Problema de dos sobres

El problema de los dos sobres, también conocido como paradoja del intercambio, es una paradoja en la teoría de la probabilidad. Es de especial interés en la teoría de la decisión y para la interpretación bayesiana de la teoría de la probabilidad. Es una variante de un problema más antiguo conocido como la paradoja de la corbata. El problema generalmente se presenta formulando un desafío hipotético como el siguiente ejemplo:

Imagina que te dan dos sobres idénticos, cada uno que contiene dinero. Uno contiene el doble que el otro. Usted puede elegir un sobre y mantener el dinero que contiene. Habiendo elegido un sobre a voluntad, pero antes de inspeccionarlo, se le da la oportunidad de cambiar sobres. ¿Quieres cambiar?

Dado que la situación es simétrica, parece obvio que no tiene sentido cambiar de envolvente. Por otro lado, un simple cálculo utilizando valores esperados sugiere la conclusión opuesta: que siempre es beneficioso intercambiar sobres, ya que la persona puede ganar el doble de dinero si cambia, mientras que el único riesgo es reducir a la mitad lo que tiene actualmente.

Introducción

Problema

A una persona se le entregan dos sobres indistinguibles, cada uno de los cuales contiene una suma de dinero. Un sobre contiene el doble que el otro. La persona podrá escoger un sobre y quedarse con la cantidad que contenga. Eligen un sobre al azar, pero antes de abrirlo se les da la oportunidad de coger el otro sobre.

El argumento del cambio

Ahora supongamos que la persona razona de la siguiente manera:

El rompecabezas

El enigma consiste en encontrar el defecto en la línea de razonamiento del argumento del cambio. Esto incluye determinar exactamente por qué y bajo qué condiciones ese paso no es correcto, para asegurarse de no cometer este error en una situación en la que el paso en falso puede no ser tan obvio. En resumen, el problema es resolver la paradoja. El enigma no se resuelve encontrando otra forma de calcular las probabilidades que no conduzca a una contradicción.

Multiplicidad de soluciones propuestas

Se han propuesto muchas soluciones y, por lo general, un escritor propone una solución al problema tal como se plantea, después de lo cual otro escritor muestra que alterar ligeramente el problema revive la paradoja. Estas secuencias de discusiones han producido una familia de formulaciones del problema estrechamente relacionadas, lo que ha dado lugar a una voluminosa literatura sobre el tema.

Ninguna solución propuesta es ampliamente aceptada como definitiva. Pese a ello, es habitual que los autores afirmen que la solución al problema es fácil, incluso elemental. Sin embargo, al investigar estas soluciones elementales, a menudo difieren de un autor a otro.

Ejemplo de resolución

Supongamos que la cantidad total en ambos sobres es una constante c=3x{displaystyle c=3x}Con x{displaystyle x} en un sobre y 2x{displaystyle 2x} en el otro. Si selecciona el sobre con x{displaystyle x} primero ganas la cantidad x{displaystyle x} intercambiando. Si selecciona el sobre con 2x{displaystyle 2x} primero pierdes la cantidad x{displaystyle x} intercambiando. Así que ganas en promedio G=12()x)+12()− − x)=12()x− − x)=0{displaystyle G={1over 2}(x)+{1over 2}(-x)={1 over 2}(x-x)=0} intercambiando.

Así que en esta suposición que la cantidad total está fijada, el intercambio no es mejor que mantener. El valor previsto E=122x+12x=32x{displaystyle operatorname [E] ={frac {1}{2}2x+{frac {1}x={frac {3}{2}x} es lo mismo para ambos sobres. Así no existe contradicción.

La famosa mistificación se evoca al confundir la situación en la que el monto total en los dos sobres es fijo con la situación en la que el monto en un sobre es fijo y el otro puede ser el doble o la mitad de ese monto. La llamada paradoja presenta dos sobres ya designados y ya cerrados, donde un sobre ya está cerrado con el doble de cantidad que el otro sobre ya cerrado. Mientras que el paso 6 afirma audazmente "Por lo tanto, el otro sobre contiene 2A con probabilidad 1/2 y A/2 con probabilidad 1/2", en la situación dada, esa afirmación nunca puede aplicarse a cualquier A ni a cualquier A promedio.

Esta reclamación nunca es correcta para la situación presentada; esta reclamación se aplica a la Nalebuff variante asimétrica únicamente (véase infra). En la situación presentada, el otro sobre no en general contiene 2A, pero puede contener 2A sólo en la instancia muy específica donde el sobre A, por casualidad contiene el más pequeño cantidad de Total3{displaystyle {frac {text{Total}{3}}} {fnK}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fnK}}}}}}}}, pero en ninguna otra parte. El otro sobre no puede en general contiene A/2 pero puede contener A/2 sólo en la instancia muy específica donde el sobre A, por casualidad, contiene 2Total3{displaystyle 2{frac {text{Total}{3}}} {f}}} {f}} {f}}} {f}}}} {f}}}}, pero en ninguna otra parte. La diferencia entre los dos sobres ya designados y cerrados es siempre Total3{displaystyle {frac {text{Total}{3}}} {fnK}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fnK}}}}}}}}. Ningún "valor promedio A" puede formar alguna base inicial para cualquier valor esperado, ya que esto no llega al corazón del problema.

Otras resoluciones simples

Una manera ampliamente discutida de resolver la paradoja, tanto en la literatura popular como en parte de la literatura académica, especialmente en filosofía, es asumir que la 'A' en el paso 7 se pretende que sea el valor esperado en el sobre A y que pretendemos escribir una fórmula para el valor esperado en el sobre B.

El paso 7 establece que el valor esperado en B = 1/2(2A + A/2).

Se señala que el 'A' en la primera parte de la fórmula está el valor esperado, dado que el sobre A contiene menos que el sobre B, pero el 'A', en la segunda parte de la fórmula está el valor esperado en A, dado que el sobre A contiene más que la envoltura B. El error del argumento es que se utiliza el mismo símbolo con dos significados diferentes en ambas partes del mismo cálculo, pero se supone que tiene el mismo valor en ambos casos. Esta línea argumental la introducen McGrew, Shier y Silverstein (1997).

Un cálculo correcto sería:

Si luego tomamos la suma en un sobre como x y la suma en el otro como 2x, los cálculos del valor esperado se convierten en:

que es igual a la suma esperada en A.

En lenguaje no técnico, lo que sale mal (ver Paradoja de la corbata) es que, en el escenario proporcionado, las matemáticas usan valores relativos de A y B (es decir, se supone que uno ganaría más dinero si A es menor que B de lo que uno perdería si fuera cierto lo contrario). Sin embargo, los dos valores del dinero son fijos (un sobre contiene, digamos, 20 dólares y el otro 40 dólares). Si los valores de las envolventes se reexpresan como x y 2x, es mucho más fácil ver que, si A fuera mayor, se perdería x al cambiar y, si B fuera mayor, se ganaría x al cambiar. Uno no gana una mayor cantidad de dinero cambiando porque el T total de A y B (3x) sigue siendo el mismo, y la diferencia x está fijado en T/3.

La línea 7 debería haberse elaborado con más cuidado de la siguiente manera:

A será mayor cuando A sea mayor que B que cuando sea menor que B. Entonces sus valores promedio (valores esperados) en esos dos casos son diferentes. Y, de todos modos, el valor medio de A no es el mismo que el propio A. Se están cometiendo dos errores: el escritor olvidó que estaba tomando valores de expectativa y olvidó que estaba tomando valores de expectativa bajo dos condiciones diferentes.

Hubiera sido más fácil calcular E(B) directamente. Denotando la menor de las dos cantidades por x, y considerándola fija (incluso si se desconoce), encontramos que

E⁡ ⁡ ()B)=122x+12x=32x{displaystyle operatorname [E]={frac {2}2x+{1}{2}x={frac {3}{2}x}x}

Aprendemos que 1,5x es el valor esperado del monto en el Sobre B. Por el mismo cálculo, también es el valor esperado del monto en el Sobre A. Son iguales, por lo tanto, hay No hay razón para preferir un sobre al otro. Esta conclusión era, por supuesto, obvia de antemano; El punto es que identificamos el paso en falso en el argumento a favor del cambio al explicar exactamente dónde se descarriló el cálculo que se estaba realizando allí.

También podríamos continuar desde el resultado correcto pero difícil de interpretar del desarrollo en la línea 7:

Tsikogiannopoulos presentó una forma diferente de hacer estos cálculos. Por definición, es correcto asignar probabilidades iguales a los eventos de que el otro sobre contenga el doble o la mitad de esa cantidad en el sobre A. Por lo tanto, el "argumento de cambio" es correcta hasta el paso 6. Dado que el sobre del jugador contiene la cantidad A, diferencia la situación real en dos juegos diferentes: El primer juego se jugaría con las cantidades (A, 2A) y el segundo juego con los importes (A/2, A). En realidad, solo se juega uno de ellos, pero no sabemos cuál. Estos dos juegos deben tratarse de manera diferente. Si el jugador quiere calcular su retorno esperado (ganancia o pérdida) en caso de intercambio, debe sopesar el retorno derivado de cada juego por el monto promedio en los dos sobres de ese juego en particular. En el primer caso la ganancia sería A con un monto promedio de 3A/2, mientras que en el segundo caso la pérdida sería A/2 con un monto promedio de 3A/4. Así, la fórmula del rendimiento esperado en caso de cambio, visto como proporción del importe total de los dos sobres, es:

E=12⋅ ⋅ +A3A/2+12⋅ ⋅ − − A/23A/4=0{displaystyle E={frac {2}cdot {frac} {+A}{3A/2}+{frac {1}{2}cdot {frac} {-A/2}{3A/4}=0}

Este resultado significa una vez más que el jugador no debe esperar ni ganancias ni pérdidas al cambiar su sobre.

De hecho, podríamos abrir nuestro sobre antes de decidir si cambiar o no y la fórmula anterior aún nos daría el rendimiento esperado correcto. Por ejemplo, si abrimos nuestro sobre y vemos que contiene 100 euros entonces estableceríamos A=100 en la fórmula anterior y la rentabilidad esperada en caso de cambiar sería:

E=12⋅ ⋅ +100150+12⋅ ⋅ − − 5075=0{displaystyle E={frac {2}cdot {frac} {+100}{150}+{frac {1}{2}cdot {frac} {-50}{75}=0}

Variante asimétrica de Nalebuff

El mecanismo por el que se determinan las cantidades de los dos sobres es crucial para la decisión del jugador de cambiar su sobre. Supongamos que las cantidades en los dos sobres A y B no se determinaron por primera vez fijando el contenido de dos sobres E1 y E2, y luego nombrarlos A y B al azar (por ejemplo, por el lanzamiento de una moneda justa). En su lugar, empezamos justo al principio colocando cierta cantidad en el sobre A y luego llenamos B de una manera que depende tanto de la oportunidad (el lanzamiento de una moneda) como de lo que ponemos en A. Supongamos que primero de toda la cantidad a en sobre A se fija de alguna manera u otra, y luego la cantidad en Envelope B se fija, dependiendo de lo que ya está en A, según el resultado de una moneda justa. Si la moneda cayó cabezas entonces 2a se pone en Envelope B, si la moneda cayó Tails entonces a/2 se pone en Envelope B. Si el jugador era consciente de este mecanismo, y sabe que tienen Envelope A, pero no saben el resultado del lanzamiento de la moneda, y no saben a, entonces el argumento de conmutación es correcto y se recomienda cambiar sobres. Esta versión del problema fue introducida por Nalebuff (1988) y a menudo se llama el problema Ali-Baba. Observe que no hay necesidad de mirar en el sobre A para decidir si cambiar o no.

Se han introducido muchas más variantes del problema. Nickerson y Falk encuestan sistemáticamente un total de 8.

Resoluciones bayesianas

La resolución simple anterior asumió que la persona que inventó el argumento para el cambio estaba tratando de calcular el valor esperado del monto en el Sobre A, pensando en los dos montos en los sobres como fijos (x y 2x). La única incertidumbre es qué sobre tiene la cantidad menor x. Sin embargo, muchos matemáticos y estadísticos interpretan el argumento como un intento de calcular la cantidad esperada en el Sobre B, dada una cantidad real o hipotética "A" en el Sobre A. No es necesario mirar en el sobre para ver cuánto hay allí para poder hacer el cálculo. Si el resultado del cálculo es un consejo para cambiar de sobre, cualquiera que sea la cantidad que contenga, entonces parecería que uno debería cambiar de todos modos, sin mirar. En este caso, en los Pasos 6, 7 y 8 del razonamiento, "A" es cualquier valor fijo posible de la cantidad de dinero en el primer sobre.

Esta interpretación del problema de los dos sobres aparece en las primeras publicaciones en las que se introdujo la paradoja en su forma actual, Gardner (1989) y Nalebuff (1988).) Es común en la literatura más matemática sobre el problema. También se aplica a la modificación del problema (que parece haber comenzado con Nalebuff) en la que el propietario del sobre A realmente mira su sobre antes de decidir si cambia o no; aunque Nalebuff también enfatiza que no es necesario que el propietario del sobre A mire su sobre. Si se imagina mirando en él, y si por cualquier cantidad que pueda imaginar estar allí, tiene un argumento para cambiar, entonces decidirá cambiar de todos modos. Finalmente, esta interpretación fue también el núcleo de versiones anteriores del problema de las dos envolturas (las paradojas del cambio de Littlewood, Schrödinger y Kraitchik); consulte la sección final sobre la historia de TEP.

Este tipo de interpretación a menudo se denomina "bayesiana" porque supone que el escritor también está incorporando una distribución de probabilidad previa de posibles cantidades de dinero en los dos sobres en el argumento de cambio.

Forma simple de resolución bayesiana

La resolución simple dependió de una interpretación particular de lo que el escritor del argumento está tratando de calcular: es decir, asumió que buscaba el valor esperado (incondicional) de lo que hay en el Sobre B. En la literatura matemática En el problema de los dos sobres, es más común una interpretación diferente, que involucra el valor esperado condicional (condicional a lo que podría haber en el sobre A). Para resolver esta y otras interpretaciones o versiones relacionadas del problema, la mayoría de los autores utilizan la interpretación bayesiana de la probabilidad, lo que significa que el razonamiento probabilístico no sólo se aplica a eventos verdaderamente aleatorios como la selección aleatoria de un sobre, sino también a nuestro conocimiento (o falta de conocimiento). de conocimiento) sobre cosas que son fijas pero desconocidas, como las dos cantidades colocadas originalmente en los dos sobres, antes de que se escoja uno al azar y se llame "Sobre A". Además, según una larga tradición que se remonta al menos a Laplace y su principio de razón insuficiente, se supone que uno debe asignar probabilidades iguales cuando no se tiene conocimiento alguno sobre los valores posibles de alguna cantidad. Por tanto, el hecho de que no se nos diga nada sobre cómo se llenan los sobres ya puede convertirse en afirmaciones de probabilidad sobre estas cantidades. Ninguna información significa que las probabilidades son iguales.

En los pasos 6 y 7 del argumento de cambio, el escritor imagina que el sobre A contiene una cierta cantidad a, y luego parece creer que dada esa información, el otro sobre tendría la misma probabilidad de contener contener el doble o la mitad de esa cantidad. Esa suposición sólo puede ser correcta si, antes de saber lo que había en el Sobre A, el escritor hubiera considerado igualmente probables los siguientes dos pares de valores para ambos sobres: las cantidades a/2 y un; y las cantidades a y 2a. (Esto se sigue de la regla de Bayes en forma de probabilidades: las probabilidades posteriores son iguales a las probabilidades anteriores multiplicadas por la razón de verosimilitud). Pero ahora podemos aplicar el mismo razonamiento, imaginando no a sino a/2 en el Sobre A. Y de manera similar, para 2a. Y de manera similar, hasta el infinito, reduciendo a la mitad o duplicando repetidamente tantas veces como desee.

Supongamos que, a efectos de argumentación, comenzamos imaginando una cantidad de 32 en el sobre A. Para que el razonamiento en los pasos 6 y 7 sea correcto cualquiera cantidad que haya en el sobre A, aparentemente creemos de antemano que las diez cantidades siguientes tienen la misma probabilidad de ser las menores de las dos cantidades contenidas en los dos sobres: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 (igualmente probable potencias de 2). Pero si se trata de cantidades aún mayores o incluso menores, la probabilidad "igualmente probable" La suposición comienza a parecer un poco irrazonable. Supongamos que nos detenemos, sólo con estas diez posibilidades igualmente probables para la cantidad menor en los dos sobres. En ese caso, el razonamiento en los pasos 6 y 7 era completamente correcto si el sobre A contuviera cualquiera de las cantidades 2, 4,... 512: cambiar los sobres daría una ganancia esperada (promedio) del 25%. Si el sobre A contiene la cantidad 1, entonces la ganancia esperada es en realidad del 100%. Pero si contuviera la cantidad 1024, se habría incurrido en una enorme pérdida del 50% (de una cantidad bastante grande). Eso sólo ocurre una vez cada veinte veces, pero es exactamente suficiente para equilibrar las ganancias esperadas en las otras 19 de 20 veces.

Alternativamente, continuamos hasta el infinito, pero ahora estamos trabajando con una suposición bastante ridícula, lo que implica, por ejemplo, que es infinitamente más probable que la cantidad en el sobre A sea menor que 1, y es infinitamente más probable que sea mayor que 1024 que entre esos dos valores. Ésta es la llamada distribución previa impropia: el cálculo de probabilidades falla; Los valores esperados ni siquiera están definidos.

Muchos autores también han señalado que si existe una suma máxima que se puede poner en el sobre con la cantidad menor, entonces es muy fácil ver que el Paso 6 se rompe, ya que si el jugador tiene más de la suma máxima que se puede poner en el "más pequeño" sobre, deben contener el sobre que contiene la suma mayor y, por lo tanto, es seguro que perderán al cambiar. Puede que esto no ocurra con frecuencia, pero cuando sucede, la gran pérdida que sufre el jugador significa que, en promedio, no hay ninguna ventaja al cambiar. Algunos autores consideran que esto resuelve todos los casos prácticos del problema.

Pero el problema también se puede resolver matemáticamente sin asumir una cantidad máxima. Nalebuff, Christensen y Utts, Falk y Konold, Blachman, Christensen y Utts, Nickerson y Falk, señalaron que si las cantidades de dinero en los dos sobres tienen alguna distribución de probabilidad adecuada que represente las creencias previas del jugador sobre las cantidades de dinero en los dos sobres, entonces es imposible que cualquiera que sea la cantidad A=a en el primer sobre, sea igualmente probable, según estas creencias previas, que el segundo contenga a/2 o 2a. Por lo tanto, el paso 6 del argumento, que conduce a cambiar siempre, es un non-sequitur, incluso cuando no hay un máximo para las cantidades en los sobres.

Introducción a futuros desarrollos relacionados con la teoría de probabilidad bayesiana

Las dos primeras resoluciones discutidas anteriormente (la "resolución simple" y la "resolución bayesiana") corresponden a dos posibles interpretaciones de lo que está sucediendo en el paso 6 del argumento. Ambos suponen que el paso 6 es, en efecto, "el mal paso". Pero la descripción del paso 6 es ambigua. ¿Está el autor detrás del valor esperado incondicional (general) de lo que está en el sobre B (quizás - condicional a la cantidad menor, x), o está detrás de la expectativa condicional de lo que está en el sobre B? dada cualquier cantidad posible a que podría estar en el sobre A? Así, hay dos interpretaciones principales de la intención del compositor del argumento paradójico a favor del cambio, y dos resoluciones principales.

Se ha desarrollado una gran literatura sobre variantes del problema. La suposición estándar sobre la forma en que se colocan los sobres es que en un sobre hay una suma de dinero y en otro sobre el doble de esa suma. Uno de los dos sobres se entrega aleatoriamente al jugador (sobre A). El problema propuesto originalmente no deja claro exactamente cómo se determina la menor de las dos sumas, qué valores podría tomar y, en particular, si existe una suma mínima o máxima que podría contener. Sin embargo, si utilizamos la interpretación bayesiana de la probabilidad, comenzamos expresando nuestras creencias previas sobre la cantidad más pequeña en las dos envolventes a través de una distribución de probabilidad. La falta de conocimiento también se puede expresar en términos de probabilidad.

Una primera variante dentro de la versión Bayesian es llegar a una adecuada distribución de probabilidad previa de la cantidad más pequeña de dinero en los dos sobres, de tal manera que cuando el Paso 6 se realiza correctamente, el consejo es todavía preferir Envelope B, lo que podría estar en Envelope A. Por lo tanto, aunque el cálculo específico realizado en el paso 6 fue incorrecto (no hay una distribución previa adecuada de tal manera que, dado lo que está en el primer sobre A, el otro sobre siempre es igualmente probable que sea más grande o más pequeño) un cálculo correcto, dependiendo de qué antes estamos usando, conduce al resultado a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">E()BSilencioA=a)■a{displaystyle E(B tuberculosisA=a)}a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f771f56940aeff75118b8b857faf37e8c380a8" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.395ex; height:2.843ex;"/> para todos los valores posibles a.

En estos casos, se puede demostrar que la suma esperada en ambas sobres es infinita. En promedio, no se obtiene ninguna ganancia con el intercambio.

Segunda variante matemática

Aunque la teoría de probabilidad bayesiana puede resolver la primera interpretación matemática de la paradoja anterior, resulta que se pueden encontrar ejemplos de distribuciones de probabilidad adecuadas, tales como que el valor esperado de la cantidad en el segundo sobre, condicionado a la cantidad en el primero, excede la cantidad del primero, cualquiera que sea. El primer ejemplo de este tipo ya lo dio Nalebuff. Véase también Christensen y Utts (1992).

Denota nuevamente la cantidad de dinero en el primer sobre con A y la del segundo con B. Pensamos que estos son aleatorios. Sea X la menor de las dos cantidades y Y=2X la mayor. Observe que una vez que hemos fijado una distribución de probabilidad para X entonces la distribución de probabilidad conjunta de A, B es fija, ya que A, B = X, Y o Y, X cada uno con probabilidad 1/2, independientemente de X, Y.

El mal paso 6 en la estrategia "siempre cambiando" El argumento nos llevó a encontrar E(B|A=a)>a para todo a y, por lo tanto, a la recomendación de cambiar, sepamos o no un. Ahora resulta que es muy fácil inventar distribuciones de probabilidad adecuadas para X, la menor de las dos cantidades de dinero, de modo que esta mala conclusión siga siendo cierta. Un ejemplo se analiza con más detalle en un momento.

Como se mencionó anteriormente, no puede ser cierto que cualquier a, dado A=a, B tenga la misma probabilidad de ser a/2 o 2a, pero puede ser cierto que sea cual sea a, dado A=a, B tiene un valor esperado mayor que a.

Supongamos, por ejemplo, que el sobre con la cantidad menor en realidad contiene 2ⁿ dólares con probabilidad 2ⁿ /3ⁿ⁺¹ donde n = 0, 1, 2,... Estas probabilidades suman 1, por lo tanto, la distribución es adecuada anterior (para subjetivistas) y una ley de probabilidad completamente decente también para frecuentistas.

Imagínese lo que podría haber en el primer sobre. Sin duda, una estrategia sensata sería intercambiar cuando el primer sobre contiene 1, ya que el otro debe contener 2. Supongamos, por otro lado, que el primer sobre contiene 2. En ese caso, hay dos posibilidades: el par de sobres que tenemos delante es {1, 2} o {2, 4}. Todos los demás pares son imposibles. La probabilidad condicional de que estemos tratando con el par {1, 2}, dado que el primer sobre contiene 2, es

P(){}1,2}▪ ▪ 2)=P(){}1,2})/2P(){}1,2})/2+P(){}2,4})/2=P(){}1,2})P(){}1,2})+P(){}2,4})=1/31/3+2/9=3/5,{displaystyle {begin{aligned}P({1,2}mid 2) ventaja={frac {P({1,2})/2}{P({1,2})/2+P({2,4})/2}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {P({1,2})}{(1,2})+P({2,4}}\\\\fn}\\\\\fnMic={fnMiccHFF})}}\\\\\\fnMicfnMiccH0} {1/3}{1/3+2/9}=3/5,end{aligned}}

y consecuentemente la probabilidad es el {2, 4} par es 2/5, ya que estas son las únicas dos posibilidades. En esta derivación, P(){}1,2})/2{displaystyle P({1,2})/2} es la probabilidad de que el par de sobre sea el par 1 y 2, y sobre A resulta que contiene 2; P(){}2,4})/2{displaystyle P({2,4})/2} es la probabilidad de que el par de sobre sea el par 2 y 4, y (de nuevo) sobre A sucede que contiene 2. Esas son las únicas dos maneras que el sobre A puede terminar conteniendo la cantidad 2.

Resulta que estas proporciones se mantienen en general a menos que el primer sobre contenga 1. Denotemos por a la cantidad que imaginamos encontrar en el sobre A, si abriéramos ese sobre, y supongamos que a = 2ⁿ para algún n ≥ 1. En ese caso el otro sobre contiene a/2 con probabilidad 3/5 y 2a con probabilidad 2/5.

Entonces, el primer sobre contiene 1, en cuyo caso la cantidad esperada condicional en el otro sobre es 2, o el primer sobre contiene a > 1, y aunque es más probable que el segundo sobre sea más pequeño que grande, su monto esperado condicionalmente es mayor: el monto esperado condicionalmente en el Sobre B es

35a2+252a=1110a{displaystyle {frac}{5}{frac} {fnMicroc} {fnK}}} {fn}}}} {fn}}} {fnK}}}} {fnMicroc}}}}}}} {fnK}}}}} {fnKf}}}}}}}}}} {f}f}}}}}}}}}}}}}fnfnfnfnf}f}f}f}f}fnKfnKfnKfnfnf}}fnfnfnfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnfnKfnfnKfnKfnKfnKfnKfnfnKfnKf}}}}}}}}}}fn {a}{2}+{frac} {2}{5}2a={frac {11}{10}a}

que es más que a. Esto significa que el jugador que mire el sobre A decidirá cambiar lo que haya visto allí. Por tanto, no es necesario mirar el sobre A para tomar esa decisión.

Esta conclusión es tan claramente errónea como lo fue en las interpretaciones anteriores del problema de las dos envolturas. Pero ahora los defectos señalados anteriormente no se aplican; la a en el cálculo del valor esperado es una constante y las probabilidades condicionales en la fórmula se obtienen a partir de una distribución previa específica y adecuada.

Propuestas de resolución a través de la economía matemática

La mayoría de los escritores creen que la nueva paradoja puede ser desactivada, aunque la resolución requiere conceptos de la economía matemática. Suppose a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">E()BSilencioA=a)■a{displaystyle E(B tuberculosisA=a)}a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f771f56940aeff75118b8b857faf37e8c380a8" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.395ex; height:2.843ex;"/> para todos a{displaystyle a}. Se puede demostrar que esto es posible para algunas distribuciones de probabilidad de X (la menor cantidad de dinero en los dos sobres) sólo si E()X)=JUEGO JUEGO {displaystyle E(X)=infty }. Es decir, sólo si la media de todos los valores posibles del dinero en los sobres es infinita. Para ver por qué, compare la serie descrita anteriormente en la que la probabilidad de cada X es 2/3 tan probable como el anterior X con una en la que la probabilidad de cada X es sólo 1/3 tan probable como el anterior X. Cuando la probabilidad de cada término posterior es mayor que la mitad de la probabilidad del término anterior (y cada X es el doble de la X antes de él) la media es infinita, pero cuando el factor de probabilidad es inferior a la mitad, la media converge. En los casos en que el factor de probabilidad es inferior a la mitad, <math alttext="{displaystyle E(B|A=a)E()BSilencioA=a)c)a{displaystyle E(B habitA=a)<img alt="{displaystyle E(B|A=a) para todos a más que el primero, más pequeño a, y el valor total esperado de conmutación converge a 0. Además, si una distribución continua con un factor de probabilidad superior a la mitad se hace finita por, después de cualquier número de términos, establecer un término final con "toda la probabilidad restante", es decir, 1 menos la probabilidad de todos los términos anteriores, el valor esperado de cambiar con respecto a la probabilidad de que A es igual al último, mayor a negará exactamente la suma de los valores esperados positivos que llegaron antes, y nuevamente el valor total esperado de cambiar gotas a 0 (este es el caso general de establecer una probabilidad igual de un conjunto finito de valores en los sobres descritos anteriormente). Así, las únicas distribuciones que parecen apuntar a un valor esperado positivo para cambiar son aquellas en las que E()X)=JUEGO JUEGO {displaystyle E(X)=infty }. Promedio sobre a, sigue que E()B)=E()A)=JUEGO JUEGO {displaystyle E(B)=E(A)=infty } (porque A y B tienen distribuciones de probabilidad idénticas, por simetría, y ambas A y B son mayores o iguales X).

Si no miramos en el primer sobre, entonces claramente no hay razón para cambiar, ya que estaríamos intercambiando una cantidad desconocida de dinero (A), cuyo valor esperado es infinito, por otra cantidad desconocida de dinero (B), con la misma distribución de probabilidad y el valor esperado infinito. Sin embargo, si miramos en el primer sobre, entonces para todos los valores observados (A=a{displaystyle A=a) queremos cambiar porque a}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">E()BSilencioA=a)■a{displaystyle E(B tuberculosisA=a)}a}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6f771f56940aeff75118b8b857faf37e8c380a8" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.395ex; height:2.843ex;"/> para todos a. Como señaló David Chalmers, este problema puede describirse como un fracaso del razonamiento dominante.

Bajo el razonamiento dominante, el hecho de que preferimos estrictamente A a B para todos los valores observados posibles a debe implicar que preferimos estrictamente A a B sin observar a; sin embargo, como ya se ha demostrado, eso no es cierto porque E()B)=E()A)=JUEGO JUEGO {displaystyle E(B)=E(A)=infty }. Salvar el razonamiento dominante mientras permite E()B)=E()A)=JUEGO JUEGO {displaystyle E(B)=E(A)=infty }, uno tendría que sustituir el valor esperado como el criterio de decisión, empleando así un argumento más sofisticado de la economía matemática.

Por ejemplo, podríamos asumir que la toma de decisiones es un maximizador de utilidad esperado con riqueza inicial W cuya función de utilidad, u()w){displaystyle u(w)}, es elegido para satisfacer <math alttext="{displaystyle E(u(W+B)|A=a)E()u()W+B)SilencioA=a)c)u()W+a){displaystyle E(u(W+B)<img alt="{displaystyle E(u(W+B)|A=a) por al menos algunos valores a (es decir, aferrarse a A=a{displaystyle A=a es estrictamente preferido cambiar a B para algunos a). Aunque esto no es cierto para todas las funciones de utilidad, sería cierto si u()w){displaystyle u(w)} tenía un límite superior, <math alttext="{displaystyle beta β β c)JUEGO JUEGO {displaystyle beta]<img alt="{displaystyle beta , como w aumentó hacia el infinito (una suposición común en la economía matemática y la teoría de la decisión). Michael R. Powers proporciona las condiciones necesarias y suficientes para la función de utilidad para resolver la paradoja, y señala que ninguno <math alttext="{displaystyle u(w)u()w)c)β β {displaystyle u(w)<img alt="{displaystyle u(w) ni <math alttext="{displaystyle E(u(W+A))=E(u(W+B))E()u()W+A))=E()u()W+B))c)JUEGO JUEGO {displaystyle E(u(W+A)=E(u(W+B))<img alt="{displaystyle E(u(W+A))=E(u(W+B)) es necesario.

Algunos escritores preferirían argumentar que en una situación real, u()W+A){displaystyle u(W+A)} y u()W+B){displaystyle u(W+B)} están obligados simplemente porque la cantidad de dinero en un sobre está ligada por la cantidad total de dinero en el mundo (M), implicando u()W+A)≤ ≤ u()W+M){displaystyle u(W+A)leq u(W+M)} y u()W+B)≤ ≤ u()W+M){displaystyle u(W+B)leq u(W+M)}. Desde esta perspectiva, la segunda paradoja se resuelve porque la distribución de probabilidad postulada X (con E()X)=JUEGO JUEGO {displaystyle E(X)=infty }) no puede surgir en una situación real. A menudo se utilizan argumentos similares para resolver la paradoja de San Petersburgo.

Controversia entre filósofos

Como se mencionó anteriormente, cualquier distribución que produzca esta variante de la paradoja debe tener una media infinita. Entonces, antes de que el jugador abra un sobre, la ganancia esperada del cambio es "∞ − ∞", que no está definida. En palabras de David Chalmers, esto es "sólo otro ejemplo de un fenómeno familiar, el extraño comportamiento del infinito". Chalmers sugiere que la teoría de la decisión generalmente fracasa cuando se enfrenta a juegos que tienen expectativas divergentes, y la compara con la situación generada por la clásica paradoja de San Petersburgo.

Sin embargo, Clark y Shackel sostienen que culpar de todo al "extraño comportamiento del infinito" no resuelve la paradoja en absoluto; ni en el caso único ni en el caso promediado. Proporcionan un ejemplo simple de un par de variables aleatorias que tienen media infinita pero donde es claramente sensato preferir una a la otra, tanto condicionalmente como en promedio. Sostienen que la teoría de la decisión debería ampliarse para permitir valores de expectativa infinitos en algunas situaciones.

Variante no probabilística de Smullyan

El lógico Raymond Smullyan cuestionó si la paradoja tiene algo que ver con las probabilidades. Lo hizo expresando el problema de una manera que no involucra probabilidades. Los siguientes argumentos claramente lógicos conducen a conclusiones contradictorias:

1. Deje que la cantidad en el sobre elegido por el jugador sea A. Al cambiar, el jugador puede ganar A o perder A/2. Así que la ganancia potencial es estrictamente mayor que la pérdida potencial.
2. Que las cantidades en los sobres sean X y 2X. Ahora intercambiando, el jugador puede ganar X o perder X. Así que la ganancia potencial es igual a la pérdida potencial.

Resoluciones propuestas

Se han propuesto varias soluciones. Algunos lógicos han realizado análisis cuidadosos. Aunque las soluciones difieren, todas señalan cuestiones semánticas relacionadas con el razonamiento contrafáctico. Queremos comparar la cantidad que ganaríamos al cambiar si ganáramos al cambiar, con la cantidad que perderíamos al cambiar si realmente perdiéramos al cambiar. Sin embargo, no podemos ganar y perder cambiando al mismo tiempo. Se nos pide que comparemos dos situaciones incompatibles. Sólo una de ellas puede ocurrir de hecho; la otra es una situación contrafáctica, de algún modo imaginaria. Para compararlos, debemos de alguna manera "alinear" las dos situaciones, proporcionando algunos puntos definidos en común.

James Chase sostiene que el segundo argumento es correcto porque sí corresponde a la forma de alinear dos situaciones (una en la que ganamos, la otra en la que perdemos), que está indicada preferiblemente en la descripción del problema. Bernard Katz y Doris Olin también defienden este punto de vista. En el segundo argumento, consideramos fijas las cantidades de dinero contenidas en los dos sobres; lo que varía es cuál se le da primero al jugador. Debido a que fue una elección arbitraria y física, el mundo contrafactual en el que el jugador, contrafactualmente, obtuvo el otro sobre del que realmente (factualmente) le dieron es un mundo contrafactual altamente significativo y de ahí la comparación. entre ganancias y pérdidas en los dos mundos es significativa. Esta comparación se indica de forma única en la descripción del problema, en la que primero se colocan dos cantidades de dinero en los dos sobres, y sólo después se elige una de ellas arbitrariamente y se la entrega al jugador. En el primer argumento, sin embargo, consideramos fija la cantidad de dinero en el sobre entregado primero al jugador y consideramos las situaciones en las que el segundo sobre contiene la mitad o el doble de esa cantidad. Este sólo sería un mundo contrafáctico razonable si en realidad los sobres se hubieran llenado de la siguiente manera: primero, se coloca una cierta cantidad de dinero en el sobre específico que se entregará al jugador; y en segundo lugar, mediante algún proceso arbitrario, el otro sobre se llena (arbitraria o aleatoriamente) con el doble o con la mitad de esa cantidad de dinero.

Byeong-Uk Yi, por otro lado, sostiene que comparar la cantidad que ganaría si ganara cambiando con la cantidad que perdería si perdiera cambiando es un ejercicio sin sentido desde el principio. Según su análisis, las tres implicaciones (cambiar, indiferente, no cambiar) son incorrectas. Analiza en detalle los argumentos de Smullyan, muestra que se están tomando pasos intermedios y señala exactamente dónde se hace una inferencia incorrecta de acuerdo con su formalización de la inferencia contrafáctica. Una diferencia importante con el análisis de Chase es que no tiene en cuenta la parte de la historia en la que se nos dice que el sobre llamado sobre A se decide completamente al azar. Por lo tanto, Chase vuelve a incluir la probabilidad en la descripción del problema para concluir que los argumentos 1 y 3 son incorrectos, el argumento 2 es correcto, mientras que Yi mantiene el "problema de dos sobres sin probabilidad" completamente libre de probabilidad y llega a la conclusión de que no hay razones para preferir ninguna acción. Esto corresponde a la opinión de Albers et al., de que sin un ingrediente de probabilidad, de todos modos no hay manera de argumentar que una acción es mejor que otra.

Bliss sostiene que la fuente de la paradoja es que cuando uno cree erróneamente en la posibilidad de una recompensa mayor que, en realidad, no existe, se equivoca por un margen mayor que cuando cree en la posibilidad de una recompensa menor. recompensa que en realidad no existe. Si, por ejemplo, los sobres contenían $5,00 y $10,00 respectivamente, un jugador que abriera el sobre de $10,00 esperaría la posibilidad de un pago de $20,00 que simplemente no existe. Si ese jugador abriera el sobre de $5,00, creería en la posibilidad de un pago de $2,50, lo que constituye una desviación menor del valor real; esto da como resultado la discrepancia paradójica.

Albers, Kooi y Schaafsma consideran que sin añadir probabilidad (u otros) ingredientes al problema, los argumentos de Smullyan no dan ninguna razón para intercambiar o no intercambiar, en cualquier caso. Por tanto, no hay ninguna paradoja. Esta actitud desdeñosa es común entre los escritores de probabilidad y economía: la paradoja de Smullyan surge precisamente porque no tiene en cuenta en absoluto la probabilidad o la utilidad.

Conmutación condicional

Como extensión del problema, considere el caso en el que al jugador se le permite mirar el sobre A antes de decidir si desea cambiar. En este "cambio condicional" problema, a menudo es posible generar una ganancia sobre la opción "nunca cambiar". estrategia", dependiendo de la distribución de probabilidad de los sobres.

Historia de la paradoja

La paradoja del sobre se remonta al menos a 1953, cuando el matemático belga Maurice Kraitchik propuso un rompecabezas en su libro Matemáticas recreativas sobre dos hombres igualmente ricos que se encuentran y comparan sus hermosas corbatas, regalos de sus esposas. , preguntándose qué corbata cuesta realmente más dinero. También introduce una variante en la que los dos hombres comparan el contenido de sus bolsos. Supone que es igualmente probable que cada bolso contenga desde 1 hasta un gran número x de centavos, el número total de centavos acuñados hasta la fecha. Los hombres no miran en sus bolsos, pero cada uno de ellos razona que deberían cambiar. No explica cuál es el error en su razonamiento. No está claro si el rompecabezas ya apareció en una edición anterior de su libro de 1942. También se menciona en un libro de 1953 sobre matemáticas elementales y acertijos matemáticos del matemático John Edensor Littlewood, quien lo atribuyó al físico Erwin Schrödinger, donde se trata de una baraja de cartas, cada carta tiene dos números escritos, el jugador recibe para ver un lado aleatorio de una carta aleatoria, y la pregunta es si uno debe darle la vuelta a la carta. La baraja de cartas de Littlewood es infinitamente grande y su paradoja es una paradoja de distribuciones previas inadecuadas.

Martin Gardner popularizó el rompecabezas de Kraitchik en su libro de 1982 ¡Ajá! Gotcha, en forma de juego de billetera:

Dos personas, igualmente ricas, se reúnen para comparar el contenido de sus carteras. Cada uno ignora el contenido de las dos carteras. El juego es el siguiente: Quien tiene el menor dinero recibe el contenido de la billetera del otro (en el caso en que las cantidades sean iguales, nada sucede). Uno de los dos hombres puede razonar: "Tengo la cantidad A en mi billetera. Es lo máximo que podría perder. Si gano (probabilidad 0.5), la cantidad que tendré en mi posesión al final del juego será más de 2A. Por lo tanto el juego es favorable para mí." El otro hombre puede razonar exactamente de la misma manera. De hecho, por simetría, el juego es justo. ¿Dónde está el error en el razonamiento de cada hombre?

—Martin Gardner, ¡Te tengo!

Gardner confesó que, aunque, al igual que Kraitchik, podía hacer un análisis sólido que condujera a la respuesta correcta (no tiene sentido cambiar), no podía señalar claramente qué estaba mal en el razonamiento para cambiar, y Kraitchik Tampoco prestó ninguna ayuda en este sentido.

En 1988 y 1989, Barry Nalebuff presentó dos problemas diferentes de dos sobres, cada uno con un sobre que contenía el doble de lo que hay en el otro, y cada uno con el cálculo del valor esperado 5A/4. El primer artículo simplemente presenta los dos problemas. El segundo analiza muchas soluciones para ambos. El segundo de sus dos problemas es el más común hoy en día y se presenta en este artículo. Según esta versión, primero se llenan los dos sobres, luego se elige uno al azar y se llama Sobre A. Martin Gardner mencionó de forma independiente esta misma versión en su libro de 1989 Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers and the Return of Dr Matrix. La variante asimétrica de Barry Nalebuff, a menudo conocida como el problema de Ali Baba, consiste en llenar primero un sobre, llamado Sobre A, y entregárselo a Ali. Luego se lanza una moneda para decidir si el sobre B debe contener la mitad o el doble de esa cantidad, y sólo entonces se la entrega a Baba.

Broome en 1995 calificó la distribución de probabilidad de "paradójica" como "paradójica". si para cualquier cantidad determinada del primer sobre x, la expectativa del otro sobre condicionada a x es mayor que x. La literatura contiene docenas de comentarios sobre el problema, muchos de los cuales observan que una distribución de valores finitos puede tener un valor esperado infinito.

Notas y referencias