Se supone que el consumidor tiene una función de utilidad ordinal, llamada u. Es una función de valor real cuyo dominio es el conjunto de todos los paquetes de productos básicos, o

{displaystyle u:mathbb {R} _{+}{n}derecho {R} {R}}\fn}}

Luego la elección óptima del consumidor ${displaystyle x(p,w)}$ es la utilidad que maximiza el paquete de todos los paquetes en el conjunto del presupuesto si ${displaystyle xin B(p,w)}$ entonces la función de demanda óptima de los consumidores es:

${displaystyle x(p,I)={xin B(p,I) detainedU(x)geq U(y)forall yin B(p,I)}$

Encontrar ${displaystyle x(p,I)}$ es problema de maximización de la utilidad.

Si u es continuo y ninguna mercancía es gratuita, entonces ${displaystyle x(p,I)}$ existe, pero no es necesariamente único. Si las preferencias del consumidor son completas, transitivas y estrictamente convexas, la demanda del consumidor contiene un maximiser único para todos los valores del precio y los parámetros de riqueza. Si esto está satisfecho entonces ${displaystyle x(p,I)}$ se llama la función de demanda Marshall. De lo contrario, ${displaystyle x(p,I)}$ es valorado y se llama la correspondencia de demanda Marshall.

Maximización de la utilidad de complementos perfectos

U = mín {x, y}

Para una función mínima con bienes que son complementos perfectos, no se pueden seguir los mismos pasos para encontrar la cesta que maximiza la utilidad, ya que es una función no diferenciable. Por tanto, hay que utilizar la intuición. El consumidor maximizará su utilidad en el punto de torsión de la curva de indiferencia más alta que cruza la recta presupuestaria donde x = y. Esto es intuición, ya que el consumidor es racional, no tiene sentido que consuma más de un bien y no del otro, ya que su utilidad se toma como el mínimo de los dos (no obtiene ninguna ganancia en utilidad con esto y estaría desperdiciando su dinero). ingreso). Ver figura 3.

Maximización de la utilidad de sustitutos perfectos

U = x + y

Para una función de utilidad con sustitutos perfectos, la cesta que maximiza la utilidad se puede encontrar por derivación o simplemente por inspección. Supongamos que un consumidor encuentra sustitutos perfectos escuchar las bandas de rock australianas AC/DC y Tame Impala. Esto significa que están felices de pasar toda la tarde escuchando sólo AC/DC, o sólo Tame Impala, o tres cuartas partes de AC/DC y una cuarta parte de Tame Impala, o cualquier combinación de las dos bandas en cualquier cantidad. Por lo tanto, la elección óptima del consumidor está determinada enteramente por los precios relativos de escuchar a los dos artistas. Si asistir a un concierto de Tame Impala es más barato que asistir al concierto de AC/DC, el consumidor elige asistir al concierto de Tame Impala y viceversa. Si los precios de los dos conciertos son iguales, el consumidor es completamente indiferente y puede lanzar una moneda para decidir. Para ver esto matemáticamente, diferenciar la función de utilidad para encontrar que la TMS es constante; este es el significado técnico de sustitutos perfectos. Como resultado de esto, la solución al problema de maximización restringida del consumidor no será (generalmente) una solución interior y, como tal, se debe verificar el nivel de utilidad en los casos límite (gastar todo el presupuesto en el bien x, gastar todo el presupuesto en el bien y) para ver cuál es la solución. El caso especial es cuando la TMS (constante) es igual a la relación de precios (por ejemplo, ambos bienes tienen el mismo precio y los mismos coeficientes en la función de utilidad). En este caso, cualquier combinación de los dos bienes es una solución al problema del consumidor.

Reacción a los cambios de precios

Para un nivel dado de riqueza real, a los consumidores sólo les importan los precios relativos, no los precios absolutos. Si los consumidores reaccionaran a los cambios en los precios nominales y la riqueza nominal incluso si los precios relativos y la riqueza real permanecieran sin cambios, esto sería un efecto llamado ilusión monetaria. Las condiciones matemáticas de primer orden para un máximo del problema del consumidor garantizan que la demanda de cada bien sea homogénea de grado cero conjuntamente en precios nominales y riqueza nominal, por lo que no hay ilusión monetaria.

Cuando los precios de los bienes cambian, el consumo óptimo de estos bienes dependerá de los efectos sustitución y renta. El efecto sustitución dice que si la demanda de ambos bienes es homogénea, cuando el precio de un bien disminuye (manteniendo constante el precio del otro bien), el consumidor consumirá más de este bien y menos del otro a medida que se vuelve relativamente más barato. Lo mismo ocurre si el precio de un bien aumenta, los consumidores comprarán menos de ese bien y más del otro.

El efecto renta se produce cuando el cambio en los precios de los bienes provoca un cambio en la renta. Si el precio de un bien aumenta, entonces el ingreso disminuye (es más costoso que antes consumir el mismo paquete), lo mismo ocurre si el precio de un bien cae, el ingreso aumenta (es más barato consumir el mismo paquete, por lo tanto pueden consumir más de su combinación deseada de bienes).

Reacción ante cambios en los ingresos

Si los ingresos de los consumidores aumentan, su línea presupuestaria se desplaza hacia afuera y ahora tienen más ingresos para gastar en el bien x, el bien y o ambos, dependiendo de sus preferencias por cada bien. Si ambos bienes x e y fueran bienes normales, entonces el consumo de ambos bienes aumentaría y la cesta óptima se movería de A a C (ver figura 5). Si x o y fueran bienes inferiores, entonces la demanda de estos disminuiría a medida que aumenta el ingreso (la cesta óptima estaría en el punto B o C).

Racionalidad limitada

para más información ver: Racionalidad acotada

En la práctica, es posible que un consumidor no siempre elija el paquete óptimo. Por ejemplo, puede requerir demasiada reflexión o demasiado tiempo. La racionalidad limitada es una teoría que explica este comportamiento. Ejemplos de alternativas a la maximización de la utilidad debido a la racionalidad limitada son; satisfacción, eliminación por aspectos y heurística de contabilidad mental.

El satisfizo heurístico es cuando un consumidor define un nivel de aspiración y mira hasta que encuentre una opción que satisfaga esto, ellos considerarán esta opción lo suficientemente buena y dejarán de mirar.
Eliminación por aspectos es definir un nivel para cada aspecto de un producto que quieren y eliminar todas las otras opciones que no satisfacen este requisito, por ejemplo, precio bajo $100, color, etc. hasta que sólo queda un producto que se supone que es el producto que el consumidor elegirá.
The mental accounting heuristic: En esta estrategia se observa que las personas a menudo asignan valores subjetivos a su dinero dependiendo de sus preferencias por cosas diferentes. Una persona desarrollará cuentas mentales para diferentes gastos, asignará su presupuesto dentro de estos, luego tratará de maximizar su utilidad dentro de cada cuenta.

Conceptos relacionados

La relación entre la función de utilidad y la demanda marshalliana en el problema de maximización de la utilidad refleja la relación entre la función de gasto y la demanda hicksiana en el problema de minimización del gasto. En la minimización del gasto se da el nivel de utilidad y, además de los precios de los bienes, el papel del consumidor es encontrar un nivel mínimo de gasto requerido para alcanzar este nivel de utilidad.

La regla de elección social utilitarista es una regla que dice que la sociedad debe elegir la alternativa que maximice la suma de utilidades. Mientras que la maximización de la utilidad la realizan los individuos, la maximización de la suma de utilidad la realiza la sociedad.

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