Principio de explosión

En la lógica clásica, la lógica intuicionista y sistemas lógicos similares, el principio de explosión (latín: ex falso [sequitur] quodlibet, 'de la falsedad, cualquier cosa [sigue]'; o ex contradictione [sequitur] quodlibet, &# 39;de contradicción, cualquier cosa [sigue]'), o el principio de Pseudo-Escoto (falsamente atribuido a Duns Escoto), es la ley según la cual cualquier afirmación puede ser probada a partir de una contradicción. Es decir, de una contradicción se puede inferir de ella cualquier proposición (incluida su negación); esto se conoce como explosión deductiva.

La prueba de este principio fue dada por primera vez por el filósofo francés del siglo XII Guillermo de Soissons. Debido al principio de explosión, la existencia de una contradicción (inconsistencia) en un sistema axiomático formal es desastrosa; dado que cualquier afirmación puede ser probada, trivializa los conceptos de verdad y falsedad. A principios del siglo XX, el descubrimiento de contradicciones como la paradoja de Russell en los fundamentos de las matemáticas amenazó toda la estructura de las matemáticas. Matemáticos como Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem se esforzaron mucho en revisar la teoría de conjuntos para eliminar estas contradicciones, lo que dio como resultado la moderna teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel.

Como demostración del principio, considere dos afirmaciones contradictorias: "Todos los limones son amarillos" y "No todos los limones son amarillos", y supongamos que ambas cosas son ciertas. Si ese es el caso, se puede probar cualquier cosa, por ejemplo, la afirmación de que "los unicornios existen", utilizando el siguiente argumento:

1. Sabemos que "no todos los limones son amarillos", como se ha supuesto que es verdad.
2. Sabemos que "Todos los limones son amarillos", como se supone que es verdad.
3. Por consiguiente, la declaración de dos partes "Todos los limones son amarillos o los unicornios existen" también debe ser cierto, ya que la primera parte "Todos los limones son amarillos" de la declaración de dos partes es verdad (como se ha asumido).
4. Sin embargo, ya que sabemos que "no todos los limones son amarillos" (como esto se ha asumido), la primera parte es falsa, y por lo tanto la segunda parte debe ser verdadera para asegurar que la declaración de dos partes sea verdadera, es decir, los unicornios existen.

En una solución diferente a estos problemas, algunos matemáticos han ideado teorías lógicas alternativas llamadas lógicas paraconsistentes, que eliminan el principio de explosión. Estos permiten probar algunas afirmaciones contradictorias sin afectar otras pruebas.

Representación simbólica

En lógica simbólica, el principio de explosión se puede expresar esquemáticamente de la siguiente manera:

${displaystyle P,lnot Pvdash Q}$ Para cualquier declaración P y Q, si P y no...P son ambos verdaderos, entonces lógicamente sigue que Q es verdad.

Prueba

A continuación se muestra una prueba formal del principio utilizando lógica simbólica.

Paso	Proposición	Derivación
1	${displaystyle P}$	Premise
2	${displaystyle neg P}$	Premise
3	${displaystyle Plor Q}$	Introducción a la disyunción (1)
4	${displaystyle Q}$	Syllogismo disjuntivo (3,2)

Esta es sólo la versión simbólica del argumento informal dado en la introducción, con ${displaystyle P}$ "Todos los limones son amarillos" y ${displaystyle Q}$ "Existen los unicornios". Comenzamos asumiendo que (1) todos los limones son amarillos y que (2) no todos los limones son amarillos. De la proposición de que todos los limones son amarillos, inferimos que (3) o todos los limones son amarillos o unicornios existen. Pero luego de esto y el hecho de que no todos los limones son amarillos, inferimos que (4) unicornios existen por el silogismo disyuntivo.

Argumento semántico

Un argumento alternativo para el principio se deriva de la teoría modelo. A sentence ${displaystyle P}$ es un consecuencia semántica de un conjunto de sentencias ${displaystyle "Gamma"$ sólo si cada modelo de ${displaystyle "Gamma"$ es un modelo ${displaystyle P}$. Sin embargo, no hay modelo del conjunto contradictorio ${displaystyle (Pwedge lnot P)}$. A fortiori, no hay modelo ${displaystyle (Pwedge lnot P)}$ que no es un modelo ${displaystyle Q}$. Así, vacuosamente, cada modelo de ${displaystyle (Pwedge lnot P)}$ es un modelo ${displaystyle Q}$. Así ${displaystyle Q}$ es una consecuencia semántica de ${displaystyle (Pwedge lnot P)}$.

Lógica paraconsistente

Se han desarrollado lógicas paraconsistentes que permiten operadores subcontratistas. Los lógicas paraconsistentes modelo-teoréticos a menudo niegan la suposición de que no puede haber un modelo ${displaystyle {philnot phi}}$ y diseñar sistemas semánticos en los que existen tales modelos. Alternativamente, rechazan la idea de que las proposiciones pueden clasificarse como verdaderas o falsas. Proof-theoretic paraconsistent logics usually deny the validity of one of the steps necessary for deriving an explosion, usually including disjunctive syllogism, disjunction introduction, and reductio ad absurdum.

Uso

El valor metamathematical del principio de la explosión es que para cualquier sistema lógico donde este principio sostiene, cualquier teoría derivada que demuestre ⊥ (o una forma equivalente, ${displaystyle phi land lnot phi }$) es inútil porque Todos sus declaraciones se convertirían en teoremas, haciendo imposible distinguir la verdad de la falsedad. Es decir, el principio de la explosión es un argumento para la ley de la no contradicción en la lógica clásica, porque sin ella todas las declaraciones de la verdad se vuelven sin sentido.

La reducción de la fuerza de la prueba de las lógicas sin ex falso se analiza en lógica mínima.