Principio de correspondencia

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Principio de Física formulado por Niels Bohr

En física, el principio de correspondencia establece que el comportamiento de los sistemas descrito por la teoría de la mecánica cuántica (o por la antigua teoría cuántica) reproduce la física clásica en el límite de los grandes números cuánticos. En otras palabras, dice que para órbitas grandes y energías grandes, los cálculos cuánticos deben coincidir con los cálculos clásicos.

El principio fue formulado por Niels Bohr en 1920, aunque ya lo había utilizado en 1913 para desarrollar su modelo del átomo.

El término codifica la idea de que una nueva teoría debe reproducir, bajo ciertas condiciones, los resultados de teorías más antiguas bien establecidas en aquellos dominios donde funcionan las teorías antiguas. Este concepto es algo diferente del requisito de un límite formal bajo el cual la nueva teoría se reduce a la anterior, gracias a la existencia de un parámetro de deformación.

Las cantidades clásicas aparecen en la mecánica cuántica en forma de valores esperados de observables y, como tal, el teorema de Ehrenfest (que predice la evolución temporal de los valores esperados) respalda el principio de correspondencia.

Mecánica cuántica

Las reglas de la mecánica cuántica son muy exitosas para describir objetos microscópicos, átomos y partículas elementales. Pero los sistemas macroscópicos, como resortes y capacitores, son descritos con precisión por teorías clásicas como la mecánica clásica y la electrodinámica clásica. Si la mecánica cuántica fuera aplicable a objetos macroscópicos, debe haber algún límite en el que la mecánica cuántica se reduzca a la mecánica clásica. El principio de correspondencia de Bohr exige que la física clásica y la física cuántica den la misma respuesta cuando los sistemas se vuelven grandes. Arnold Sommerfeld se refirió al principio como "Bohrs Zauberstab" (La varita mágica de Bohr) en 1921.

Las condiciones en las que coinciden la física cuántica y la clásica se denominan límite de correspondencia o límite clásico. Bohr proporcionó una receta aproximada para el límite de correspondencia: ocurre cuando los números cuánticos que describen el sistema son grandes. Un análisis más elaborado de la correspondencia clásica cuántica (QCC) en la dispersión de paquetes de ondas conduce a la distinción entre "QCC restringida" y frágil "QCC detallado". "QCC restringido" se refiere a los dos primeros momentos de la distribución de probabilidad y es cierto incluso cuando los paquetes de ondas se difractan, mientras que "QCC detallado" requiere potenciales suaves que varían en escalas mucho mayores que la longitud de onda, que es lo que consideró Bohr.

La nueva teoría cuántica posterior a 1925 se presentó en dos formulaciones diferentes. En la mecánica de matrices, el principio de correspondencia se incorporó y se utilizó para construir la teoría. En el enfoque de Schrödinger, el comportamiento clásico no está claro porque las ondas se dispersan a medida que se mueven. Una vez que se le dio una interpretación probabilística a la ecuación de Schrödinger, Ehrenfest demostró que las leyes de Newton se cumplen en promedio: el valor esperado estadístico cuántico de la posición y el momento obedecen las leyes de Newton.

El principio de correspondencia es una de las herramientas disponibles para los físicos para seleccionar teorías cuánticas correspondientes a la realidad. Los principios de la mecánica cuántica son amplios: los estados de un sistema físico forman un espacio vectorial complejo y los observables físicos se identifican con operadores hermitianos que actúan sobre este espacio de Hilbert. El principio de correspondencia limita las opciones a aquellas que reproducen la mecánica clásica en el límite de correspondencia.

Otras teorías científicas

El término "principio de correspondencia" se utiliza en un sentido más general para significar la reducción de una nueva teoría científica a una teoría científica anterior en circunstancias apropiadas. Esto requiere que la nueva teoría explique todos los fenómenos bajo circunstancias para las cuales se sabía que la teoría anterior era válida, el "límite de correspondencia".

Por ejemplo,

La relatividad especial de Einstein satisface el principio de correspondencia, porque se reduce a la mecánica clásica en el límite de velocidades pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (ejemplo abajo);
La relatividad general reduce a la gravedad newtoniana en el límite de los campos gravitatorios débiles;
La teoría de Laplace de la mecánica celestial reduce a Kepler cuando las interacciones interplanetarias son ignoradas;
La mecánica estadística reproduce la termodinámica cuando el número de partículas es grande;
En biología, la teoría de la herencia cromosómica reproduce las leyes de la herencia de Mendel, en el dominio que los factores heredados son genes de codificación de proteínas.
En la economía matemática, como formalizada en Foundations of Economic Analysis (1947) de Paul Samuelson, el principio de correspondencia y otros postulados implican predicciones testables sobre cómo el equilibrio cambia cuando los parámetros se cambian en un sistema económico.

Para que haya una correspondencia, la teoría anterior debe tener un dominio de validez: debe funcionar bajo algunas condiciones. No todas las teorías tienen un dominio de validez. Por ejemplo, no hay límite donde la mecánica de Newton se reduce a la mecánica de Aristóteles porque la mecánica de Aristóteles, aunque académicamente dominante durante 18 siglos, no tiene ningún dominio de validez (por otro lado, se puede decir con sensatez que la caída de objetos a través del aire ("movimiento natural") constituye un dominio de validez para una parte de la mecánica de Aristóteles).

Ejemplos

Modelo de Bohr

Si un electrón en un átomo se mueve en una órbita con período $T$ , clásicamente la radiación electromagnética se repetirá en cada período orbital. Si el acoplamiento al campo electromagnético es débil, de modo que la órbita no decae mucho en un ciclo, la radiación se emitirá en un patrón que se repite cada período, de modo que la transformada de Fourier tendrá frecuencias que son solo múltiplos de 1/T. Esta es la ley de radiación clásica: las frecuencias emitidas son múltiplos enteros de $1/ T$ .

En la mecánica cuántica, esta emisión debe ser en cuantos de luz, de frecuencias que consisten en múltiplos enteros de $1/ T$ , de modo que la mecánica clásica es una descripción aproximada en números cuánticos grandes. Esto significa que el nivel de energía correspondiente a una órbita clásica de período $1/ T$ debe tener niveles de energía cercanos que difieren en energía por $h/T$ , y deben estar igualmente espaciados cerca de ese nivel,

{displaystyle Delta E_{n}={frac {h}{T(E_{n})}},.}

Bohr se preocupaba de si la energía espaciaba $1/ T$ debe ser mejor calculado con el período del estado de energía $E_{n}$ , o $E_{n+1}$ , o algún promedio - en retrospectiva, este modelo es sólo la aproximación semiclásica líder.

Bohr consideró órbitas circulares. Clásicamente, estas órbitas deben decaer en círculos más pequeños cuando se emiten fotones. El espaciado de nivel entre órbitas circulares se puede calcular con la fórmula de correspondencia. Para un átomo de hidrógeno, las órbitas clásicas tienen un período $T$ determinado por la tercera ley de Kepler a escala como <span class="texhtml" r^3/2. La escala de energía es $1/ r$ , por lo que la fórmula de espaciado entre niveles equivale a

{displaystyle Delta Epropto {frac {1}{r^{3/2}}}propto E^{3/2}.}

El momento angular $L$ de la órbita circular escala como $\sqrt r$ . La energía en términos del momento angular es entonces

{displaystyle Epropto {1 over r}propto {1 over L^{2}}.}

Suponiendo, con Bohr, que los valores cuantificados de $L$ están igualmente espaciados, el espacio entre las energías vecinas es

{displaystyle Delta Epropto {1 over (L+hbar)^{2}}-{frac {1}{L^{2}}}approx -{frac {2hbar }{L^{3}}}propto -E^{3/2}.}

▪

▪

{displaystyle L={frac {nh}{2pi }}=nhbar ~.}

Así es como Bohr llegó a su modelo. Dado que solo el nivel espaciado está determinado heurísticamente por el principio de correspondencia, siempre se puede agregar una pequeña compensación fija al número cuántico: $L$ bien podría haber sido $(n +.338) ħ$ .

Bohr usó su intuición física para decidir qué cantidades eran mejores para cuantificar. Es un testimonio de su habilidad que pudo obtener tanto de lo que es solo la aproximación de orden principal. Un tratamiento menos heurístico explica las compensaciones necesarias en el estado fundamental L², cf. Transformada de Wigner-Weyl.

Potencial unidimensional

La condición de correspondencia de Bohr se puede resolver para las energías de nivel en un potencial unidimensional general. Defina una cantidad $J (E)$ que es una función solo de la energía y tiene la propiedad de que

{dJ over dE}=T

Este es el análogo del momento angular en el caso de las órbitas circulares. Las órbitas seleccionadas por el principio de correspondencia son las que obedecen a $J = nh$ para $n$ entero, ya que

{displaystyle Delta E=E_{n+1}-E_{n}={dE over dJ}(J_{n+1}-J_{n})={1 over T},Delta J}

Esta cantidad $J$ es conjugada canónicamente a una variable $θ$ que, según las ecuaciones de Hamilton, el movimiento cambia con el tiempo como el gradiente de energía con $J$ . Dado que esto es igual al período inverso en todo momento, la variable $θ$ aumenta constantemente de 0 a 1 durante un período.

La variable de ángulo vuelve a sí misma después de 1 unidad de aumento, por lo que la geometría del espacio de fase en $J, θ$ es la de un medio cilindro, rematado en $J$ = 0, que es la órbita inmóvil en el valor más bajo de la energía. Estas coordenadas son tan canónicas como $x, p$ , pero las órbitas ahora son líneas de constante $J$ en lugar de ovoides anidados en el espacio $x - p$ .

El área encerrada por una órbita es invariable bajo transformaciones canónicas, por lo que es la misma en $x - p$ espacio como en $J - θ$ . Pero en las coordenadas $J - θ$ , esta área es el área de un cilindro de unidad de circunferencia entre 0 y $J$ , o simplemente $J$ . Entonces $J$ es igual al área encerrada por la órbita en $x-p$ coordenadas también,

{displaystyle J=int _{0}^{T}p{dx over dt},dt~.}

La regla de cuantificación es que la variable de acción $J$ es un múltiplo entero de $h$ .

Movimiento multiperiódico: cuantización de Bohr-Sommerfeld

El principio de correspondencia de Bohr proporcionó una manera de encontrar la regla de cuantización semiclásica para un sistema de un grado de libertad. Era un argumento a favor de la antigua condición cuántica, en su mayor parte independiente del desarrollado por Wien y Einstein, que se centraba en la invariancia adiabática. Pero ambos apuntaban a la misma cantidad, la acción.

Bohr se mostró reacio a generalizar la regla a sistemas con muchos grados de libertad. Este paso fue dado por Sommerfeld, quien propuso la regla general de cuantización para un sistema integrable,

J_{k}=hn_{k}.,

Cada variable de acción es un entero independiente, un número cuántico independiente.

Esta condición reproduce la condición de órbita circular para el movimiento bidimensional: sean $r,θ$ coordenadas polares para un potencial central. Entonces $θ$ ya es una variable de ángulo, y el momento canónico conjugado es $L$ , el momento angular. Entonces, la condición cuántica para $L$ reproduce la regla de Bohr:

int _{0}^{2pi }Ldtheta =2pi L=nh.

Esto permitió a Sommerfeld generalizar la teoría de órbitas circulares de Bohr a órbitas elípticas, mostrando que los niveles de energía son los mismos. También encontró algunas propiedades generales del momento angular cuántico que parecían paradójicas en ese momento. Uno de estos resultados fue que la componente z del momento angular, la inclinación clásica de una órbita con respecto al eje z, solo podía tomar valores discretos, un resultado que parecía contradecir la invariancia rotacional. Esto se llamó cuantificación del espacio durante un tiempo, pero este término cayó en desgracia con la nueva mecánica cuántica ya que no se trata de la cuantización del espacio.

En la mecánica cuántica moderna, el principio de superposición deja claro que la invariancia rotacional no se pierde. Es posible rotar objetos con orientaciones discretas para producir superposiciones de otras orientaciones discretas, y esto resuelve las paradojas intuitivas del modelo de Sommerfeld.

El oscilador armónico cuántico

Aquí hay una demostración de cómo los números cuánticos grandes pueden dar lugar a un comportamiento clásico (continuo).

Considere el oscilador armónico cuántico unidimensional. La mecánica cuántica nos dice que la energía total (cinética y potencial) del oscilador, $E$ , tiene un conjunto de valores discretos,

E=(n+1/2)hbar omega n=0,1,2,3,dots ~,

donde $ω$ es la frecuencia angular del oscilador.

Sin embargo, en un oscilador armónico clásico, como una bola de plomo unida al extremo de un resorte, no percibimos ninguna diferencia. En cambio, la energía de tal sistema macroscópico parece variar a lo largo de un continuo de valores. Podemos comprobar que nuestra idea de los sistemas macroscópicos se encuentra dentro del límite de correspondencia. La energía del oscilador armónico clásico con amplitud $A$ , es

E={frac {momega ^{2}A^{2}}{2}}.

Por lo tanto, el número cuántico tiene el valor

n={frac {E}{hbar cdot omega }}-{frac {1}{2}}={frac {momega A^{2}}{2hbar }}-{frac {1}{2}}

Si aplicamos la típica "escala humana" valores $m$ = 1 kg, $ω$ = 1 rad/s, y $A$ = 1 m, entonces $n$ ≈ 4,74×10 ³³. Este es un número muy grande, por lo que el sistema está efectivamente en el límite de correspondencia.

Es sencillo ver por qué percibimos un continuo de energía en este límite. Con $ω$ = 1 rad/s, la diferencia entre cada nivel de energía es $ħω$ ≈ 1,05 × 10⁻³⁴J, muy por debajo de lo que solemos resolver para los sistemas macroscópicos. Luego se describe este sistema a través de un límite clásico emergente.

Energía cinética relativista

Aquí mostramos que la expresión de energía cinética de la relatividad especial se vuelve arbitrariamente cercana a la expresión clásica, para velocidades que son mucho más lentas que la velocidad de la luz, $v ≪ c$ .

Ecuación masa-energía de Albert Einstein

E={frac {m_{0}}{sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}c^{2}~,

donde la velocidad, $v$ es la velocidad del cuerpo relativa al observador, ${displaystyle m_{0}}$ es la masa de reposo (la masa observada del cuerpo a velocidad cero relativa al observador), y $c$ es la velocidad de la luz.

Cuando la velocidad $v$ desaparece, la energía expresada arriba no es cero y representa la energía en reposo,

E_{0}=m_{0}c^{2}.

Cuando el cuerpo está en movimiento con respecto al observador, la energía total excede la energía en reposo en una cantidad que es, por definición, la energía cinética,