Principio de bivalencia

En lógica, el principio semántico (o ley) de bivalencia establece que toda oración declarativa que expresa una proposición (de una teoría bajo inspección) tiene exactamente un valor de verdad, ya sea verdadero o falso. Una lógica que satisface este principio se denomina lógica de dos valores o lógica bivalente.

En lógica formal, el principio de bivalencia se convierte en una propiedad que una semántica puede poseer o no. Sin embargo, no es lo mismo que la ley del tercero excluido, y una semántica puede satisfacer esa ley sin ser bivalente.

El principio de bivalencia se estudia en la lógica filosófica para abordar la cuestión de qué enunciados del lenguaje natural tienen un valor de verdad bien definido. Las oraciones que predicen eventos en el futuro y las oraciones que parecen abiertas a la interpretación son particularmente difíciles para los filósofos que sostienen que el principio de bivalencia se aplica a todas las declaraciones declarativas del lenguaje natural. Las lógicas polivalentes formalizan ideas de que una caracterización realista de la noción de consecuencia requiere la admisibilidad de premisas que, por vaguedad, indeterminación temporal o cuántica, o falla de referencia, no pueden considerarse clásicamente bivalentes. Las fallas de referencia también pueden abordarse mediante lógicas libres.

Relación con la ley del tercero excluido

El principio de bivalencia está relacionado con la ley del tercero excluido aunque esta última es una expresión sintáctica del lenguaje de una lógica de la forma "P ∨ ¬P". La diferencia entre el principio de bivalencia y la ley del tercero excluido es importante porque hay lógicas que validan la ley pero no validan el principio. Por ejemplo, la Lógica de la paradoja (LP) de tres valores valida la ley del tercero excluido, pero no la ley de no contradicción, ¬(P ∧ ¬P), y su semántica prevista no es bivalente. La lógica intuicionista es una lógica de dos valores, pero la ley del tercero excluido no se cumple. En la lógica bivaluada clásica se cumplen tanto la ley del tercero excluido como la ley de la no contradicción.

Lógica clásica

La semántica prevista de la lógica clásica es bivalente, pero esto no es cierto para todas las semánticas de la lógica clásica. En la semántica con valores booleanos (para la lógica proposicional clásica), los valores de verdad son los elementos de un álgebra booleana arbitraria, "verdadero" corresponde al elemento máximo del álgebra, y "falso" corresponde al elemento mínimo. Los elementos intermedios del álgebra corresponden a valores de verdad distintos de "verdadero" y "falso". El principio de bivalencia se cumple solo cuando el álgebra booleana se toma como el álgebra de dos elementos, que no tiene elementos intermedios.

Asignar semántica booleana al cálculo de predicados clásico requiere que el modelo sea un álgebra booleana completa porque el cuantificador universal se asigna a la operación ínfimo y el cuantificador existencial se asigna al supremo; esto se llama un modelo de valor booleano. Todas las álgebras booleanas finitas son completas.

La tesis de Suszko

Para justificar su afirmación de que verdadero y falso son los únicos valores lógicos, Roman Suszko (1977) observa que toda lógica proposicional polivalente estructural tarskiana puede contar con una semántica bivalente.

Críticas

Futuros contingentes

Un ejemplo famoso es el caso de la batalla naval contingente que se encuentra en la obra de Aristóteles, De Interpretatione, capítulo 9:

Imagine P se refiere a la declaración "Habrá una batalla marítima mañana."

El principio de bivalencia afirma aquí:

O es verdad que habrá una batalla de mar mañana, o es falso que habrá una batalla de mar mañana.

Aristóteles se niega a abrazar la bivalencia para tales futuros contingentes; Crisipo, el lógico estoico, adoptó la bivalencia para esta y todas las demás proposiciones. La controversia sigue teniendo una importancia central tanto en la filosofía del tiempo como en la filosofía de la lógica.

Una de las primeras motivaciones para el estudio de la lógica polivalente ha sido precisamente este tema. A principios del siglo XX, el lógico formal polaco Jan Łukasiewicz propuso tres valores de verdad: el verdadero, el falso y el aún-indeterminado. Este enfoque fue desarrollado posteriormente por Arend Heyting y L. E. J. Brouwer; véase la lógica de Łukasiewicz.

Cuestiones como esta también se han abordado en varias lógicas temporales, donde se puede afirmar que "Eventualmente, habrá una batalla naval mañana, o no la habrá. ser." (Lo cual es cierto si finalmente ocurre 'mañana').

La vaguedad

Acertijos como la paradoja de Sorites y la falacia del continuo relacionada han planteado dudas sobre la aplicabilidad de la lógica clásica y el principio de bivalencia a conceptos que pueden ser vagos en su aplicación. La lógica difusa y algunas otras lógicas multivaluadas se han propuesto como alternativas que manejan mejor los conceptos vagos. La verdad (y la falsedad) en la lógica difusa, por ejemplo, se presenta en diversos grados. Considere la siguiente afirmación en el caso de clasificar manzanas en una cinta en movimiento:

Esta manzana es roja.

Al observar, la manzana es de un color indeterminado entre amarillo y rojo, o está moteada de ambos colores. Por lo tanto, el color no entra en ninguna categoría " rojo " ni " amarillo ", pero estas son las únicas categorías disponibles para nosotros cuando clasificamos las manzanas. Podríamos decir que es "50% rojo". Esto podría reformularse: es 50% cierto que la manzana es roja. Por lo tanto, P es 50% verdadera y 50% falsa. Ahora considera:

Esta manzana es roja y no es roja.

En otras palabras, P y no-P. Esto viola la ley de no contradicción y, por extensión, de bivalencia. Sin embargo, esto es solo un rechazo parcial de estas leyes porque P es solo parcialmente cierto. Si P fuera 100% verdadero, no-P sería 100% falso, y no hay contradicción porque P y no-P ya no se cumplen.

Sin embargo, se mantiene la ley del tercero excluido, porque P y no-P implica P o no-P, ya que "o" es inclusivo. Los únicos dos casos en los que P y no-P son falsos (cuando P es 100% verdadero o falso) son los mismos casos considerados por la lógica de dos valores y se aplican las mismas reglas.

Ejemplo de una lógica de 3 valores aplicada a casos vagos (indeterminados): Kleene 1952 (§64, pp. 332–340) ofrece una lógica de 3 valores para los casos en que los algoritmos involucran Es posible que las funciones recursivas no devuelvan valores, sino que terminen con circunstancias "u" = indeciso. Él deja que "t" = "verdadero", "f" = "falso", "u" = "indeciso" y rediseña todos los conectores proposicionales. Él observa que:

Fuimos justificados intuitivamente en el uso de la lógica clásica de 2 valores, cuando usábamos las conexiones en la construcción de predicaciones recursivas primitivas y generales, ya que existe un procedimiento de decisión para cada predicado recursivo general; es decir, la ley del medio excluido se demuestra intuitivamente para aplicar a los predicados recursivos generales.

Ahora si Q(x) es un predicado recursivo parcial, hay un procedimiento de decisión para Q(x) en su rango de definición, por lo que la ley del "tercer" medio excluido o excluido (que dice que, Q(x) es t o f) se aplica intuitivistamente en el rango de definición. Pero puede que no haya algoritmo para decidir, dado x, si Q(x) se define o no. [...] Por lo tanto, es sólo clásica y no intuitivamente que tenemos una ley del cuarto excluido (que dice que, por cada x, Q(x) es o t, f, o u).

El tercer "valor de verdad" u no está de acuerdo con los otros dos t y f en nuestra teoría. La consideración de su estatus demostrará que estamos limitados a una clase especial de tabla de verdad".

Las siguientes son sus "tablas fuertes":

Por ejemplo, si no se puede determinar si una manzana es roja o no roja, entonces el valor de verdad de la afirmación P: " Esta manzana es roja " es " tu ". Asimismo, el valor de verdad de la afirmación R " Esta manzana no es roja " es " tu ". Así, el AND de estos en la afirmación Q AND R, es decir, " Esta manzana es roja Y esta manzana no es roja " producirá, según las tablas, " tu ". Y, la afirmación Q OR R, es decir, " Esta manzana es roja O esta manzana no es roja " también producirá " tu ".