Álgebra de Clifford

En matemáticas, un álgebra de Clifford es un álgebra generada por un espacio vectorial con forma cuadrática, y es un álgebra unitaria asociativa. Como K-álgebras, generalizan los números reales, los números complejos, los cuaterniones y varios otros sistemas numéricos hipercomplejos. La teoría de las álgebras de Clifford está íntimamente relacionada con la teoría de las formas cuadráticas y las transformaciones ortogonales. Las álgebras de Clifford tienen aplicaciones importantes en una variedad de campos que incluyen geometría, física teórica y procesamiento de imágenes digitales. Llevan el nombre del matemático inglés William Kingdon Clifford.

Las álgebras de Clifford más familiares, las álgebras de Clifford ortogonales, también se conocen como (pseudo-)álgebras de Clifford de Riemann, como distintas de álgebras simplécticas de Clifford.

Introducción y propiedades básicas

Un álgebra de Clifford es un álgebra asociativa unitaria que contiene y es generada por un espacio vectorial V sobre un campo K, donde V está equipado con una forma cuadrática < abarcan clase="texhtml">Q: V → K. El álgebra de Clifford Cl(V, Q) es el "más libre" álgebra asociativa unitaria generada por V sujeto a la condición

$${displaystyle v^{2}=Q(v)1\text{ for all }vin V.$$

donde el producto de la izquierda es el del álgebra, y el 1 es su identidad multiplicativa. La idea de ser el "más libre" o "más general" el álgebra sujeta a esta identidad puede expresarse formalmente a través de la noción de una propiedad universal, como se hace a continuación.

Donde V es un espacio vectorial real de dimensión finita y Q< /span> no es degenerado, Cl(V, Q) puede identificarse con la etiqueta Cl_p,q(R), lo que indica que V tiene una base ortogonal con p elementos con < i>e_i² = +1, q con e_i² = −1, y donde R indica que se trata de un álgebra de Clifford sobre los reales; es decir, los coeficientes de los elementos del álgebra son números reales. Esta base se puede encontrar por diagonalización ortogonal.

El álgebra libre generada por V puede escribirse como el álgebra tensorial ⨁ _n≥0 V ⊗ ⋯ ⊗ V, es decir, la suma del producto tensorial de n copias de V sobre todo n, por lo que un álgebra de Clifford sería el cociente de este álgebra tensorial por el ideal bilateral generado por elementos de la forma v ⊗ v − Q(v)1 para todos los elementos v< /i> ∈ V. El producto inducido por el producto tensorial en el álgebra del cociente se escribe usando yuxtaposición (por ejemplo, uv). Su asociatividad se deriva de la asociatividad del producto tensorial.

El álgebra de Clifford tiene un subespacio distinguido V, siendo la imagen del mapa incrustado. En general, dicho subespacio no puede determinarse de manera única dada solo una K-álgebra isomorfa al álgebra de Clifford.

Si la característica del campo de tierra K no es 2, entonces uno puede reescribir la identidad fundamental anterior en la forma

$${displaystyle uv+vu=2langle u,vrangle 1text{ for all }u,vin V,}$$

$${displaystyle langle u,vrangle ={frac {1}}left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)right)}$$

Propiedad universal y construcción

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K, y sea Q: V → K una forma cuadrática en V. En la mayoría de los casos de interés, el campo K es el campo de los números reales R , o el campo de números complejos C, o un campo finito.

Un álgebra de Clifford Cl(V, Q) es un par (A, i), donde A es un álgebra asociativa unitaria sobre K y i es un mapa lineal i: V → Cl(V, Q) satisfaciendo i(v)² = Q(v)1 para todos los v en V, definidos por la siguiente propiedad universal: dada cualquier álgebra asociativa unitaria A sobre K y cualquier aplicación lineal j: V → A tal que

$${displaystyle j(v)}{2}=Q(v)1_{A}{text{ for all }vin V}$$

1_AAf: ClV, Q) → Af ∘ i = j

La forma cuadrática Q puede ser reemplazada por una forma bilineal (no necesariamente simétrica) ⟨⋅,⋅ ⟩ que tiene la propiedad ⟨v, v⟩ = Q(v ), v ∈ V, en cuyo caso un requisito equivalente en j es

$${displaystyle j(v)j(v)=langle v,vrangle 1_{A}quad {text{ for all }vin V.$$

Cuando la característica del campo no sea 2, esta podrá ser sustituida por lo que entonces es un requisito equivalente,

$${displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=(langle v,wrangle +langle w,vrangle)1_{A}quad {text{ for all }v,win V,}$$

Siempre existe un álgebra de Clifford como se describe arriba y se puede construir de la siguiente manera: comience con el álgebra más general que contiene V, es decir, el tensor álgebra T(V), y luego reforzar la identidad fundamental tomando un cociente adecuado. En nuestro caso, queremos tomar el ideal de dos colas I_Q en < i>T(V) generado por todos los elementos del formulario

$${displaystyle votimes v-Q(v)1}$$

${displaystyle vin V}$Cl(V, Q)

$${displaystyle operatorname {Cl} (V,Q)=T(V)/I_{Q}$$

El producto de anillo heredado por este cociente a veces se denomina producto de Clifford para distinguirlo del producto exterior y del producto escalar.

Entonces es sencillo mostrar que Cl(V, Q) contiene V y satisface la propiedad universal anterior, de modo que Cl es único hasta un isomorfismo único; así se habla de "el" Álgebra de Clifford Cl(V, Q). También se sigue de esta construcción que i es inyectivo. Por lo general, se descarta i y se considera V como un subespacio lineal de Cl(V, Q).

La caracterización universal del álgebra de Clifford muestra que la construcción de Cl(V, Q) es funcional. Es decir, Cl puede considerarse como un funtor desde la categoría de espacios vectoriales con formas cuadráticas (cuyos morfismos son aplicaciones lineales que conservan la forma cuadrática) hasta la categoría de álgebras asociativas. La propiedad universal garantiza que los mapas lineales entre espacios vectoriales (preservando la forma cuadrática) se extienden únicamente a los homomorfismos de álgebra entre las álgebras de Clifford asociadas.

Base y dimensión

Dado que V viene equipado con una forma cuadrática Q, en característica no igual a 2 existen bases para V que son ortogonales. Una base ortogonal es aquella que para una forma bilineal simétrica

$${displaystyle langle E_{i},e_{j}rangle =0}$$

${displaystyle ineq j}$

$${displaystyle langle e_{i},e_{i}rangle =Q(e_{i}).}$$

La identidad fundamental de Clifford implica que para una base ortogonal

$${displaystyle E_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}$$

${displaystyle ineq j}$

$${displaystyle e_{i} {2}=Q(e_{i}).}$$

Esto hace que la manipulación de los vectores de base ortogonal sea bastante simple. Dado un producto ${displaystyle E_{i_{1}e_{i_{2}cdots E_{i_{k}}$ de diferencia vectores de base ortogonal de V, uno puede ponerlos en un orden estándar mientras que incluye un signo general determinado por el número de swaps pares necesarios para hacerlo (es decir, la firma de la permutación del pedido).

Si la dimensión de V sobre K es < abarcan clase="texhtml">n y {e₁,..., e_n} es una base ortogonal de (V, Q), entonces Cl(V, Q) es gratis sobre K con una base

$${displaystyle {cdots} e_{i_{k}mid 1leq i_{1}traducidoscdotas$$

El producto vacío (k = 0) se define como el elemento de identidad multiplicativo. Para cada valor de k hay n k elementos base, por lo que la dimensión total del álgebra de Clifford es

$${displaystyle dim operatorname [Cl] (V,Q)=sum ¿Qué? {n}=2^{n}$$

Ejemplos: álgebras de Clifford reales y complejas

Las álgebras de Clifford más importantes son aquellas sobre espacios vectoriales reales y complejos equipados con formas cuadráticas no degeneradas.

Cada una de las álgebras Cl_p,q(R) y Cl_n(C) es isomorfo a A o A ⊕ A, donde A es un anillo de matriz completo con entradas de R, C o H. Para obtener una clasificación completa de estas álgebras, consulte Clasificación de las álgebras de Clifford.

Números reales

Las álgebras de Clifford también se denominan a veces álgebras geométricas, la mayoría de las veces sobre números reales.

Toda forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial real de dimensión finita es equivalente a la forma diagonal estándar:

$${displaystyle Q(v)=v_{1}{2}+dots ¿Qué? -v_{p+q} {2}$$

n = p + q()p, q)R^p,q.R^p,qCl_p,q()R).Cl_n()R)Cl_n,0()R)Cl_0,n()R)

Una base estándar {e₁,..., e _n} para R^p,q consta de n = p + q mutuamente vectores ortogonales, p de los cuales cuadrados a +1 y q de los cuales al cuadrado a −1. De tal base, el álgebra Cl_p,q(R) Por lo tanto, tendrá vectores p que cuadran a +1 y q vectores que cuadran a −1.

Algunos casos de baja dimensión son:

• Cl_0,0()R) es naturalmente isomorfo a R ya que no hay vectores no cero.
• Cl_0,1()R) es un álgebra bidimensional generado por e₁ que cuadrados a −1, y es algebra-isómorfo a C, el campo de números complejos.
• Cl_0,2()R) es un álgebra de cuatro dimensiones {1} e₁, e₂, e₁e₂}. Los tres últimos elementos todos cuadrados a −1 y anticomunicación, y por lo tanto el álgebra es isomorfo a las cuaterniones H.
• Cl_0,3()R) es un isomorfo de álgebra de 8 dimensiones a la suma directa H ⊕ H, las biquaterniones divididas.

Números complejos

También se pueden estudiar álgebras de Clifford en espacios vectoriales complejos. Cada forma cuadrática no degenerada en un espacio vectorial complejo de dimensión n es equivalente a la forma diagonal estándar

$${displaystyle Q(z)=z_{2}+z_{2}{2}+dots ¿Qué?$$

nCⁿCl_n()C)

Para los primeros casos uno encuentra que

• Cl₀()C) C, los números complejos
• Cl₁()C) C ⊕ C, los números bicomplex
• Cl₂()C)₂()C), las bicuaterniones

donde M_n(C) denota el álgebra de n × n matrices sobre C.

Ejemplos: construcción de cuaterniones y cuaterniones duales

Cuaterniones

En esta sección, los cuaterniones de Hamilton se construyen como el subálgebra par del álgebra de Clifford Cl_0,3(R).

Sea el espacio vectorial V un espacio tridimensional real R< sup>3, y la forma cuadrática Q ser el negativo de la métrica euclidiana habitual. Luego, para v, w en R< sup>3 tenemos la forma bilineal (o producto escalar)

$${displaystyle vcdot ¿Qué?$$

vw

$${displaystyle vw+w=2(vcdot w).}$$

Denote un conjunto de vectores unitarios ortogonales de R³ como {< i>e₁, e₂, e₃}, entonces el producto de Clifford produce las relaciones

$${displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},,,,e_{3}e_{1}=-e_{1}e_{3},,,,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}}$$

$${displaystyle E_{1} {2}=e_{2} {2}=e_{3}=1.}$$

Cl_0,3()R)

$${displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}e_{3}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}e_{3}e_{3}e_{1}e_{1}e_{1}e_}$$

La combinación lineal de los elementos de grado par de Cl_0,3(R) define la subálgebra par < span class="texhtml">Cl^[0]
_0,3(R) con el elemento general

$${displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{3}e_{1}+q_{3}e_{1}e_{2}}$$

i, j, k

$${displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2}}$$

Cl^[0]
_0,3()R)

Para ver esto, calcule

$${displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3} {2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}e_=-1,}$$

$${displaystyle ¿Qué?$$

$${displaystyle ijk=e_{2}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.}$$

Cuaterniones duales

En esta sección, los cuaterniones duales se construyen como el álgebra par de Clifford del espacio real de cuatro dimensiones con una forma cuadrática degenerada.

Sea el espacio vectorial V un espacio real de cuatro dimensiones R< sup>4, y permita que la forma cuadrática Q sea una forma degenerada derivada de la métrica euclidiana en R³. Para v, w en R⁴ introduce la forma bilineal degenerada

$${displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}}$$

R⁴R³

El producto de Clifford de los vectores v y w es dada por

$${displaystyle vw+w=-2,d(v,w). }$$

Denote un conjunto de vectores unitarios mutuamente ortogonales de R⁴ como { e₁, e₂, e₃, e₄}, entonces el producto de Clifford produce las relaciones

$${displaystyle e...$$

$${displaystyle e_{1} {2}=e_{2}=e_{2}=-1,,,e_{4}=0}$$

El elemento general del álgebra de Clifford Cl(R⁴, d) tiene 16 componentes. La combinación lineal de los elementos de grado par define la subálgebra par Cl^[0]
(R⁴, d) con el elemento general

$${displaystyle ¿Qué?$$

Los elementos básicos se pueden identificar con los elementos básicos del cuaternión i, j, k y la unidad dual ε como

$${displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},,,varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}$$

Cl^[0]
_0,3,1()R)

Para ver esto, calcule

$${2}e_{2}e_{1}e_}e_{1}e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}e_{4}e_}e_{2}e_{2}e_}e_{2}e_}e_{3}e_{4}e_}e_}$$

$${2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{4}e_{2}e_{3}e_{3}e_{3}e_{1}e_{2}e_{4}e_{2}e_}e_{3}e_{3}e_{2}e_}e_{3}e_{3}e_}_=e_=e_=e_=e_____________________________________________________________________________}$$

e₁e₄εi, j, k.

Ejemplos: en pequeña dimensión

Sea K cualquier campo de característica no 2.

Dimensión 1

Para dim V = 1, si Q tiene diagonalización diag(a), es decir, hay un vector distinto de cero x tal que Q(x) = a, entonces Cl(V, Q) es álgebra-isomorfa a K-álgebra generada por un elemento x que satisface x² = a, el álgebra cuadrática K[X] / (X² − a).

En particular, si a = 0 (es decir, Q< /span> es la forma cuadrática cero) entonces Cl(V, Q) es álgebra-isomorfa a los números duales álgebra sobre K.

Si a es un cuadrado distinto de cero en K, entonces Cl(V, Q) ≃ K ⊕ K< /lapso>.

De lo contrario, Cl(V, Q) es isomorfo a la extensión del campo cuadrático K(√a) de K.

Dimensión 2

Para dim V = 2, si Q tiene diagonalización diag(a, b) con distinto de cero a< /i> y b (que siempre existe si Q< /span> no es degenerado), entonces Cl(V, Q) es isomorfo a K-álgebra generada por los elementos x y y satisfaciendo x² = a, y² = b y xy = −yx.

Por lo tanto, Cl(V, Q) es isomorfo al álgebra de cuaterniones (generalizada) (a, b)_K. Recuperamos los cuaterniones de Hamilton cuando a = b = −1, ya que H = (−1, −1)_R.

Como caso especial, si alguna x en V satisface Q(x) = 1, entonces Cl(V , Q) ≃ M₂(K).

Propiedades

Relación con el álgebra exterior

Dado un espacio vectorial V, se puede construir el álgebra exterior ⋀V, cuya definición es independiente de cualquier forma cuadrática en V. Resulta que si K no tiene la característica 2 entonces hay un isomorfismo natural entre < abarcan clase="texhtml">⋀V y Cl(V, Q)< /span> considerados como espacios vectoriales (y existe un isomorfismo en la característica dos, que puede no ser natural). Este es un isomorfismo de álgebra si y solo si Q = 0. Por lo tanto, se puede considerar el álgebra de Clifford Cl(V, Q) como un enriquecimiento (o más precisamente, una cuantificación, cf. la Introducción) del álgebra exterior sobre V con una multiplicación que depende de Q (aún se puede definir el producto exterior independientemente de Q).

La forma más fácil de establecer el isomorfismo es elegir una base ortogonal {e₁,..., e_n} para V y extiéndalo a una base para Cl(V, Q) como se describe arriba. El mapa Cl(V, Q) → ⋀V está determinado por

$${displaystyle E_{i_{1}e_{i_{2}cdots E_{i_{k}mapsto E_{i_{1}wedge e_{i_{2}wedge cdots wedge E_{i_{k}}$$

{}e₁,... e_n}

Si la característica de K es 0, también se puede establecer el isomorfismo por antisimetrización. Definir funciones f_k: V × ⋯ × V → Cl(< i>V, Q) por

$${displaystyle f_{k}(v_{1},ldotsv_{k}={frac} {1}{k}}sum _{sigma in mathrm {fnK}cdots v_{sigma)}$$

kS_kf_k⋀^k V → Cl(V, Q)⋀VCl(V, Q)

Una forma más sofisticada de ver la relación es construir una filtración en Cl(V, Q). Recuerde que el álgebra tensorial T(V) tiene una filtración natural: F⁰ ⊂ F¹ ⊂ F² ⊂ ⋯ , donde F^k contiene sumas de tensores con orden ≤ k. Proyectar esto al álgebra de Clifford da una filtración en Cl(V, Q). El álgebra graduada asociada

$${displaystyle operatorname [Gr] _{F}operatorname {Cl} (V,Q)=bigoplus ¿Por qué?$$

⋀VF^kF^{k+ 1}k

Calificación

A continuación, suponga que la característica no es 2.

Las álgebras de Clifford son álgebras de grado Z₂ (también conocidas como superálgebras). De hecho, el mapa lineal en V definido por v ↦ −v (reflexión a través de la origen) conserva la forma cuadrática Q y así por la propiedad universal de las álgebras de Clifford se extiende a un automorfismo de álgebra

$${displaystyle alpha:operatorname {Cl} (V,Q)to operatorname {Cl} (V,Q). }$$

Dado que α es una involución (es decir, cuadra a la identidad) se puede descomponer Cl(V, Q) en espacios propios positivos y negativos de α

$${displaystyle operatorname [Cl} (V,Q)=operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)oplus operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$

$${displaystyle operatorname {Cl} ^{i}(V,Q)=left{xin operatorname {Cl} (V,Q)mid alpha (x)=(-1)^{i}xright}$$

Dado que α es un automorfismo, se sigue que:

$${displaystyle operatorname [Cl] ^{[i]}(V,Q)operatorname {Cl} ^{ [j]}(V,Q)=operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$

Cl(V, Q)Z₂Cl^[0]()V, Q)Cl(V, Q)incluso subalgebraCl^[1]()V, Q)Parte extrañaCl(V, Q)Z₂αprincipal involucióngrado de evoluciónZ₂

Observación. En la característica no 2, el espacio vectorial subyacente de Cl(V, Q) hereda un N-graduación y una Z-graduación del isomorfismo canónico con el espacio vectorial subyacente del álgebra exterior ⋀V. Sin embargo, es importante tener en cuenta que se trata de una clasificación de espacio vectorial únicamente. Es decir, la multiplicación de Clifford no respeta la calificación N ni la calificación Z, solo la calificación Z₂. calificación: por ejemplo, si Q(v) ≠ 0, entonces v ∈ Cl¹(V, Q), pero v² ∈ Cl⁰(V, Q), no en Cl²(V, Q). Afortunadamente, las calificaciones están relacionadas de forma natural: Z₂ ≅ N/2N ≅ Z/2Z. Además, el álgebra de Clifford se filtra por Z:

$${displaystyle operatorname {Cl} ^{leqslant i}(V,Q)cdot operatorname {Cl} ^{leqslant j}(V,Q)subset operatorname {Cl} ^{leqslant i+j}(V,Q). }$$

El grado de un número de Clifford generalmente se refiere al grado en la calificación N.

La subálgebra par Cl^[0](V, Q) de un El álgebra de Clifford es en sí misma isomorfa a un álgebra de Clifford. Si V es la suma directa ortogonal de un vector a de norma distinta de cero Q(a) y un subespacio U, entonces Cl^[0](V, Q) es isomorfo a Cl(U, −Q(a)Q)< /span>, donde −Q(a)Q es la forma Q restringido a U y multiplicado por −Q(a). En particular sobre los reales esto implica que:

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p,q}{[0]}(mathbf {R})cong {begin{cases}operatorname {Cl} _{p,q-1}(mathbf {R}) {Cl} _{q,p-1}(mathbf {R})$$

En el caso definido negativo, esto da una inclusión Cl_0,n−1(R) ⊂ Cl_0,n(R), que extiende la secuencia

R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂

Del mismo modo, en el caso complejo, se puede demostrar que la subálgebra par de Cl_n(C) es isomorfo a Cl_n−1(C).

Antiautomorfismos

Además del automorfismo α, hay dos antiautomorfismos que juegan un papel importante en el análisis de las álgebras de Clifford. Recuerda que el álgebra tensorial T(V) viene con un antiautomorfismo que invierte el orden en todos los productos de vectores:

$${displaystyle v_{1}otimes v_{2}otimes cdots otimes v_{k}mapsto v_{k}otimes cdots otimes v_{2}otimes v_{1}.$$

I_QCl(V, Q)transposeinversiónx^t()xy)^t = Sí.^t x^tZ₂αConjugación Clifford${displaystyle {bar {x}}$

$${displaystyle {bar {x}=alpha (x^{mathrm {})=alpha (x)^{mathrm {t}.}$$

Tenga en cuenta que todas estas operaciones son involuciones. Se puede demostrar que actúan como ±1 en elementos que son puros en la clasificación Z. De hecho, las tres operaciones dependen solo del grado módulo 4. Es decir, si x es puro con grado k entonces

$${displaystyle alpha (x)=pm xqquad x^{mathrm {t}=pm xqquad {bar {x}=pm x}$$

k mod. 4	0	1	2	3	...
${displaystyle alpha (x),}$	+	−	+	−	(1)−k
${displaystyle x^{mathrm},}$	+	+	−	−	(1)−k()k −1)/2
${displaystyle {bar {x}}$	+	−	−	+	(1)−k()k + 1)/2

Producto escalar de Clifford

Cuando la característica no es 2, la forma cuadrática Q en V se puede extender a una forma cuadrática en todo Cl(V, Q) (que también denotamos por Q). Una definición independiente de la base de una de esas extensiones es

$${displaystyle Q(x)=leftlangle x^{mathrm {t}xrightrangle ¿Qué?$$

a₀aZ

$${displaystyle Q(v_{1}v_{2}cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})cdots Q(v_{k})}$$

v_iVnoCl(V, Q)

La forma bilineal simétrica asociada en Cl(V, Q) está dada por

$${displaystyle langle x,yrangle =leftlangle x^{mathrm {t}yrightrangle _{0}$$

VCl(V, Q)V

El operador de la multiplicación Clifford izquierda (respectivamente derecha) por la transposición a^t de un elemento a es el adjunto de la multiplicación de Clifford izquierda (respectivamente derecha) por a con respecto a este producto interno. Es decir,

$${displaystyle langle ax,yrangle =leftlangle x,a^{mathrm {t}yrightrangle}$$

$${displaystyle langle xa,yrangle =leftlangle x,ya^{mathrm {t}rightrangle.}$$

Estructura de las álgebras de Clifford

En esta sección asumimos que la característica no es 2, el espacio vectorial V es de dimensión finita y que la forma bilineal simétrica asociada de Q no es degenerada.

Un álgebra simple central sobre K es un álgebra matricial sobre un álgebra de división (de dimensión finita) con centro K. Por ejemplo, las álgebras simples centrales sobre los reales son álgebras matriciales sobre los reales o los cuaterniones.

• Si V tiene incluso dimensión entonces Cl(V, Q) es un álgebra simple central sobre K.
• Si V tiene incluso dimensión entonces el subalgebra Cl^[0]()V, Q) es un álgebra simple central sobre una extensión cuadrática K o una suma de dos álgebras simples isomorfos centrales sobre K.
• Si V tiene una dimensión extraña entonces Cl(V, Q) es un álgebra simple central sobre una extensión cuadrática K o una suma de dos álgebras simples isomorfos centrales sobre K.
• Si V tiene una dimensión extraña entonces el subalgebra Cl^[0]()V, Q) es un álgebra simple central sobre K.

La estructura de las álgebras de Clifford se puede resolver explícitamente usando el siguiente resultado. Supongamos que U tiene una dimensión par y una forma bilineal no singular con discriminante d , y supongamos que V es otro espacio vectorial con forma cuadrática. El álgebra de Clifford de U + V es isomorfa al producto tensorial de las álgebras de Clifford de U y (−1)^dim(U)/2 dV, que es el espacio V con su forma cuadrática multiplicado por (− 1)^dim(U)/2d. Sobre los reales, esto implica en particular que

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p+2,q}(mathbf {R})=mathrm {M} _{2}(mathbf {R})otimes operatorname {Cl} _{q,p}(mathbf {R})}}$$

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(mathbf {R})=mathrm {M} _{2}(mathbf {R})otimes operatorname {Cl} _{p,q}(mathbf {R})}}$$

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p,q+2}(mathbf {R})=mathbf {H} otimes operatorname {Cl} _{q,p}(mathbf {R}).}$$

En particular, la clase de equivalencia de Morita de un álgebra de Clifford (su teoría de representación: la clase de equivalencia de la categoría de módulos sobre ella) depende solo de la firma (p − q) mod 8. Esta es una forma algebraica de la periodicidad de Bott.

Grupo Lipschitz

La clase de grupos de Lipschitz (también conocidos como grupos de Clifford o grupos de Clifford-Lipschitz) fue descubierta por Rudolf Lipschitz.

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y la forma cuadrática Q< /i> no es degenerado.

Una acción sobre los elementos de un álgebra de Clifford por su grupo de unidades se puede definir en términos de una conjugación torcida: conjugación torcida por x mapas y ↦ α(x) y x⁻¹, donde α es la involución principal definida anteriormente.

El grupo de Lipschitz Γ se define como el conjunto de elementos invertibles x que < i>estabilizar el conjunto de vectores bajo esta acción, lo que significa que para todos los v en V tenemos:

$${displaystyle alpha (x)vx^{-1}in V.}$$

Esta fórmula también define una acción del grupo de Lipschitz en el espacio vectorial V que conserva la forma cuadrática Q, y así da un homomorfismo del grupo de Lipschitz al grupo ortogonal. El grupo de Lipschitz contiene todos los elementos r de V para los cuales Q(r) es invertible en K , y estos actúan sobre V mediante las correspondientes reflexiones que llevan v a v − (⟨r, v⟩ + ⟨v, r⟩)r/< i>Q(r). (En 2 característicos, estos se denominan transvecciones ortogonales en lugar de reflexiones).

Si V es un espacio vectorial real de dimensión finita con una forma cuadrática no degenerada, entonces el grupo de Lipschitz se asigna al grupo ortogonal de V con respecto a la forma (por el teorema de Cartan-Dieudonné) y el núcleo consta de los elementos distintos de cero del campo K. Esto conduce a secuencias exactas

$${displaystyle 1derecha K^{times }rightarrow Gamma rightarrow {mbox{O}_{V}(K)rightarrow 1,,}$$

$${displaystyle 1derecha K^{times }rightarrow #Gamma ^{0}rightarrow {mbox{SO}_{V}(K)rightarrow 1.,}$$

Sobre otros campos o con formas indefinidas, el mapa no es en general sobre, y la falla es capturada por la norma spinor.

Norma de Spinor

En característica arbitraria, la norma spinor Q se define en el grupo de Lipschitz por

$${displaystyle Q(x)=x^{mathrm {t}x.}$$

K^×KQVV¹

Los elementos distintos de cero de K tienen norma spinor en el grupo (K^×)² de cuadrados de elementos distintos de cero del campo K. Entonces, cuando V es de dimensión finita y no singular, obtenemos un mapa inducido del grupo ortogonal de V al grupo K ^×/(K^×)², también llamada norma del espinor. La norma spinor de la reflexión sobre r^⊥, para cualquier vector r, tiene imagen Q( r) en K^×/(K^×)², y esta propiedad lo define de forma única en el grupo ortogonal. Esto da secuencias exactas:

$${displaystyle {begin{aligned}1to {pm 1to} {mbox{Pin}_{V}(K) Pulidoto {mbox{O}_{V}(K)to K^{times }/left(K^{times }right)^{2},1to {pm 1to}toto {mbox{Spin}_{V}(K) Pulidoto {mbox{SO}_{V}(K)to K^{times }/left(K^{times }right)}{2}end{aligned}}}}}}}}}}}}$$

Observe que en la característica 2 el grupo {±1} tiene solo un elemento.

Desde el punto de vista de la cohomología de Galois de grupos algebraicos, la norma spinor es un homomorfismo de conexión sobre la cohomología. Escribiendo μ₂ para el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1 (sobre un campo de característica diferente a 2 es más o menos lo mismo que un grupo de dos elementos con acción de Galois trivial), la sucesión exacta corta

$${displaystyle 1to mu ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif} {fnK} {fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicros} 1}$$

$${displaystyle 1to H^{0}(mu _{2};K)to H^{0}({mbox{Pin}}_{V};K)to H^{0}({mbox{O}_{V};K)to H^{1}(mu _{2};K). }$$

El grupo de cohomología de Galois 0 de un grupo algebraico con coeficientes en K es simplemente el grupo de puntos con valores de K: H⁰(G; K) = G(K), y H¹(μ₂; K) ≅ K^×/(K^×)², que recupera la secuencia anterior

$${displaystyle 1to {pm 1to}to {mbox{Pin}_{V}(K)to {mbox{O}_{V}(K)to K^{times }/left(K^{times }right)}{2}}}$$

H⁰(O_V; K) → H¹(μ)₂; K)

Grupos de giros y pines

En esta sección asumimos que V es de dimensión finita y su forma bilineal no es singular.

El grupo pin Pin_V(K) es el subgrupo del Lipschitz grupo Γ de elementos de norma spinor 1, y de manera similar el grupo de espín Spin _V(K) es el subgrupo de elementos del invariante de Dickson 0 en Pin_V(K). Cuando la característica no es 2, estos son los elementos del determinante 1. El grupo de giro generalmente tiene un índice 2 en el grupo de pines.

Recuerde de la sección anterior que hay un homomorfismo del grupo de Lipschitz en el grupo ortogonal. Definimos el grupo ortogonal especial como la imagen de Γ⁰. Si K no tiene la característica 2 este es solo el grupo de elementos del grupo ortogonal de determinante 1. Si K tiene la característica 2, entonces todos los elementos del grupo ortogonal tienen determinante 1, y el grupo ortogonal especial es el conjunto de elementos del invariante de Dickson 0.

Hay un homomorfismo del grupo pin al grupo ortogonal. La imagen consta de los elementos de la norma espinora 1 ∈ K^×/(K^{×< /sup>)2}. El kernel consta de los elementos +1 y −1, y tiene un orden 2 a menos que K tenga la característica 2. De manera similar, hay un homomorfismo del grupo Spin al grupo ortogonal especial de V.

En el caso común cuando V es un espacio definido positivo o negativo sobre los reales, el grupo de espín se asigna al grupo ortogonal especial, y simplemente está conectado cuando V tiene una dimensión de al menos 3. Además, el núcleo de este homomorfismo consta de 1 y −1. Entonces, en este caso, el grupo de giro, Spin(n), es una doble cubierta de SO( n). Tenga en cuenta, sin embargo, que la conexión simple del grupo de espín no es cierta en general: si V es < b>R^p,q para p y q ambos al menos 2 entonces el grupo de espín no es simplemente conectado. En este caso, el grupo algebraico Spin_p,q simplemente se conecta como un grupo algebraico, aunque su grupo de puntos de valor real Spin_p,q(R) no está simplemente conectado. Este es un punto bastante sutil, que confundió por completo a los autores de al menos un libro estándar sobre grupos de espín.

Espinores

Álgebras de Clifford Cl_p,q(C), con p + q = 2n pares, son álgebras matriciales que tienen una representación compleja de la dimensión 2ⁿ. Restringiendo al grupo Pin_p,q(R) obtenemos una representación compleja del grupo Pin de la misma dimensión, llamada representación de espín. Si restringimos esto al grupo de espín Spin_p,q(R) luego se divide como la suma de dos representaciones de medio giro (o representaciones de Weyl) de dimensión 2^{< i>n}−1.

Si p + q = 2n + 1 es impar entonces el Clifford álgebra Cl_p,q(C) es una suma de dos álgebras matriciales, cada una de las cuales tiene una representación de dimensión 2ⁿ, y ambas también son representaciones de el grupo Pin Pin_p,q(R). Sobre la restricción al grupo de espín Spin_p,q(R)< /span> estos se vuelven isomorfos, por lo que el grupo de espín tiene una representación de espinor compleja de dimensión 2ⁿ.

Más generalmente, los grupos espinores y los grupos pin sobre cualquier campo tienen representaciones similares cuya estructura exacta depende de la estructura de las álgebras de Clifford correspondientes: cada vez que un álgebra de Clifford tiene un factor que es un álgebra matricial sobre algún álgebra de división, obtenemos un representación correspondiente de los grupos pin y spin sobre esa división algebraica. Para ver ejemplos sobre los reales, consulte el artículo sobre espinores.

Espinores reales

Para describir las representaciones reales de espín, uno debe saber cómo se ubica el grupo de espín dentro de su álgebra de Clifford. El grupo pin, Pin_p,q es el conjunto de elementos invertibles en Cl_p,q que se puede escribir como un producto de vectores unitarios:

$${displaystyle mathrm {Pin} ¿Por qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ 1right}$$

Sea α: Cl → Cl el automorfismo que viene dado por la aplicación v< /i> ↦ −v actuando sobre vectores puros. Luego, en particular, Spin_p,q es el subgrupo de Pin_p,q cuyos elementos están fijados por α< /i>. Dejar

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}={xin operatorname {Cl} _{p,q}mid alpha (x)=x}$$

Cl_p,qCl^[0]
_p,q

Las representaciones irreducibles de Cl_p,q se restringen a dar representaciones de grupo de pines. Por el contrario, dado que el grupo de pines se genera mediante vectores unitarios, todas sus representaciones irreducibles se inducen de esta manera. Así las dos representaciones coinciden. Por las mismas razones, las representaciones irreducibles del espín coinciden con las representaciones irreducibles de Cl^[0]
_{p,q< /sub>}.

Para clasificar las representaciones de pines, basta con apelar a la clasificación de las álgebras de Clifford. Para encontrar las representaciones de espín (que son representaciones de la subálgebra par), primero se puede hacer uso de cualquiera de los isomorfismos (ver arriba)

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}approx operatorname {Cl} _{p,q-1},{text{ for }q confía0}$$

$${displaystyle operatorname {Cl} _{p,q}{[0]}approx operatorname {Cl} _{q,p-1},{text{ for }p Conf0}$$

()p, q)()p, q −1)()q, p −1)

Aplicaciones

Geometría diferencial

Una de las principales aplicaciones del álgebra exterior es en geometría diferencial donde se utiliza para definir el conjunto de formas diferenciales en una variedad suave. En el caso de una variedad (pseudo-)riemanniana, los espacios tangentes vienen dotados de una forma cuadrática natural inducida por la métrica. Por lo tanto, se puede definir un paquete de Clifford en analogía con el paquete exterior. Esto tiene una serie de aplicaciones importantes en la geometría de Riemann. Quizás más importante es el enlace a una variedad de espín, su paquete de espinor asociado y las variedades spin^c.

Física

Las álgebras de Clifford tienen numerosas aplicaciones importantes en la física. Los físicos suelen considerar que un álgebra de Clifford es un álgebra con una base generada por las matrices γ₀,..., γ ₃ llamadas matrices de Dirac que tienen la propiedad de que

$${displaystyle gamma _{i}gamma _{j}+gamma _{j}gamma - ¿Qué? ¿Qué?$$

.(1, 3)(3, 1)Cl
_1,3()R)Cl
_1,3()R)_C4 × 4Cl₄()CEntendido.₄()C)Cl
_1,3()R)_Cno

El álgebra de Clifford del espacio-tiempo utilizada en física tiene más estructura que Cl₄(C). Tiene además un conjunto de transformaciones preferidas: transformaciones de Lorentz. Si la complejización es necesaria para empezar depende en parte de las convenciones utilizadas y en parte de cuánto se quiera incorporar directamente, pero la complejización es más necesaria en la mecánica cuántica donde la representación de espín del álgebra de Lie entonces(1, 3) sentarse dentro del álgebra de Clifford convencionalmente requiere un álgebra de Clifford compleja. Como referencia, el álgebra de Lie de giro está dada por

$${displaystyle {begin{aligned}sigma {fnMicrosoft Sans Serif}$$

Esto está en la convención (3, 1), por lo tanto, encaja en Cl
_3,1< /span>(R)_C.

Las matrices de Dirac fueron escritas por primera vez por Paul Dirac cuando intentaba escribir una ecuación de onda relativista de primer orden para el electrón y dar un isomorfismo explícito del álgebra de Clifford al álgebra de matrices complejas. El resultado se utilizó para definir la ecuación de Dirac e introducir el operador de Dirac. Todo el álgebra de Clifford aparece en la teoría cuántica de campos en forma de campos bilineales de Dirac.

El uso de álgebras de Clifford para describir la teoría cuántica ha sido propuesto, entre otros, por Mario Schönberg, por David Hestenes en términos de cálculo geométrico, por David Bohm y Basil Hiley y colaboradores en forma de una jerarquía de álgebras de Clifford, y por Elio Conte et al.

Visión por computadora

Las álgebras de Clifford se han aplicado en el problema del reconocimiento y clasificación de acciones en visión artificial. Rodríguez et al. Proponga una incrustación de Clifford para generalizar los filtros MACH tradicionales a video (volumen espaciotemporal 3D) y datos con valores vectoriales como el flujo óptico. Los datos con valores vectoriales se analizan mediante la transformada de Clifford Fourier. Sobre la base de estos vectores, los filtros de acción se sintetizan en el dominio de Clifford Fourier y el reconocimiento de acciones se realiza mediante la correlación de Clifford. Los autores demuestran la efectividad de la incrustación de Clifford al reconocer las acciones típicamente realizadas en largometrajes clásicos y retransmisiones deportivas en televisión.

Generalizaciones

• Mientras que este artículo se centra en un álgebra Clifford de un espacio vectorial sobre un campo, la definición se extiende sin cambios a un módulo sobre cualquier anillo unitario, asociativo, comunicativo.
• Los álgebras Clifford pueden ser generalizados en una forma de grado superior a cuadrática sobre un espacio vectorial.