Principio maximal de Hausdorff
En matemáticas, el principio maximal de Hausdorff es una formulación alternativa y anterior del lema de Zorn demostrado por Felix Hausdorff en 1914 (Moore 1982:168). Establece que en cualquier conjunto parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto máximo totalmente ordenado.
El principio maximal de Hausdorff es uno de los muchos enunciados equivalentes al axioma de elección sobre ZF (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección). El principio también se denomina teorema de maximalidad de Hausdorff o lema de Kuratowski (Kelley 1955:33).
Declaración
El principio maximal de Hausdorff establece que, en cualquier conjunto parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado está contenido en un subconjunto maximal totalmente ordenado (un subconjunto totalmente ordenado que, si se amplía de alguna manera, no permanece totalmente ordenado). En general, puede haber muchos subconjuntos máximos totalmente ordenados que contengan un subconjunto dado totalmente ordenado.
Una forma equivalente del principio maximal Hausdorff es que en cada conjunto parcialmente ordenado existe un subconjunto totalmente ordenado maximal. Para demostrar que esta declaración sigue la forma original, dejemos A ser un set parcialmente ordenado. Entonces... ∅ ∅ {displaystyle varnothing } es un subconjunto totalmente ordenado A, por lo tanto existe un subconjunto totalmente ordenado maximal que contiene ∅ ∅ {displaystyle varnothing }, por lo tanto en particular A contiene un subconjunto totalmente ordenado. Para la dirección conversa, deja A ser un conjunto parcialmente ordenado y T un subconjunto totalmente ordenado A. Entonces...
- {}S▪ ▪ T⊆ ⊆ S⊆ ⊆ Ay S totalmente ordenado}{displaystyle {Smid Tsubseteq Ssubseteq A{mbox{ and S totally ordered}}}
se ordena parcialmente por inclusión establecida ⊆ ⊆ {displaystyle subseteq }, por lo tanto contiene un subconjunto totalmente ordenado maximal P. Entonces el set P{displaystyle P} satisface las propiedades deseadas.
La prueba de que el principio maximal de Hausdorff es equivalente al lema de Zorn es muy similar a esta prueba.
Ejemplos
Si A es cualquier colección de conjuntos, la relación "es un subconjunto propio de" es un orden parcial estricto en A. Suponga que A es la colección de todas las regiones circulares (interiores de círculos) en el plano. Una subcolección máxima totalmente ordenada de A consta de todas las regiones circulares con centros en el origen. Otra subcolección máxima totalmente ordenada consta de todas las regiones circulares delimitadas por círculos tangentes desde la derecha al eje y en el origen.
Si (x0, y0) y (x1, y1) son dos puntos del plano ℝ2, define (x0, y0) < (x1, y1) si y0 = y1 y x0 < x1. Esta es una ordenación parcial de ℝ2 bajo la cual dos puntos son comparables solo si se encuentran en la misma línea horizontal. Los conjuntos máximos totalmente ordenados son líneas horizontales en ℝ2.