Principio de Huygens-Fresnel

Refracción de onda en la forma de Huygens

Difracción de onda en la forma de Huygens y Fresnel

El principio de Huygens-Fresnel (llamado así por el físico holandés Christiaan Huygens y el físico francés Augustin-Jean Fresnel) establece que cada punto en un frente de onda es en sí mismo la fuente de ondas esféricas, y las ondas secundarias que emanan desde diferentes puntos interfieren mutuamente. La suma de estas pequeñas ondas esféricas forma un nuevo frente de onda. Como tal, el principio de Huygens-Fresnel es un método de análisis aplicado a problemas de propagación de ondas luminosas tanto en el límite del campo lejano como en la difracción y reflexión del campo cercano.

Historia

Diffraction de una ola de avión cuando el ancho de la abertura iguala la longitud de onda

En 1678, Huygens propuso que todo punto alcanzado por una perturbación luminosa se convierte en fuente de una onda esférica; la suma de estas ondas secundarias determina la forma de la onda en cualquier momento posterior. Asumió que las ondas secundarias viajaban solo en la dirección "adelante" dirección y no se explica en la teoría por qué este es el caso. Pudo proporcionar una explicación cualitativa de la propagación de ondas lineales y esféricas, y derivar las leyes de reflexión y refracción usando este principio, pero no pudo explicar las desviaciones de la propagación rectilínea que ocurren cuando la luz encuentra bordes, aberturas y pantallas, comúnmente conocidas como como efectos de difracción. La resolución de este error fue finalmente explicada por David A. B. Miller en 1991. La resolución es que la fuente es un dipolo (no el monopolo asumido por Huygens), que se cancela en la dirección reflejada.

En 1818, Fresnel demostró que el principio de Huygens, junto con su propio principio de interferencia, podía explicar tanto la propagación rectilínea de la luz como los efectos de difracción. Para obtener un acuerdo con los resultados experimentales, tuvo que incluir suposiciones arbitrarias adicionales sobre la fase y amplitud de las ondas secundarias, y también un factor de oblicuidad. Estas suposiciones no tienen una base física obvia, pero condujeron a predicciones que coincidían con muchas observaciones experimentales, incluida la mancha de Poisson.

Poisson fue miembro de la Academia Francesa, que revisó el trabajo de Fresnel. Usó la teoría de Fresnel para predecir que debería aparecer un punto brillante en el centro de la sombra de un disco pequeño y dedujo de esto que la teoría era incorrecta. Sin embargo, Arago, otro miembro del comité, realizó el experimento y demostró que la predicción era correcta. (Lisle había observado esto cincuenta años antes). Esta fue una de las investigaciones que condujo a la victoria de la teoría ondulatoria de la luz sobre la teoría corpuscular entonces predominante.

En teoría e ingeniería de antenas, la reformulación del principio de Huygens-Fresnel para fuentes de corriente radiante se conoce como principio de equivalencia superficial.

Huygens' principio como modelo microscópico

El principio de Huygens-Fresnel proporciona una base razonable para comprender y predecir la propagación de onda clásica de la luz. Sin embargo, existen limitaciones al principio, a saber, las mismas aproximaciones realizadas para derivar la fórmula de difracción de Kirchhoff y las aproximaciones de campo cercano debidas a Fresnel. Estos se pueden resumir en el hecho de que la longitud de onda de la luz es mucho más pequeña que las dimensiones de cualquier componente óptico encontrado.

La fórmula de difracción de Kirchhoff proporciona una base matemática rigurosa para la difracción, basada en la ecuación de onda. Las suposiciones arbitrarias hechas por Fresnel para llegar a la ecuación de Huygens-Fresnel surgen automáticamente de las matemáticas en esta derivación.

Un ejemplo sencillo del funcionamiento del principio se puede ver cuando una puerta abierta conecta dos habitaciones y se produce un sonido en un rincón remoto de una de ellas. Una persona en la otra habitación escuchará el sonido como si se originara en la entrada. En lo que respecta a la segunda habitación, el aire que vibra en la entrada es la fuente del sonido.

Interpretaciones de la física moderna

No todos los expertos están de acuerdo en que la Huygens' principio es una representación microscópica precisa de la realidad. Por ejemplo, Melvin Schwartz argumentó que "Huygens' El principio en realidad da la respuesta correcta, pero por las razones equivocadas.

Esto se puede reflejar en los siguientes hechos:

• La mecánica microscópica para crear fotones y de emisión, en general, es esencialmente aceleración de electrones.
• El análisis original de Huygens incluía amplitudes solamente. No incluye fases ni ondas propagando a diferentes velocidades (debido a la difusión dentro de medios continuos), y por lo tanto no tiene en cuenta la interferencia.
• El análisis Huygens tampoco incluye polarización para la luz que implica un potencial vectorial, donde las ondas sonoras pueden describirse con un potencial escalar y no hay una traducción única y natural entre ambos.
• En la descripción Huygens, no hay explicación de por qué elegimos sólo el avance (la onda retratada o el sobre delantero de los frentes de onda) contra la onda avanzada atrasada (envoltura hacia atrás).
• En la aproximación de Fresnel hay un concepto de comportamiento no local debido a la suma de ondas esféricas con diferentes fases que provienen de los diferentes puntos del frente de onda, y las teorías no locales están sujetas a muchos debates (por ejemplo, no siendo covariante de Lorentz) y de investigación activa.
• La aproximación del Fresnel se puede interpretar de una manera probabilística cuántica pero no está clara cuánto esta suma de estados (es decir, ondas en el frente de onda) es una lista completa de estados que son significativos físicamente o representan más de una aproximación sobre una base genérica como en la combinación lineal de los orbitales atómicos (LCAO).

Los Huygens' principio es esencialmente compatible con la teoría cuántica de campos en la aproximación de campo lejano, considerando campos efectivos en el centro de dispersión, considerando pequeñas perturbaciones, y en el mismo sentido que la óptica cuántica es compatible con la óptica clásica, otras interpretaciones son objeto de debates e investigaciones activas.

El modelo de Feynman en el que cada punto en un frente de onda imaginario tan grande como la habitación genera una ondícula, también debe interpretarse en estas aproximaciones y en un contexto probabilístico, en este contexto los puntos remotos solo pueden contribuir mínimamente a la probabilidad general amplitud.

La teoría cuántica de campos no incluye ningún modelo microscópico para la creación de fotones y el concepto de fotón único también se somete a escrutinio a nivel teórico.

Expresión matemática del principio

Arreglos geométricos para el cálculo de Fresnel

Considere el caso de una fuente puntual ubicada en un punto P₀, vibrando a una frecuencia f. La perturbación puede describirse mediante una variable compleja U₀ conocida como amplitud compleja. Produce una onda esférica con longitud de onda λ, número de onda k = 2π/λ. Dentro de una constante de proporcionalidad, la amplitud compleja de la onda primaria en el punto Q situado a una distancia r₀ de P₀ es:

U()r0)∝ ∝ U0eikr0r0.{displaystyle U(r_{0})propto {frac {U_{0}e^{ikr_{0}}} {r_{0}}}} {0}} {0}}} {0}} {0}}}} {0}}}}} {0} {0}} {0}}} {0}}}}}}}}}}} {0} {0}}}}} {0}}}}} {0}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {

Tenga en cuenta que la magnitud disminuye en proporción inversa a la distancia recorrida, y la fase cambia como k veces la distancia recorrida.

Usando la teoría de Huygens y el principio de superposición de ondas, la amplitud compleja en otro punto P se encuentra sumando las contribuciones de cada punto en la esfera de radio r₀. Para estar de acuerdo con los resultados experimentales, Fresnel descubrió que las contribuciones individuales de las ondas secundarias en la esfera debían multiplicarse por una constante, −i/λ, y por un factor de inclinación adicional, K(χ). La primera suposición significa que las ondas secundarias oscilan un cuarto de ciclo desfasadas con respecto a la onda primaria, y que la magnitud de las ondas secundarias está en una relación de 1:λ con respecto a la onda primaria. También supuso que K(χ) tenía un valor máximo cuando χ = 0, y era igual a cero cuando χ = π/2, donde χ es el ángulo entre la normal del frente de onda primario y la normal del frente de onda secundario. La amplitud compleja en P, debida a la contribución de las ondas secundarias, viene dada entonces por:

U()P)=− − iλ λ U()r0)∫ ∫ SeikssK()χ χ )dS{displaystyle U(P)=-{frac [I}{lambda }U(r_{0})int ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

donde S describe la superficie de la esfera, y s es la distancia entre Q y P.

Fresnel usó un método de construcción de zonas para encontrar valores aproximados de K para las diferentes zonas, lo que le permitió hacer predicciones que estaban de acuerdo con los resultados experimentales. El teorema integral de Kirchhoff incluye la idea básica del principio de Huygens-Fresnel. Kirchhoff demostró que en muchos casos, el teorema se puede aproximar a una forma más simple que es equivalente a la formación de la formulación de Fresnel.

Para una iluminación de apertura que consta de una sola onda esférica en expansión, si el radio de la curvatura de la onda es lo suficientemente grande, Kirchhoff dio la siguiente expresión para K(χ):

K()χ χ )=12()1+#⁡ ⁡ χ χ ){displaystyle ~K(chi)={1}{2}(1+cos chi)}

K tiene un valor máximo en χ = 0 como en el principio de Huygens-Fresnel; sin embargo, K no es igual a cero en χ = π/2, sino en χ = π.

La derivación anterior de K(χ) supone que la apertura de difracción está iluminada por una única onda esférica con un radio de curvatura suficientemente grande. Sin embargo, el principio es válido para iluminaciones más generales. Una iluminación arbitraria se puede descomponer en una colección de fuentes puntuales y se puede invocar la linealidad de la ecuación de onda para aplicar el principio a cada fuente puntual individualmente. K(χ) se puede expresar generalmente como:

K()χ χ )=#⁡ ⁡ χ χ {displaystyle ~K(chi)=cos chi }

En este caso, K cumple las condiciones establecidas anteriormente (valor máximo en χ = 0 y cero en χ = π/2).

Huygens generalizado' principio

Muchos libros y referencias, p. y refiérase a la Generalizada Huygens' Principio como el referido por Feynman en esta publicación.

Feynman define el principio generalizado de la siguiente manera:

"En realidad el principio de Huygens no es correcto en la óptica. Se sustituye por la modificación [sic] de Kirchoff que requiere que tanto la amplitud como su derivado deben ser conocidos en la superficie adyacente. Esto es una consecuencia del hecho de que la ecuación de onda en óptica es segundo orden en el tiempo. La ecuación de onda de la mecánica cuántica es el primer orden en el tiempo; por lo tanto, el principio de Huygens es correcto para las ondas de materia, acción que reemplaza el tiempo."

Esto aclara el hecho de que en este contexto el principio generalizado refleja la linealidad de la mecánica cuántica y el hecho de que las ecuaciones de la mecánica cuántica son de primer orden en el tiempo. Finalmente, solo en este caso se aplica completamente el principio de superposición, es decir, la función de onda en un punto P se puede expandir como una superposición de ondas en una superficie de borde que encierra a P. Las funciones de onda se pueden interpretar en el sentido mecánico cuántico habitual como densidades de probabilidad donde el Se aplica el formalismo de las funciones y propagadores de Green. Lo que es digno de mención es que este principio generalizado es aplicable para "ondas de materia" y ya no para las ondas de luz. El factor de fase ahora se aclara como lo da la acción y no hay más confusión por qué las fases de las ondículas son diferentes de la onda original y modificadas por los parámetros adicionales de Fresnel.

Según Greiner, el principio generalizado puede expresarse por t}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">t.■t{displaystyle t' confianzat}t}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b91b9b23cb2d5f2c041f438c34a160882e0586f9" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.462ex; height:2.509ex;"/> en la forma:

↑ ↑ .()x.,t.)=i∫ ∫ d3xG()x.,t.;x,t)↑ ↑ ()x,t){displaystyle psi '(mathbf {x} ',t')=iint {}{}d^{3}xG(mathbf {x} ',t';mathbf {x}t)psi (mathbf {x}t)}}}}

Donde G es la función verde habitual que propaga a tiempo la función de onda ↑ ↑ {displaystyle psi }. Esta descripción se asemeja y generaliza la fórmula inicial de Fresnel del modelo clásico.

Huygens' teoría, la integral de trayectoria de Feynman y la función de onda fotónica moderna

Huygens' La teoría sirvió como una explicación fundamental de la naturaleza ondulatoria de la interferencia de la luz y fue desarrollada aún más por Fresnel y Young, pero no resolvió por completo todas las observaciones, como el experimento de doble rendija de baja intensidad realizado por primera vez por G. I. Taylor en 1909. No fue hasta a principios y mediados del siglo XX las discusiones sobre la teoría cuántica, particularmente las primeras discusiones en la Conferencia Solvay de Bruselas de 1927, donde Louis de Broglie propuso su hipótesis de De Broglie de que el fotón es guiado por una función de onda.

La función de onda presenta una explicación muy diferente de las bandas claras y oscuras observadas en un experimento de doble rendija. En esta concepción, el fotón sigue un camino que es una elección probabilística de uno de los muchos caminos posibles en el campo electromagnético. Estos caminos probables forman el patrón: en áreas oscuras, no aterrizan fotones, y en áreas brillantes, aterrizan muchos fotones. El conjunto de posibles trayectorias de fotones es consistente con la teoría integral de trayectoria de Richard Feynman, las trayectorias determinadas por el entorno: el punto de origen del fotón (átomo), la rendija y la pantalla y por las fases de seguimiento y suma.. La función de onda es una solución a esta geometría. El enfoque de la función de onda fue respaldado por experimentos adicionales de doble rendija en Italia y Japón en las décadas de 1970 y 1980 con electrones.

Huygens' principio y teoría cuántica de campos

Huygens' El principio puede verse como una consecuencia de la homogeneidad del espacio: el espacio es uniforme en todas las ubicaciones. Cualquier perturbación creada en una región suficientemente pequeña del espacio homogéneo (o en un medio homogéneo) se propaga desde esa región en todas las direcciones geodésicas. Las ondas producidas por esta perturbación, a su vez, crean perturbaciones en otras regiones, y así sucesivamente. La superposición de todas las ondas da como resultado el patrón observado de propagación de ondas.

La homogeneidad del espacio es fundamental para la teoría cuántica de campos (QFT), donde la función de onda de cualquier objeto se propaga a lo largo de todas las rutas disponibles sin obstrucciones. Cuando se integra a lo largo de todos los caminos posibles, con un factor de fase proporcional a la acción, la interferencia de las funciones de onda predice correctamente los fenómenos observables. Cada punto del frente de onda actúa como fuente de pequeñas ondas secundarias que se esparcen en el cono de luz con la misma velocidad que la onda. El nuevo frente de onda se encuentra construyendo la superficie tangente a las ondas secundarias.

En otras dimensiones espaciales

En 1900, Jacques Hadamard observó que Huygens' El principio se rompe cuando el número de dimensiones espaciales es par. A partir de esto, desarrolló un conjunto de conjeturas que siguen siendo un tema activo de investigación. En particular, se ha descubierto que Huygens' El principio se aplica a una gran clase de espacios homogéneos derivados del grupo de Coxeter (así, por ejemplo, los grupos de Weyl de álgebras de Lie simples).

La declaración tradicional de Huygens N#39; principio para el D''Alembertian da lugar a la jerarquía KdV; de manera análoga, el operador de Dirac da lugar a la jerarquía AKNS.