Principios matemáticos

La página de título del acortado Principia Mathematica a ✸56

✸54.43: "De esta proposición seguirá, cuando se ha definido la adición aritmética, que 1 + 1 = 2." – Volumen I, 1a edición, p. 379 (p. 362 en 2a edición; p. 360 en versión abreviada). (La prueba se completa en el Volumen II, primera edición, página 86, acompañado por el comentario, "La proposición anterior es ocasionalmente útil". Siguen diciendo "Se utiliza al menos tres veces, en ✸113.66 y ✸120.123.472.")

Los Principia Mathematica (a menudo abreviado PM) es un trabajo de tres volúmenes sobre los fundamentos de las matemáticas. escrito por los matemáticos y filósofos Alfred North Whitehead y Bertrand Russell y publicado en 1910, 1912 y 1913. En 1925-1927, apareció en una segunda edición con una importante Introducción a la segunda edición, una Apéndice A que reemplazó al ✸9 y los nuevos Apéndice B y Apéndice C. PM no debe confundirse con Los principios de las matemáticas de Russell de 1903. PM se concibió originalmente como una secuela de los Principios de Russell de 1903, pero como afirma PM, se convirtió en una sugerencia impracticable para la práctica. y razones filosóficas: "Originalmente pretendíamos que el presente trabajo estuviera incluido en un segundo volumen de Principles of Mathematics... Pero a medida que avanzábamos, se hizo cada vez más evidente que el tema es uno mucho más grande de lo que habíamos supuesto; además, sobre muchas cuestiones fundamentales que habían quedado oscuras y dudosas en el trabajo anterior, hemos llegado ahora a lo que creemos que son soluciones satisfactorias."

PM, según su introducción, tenía tres objetivos: (1) analizar en la mayor medida posible las ideas y métodos de la lógica matemática y minimizar el número de nociones primitivas, axiomas y reglas de inferencia; (2) expresar con precisión proposiciones matemáticas en lógica simbólica usando la notación más conveniente que permita la expresión precisa; (3) resolver las paradojas que plagaron la lógica y la teoría de conjuntos a principios del siglo XX, como la paradoja de Russell.

Este tercer objetivo motivó la adopción de la teoría de tipos en PM. La teoría de tipos adopta restricciones gramaticales en las fórmulas que descartan la comprensión irrestricta de clases, propiedades y funciones. El efecto de esto es que fórmulas como las que permitirían la comprensión de objetos como el conjunto de Russell resultan mal formadas: violan las restricciones gramaticales del sistema de PM.

No hay duda de que PM es de gran importancia en la historia de las matemáticas y la filosofía: como ha señalado Irvine, despertó el interés en la lógica simbólica y avanzó en el tema al popularizarlo; mostró los poderes y capacidades de la lógica simbólica; y mostró cómo los avances en la filosofía de las matemáticas y la lógica simbólica podían ir de la mano con tremenda fecundidad. De hecho, PM fue provocado en parte por un interés en el logicismo, la visión según la cual todas las verdades matemáticas son verdades lógicas. Fue en parte gracias a los avances realizados en PM que, a pesar de sus defectos, se lograron numerosos avances en meta-lógica, incluidos los teoremas de incompletitud de Gödel.

A pesar de todo eso, las notaciones PM no se usan mucho en la actualidad: probablemente la razón principal de esto es que los matemáticos practicantes tienden a suponer que la Fundación de fondo es una forma del sistema de conjunto de Zermelo-Fraenkel teoría. No obstante, el interés académico, histórico y filosófico en PM es grande y continuo: por ejemplo, Modern Library lo colocó en el puesto 23 en una lista de los 100 mejores libros de no ficción en inglés del siglo XX. También hay varios artículos sobre el trabajo en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford revisada por pares y los investigadores académicos continúan trabajando con Principia, ya sea por la razón histórica de comprender el texto o por su autores, o por razones matemáticas de comprensión o desarrollo del sistema lógico de Principia'.

Alcance de las bases puestas

Los Principia cubrían solo la teoría de conjuntos, los números cardinales, los números ordinales y los números reales. No se incluyeron teoremas más profundos del análisis real, pero al final del tercer volumen quedó claro para los expertos que una gran cantidad de matemáticas conocidas podría en principio desarrollarse en el formalismo adoptado. También estaba claro cuán largo sería tal desarrollo.

Se había planeado un cuarto volumen sobre los fundamentos de la geometría, pero los autores admitieron que se habían agotado intelectualmente al terminar el tercero.

Base teórica

Como se señala en la crítica de la teoría de Kurt Gödel (abajo), a diferencia de una teoría formalista, la teoría "logicista" la teoría de PM no tiene una "enunciación precisa de la sintaxis del formalismo". Además, en la teoría, es casi inmediatamente observable que las interpretaciones (en el sentido de la teoría de modelos) se presentan en términos de valores de verdad para el comportamiento de los símbolos &# 34;⊢" (afirmación de la verdad), "~" (no lógico), y "V" (OR inclusivo lógico).

Valores de verdad: PM incorpora las nociones de "verdad" y "falsedad" en la noción "proposición primitiva". Una teoría formalista cruda (pura) no proporcionaría el significado de los símbolos que forman una "proposición primitiva": los símbolos en sí mismos podrían ser absolutamente arbitrarios y desconocidos. La teoría especificaría solo cómo se comportan los símbolos en función de la gramática de la teoría. Luego, más tarde, mediante asignación de "valores", un modelo especificaría una interpretación de lo que dicen las fórmulas. Así, en el símbolo formal de Kleene establecido a continuación, la "interpretación" de lo que los símbolos significan comúnmente y, por implicación, cómo terminan usándose, se da entre paréntesis, por ejemplo, "¬ (no)". Pero esta no es una teoría formalista pura.

Construcción contemporánea de una teoría formal

Lista de propuestas a que se hace referencia por nombres

La siguiente teoría formalista se ofrece como contraste con la teoría logicista de PM. Un sistema formal contemporáneo se construiría de la siguiente manera:

1. Símbolos utilizados: Este conjunto es el conjunto inicial, y otros símbolos pueden aparecer pero sólo por definición de estos símbolos iniciales. Un conjunto inicial podría ser el siguiente conjunto derivado de Kleene 1952: símbolos lógicos: "→" (implies, IF-THEN, y "llave"), "cliente" (y), "V" (o), "¬" (no), "Primero" (para todos), "∃" (existe); símbolo predicado "=" (igualdad); símbolos de función "+" (adiciones aritméticas), "•" (multación aritmética), "" (sucesor); símbolo individual "0" (cero); variables "a", "b", "c", etc.; y parentheses "(" y ")".
2. Cadenas de símbolos: La teoría construirá "estrings" de estos símbolos por concatenación (juxtaposición).
3. Reglas de formación: La teoría especifica las reglas de sintaxis (reglas de gramática) generalmente como una definición recursiva que comienza con "0" y especifica cómo construir cadenas aceptables o "fórmulas bien formadas" (wffs). Esto incluye una regla para la "sustitución" de cuerdas para los símbolos llamados "variables".
4. Reglas de transformación: Los axiomas que especifican los comportamientos de los símbolos y secuencias de símbolos.
5. Estado de inferencia, desprendimiento, modus ponens : La regla que permite que la teoría "delegar" una "conclusión" de los "premisos" que le llevaron, y posteriormente descartar los "premisos" (símbolos a la izquierda de la línea, o símbolos por encima de la línea si horizontal). Si este no fuera el caso, entonces la sustitución resultaría en cadenas más largas y más largas que deben llevarse adelante. De hecho, después de la aplicación de modus ponens, nada queda sino la conclusión, el resto desaparece para siempre.
   Las teorías contemporáneas a menudo especifican como su primer axioma el clásico o modus ponentes o "la regla del desprendimiento":
   A, A. B Silencio B
   El símbolo "con" se escribe generalmente como una línea horizontal, aquí "esfera" significa "impresiones". Los símbolos A y B son "stand-ins" para cadenas; esta forma de notación se llama un "esquema de axioma" (es decir, hay un número contable de formas específicas que la notación podría tomar). Esto se puede leer de una manera similar a IF-THEN pero con una diferencia: dada la cadena de símbolo IF A y A implicación B Entonces B (y conservar sólo B para su ulterior uso). Pero los símbolos no tienen "interpretación" (por ejemplo, ninguna " tabla de verdad" o "valores de verdad" o "funciones de verdad") y modus ponens procede mecanicistamente, por gramática sola.

Construcción

La teoría de PM tiene similitudes significativas y diferencias similares con una teoría formal contemporánea. Kleene afirma que "esta deducción de las matemáticas a partir de la lógica se ofreció como axiomática intuitiva". Los axiomas estaban destinados a ser creídos, o al menos aceptados como hipótesis plausibles sobre el mundo. De hecho, a diferencia de una teoría formalista que manipula los símbolos de acuerdo con las reglas de la gramática, PM introduce la noción de "valores de verdad", es decir, verdad y falsedad en el real- sentido del mundo, y la "afirmación de la verdad" casi inmediatamente como los elementos quinto y sexto en la estructura de la teoría (PM 1962:4–36):

1. Variables
2. Usos de diversas letras
3. Las funciones fundamentales de las proposiciones: "La Función Contradictoria" simbolizada por "~" y la "Suma Logical o Función Disjuntiva" simbolizada por "Dirimen" siendo tomada como implicación primitiva y lógica definida (el siguiente ejemplo también se utilizó para ilustrar 9. Definición infra)
   p. q .=. ~ p Alternativa q Df. ()PM 1962:11)
   y producto lógico definido como
   p . q .=. ~p Alternativa ~q) Df. ()PM 1962:12)
4. Equivalencia: Lógica equivalencia, no equivalencia aritmética: "fuego" dado como demostración de cómo se utilizan los símbolos, es decir, "Así ' p ↑ q ' significa 'p. q) . ()q. p" ()PM 1962:7). Note que Debate a notación PM identifica una "meta"-notación con "[espacio]... [espacio]":
   La equivalencia lógica aparece de nuevo como definición:
   p ↑ q .=. ()p. q) . ()q. p)PM 1962:12),
   Observe la apariencia de paréntesis. Esto gramatical el uso no se especifica y aparece esporádicamente; los paréntesis juegan un papel importante en las cadenas de símbolos, sin embargo, por ejemplo, la notación "(x) "para el contemporáneox".
5. Valores de la verdad: "El valor de verdad de una propuesta es verdad si es verdad, y falsedad si es falso" (esta frase se debe a Gottlob Frege) (PM 1962:7).
6. Assertion-sign". p puede ser leído 'es verdad que'... así ': p ... q significa que es verdad p implicación q ', mientras que '. p ... q significa ' p es verdad; por lo tanto q es verdad. El primero de estos no implica necesariamente la verdad de p o de q, mientras que el segundo involucra la verdad de ambos" (PM 1962:92).
7. Inferencias: PM's versión de modus ponens.. p "y"p. q)' han ocurrido, entonces '⊦ . q ' ocurrirá si se desea ponerlo en registro. El proceso de la inferencia no puede reducirse a símbolos. Su único registro es la ocurrencia de '⊦. q " [en otras palabras, los símbolos de la izquierda desaparecen o pueden ser borrados]" ()PM 1962:9).
8. El uso de puntos
9. Definiciones: Estos usan el signo "=" con "Df" en el extremo derecho.
10. Resumen de las declaraciones anteriores: breve discusión de las ideas primitivas "~ p"y"p Alternativa q"y "⊦" prefijado a una proposición.
11. Proposiciones primitivas: los axiomas o postulados. Esto se modificó significativamente en la segunda edición.
12. Funciones propuestas: La noción de "proposición" se modificó significativamente en la segunda edición, incluyendo la introducción de proposiciones "atómicas" vinculadas por signos lógicos para formar proposiciones "moleculares", y el uso de la sustitución de proposiciones moleculares en proposiciones atómicas o moleculares para crear nuevas expresiones.
13. El rango de valores y la variación total
14. Afirmación ambigua y la variable real: Esta y las dos secciones siguientes fueron modificadas o abandonadas en la segunda edición. En particular, la distinción entre los conceptos definidos en las secciones 15. Definición y variable real y 16 Proposiciones que conectan variables reales y aparentes fue abandonado en la segunda edición.
15. Implicación formal y equivalencia formal
16. Identidad
17. Clases y relaciones
18. Diversas funciones descriptivas de las relaciones
19. Funciones descriptivas rurales
20. Clases de unidad

Ideas primitivas

Cf. PM 1962:90–94, para la primera edición:

• 1) Proposiciones elementales.
• 2) Proposiciones elementales de funciones.
• 3) Assertion: introduce las nociones de "verdad" y "falsidad".
• 4) Aserción de una función proposición.
• 5) NegaciónSi p es cualquier proposición, la proposición "no-p", o "p es falso," será representado por "~p".
• (6) DisjunciónSi p y q son cualquier proposiciones, la proposición "p o q, es decir, "ya sea p es verdad o q es cierto", donde las alternativas no son mutuamente excluyentes, serán representadas por "p Alternativa q".
• (véase la sección B)

Proposiciones primitivas

La primera edición (consulte la discusión relativa a la segunda edición, a continuación) comienza con una definición del signo "⊃"

✸1.01. p ⊃ q .=. ~ p ∨ q. DF.

✸1.1. Cualquier cosa implicada por una proposición elemental verdadera es verdadera. Pp modus ponens

(✸1.11 se abandonó en la segunda edición).

✸1.2. ⊦: p ∨ p .⊃. p. Pp principio de tautología

✸1.3. ⊦: q .⊃. p ∨ q. Pp principio de adición

✸1.4. ⊦: p ∨ q .⊃. q ∨ p. Pp principio de permutación

✸1.5. ⊦: p ∨ (q ∨ r) .⊃. q ∨ (p ∨ r). Pp principio asociativo

✸1.6. ⊦:. q ⊃ r .⊃: p ∨ q .⊃. p ∨ r. Pp principio de suma

✸1.7. Si p es una proposición elemental, ~p es una proposición elemental. pp

✸1,71. Si p y q son proposiciones elementales, p ∨ q es una proposición elemental. pp

✸1,72. Si φp y ψp son funciones proposicionales elementales que toman proposiciones elementales como argumentos, φp ∨ ψp es una proposición elemental. pp

Junto con la "Introducción a la segunda edición", el Apéndice A de la segunda edición abandona toda la sección ✸9. Esto incluye seis proposiciones primitivas ✸9 a ✸9.15 junto con los axiomas de reducibilidad.

La teoría revisada se ve dificultada por la introducción del trazo de Sheffer ("|") para simbolizar la "incompatibilidad" (es decir, si ambas proposiciones elementales p y q son verdaderas, su "trazo" p | q es falso), la NAND lógica contemporánea (no-AND). En la teoría revisada, la Introducción presenta la noción de "proposición atómica", un "dato" que "pertenece a la parte filosófica de la lógica". Estos no tienen partes que sean proposiciones y no contienen las nociones "todos" o "algunos". Por ejemplo: "esto es rojo", o "esto es anterior a eso". Tales cosas pueden existir ad finitum, es decir, incluso una "enumeración infinita" de ellos para reemplazar "generalidad" (es decir, la noción de "para todos"). PM luego "avanzar[s] a proposiciones moleculares" que están todas unidas por "el trazo". Las definiciones dan equivalencias para "~", "∨", "⊃" y ".".

La nueva introducción define "proposiciones elementales" como posiciones atómicas y moleculares juntas. Luego reemplaza todas las proposiciones primitivas ✸1.2 a ✸1.72 con una sola proposición primitiva enmarcada en términos del trazo:

"Si p, q, r son proposiciones elementales, dadas p y pSilencioqSilencior), podemos inferir r. Esta es una propuesta primitiva".

La nueva introducción mantiene la notación de "existe" (ahora reformulado como "a veces cierto") y "para todos" (reformulado como "siempre verdadero"). El Apéndice A refuerza la noción de "matriz" o "función predicativa" (una "idea primitiva", PM 1962:164) y presenta cuatro nuevas proposiciones primitivas como ✸8.1–✸8.13.

✸88. axioma multiplicativo

✸120. Axioma del infinito

Tipos ramificados y el axioma de reducibilidad

En la teoría de tipos simple, los objetos son elementos de varios "tipos" disjuntos. Los tipos se construyen implícitamente de la siguiente manera. Si τ₁,...,τ_m son tipos entonces hay un tipo (τ₁,...,τ_m) que puede considerarse como la clase de funciones proposicionales de τ₁,...,τ _m (que en teoría de conjuntos es esencialmente el conjunto de subconjuntos de τ₁×...×τ_m ). En particular, hay un tipo () de proposiciones, y puede haber un tipo ι (iota) de "individuos" a partir de la cual se construyen otros tipos. La notación de Russell y Whitehead para construir tipos a partir de otros tipos es bastante engorrosa, y la notación aquí se debe a Church.

En la teoría de tipos ramificados de PM todos los objetos son elementos de varios tipos ramificados disjuntos. Los tipos ramificados se construyen implícitamente de la siguiente manera. Si τ₁,...,τ_m,σ₁,...,σ _n son tipos ramificados entonces, como en la teoría de tipos simple, hay un tipo (τ₁,...,τ_m,σ₁,...,σ_n) de "predicativo" funciones proposicionales de τ₁,...,τ_m,σ₁,...,σ_n. Sin embargo, también existen tipos ramificados (τ₁,...,τ_m|σ₁,...,σ_n) que pueden considerarse como las clases de funciones proposicionales de τ₁,...τ_m obtenida a partir de funciones proposicionales de tipo (τ₁,...,τ_m,σ ₁,...,σ_n) cuantificando sobre σ₁,...,σ_n. Cuando n=0 (por lo que no hay σs) estas funciones proposicionales se denominan funciones predicativas o matrices. Esto puede resultar confuso porque la práctica matemática actual no distingue entre funciones predicativas y no predicativas y, en cualquier caso, PM nunca define exactamente qué es una "función predicativa" en realidad es: esto se toma como una noción primitiva.

Russell y Whitehead encontraron imposible desarrollar las matemáticas manteniendo la diferencia entre funciones predicativas y no predicativas, por lo que introdujeron el axioma de reducibilidad, diciendo que para cada función no predicativa hay una función predicativa que toma los mismos valores. En la práctica, este axioma significa esencialmente que los elementos de tipo (τ₁,...,τ_m|σ₁,...,σ_n) se pueden identificar con los elementos de tipo (τ₁,...,τ_m), lo que hace que la jerarquía de tipos ramificados se colapse hasta convertirse en una teoría de tipos simple. (Estrictamente hablando, esto no es del todo correcto, porque PM permite que dos funciones proposicionales sean diferentes incluso si toman los mismos valores en todos los argumentos; esto difiere de la práctica matemática actual en la que normalmente se identifican dos funciones de este tipo).

En la teoría de conjuntos de Zermelo, se puede modelar la teoría de tipos ramificados de PM de la siguiente manera. Se elige un conjunto ι para ser el tipo de individuos. Por ejemplo, ι puede ser el conjunto de números naturales, o el conjunto de átomos (en una teoría de conjuntos con átomos) o cualquier otro conjunto que le interese. Entonces, si τ₁,..., τ_m son tipos, el tipo (τ₁,...,τ_m) es el conjunto potencia del producto τ₁×...×τ_m, que también puede considerarse informalmente como el conjunto de funciones (predicativas proposicionales) de este producto a un conjunto de 2 elementos {verdadero, falso}. El tipo ramificado (τ₁,...,τ_m|σ₁,...,σ _n) se pueden modelar como el producto del tipo (τ₁,...,τ_m,σ₁,...,σ_n) con el conjunto de secuencias de n cuantificadores (∀ o ∃) indicando qué cuantificador se debe aplicar a cada variable σ_i. (Se puede variar esto ligeramente permitiendo que las σ se cuantifiquen en cualquier orden, o permitiendo que ocurran antes que algunas de las τ, pero esto hace poca diferencia excepto en la contabilidad).

Notación

Un autor observa que "La notación en ese trabajo ha sido reemplazada por el desarrollo posterior de la lógica durante el siglo XX, hasta el punto de que el principiante tiene problemas para leer PM"; Si bien gran parte del contenido simbólico se puede convertir a la notación moderna, la notación original en sí misma es "un tema de disputa académica", y algunas notaciones "incorporan doctrinas lógicas sustantivas de modo que no pueden simplemente ser reemplazadas por simbolismo contemporáneo".

Kurt Gödel fue duramente crítico con la notación:

"Se debe lamentar que esta primera presentación integral y completa de una lógica matemática y la derivación de las matemáticas de ella [es] tan grande falta en precisión formal en las fundaciones (contenido en ✸1–2121 de Principia [es decir, secciones ✸1–✸5 (lógica propuesta), ✸8–14 (predicar lógica con identidad/igualdad) ✸20 (introducción para establecer la teoría) y ✸21 (introducción a la teoría de las relaciones)]) que representa a este respecto un paso hacia atrás considerable en comparación con Frege. Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo. Las consideraciones sintácticas se omiten incluso en casos en que sean necesarias para el conocimiento de las pruebas".

Esto se refleja en el siguiente ejemplo de los símbolos "p", "q", "r" y "⊃" que se puede formar en la cadena "p ⊃ q ⊃ r". PM requiere una definición de lo que significa esta cadena de símbolos en términos de otros símbolos; en los tratamientos contemporáneos las "reglas de formación" (reglas sintácticas que conducen a "fórmulas bien formadas") habrían impedido la formación de esta cadena.

Fuente de la notación: Capítulo I "Explicaciones preliminares de Ideas y Notaciones" comienza con la fuente de las partes elementales de la notación (los símbolos =⊃≡−ΛVε y el sistema de puntos):

"La notación adoptada en el presente trabajo se basa en la de Peano, y las siguientes explicaciones se modelan en cierta medida en aquellas que prefija a sus Formulario Mathematico [i.e., Peano 1889]. Su uso de puntos como corchetes es adoptado, y también muchos de sus símbolos" (PM 1927:4).

PM cambió la Ɔ de Peano por ⊃, y también adoptó algunos de los símbolos posteriores de Peano, como ℩ y ι, y la práctica de Peano de poner las letras al revés.

PM adopta el signo de afirmación "⊦" del Begriffsschrift de Frege de 1879:

"(I)t may be read 'it is true that'"

Así, para afirmar una proposición p PM escribe:

". p." ()PM 1927:92)

(Observe que, como en el original, el punto de la izquierda es cuadrado y de mayor tamaño que el punto de la derecha).

La mayor parte del resto de la notación en PM fue inventada por Whitehead.

Una introducción a la notación de la "Lógica matemática de la sección A" (fórmulas ✸1–✸5.71)

PM's puntos se usan de manera similar a los paréntesis. Cada punto (o punto múltiple) representa un paréntesis izquierdo o derecho o el símbolo lógico ∧. Más de un punto indica la "profundidad" de los paréntesis, por ejemplo, ".", ":" o ":.", "::". Sin embargo, la posición del paréntesis derecho o izquierdo correspondiente no se indica explícitamente en la notación, sino que debe deducirse de algunas reglas que son complejas y, en ocasiones, ambiguas. Además, cuando los puntos representan un símbolo lógico ∧, sus operandos izquierdo y derecho deben deducirse usando reglas similares. Primero, uno tiene que decidir según el contexto si los puntos representan un paréntesis izquierdo o derecho o un símbolo lógico. Entonces uno tiene que decidir qué tan lejos está el otro paréntesis correspondiente: aquí uno continúa hasta que encuentra una mayor cantidad de puntos, o la misma cantidad de puntos a continuación que tienen igual o mayor "fuerza", o el final de la línea. Los puntos junto a los signos ⊃, ≡,∨, =Df tienen mayor fuerza que los puntos junto a (x), (∃x) y así sucesivamente, que tienen mayor fuerza que los puntos que indican un producto lógico ∧.

Ejemplo 1. La línea

✸3.4⊢ : p . q .. . p q

corresponde a

⊢ (p ∧ q) ¢ (p, q)).

Los dos puntos que se encuentran juntos inmediatamente después del signo de afirmación indican que lo que se afirma es la línea completa: dado que son dos, su alcance es mayor que el de cualquiera de los puntos individuales a su derecha. Se reemplazan por un paréntesis izquierdo donde están los puntos y un paréntesis derecho al final de la fórmula, así:

⊢ (p . q .. . p q).

(En la práctica, estos paréntesis más externos, que encierran una fórmula completa, generalmente se suprimen). El primero de los puntos individuales, que se encuentra entre dos variables proposicionales, representa la conjunción. Pertenece al tercer grupo y tiene el alcance más limitado. Aquí se reemplaza por el símbolo moderno de la conjunción "∧", por lo tanto

⊢ (p ∧ q .. . p q).

Los dos puntos individuales restantes seleccionan el conector principal de toda la fórmula. Ilustran la utilidad de la notación de puntos para seleccionar aquellos conectores que son relativamente más importantes que los que los rodean. El que está a la izquierda del "⊃" se reemplaza por un par de paréntesis, el derecho va donde está el punto y el izquierdo va lo más a la izquierda posible sin cruzarse con un grupo de puntos de mayor fuerza, en este caso los dos puntos que siguen a la afirmación- firmar, por lo tanto

⊢ (p ∧ q) . p q)

El punto a la derecha de "⊃" se sustituye por un paréntesis izquierdo que va donde está el punto y un paréntesis derecho que va lo más a la derecha sin ir más allá del ámbito ya establecido por un grupo de puntos de mayor fuerza (en este caso los dos puntos que seguían la afirmación-signo). Entonces, el paréntesis derecho que reemplaza el punto a la derecha del "⊃" se coloca delante del paréntesis derecho que reemplazó los dos puntos que siguen al signo de aserción, por lo tanto

⊢ (p ∧ q) ¢ (p, q)).

Ejemplo 2, con puntos dobles, triples y cuádruples:

✸9.521. ⊢: (∃x). φx. φx. q:.. ().x). φx. v. r:. q v r

significa

((((∃x)(φx)))) (q)))) [((((∃x) (φx))) v (r)))]

Ejemplo 3, con un punto doble que indica un símbolo lógico (del volumen 1, página 10):

p.q:q.r.p.r

significa

()p.q∧ ()q.r)p.r)

donde el punto doble representa el símbolo lógico ∧ y se puede considerar que tiene la prioridad más alta que un punto único no lógico.

Más adelante en la sección ✸14, los corchetes "[ ]" aparecen, y en las secciones ✸20 y siguientes, llaves "{ }" Aparecer. No está claro si estos símbolos tienen significados específicos o son solo para aclaración visual. Lamentablemente, el punto único (pero también ":", ":.", "::", etc.) también se utiliza para simbolizar "producto lógico" (Y lógico contemporáneo a menudo simbolizado por "&" o "∧").

La implicación lógica está representada por el "Ɔ" simplificado a "⊃", la negación lógica está simbolizada por una tilde alargada, es decir, "~" (contemporáneo "~" o "¬"), el OR lógico por "v". El símbolo "=" junto con "Df" se utiliza para indicar "se define como", mientras que en las secciones ✸13 y siguientes, "=" se define como (matemáticamente) "idéntico a", es decir, la "igualdad" matemática contemporánea; (cf. discusión en la sección ✸13). La equivalencia lógica está representada por "≡" (contemporáneo "si y solo si"); "primaria" Las funciones proposicionales se escriben de la forma habitual, por ejemplo, "f(p)", pero luego el signo de función aparece directamente antes de la variable sin paréntesis por ejemplo, "φx", "χx", etc.

Ejemplo, PM introduce la definición de "producto lógico" como sigue:

✸3.01. p . q .=. ~p v)q) Df.

Dondep . q" es el producto lógico p y q.

✸3.02. p. q. r .=. p. q . q. r Df.

Esta definición sirve simplemente para abrigar pruebas.

Traducción de las fórmulas a símbolos contemporáneos: varios autores utilizan símbolos alternativos, por lo que no se puede dar una traducción definitiva. Sin embargo, debido a críticas como la de Kurt Gödel a continuación, los mejores tratamientos contemporáneos serán muy precisos con respecto a las "reglas de formación" (la sintaxis) de las fórmulas.

La primera fórmula podría convertirse en simbolismo moderno de la siguiente manera:

()p " q)_df (~p v)q)

alternativamente

()p " q)_df (p vq)

alternativamente

()p ∧ q)_df (p vq)

etc.

La segunda fórmula podría convertirse de la siguiente manera:

()p → q → r)_df ()p → q)q → r)

Pero tenga en cuenta que esto no es (lógicamente) equivalente a (p → (q → r)) ni a ((p → q) → r), y estos dos tampoco son lógicamente equivalentes.

Una introducción a la notación de la "Sección B Teoría de variables aparentes" (fórmulas ✸8–✸14.34)

Estas secciones se refieren a lo que ahora se conoce como lógica de predicados y lógica de predicados con identidad (igualdad).

• NB: Como resultado de críticas y avances, la segunda edición de PM (1927) replaces ✸9 con un nuevo ✸8 (Apéndice A). Esta nueva sección elimina la distinción de la primera edición entre variables reales y aparentes, y elimina "la idea primitiva 'afirmación de una función proposición'. Para añadir a la complejidad del tratamiento, ✸8 introduce la noción de sustitución de una "matrix", y el trazo Sheffer:

• Matriz: En uso contemporáneo, PM's matriz es (al menos para funciones proposición), una tabla de verdad, es decir, Todos valores de verdad de una función proposición o predicación.
• Apoplejía.: Es la NAND lógica contemporánea (NOT-AND), es decir, "incompatibilidad", que significa:

"Dé dos proposiciones p y q, entonces ' p Silencio q significa "proposición" p es incompatible con la proposición q", es decir, si ambas proposiciones p y q evaluar como verdadero, entonces y sólo entonces p Silencio q evalúa como falso." Después de la sección ✸8 el golpe de Sheffer no ve ningún uso.

Sección ✸10: Los "operadores" existenciales y universales: PM agrega "(x) " para representar el simbolismo contemporáneo "para todos los x " es decir, " ∀x", y usa una E con serifa invertida para representar "existe una x", es decir, "(Ǝx)", es decir, el contemporáneo "∃x". La notación típica sería similar a la siguiente:

"x) . φx" significa "para todos los valores de variable x, función φ evalúa a la verdad "

"x) . φx" significa "para algún valor de variable x, función φ evalúa a la verdad "

Secciones ✸10, ✸11, ✸12: Propiedades de una variable extendidas a todos los individuos: la sección ✸10 introduce la noción de "una propiedad&# 34; de una "variable". PM da el ejemplo: φ es una función que indica "es griego", ψ indica "es hombre" y χ indica " es un mortal" estas funciones luego se aplican a una variable x. PM ahora puede escribir y evaluar:

()x) . ↑x

La notación anterior significa "para todo x, x es un hombre". Dada una colección de individuos, uno puede evaluar la fórmula anterior para veracidad o falsedad. Por ejemplo, dada la colección restringida de individuos { Sócrates, Platón, Russell, Zeus } lo anterior se evalúa como "verdadero" si permitimos que Zeus sea un hombre. Pero falla por:

()x) . φx

porque Russell no es griego. Y falla por

()x) . χx

porque Zeus no es un mortal.

Equipado con esta notación, PM puede crear fórmulas para expresar lo siguiente: "Si todos los griegos son hombres y si todos los hombres son mortales, entonces todos los griegos son mortales". (PM 1962:138)

()x) . φx ↑x :()x). ↑x χx :.: ()x) . φx χx

Otro ejemplo: la fórmula:

✸10.01. (Ǝ)x). φx . = . ~x) . ~φx Df.

significa "Los símbolos que representan la afirmación 'Existe al menos una x que satisface la función φ' se define mediante los símbolos que representan la afirmación 'No es cierto que, dados todos los valores de x, no hay valores de x que satisfagan φ&# 39;".

Los simbolismos ⊃_x y "≡_x" aparecen en ✸10.02 y ✸10.03. Ambos son abreviaturas de universalidad (es decir, para todos) que unen la variable x al operador lógico. La notación contemporánea simplemente habría usado paréntesis fuera del signo de igualdad ("="):

✸10.02 φx._x ↑x .=. ()x). φx ↑x Df

Notación contemporánea: VENx(φ)x) →x) (o una variante)

✸10.03 φx ↑_x ↑x .=. ()x). φx ↑x Df

Notación contemporánea: VENx(φ)x) x) (o una variante)

PM atribuye el primer simbolismo a Peano.

La sección ✸11 aplica este simbolismo a dos variables. Así las siguientes notaciones: ⊃_x, ⊃_y, ⊃_{x, y} podría aparecer en una sola fórmula.

La sección ✸12 vuelve a introducir la noción de "matriz" (tabla de verdad contemporánea), la noción de tipos lógicos y, en particular, las nociones de funciones y proposiciones de primer orden y segundo orden.

¡Nuevo simbolismo "φ ! x" representa cualquier valor de una función de primer orden. Si un circunflejo "＾" se coloca sobre una variable, entonces se trata de un "individuo" valor de y, lo que significa que "ŷ" indica "individuos" (por ejemplo, una fila en una tabla de verdad); esta distinción es necesaria debido a la naturaleza matricial/extensional de las funciones proposicionales.

Ahora equipado con la noción de matriz, PM puede afirmar su controvertido axioma de reducibilidad: una función de una o dos variables (dos son suficientes para PM's use) donde se dan todos sus valores (es decir, en su matriz) es (lógicamente) equivalente ("≡") a algún "predicativo" función de las mismas variables. La definición de una variable se da a continuación como una ilustración de la notación (PM 1962:166–167):

✸12.1 ⊢: (Ǝ f): φx .≡_x. f ! x Pp;

Pp es una "proposición primitiva" ("Proposiciones asumidas sin prueba") ()PM 1962:12, es decir, "axiomas" contemporáneos, añadiendo a los 7 definidos en la sección ✸1 (comerando con ✸1.1 modus ponens). Estas se distinguen de las "ideas primitivas" que incluyen el signo de aserción "",", negación "~", lógica OR "V", las nociones de "proposición elemental" y "función proposición elemental"; éstas son tan cercanas como PM viene a reglas de formación notacional, es decir, sintaxis.

Esto significa: "Afirmamos la verdad de lo siguiente: existe una función f con la propiedad de que: dados todos los valores de x, sus evaluaciones en función φ (es decir, dando como resultado su matriz) es lógicamente equivalente a alguna f evaluada en esos mismos valores de x. (y viceversa, de ahí la equivalencia lógica)". En otras palabras: dada una matriz determinada por la propiedad φ aplicada a la variable x, existe una función f que, cuando se aplica a la x es lógicamente equivalente a la matriz. O: toda matriz φx puede representarse mediante una función f aplicada a x, y viceversa.

✸13: El operador de identidad "=" : esta es una definición que usa el signo de dos maneras diferentes, como se indica en la cita de PM:

✸13.01. x = Sí. .=: (φ): φ ! x .. . φ ! Sí. Df

significa:

"Esta definición establece que x y Sí. se llamará idéntico cuando cada función predicativa satisfecha por x también está satisfecho Sí.... Tenga en cuenta que el segundo signo de igualdad en la definición anterior se combina con "Df", y por lo tanto no es realmente el mismo símbolo que el signo de igualdad que se define".

El signo de diferencia "≠" hace su aparición como definición en ✸13.02.

✸14: Descripciones:

"A descripción es una frase de la forma "el término Sí. que satisfice φ., donde φ. es una función satisfecha por un solo argumento."

A partir de este PM emplea dos nuevos símbolos, una "E" y una iota invertida "℩". Aquí hay un ejemplo:

✸14.02. E ! (℩)Sí.)Sí.) .=: (Ǝ)b):φSí. . ↑_Sí. . Sí. = b Df.

Esto tiene el significado:

"El Sí. satisfactoria φ. existe", que sostiene cuando, y sólo cuando φ. está satisfecho por un valor de Sí. y por ningún otro valor." ()PM 1967:173–174)

Introducción a la notación de la teoría de clases y relaciones

El texto salta del apartado ✸14 directamente a los apartados fundacionales ✸20 TEORÍA GENERAL DE LAS CLASES y ✸21 TEORÍA GENERAL DE LAS RELACIONES. "Relaciones" son lo que se conoce en la teoría de conjuntos contemporánea como conjuntos de pares ordenados. Las secciones ✸20 y ✸22 introducen muchos de los símbolos que todavía se usan en la actualidad. Estos incluyen los símbolos "ε", "⊂", "∩", "∪", "–&# 34;, "Λ" y "V": "ε" significa "es un elemento de" (PM 1962:188); "⊂" (✸22.01) significa "está contenido en", "es un subconjunto de"; "∩" (✸22.02) significa la intersección (producto lógico) de clases (conjuntos); "∪" (✸22.03) significa la unión (suma lógica) de clases (conjuntos); "–" (✸22.03) significa negación de una clase (conjunto); "Λ" significa la clase nula; y "V" significa la clase universal o universo del discurso.

Letras griegas minúsculas (que no sean "ε", "ι", "π", "φ", "ψ&) #34;, "χ" y "θ") representan clases (por ejemplo, "α", "β", " γ", "δ", etc.) (PM 1962:188):

x ε α

"El uso de una sola carta en lugar de símbolos como ẑ(φ)z) o ẑ(φ) ! z) es prácticamente indispensable, ya que de lo contrario la notación se convierte rápidamente en intolerable cumbrosio. Así es. x ε α significará ' x es miembro de la clase α". ()PM 1962:188)

α ∪ -α = V

La unión de un conjunto y su inverso es el conjunto universal (completo).

α ∩ –α =

La intersección de un conjunto y su inverso es el conjunto nulo (vacío).

Cuando se aplica a las relaciones en la sección ✸23 CÁLCULO DE RELACIONES, los símbolos "⊂", "∩", "∪& #34; y "–" adquirir un punto: por ejemplo: "⊍", "∸".

La noción y notación de "una clase" (conjunto): En la primera edición, PM afirma que no son necesarias nuevas ideas primitivas para definir qué se entiende por "una clase", y solo dos nuevas &# 34;proposiciones primitivas" llamados axiomas de reducibilidad para clases y relaciones respectivamente (PM 1962:25). Pero antes de que se pueda definir esta noción, PM siente que es necesario crear una notación peculiar "ẑ(φz)" que llama un "objeto ficticio". (PM 1962:188)

⊢: x ε ẑ(φ)z) .↑. (φ)x)

"i.e., ' x es miembro de la clase determinada por (φẑ) es [lógicamente] equivalente a ' x satisfies (φ)ẑ),' o a 'xEs verdad". ()PM 1962:25)

Al menos PM puede decirle al lector cómo se comportan estos objetos ficticios, porque "Una clase está totalmente determinada cuando se conoce su pertenencia, es decir, no puede haber dos clases diferentes que tengan la misma membresía" (PM 1962:26). Esto está simbolizado por la siguiente igualdad (similar a ✸13.01 anterior:

ẑ(φ)z) ẑ(versiónz) . ↑ : ()x): φx .↑. ↑x

"Esta última es la característica distintiva de las clases, y nos justifica en el tratamiento ẑ(versiónz) como la clase determinada por [la función]ẑ." ()PM 1962:188)

Quizás lo anterior pueda quedar más claro con la discusión de las clases en Introducción a la segunda edición, que elimina el Axioma de reducibilidad y lo reemplaza con la noción: "Todas las funciones de funciones son extensionales" (PM 1962: xxxix), es decir,

φx ↑_x ↑x ... ()x):.ẑ) ↑ẑ)PM 1962:xxxix)

Esto tiene el significado razonable de que "SI para todos los valores de x los valores de verdad de las funciones φ y ψ de x son [lógicamente] equivalentes, ENTONCES la función ƒ de un φẑ dado y ƒ de ψẑ son [lógicamente] equivalentes." PM afirma que esto es "obvio":

"Esto es obvio, ya que φ sólo puede ocurrir en ъ(φ)ẑ) por la sustitución de valores de φ para P, q, r,... en una función [lógica-], y, si φx ↑x, la sustitución de φx para p en una función [lógica-] da el mismo valor de la verdad a la función de la verdad como la sustitución de Descubrimientox. En consecuencia, ya no hay ninguna razón para distinguir entre las clases de funciones, porque tenemos, en virtud de lo anterior,

φx ↑_x ↑x ... ()x). φẑ = . ↑ẑ".

Observe el cambio a la igualdad "=" firmar a la derecha. PM continúa afirmando que continuará con la notación "ẑ(φz)", pero esto es simplemente equivalente a φẑ, y esta es una clase. (todas las comillas: PM 1962:xxxix).

Coherencia y críticas

De acuerdo con los 'Fundamentos lógicos de las matemáticas' de Carnap, Russell quería una teoría de la que pudiera decirse plausiblemente que derivaba todas las matemáticas de axiomas puramente lógicos. Sin embargo, Principia Mathematica requería, además de los axiomas básicos de la teoría de tipos, otros tres axiomas que parecían no ser ciertos como meras cuestiones de lógica, a saber, el axioma del infinito, el axioma de elección y el axioma de reducibilidad. Dado que los dos primeros eran axiomas existenciales, Russell formuló enunciados matemáticos que dependían de ellos como condicionales. Pero se requería reducibilidad para estar seguro de que los enunciados formales incluso expresaban adecuadamente enunciados de análisis real, de modo que los enunciados que dependían de ella no pudieran reformularse como condicionales. Frank Ramsey trató de argumentar que la ramificación de la teoría de los tipos de Russell era innecesaria, por lo que se podía eliminar la reducibilidad, pero estos argumentos no parecían concluyentes.

Más allá del estatus de los axiomas como verdades lógicas, uno puede hacerse las siguientes preguntas sobre cualquier sistema como PM:

• si una contradicción puede derivarse de los axiomas (la cuestión de la inconsistencia) y
• si existe una declaración matemática que no puede ser probada ni refutada en el sistema (la cuestión de la integridad).

Se sabía que la lógica proposicional en sí misma era consistente, pero no se había establecido lo mismo para los axiomas de Principia' de la teoría de conjuntos. (Consulte el segundo problema de Hilbert). Russell y Whitehead sospecharon que el sistema en PM está incompleto: por ejemplo, señalaron que no parece lo suficientemente poderoso como para mostrar que el cardinal ℵ_ω existe Sin embargo, uno puede preguntarse si alguna extensión recursivamente axiomatizable es completa y consistente.

Gödel 1930, 1931

En 1930, el teorema de completitud de Gödel mostró que la lógica de predicados de primer orden en sí misma era completa en un sentido mucho más débil, es decir, cualquier oración que no sea demostrable a partir de un conjunto dado de axiomas debe ser falsa en algún modelo. de los axiomas. Sin embargo, este no es el sentido más fuerte de completitud que se desea para Principia Mathematica, ya que un sistema dado de axiomas (como los de Principia Mathematica) puede tener muchos modelos, en algunos de los cuales un enunciado dado es verdadero y en otros en los cuales ese enunciado es verdadero. es falsa, por lo que el enunciado queda indeciso por los axiomas.

Los teoremas de incompletitud de Gödel arrojan una luz inesperada sobre estas dos preguntas relacionadas.

El primer teorema de incompletitud de Gödel mostró que ninguna extensión recursiva de Principia podría ser consistente y completa para enunciados aritméticos. (Como se mencionó anteriormente, ya se sabía que Principia en sí mismo estaba incompleto para algunas declaraciones no aritméticas). De acuerdo con el teorema, dentro de cada sistema lógico recursivo suficientemente poderoso (como Principia), existe una declaración G que esencialmente dice, "La declaración G no se puede probar." Tal declaración es una especie de Catch-22: si G es comprobable, entonces es falso y, por lo tanto, el sistema es inconsistente; y si G no es demostrable, entonces es verdadero y, por lo tanto, el sistema está incompleto.

El segundo teorema de incompletitud de Gödel (1931) muestra que ningún sistema formal que amplíe la aritmética básica puede usarse para probar su propia consistencia. Así, la afirmación "no hay contradicciones en el sistema Principia" no puede probarse en el sistema Principia a menos que existan contradicciones en el sistema (en cuyo caso puede probarse que es tanto verdadero como falso).

Wittgenstein 1919, 1939

Para la segunda edición de PM, Russell había eliminado su axioma de reducibilidad a un nuevo axioma (aunque no lo declara como tal). Gödel 1944:126 lo describe de esta manera:

"Este cambio está conectado con el nuevo axioma que las funciones pueden ocurrir en proposiciones sólo "a través de sus valores", es decir, extensivamente... [Esto es] bastante indiscutible incluso desde el punto de vista constructivo... siempre que los cuantificadores estén siempre restringidos a órdenes definidas". Este cambio de un cuasi-intensional postura hacia una extensional stance también restringe la lógica predicada al segundo orden, es decir, funciones de funciones: "Podemos decidir que la matemática es limitarse a funciones que obedecen a la suposición anterior" (PM 2a edición p. 401, Apéndice C).

Esta nueva propuesta resultó en un resultado nefasto. Una "postura de extensión" y la restricción a una lógica de predicados de segundo orden significa que una función proposicional se extiende a todos los individuos como "Todos 'x' son azules" ahora tiene que listar todos los 'x' que satisfacen (son verdaderos en) la proposición, enumerándolos en una conjunción posiblemente infinita: p. x₁ ∧ x₂ ∧... ∧ x_n ∧.... Irónicamente, este cambio se produjo como resultado de las críticas de Wittgenstein en su Tractatus Logico-Philosophicus de 1919. Como lo describe Russell en la Introducción a la segunda edición de PM:

"Hay otro curso, recomendado por Wittgenstein (†Tractatus Logico-PhilosoficoPor razones filosóficas. Esto es asumir que las funciones de las proposiciones son siempre funciones de verdad, y que una función sólo puede ocurrir en una proposición a través de sus valores. [...] [Trabajar a través de las consecuencias] parece que todo en Vol. Seguí siendo cierto (aunque a menudo se requieren nuevas pruebas); la teoría de cardenales inductivos y ordinals sobrevive; pero parece que la teoría de la serie infinita dedekindian y bien ordenada se derrumba en gran medida, de modo que los irracionales, y números reales en general, ya no pueden ser tratados adecuadamente. También la prueba de Cantor que 2ⁿ ■ n A menos que se descomponga n es finito." ()PM 2a edición reimprimida 1962:xiv, también cf. nuevo Apéndice C).

En otras palabras, el hecho de que una lista infinita no pueda especificarse de manera realista significa que el concepto de "número" en el sentido infinito (es decir, el continuo) no puede ser descrito por la nueva teoría propuesta en PM Second Edition.

Wittgenstein en sus Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge 1939 criticó Principia por varios motivos, tales como:

• Se pretende revelar la base fundamental para la aritmética. Sin embargo, son nuestras prácticas aritméticas cotidianas tales como contar que son fundamentales; porque si surge una discrepancia persistente entre el conteo y el Principia, esto sería tratado como evidencia de un error en Principia (por ejemplo, que Principia no caracterizó números ni adicionó correctamente), no como evidencia de un error en la cuenta diaria.
• Los métodos de cálculo en Principia sólo se puede utilizar en la práctica con números muy pequeños. Para calcular el uso de grandes números (por ejemplo, miles de millones), las fórmulas se volverían demasiado largas, y habría que utilizar algún método de corta duración, que sin duda dependería de técnicas cotidianas como el recuento (o de otros métodos no financieros y cuestionables como la inducción). Otra vez. Principia depende de las técnicas cotidianas, no viceversa.

Wittgenstein, sin embargo, admitió que Principia puede, no obstante, aclarar algunos aspectos de la aritmética cotidiana.

Gödel 1944

En su Lógica matemática de Russell de 1944, Gödel ofrece una "discusión crítica pero comprensiva del orden logicista de las ideas":

"Se debe lamentar que esta primera presentación integral y completa de una lógica matemática y la derivación de las matemáticas de ella [es] tan falta en gran medida en la precisión formal en las fundaciones (contenido en *1-*21 de Principia) que representa a este respecto un paso hacia atrás considerable en comparación con Frege. Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo. Las consideraciones sintácticas se omiten incluso en los casos en que sean necesarias para el conocimiento de las pruebas... El asunto es especialmente dudoso para el estado de sustitución y para reemplazar símbolos definidos por sus Definiens... es principalmente la regla de sustitución que tendría que ser probada" (Gödel 1944:124)

Contenido

Parte I Lógica matemática. Volumen I ✸1 a ✸43

Esta sección describe el cálculo proposicional y de predicados, y brinda las propiedades básicas de clases, relaciones y tipos.

Parte II Prolegómenos a la aritmética cardinal. Volumen I ✸50 a ✸97

Esta parte cubre varias propiedades de las relaciones, especialmente aquellas necesarias para la aritmética cardinal.

Parte III Aritmética cardinal. Volumen II ✸100 a ✸126

Esto cubre la definición y las propiedades básicas de los cardenales. Un cardenal se define como una clase de equivalencia de clases similares (a diferencia de ZFC, donde un cardenal es un tipo especial de ordinal de von Neumann). Cada tipo tiene su propia colección de cardenales asociados, y se necesita una cantidad considerable de contabilidad para comparar cardenales de diferentes tipos. PM define la suma, la multiplicación y la exponenciación de cardinales, y compara diferentes definiciones de cardinales finitos e infinitos. ✸120.03 es el Axioma del infinito.

Parte IV Relación-aritmética. Volumen II ✸150 a ✸186

Un "número de relación" es una clase de equivalencia de relaciones isomórficas. PM define análogos de suma, multiplicación y exponenciación para relaciones arbitrarias. La suma y multiplicación es similar a la definición habitual de suma y multiplicación de ordinales en ZFC, aunque la definición de exponenciación de relaciones en PM no es equivalente a la habitual utilizada en ZFC.

Parte V Serie. Volumen II ✸200 a ✸234 y volumen III ✸250 a ✸276

Esta serie cubre, que es el término de PM para lo que ahora se llama un conjunto totalmente ordenado. En particular, cubre series completas, funciones continuas entre series con la topología de orden (aunque, por supuesto, no usan esta terminología), series bien ordenadas y series sin "brechas" (aquellos con un miembro estrictamente entre dos miembros dados).

Parte VI Cantidad. Volumen III ✸300 a ✸375

Esta sección construye el anillo de los números enteros, los campos de los números racionales y reales, y las "familias de vectores", que están relacionados con lo que ahora se denominan torsores sobre grupos abelianos.

Comparación con la teoría de conjuntos

Esta sección compara el sistema de PM con los fundamentos matemáticos habituales de ZFC. El sistema de PM es más o menos comparable en fuerza con la teoría de conjuntos de Zermelo (o más precisamente una versión de ella donde el axioma de separación tiene todos los cuantificadores acotados).

• El sistema de lógica proposicional y cálculo predicado en PM es esencialmente el mismo que el utilizado ahora, excepto que la notación y terminología ha cambiado.
• La diferencia más obvia entre PM y la teoría de conjuntos es que en PM todos los objetos pertenecen a uno de varios tipos descomunales. Esto significa que todo se duplica para cada tipo (infinito): por ejemplo, cada tipo tiene sus propios ordinals, cardenales, números reales, etc. Esto resulta en un montón de contabilidad para relacionar los diversos tipos entre sí.
• En las funciones ZFC normalmente se codifican como conjuntos de pares ordenados. En las funciones de PM se tratan bastante diferentemente. En primer lugar, "función" significa "función proposicional", algo que toma valores verdaderos o falsos. En segundo lugar, las funciones no se determinan por sus valores: es posible tener varias funciones diferentes todas tomando los mismos valores (por ejemplo, uno podría considerar 2x+2 y 2(x+1) como diferentes funciones por razones que los programas informáticos para evaluarlos son diferentes. Las funciones en ZFC dadas por conjuntos de pares ordenados corresponden a lo que PM llama "matrices", y las funciones más generales en PM son codificadas por cuantificación sobre algunas variables. En particular, la PM distingue entre funciones definidas utilizando cuantificación y funciones no definidas utilizando cuantificación, mientras que la ZFC no hace esta distinción.
• PM no tiene analogía del axioma del reemplazo, aunque esto es de poca importancia práctica ya que este axioma se utiliza muy poco en la teoría del conjunto de matemáticas fuera.
• PM enfatiza las relaciones como un concepto fundamental, mientras que en la práctica matemática actual es funciones más que relaciones que se tratan como más fundamentales; por ejemplo, la teoría de la categoría enfatiza morfismos o funciones más que relaciones. (Sin embargo, hay una analogía de categorías llamadas alegorías que modelan las relaciones más que las funciones, y es bastante similar al tipo de sistema de PM.)
• En PM, los cardenales se definen como clases de clases similares, mientras que en los cardenales ZFC son ordinales especiales. En PM hay una colección diferente de cardenales para cada tipo con una maquinaria complicada para mover cardenales entre tipos, mientras que en ZFC sólo hay 1 tipo de cardenal. Puesto que el PM no tiene ningún equivalente del axioma de reemplazo, no es capaz de demostrar la existencia de cardenales mayores que א_⋅.
• En PM ordinals se tratan como clases de equivalencia de conjuntos bien ordenados, y como con cardenales hay una colección diferente de ordinals para cada tipo. En ZFC sólo hay una colección de ordinals, generalmente definida como ordinals von Neumann. Un extraño quirk de PM es que no tienen un ordinal correspondiente a 1, que causa numerosas complicaciones innecesarias en sus teoremas. La definición de exponenciación ordinal α^β en PM no es equivalente a la definición habitual en ZFC y tiene algunas propiedades bastante indeseables: por ejemplo, no es continuo en β y no está bien ordenado (así que ni siquiera es un ordinal).
• Las construcciones de los enteros, racionales y números reales en ZFC se han simplificado considerablemente con el tiempo desde las construcciones en PM.

Diferencias entre ediciones

Aparte de las correcciones de errores tipográficos, el texto principal de PM no ha cambiado entre la primera y la segunda edición. Se restableció el texto principal de los Volúmenes 1 y 2, para que ocupe menos páginas en cada uno. En la segunda edición, el Volumen 3 no se reinició, siendo reimpreso fotográficamente con la misma numeración de páginas; todavía se hicieron correcciones. El número total de páginas (excluyendo las guardas) en la primera edición es 1.996; en el segundo, 2.000. El volumen 1 tiene cinco nuevas incorporaciones:

• Una introducción de 54 páginas de Russell describiendo los cambios que habrían hecho si tuvieran más tiempo y energía. El cambio principal que sugiere es la eliminación del axioma polémico de la reducibilidad, aunque admite que no conoce ningún sustituto satisfactorio. También parece más favorable a la idea de que una función debe ser determinada por sus valores (como es habitual en la práctica matemática actual).
• Apéndice A, numerada como *8, 15 páginas, sobre el trazo Sheffer.
• Apéndice B, numerado como *89, discutiendo la inducción sin el axioma de la reducibilidad.
• Apéndice C, 8 páginas, discutiendo funciones proposiciones.
• Una lista de definiciones de 8 páginas al final, dando un índice muy necesario a los 500 o así las notaciones utilizadas.

En 1962, Cambridge University Press publicó una edición de bolsillo abreviada que contenía partes de la segunda edición del Volumen 1: la nueva introducción (y la anterior), el texto principal hasta el *56 y los Apéndices A y C.

Ediciones

• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1910), Principia mathematica, vol. 1 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM 41.0083.02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1912), Principia mathematica, vol. 2 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM 43.0093.03
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1913), Principia mathematica, vol. 3 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM 44.0068.01
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1925), Principia mathematica, vol. 1 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM 51.0046.06
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1927), Principia mathematica, vol. 2 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1927), Principia mathematica, vol. 3 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1997) [1962], Principia mathematica a *56, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511623585, ISBN 0-521-62606-4, MR 1700771, Zbl 0877.01042

La primera edición fue reimpresa en 2009 por Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.