Probabilidad inversa

En teoría de la probabilidad, la probabilidad inversa es un término antiguo para la distribución de probabilidad de una variable no observada.

Hoy en día, el problema de determinar una variable no observada (por cualquier método) se llama estadística inferencial, el método de probabilidad inversa (asignar una distribución de probabilidad a una variable no observada) se llama probabilidad bayesiana, la distribución de datos dada la variable no observada es la función de verosimilitud (que por sí sola no proporciona una distribución de probabilidad para el parámetro), y la distribución de una variable no observada, dados tanto los datos como una distribución previa, es la distribución posterior. El desarrollo del campo y la terminología a partir de la "probabilidad inversa" a "probabilidad bayesiana" es descrito por Fienberg (2006).

El término "probabilidad inversa" aparece en un artículo de 1837 de De Morgan, en referencia al método de probabilidad de Laplace (desarrollado en un artículo de 1774, que descubrió y popularizó de forma independiente los métodos bayesianos, y en un libro de 1812), aunque el término "probabilidad inversa" #34; no ocurre en estos. Fisher utiliza el término en Fisher (1922), refiriéndose a "la paradoja fundamental de la probabilidad inversa" como fuente de confusión entre términos estadísticos que se refieren al verdadero valor a estimar, con el valor real al que se llega mediante el método de estimación, que está sujeto a error. Posteriormente Jeffreys utiliza el término en su defensa de los métodos de Bayes y Laplace, en Jeffreys (1939). El término "bayesiano", que desplazó a "probabilidad inversa", fue introducido por Ronald Fisher en 1950. La probabilidad inversa, interpretada de diversas formas, fue el enfoque dominante de la estadística hasta el desarrollo del frecuentismo en el siglo XIX. principios del siglo XX por Ronald Fisher, Jerzy Neyman y Egon Pearson. Tras el desarrollo del frecuentismo, los términos frecuentista y bayesiano se desarrollaron para contrastar estos enfoques y se volvieron comunes en la década de 1950.

Detalles

En términos modernos, dada una distribución de probabilidad p(x|θ) para una cantidad observable x condicional a una variable no observada θ, la "probabilidad inversa" es la distribución posterior p(θ|x), que depende tanto de la función de probabilidad (la inversión de la distribución de probabilidad) como de una distribución previa. La distribución p(x|θ) en sí misma se denomina probabilidad directa.

El problema de probabilidad inversa (en los siglos XVIII y XIX) era el problema de estimar un parámetro a partir de datos experimentales en las ciencias experimentales, especialmente en la astronomía y la biología. Un ejemplo sencillo sería el problema de estimar la posición de una estrella en el cielo (en un momento determinado en una fecha determinada) con fines de navegación. Dados los datos, se debe estimar la posición real (probablemente promediando). Este problema ahora se consideraría uno de estadística inferencial.

Los términos "probabilidad directa" y "probabilidad inversa" estuvieron en uso hasta mediados del siglo XX, cuando los términos "función de probabilidad" y "distribución posterior" se volvió frecuente.