Pozo de potencial finito

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Concepto mecánico cuántico

El pozo de potencial finito (también conocido como pozo cuadrado finito) es un concepto de la mecánica cuántica. Es una extensión del pozo de potencial infinito, en el que una partícula está confinada a una "caja", pero que tiene "paredes" de potencial finito. A diferencia del pozo de potencial infinito, existe una probabilidad asociada con que la partícula se encuentre fuera de la caja. La interpretación de la mecánica cuántica es diferente a la interpretación clásica, donde si la energía total de la partícula es menor que la barrera de energía potencial de las paredes, no se puede encontrar fuera de la caja. En la interpretación cuántica, existe una probabilidad distinta de cero de que la partícula esté fuera de la caja incluso cuando la energía de la partícula es menor que la barrera de energía potencial de las paredes (cf. túneles cuánticos).

Partícula en un pozo de potencial unidimensional

Para el caso unidimensional en el eje x, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo se puede escribir como:

{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi }{dx^{2}}}+V(x)psi =Epsi }

()1)

dónde

${displaystyle hbar ={frac {h}{2pi }}}$ es la reducción Planck constante,
${displaystyle h}$ es la constante Planck,
${displaystyle m}$ es la masa de la partícula,
${displaystyle psi }$ es la función de onda (valorada compleja) que queremos encontrar,
${displaystyle V(x)}$ es una función que describe la energía potencial en cada punto x, y
${displaystyle E}$ es la energía, un número real, a veces llamada eigenenergy.

Para el caso de la partícula en una caja de longitud de 1 dimensión L, el potencial es ${displaystyle V_{0}}$ fuera de la caja, y cero para x entre ${displaystyle -L/2}$ y ${displaystyle L/2}$ . La función de onda se considera conformada por diferentes funciones de onda en diferentes rangos de x, dependiendo de si x está dentro o fuera de la caja. Por lo tanto, la función de onda se define tal que:

<math alttext="{displaystyle psi ={begin{cases}psi _{1},&{text{if }}x<-L/2{text{ (the region outside the well)}}\psi _{2},&{text{if }}-L/2<xL/2{text{ (the region outside the well)}}end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">↑ ↑ ={}↑ ↑ 1,si xc)− − L/2 (la región fuera del pozo)↑ ↑ 2,si − − L/2c)xc)L/2 (la región dentro del pozo)↑ ↑ 3,si x■L/2 (la región fuera del pozo){displaystyle psi {begin{cases}psi ################################################################################################################################################################################################################################################################ }\psi _{2}, âtext{fnMicrosoft Sans Serif}\\psi _{2} }-L/2 secuestró significar que la región de dentro del pozo)}\psi _{3}, limitarse {text{if}}x {text{text{ (la región fuera del pozo)}}end{cases}}}}<img alt="{displaystyle psi ={begin{cases}psi _{1},&{text{if }}x<-L/2{text{ (the region outside the well)}}\psi _{2},&{text{if }}-L/2<xL/2{text{ (the region outside the well)}}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed6c3a08cb3561c933eef8688529e374d4480548" style="vertical-align: -3.838ex; width:60.299ex; height:8.843ex;"/>

Dentro de la caja

Para la región dentro del cuadro, V(x) = 0 y la Ecuación 1 se reduce a

{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi _{2}}{dx^{2}}}=Epsi _{2}.}

{displaystyle k={frac {sqrt {2mE}}{hbar }},}

{displaystyle {frac {d^{2}psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}psi _{2}.}

Este es un problema de ecuación diferencial y valor propio bien estudiado con una solución general de

{displaystyle psi _{2}=Asin(kx)+Bcos(kx),.}

{displaystyle E={frac {k^{2}hbar ^{2}}{2m}}.}

Aquí, A y B pueden ser cualquier número complejo, y k puede ser cualquier número real.

Fuera de la caja

Para la región fuera de la caja, ya que el potencial es constante, ${displaystyle V(x)=V_{0}}$ y ecuación 1 se convierte en:

{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})psi _{1}}

Hay dos posibles familias de soluciones, dependiendo de si E es menos que ${displaystyle V_{0}}$ (la partícula está ligada en el potencial) o E es mayor que ${displaystyle V_{0}}$ (la partícula es libre).

Para una partícula libre, $V_{0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">E■V0{displaystyle ¿Qué?V_{0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd22bc5814d707f6ed9923d9e996dc2bd0e135d" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.284ex; height:2.509ex;"/>$ , y dejar

{displaystyle k'={frac {sqrt {2m(E-V_{0})}}{hbar }}}

{displaystyle {frac {d^{2}psi _{1}}{dx^{2}}}=-k'^{2}psi _{1}}

{displaystyle psi _{1}=Csin(k'x)+Dcos(k'x)}

Este análisis se centrará en el estado consolidado, donde $<math alttext="{displaystyle EEc)V0{displaystyle E obedeció. <img alt="{displaystyle E$ . Letting

{displaystyle alpha ={frac {sqrt {2m(V_{0}-E)}}{hbar }}}

{displaystyle {frac {d^{2}psi _{1}}{dx^{2}}}=alpha ^{2}psi _{1}}

{displaystyle psi _{1}=Fe^{-alpha x}+Ge^{alpha x}}

Del mismo modo, para la otra región fuera del cuadro:

{displaystyle psi _{3}=He^{-alpha x}+Ie^{alpha x}}

Ahora, para encontrar la solución específica para el problema en cuestión, debemos especificar las condiciones de contorno apropiadas y encontrar los valores para A, B, . F, G, H y I que cumplan dichas condiciones.

Encontrar funciones de onda para el estado ligado

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger deben ser continuas y continuamente diferenciables. Estos requisitos son condiciones de contorno de las ecuaciones diferenciales derivadas previamente, es decir, las condiciones coincidentes entre las soluciones dentro y fuera del pozo.

En este caso, el pozo de potencial finito es simétrico, por lo que se puede aprovechar la simetría para reducir los cálculos necesarios.

Resumiendo las secciones anteriores:

<math alttext="{displaystyle psi ={begin{cases}psi _{1},&{text{if }}x<-L/2{text{ (the region outside the box)}}\psi _{2},&{text{if }}-L/2<xL/2{text{ (the region outside the box)}}end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">↑ ↑ ={}↑ ↑ 1,si xc)− − L/2 (la región fuera de la caja)↑ ↑ 2,si − − L/2c)xc)L/2 (la región dentro de la caja)↑ ↑ 3si x■L/2 (la región fuera de la caja){displaystyle psi {begin{cases}psi ################################################################################################################################################################################################################################################################ }\psi _{2}, âtext{fnMicrosoft Sans Serif}\\psi _{2} }-L/2 secuestró significaL/2{text{ (la región dentro de la caja)}\psi ################################################################################################################################################################################################################################################################<img alt="{displaystyle psi ={begin{cases}psi _{1},&{text{if }}x<-L/2{text{ (the region outside the box)}}\psi _{2},&{text{if }}-L/2<xL/2{text{ (the region outside the box)}}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57d414da936d753926e93c089cc3693777c28bb" style="vertical-align: -3.838ex; width:59.978ex; height:8.843ex;"/>

{displaystyle psi _{1}}

{displaystyle psi _{2}}

{displaystyle psi _{3}}

{displaystyle {begin{aligned}psi _{1}&=Fe^{-alpha x}+Ge^{alpha x}\psi _{2}&=Asin(kx)+Bcos(kx)\psi _{3}&=He^{-alpha x}+Ie^{alpha x}end{aligned}}}

Lo vemos como ${displaystyle x}$ va a ${displaystyle -infty }$ , el ${displaystyle F}$ el término va al infinito. Del mismo modo, como ${displaystyle x}$ va a ${displaystyle +infty }$ , el ${displaystyle I}$ el término va al infinito. Para que la función de onda sea integrada cuadrada, debemos establecer ${displaystyle F=I=0}$ , y tenemos:

{displaystyle psi _{1}=Ge^{alpha x}}

{displaystyle psi _{3}=He^{-alpha x}}

A continuación, sabemos que en general ${displaystyle psi }$ función debe ser continua y diferenciable. En otras palabras, los valores de las funciones y sus derivados deben coincidir en los puntos de división:

${displaystyle psi _{1}(-L/2)=psi _{2}(-L/2)}$		${displaystyle psi _{2}(L/2)=psi _{3}(L/2)}$
${displaystyle left.{frac {dpsi _{1}}{dx}}right\|_{x=-L/2}=left.{frac {dpsi _{2}}{dx}}right\|_{x=-L/2}}$		${displaystyle left.{frac {dpsi _{2}}{dx}}right\|_{x=L/2}=left.{frac {dpsi _{3}}{dx}}right\|_{x=L/2}}$

Estas ecuaciones tienen dos tipos de soluciones, simétricas, para las cuales ${displaystyle A=0}$ y ${displaystyle G=H}$ , y antisimétrico, para el cual ${displaystyle B=0}$ y ${displaystyle G=-H}$ . Para el caso simétrico tenemos

{displaystyle He^{-alpha L/2}=Bcos(kL/2)}

{displaystyle -alpha He^{-alpha L/2}=-kBsin(kL/2)}

Roots of the equation for the quantized energy levels — Botas de la ecuación para los niveles de energía cuantificados

{displaystyle alpha =ktan(kL/2).}

{displaystyle alpha =-kcot(kL/2).}

Recordad que ambos ${displaystyle alpha }$ y ${displaystyle k}$ depende de la energía. Lo que hemos encontrado es que las condiciones de continuidad no estar satisfecho por un valor arbitrario de la energía; porque es el resultado del caso potencial infinito bien. Así, sólo se permiten ciertos valores energéticos, que son soluciones a una o a cualquiera de estas dos ecuaciones. De ahí que encontremos que los niveles de energía del sistema de abajo ${displaystyle V_{0}}$ son discretas; las funciones eigen correspondientes son Estados. (Por contraste, para los niveles de energía arriba ${displaystyle V_{0}}$ son continuos.)

Las ecuaciones de energía no se pueden resolver analíticamente. Sin embargo, veremos que en el caso simétrico siempre existe por lo menos un estado vinculado, incluso si el pozo es muy poco profundo. Las soluciones gráficas o numéricas a las ecuaciones energéticas se ayudan por reescribirlas un poco. Si presentamos las variables sin dimensiones ${displaystyle u=alpha L/2}$ y ${displaystyle v=kL/2}$ , y nota de las definiciones de ${displaystyle alpha }$ y ${displaystyle k}$ que ${displaystyle u^{2}=u_{0}^{2}-v^{2}}$ , donde ${displaystyle u_{0}^{2}=mL^{2}V_{0}/2hbar ^{2}}$ , las ecuaciones maestras leer

{displaystyle {sqrt {u_{0}^{2}-v^{2}}}={begin{cases}vtan v,&{text{(symmetric case) }}\-vcot v,&{text{(antisymmetric case) }}end{cases}}}

En la parcela a la derecha, para ${displaystyle u_{0}^{2}=20}$ , existen soluciones donde el semicírculo azul interseca las curvas púrpura o gris ( ${displaystyle vtan v}$ y ${displaystyle -vcot v}$ ). Cada curva púrpura o gris representa una posible solución, ${displaystyle v_{i}}$ dentro del rango $<math alttext="{textstyle {frac {pi }{2}}(i-1)leq v_{i}π π 2()i− − 1)≤ ≤ vic)π π 2i{fnMicroc {fnK} {fnMicroc} {fnMicroc {fnMicroc} {pi}} {i-1)leq v_{i} } {2}i}<img alt="{textstyle {frac {pi }{2}}(i-1)leq v_{i}$ . El número total de soluciones, ${displaystyle N}$ , (es decir, el número de curvas púrpura/verde que están intersectadas por el círculo azul) se determina dividiendo el radio del círculo azul, ${displaystyle u_{0}}$ , por el rango de cada solución ${displaystyle pi /2}$ y utilizando las funciones de suelo o techo:

{displaystyle N=leftlfloor {frac {2u_{0}}{pi }}rightrfloor +1=leftlceil {frac {2u_{0}}{pi }}rightrceil }

En este caso hay exactamente tres soluciones, ya que ${displaystyle N=lfloor 2{sqrt {20}}/pi rfloor +1=lfloor 2.85rfloor +1=2+1=3}$ .

Solutions of the finite square well — Soluciones del pozo cuadrado finito

${displaystyle v_{1}=1.28,v_{2}=2.54}$ y ${displaystyle v_{3}=3.73}$ , con las energías correspondientes

{displaystyle E_{n}={2hbar ^{2}v_{n}^{2} over mL^{2}}.}

{displaystyle A,B,G,H}

{textstyle x_{0}equiv hbar /{sqrt {2mV_{0}}}}

Observamos que, por pequeña que sea ${displaystyle u_{0}}$ es (cuando sea superficial o estrecha el pozo), siempre hay por lo menos un estado vinculado.

Dos casos especiales vale la pena notar. A medida que la altura del potencial se hace grande, ${displaystyle V_{0}to infty }$ , el radio del semicírculo se hace más grande y las raíces se acercan y se acercan a los valores ${displaystyle v_{n}=npi /2}$ , y recuperamos el caso del pozo cuadrado infinito.

El otro caso es el de un pozo muy estrecho, profundo - específicamente el caso ${displaystyle V_{0}to infty }$ y ${displaystyle Lto 0}$ con ${displaystyle V_{0}L}$ fijo. As ${displaystyle u_{0}propto {sqrt {V_{0}}}L}$ tenderá a cero, y así sólo habrá un estado consolidado. La solución aproximada es entonces ${displaystyle v^{2}=u_{0}^{2}-u_{0}^{4}}$ , y la energía tiende a ${displaystyle E=-mL^{2}V_{0}^{2}/2hbar ^{2}}$ . Pero esta es sólo la energía del estado consolidado de un potencial de función Delta de la fuerza ${displaystyle V_{0}L}$ Como debería ser.

Una solución gráfica más simple para los niveles de energía se puede obtener normalizando el potencial y la energía mediante la multiplicación por ${displaystyle {8m}{L^{2}}/h^{2}}$ . Las cantidades normalizadas son

{displaystyle {tilde {V}}_{0}=V_{0}{frac {8m}{h^{2}}}L^{2}qquad {tilde {E}}=E{frac {8m}{h^{2}}}L^{2}}

{displaystyle (V_{0},E)}

{displaystyle {sqrt {{tilde {V}}_{0}}}={sqrt {tilde {E}}},left|{sec({sqrt {tilde {E}}},{pi }/{2})}right|,qquad {sqrt {{tilde {V}}_{0}}}={sqrt {tilde {E}}},left|{csc({sqrt {tilde {E}}},{pi }/{2})}right|}

{displaystyle (V_{0},E)}

Estados sin consolidar

Si resolvemos la ecuación de Schrödinger independiente para una energía $V_{0}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">E■V0{displaystyle ¿Qué?V_{0}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd22bc5814d707f6ed9923d9e996dc2bd0e135d" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.284ex; height:2.509ex;"/>$ , las soluciones serán oscilatorias tanto dentro como fuera del pozo. Así, la solución nunca es cuadrada integradora; es decir, es siempre un estado no normalizable. Esto no significa, sin embargo, que es imposible que una partícula cuántica tenga energía mayor que ${displaystyle V_{0}}$ , simplemente significa que el sistema tiene espectro continuo por encima ${displaystyle V_{0}}$ . Los eigentales no normalizables están lo suficientemente cerca para ser integrados cuadrados que todavía contribuyen al espectro del Hamiltonian como un operador sin límites.

Pozo asimétrico

Considere un pozo de potencial asimétrico unidimensional dado por el potencial

<math alttext="{displaystyle V(x)={begin{cases}V_{1},&{text{if }}-infty <x<0{text{ (the region outside the well)}}\0,&{text{if }}0<x<a{text{ (the region inside the well)}}\V_{2}&{text{if }}a<xV()x)={}V1,si − − JUEGO JUEGO c)xc)0 (la región fuera del pozo)0,si 0c)xc)a (la región dentro del pozo)V2si ac)xc)JUEGO JUEGO (la región fuera del pozo){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle V(x)={begin{cases}V_{1},&{text{if }}-infty <x<0{text{ (the region outside the well)}}\0,&{text{if }}0<x<a{text{ (the region inside the well)}}\V_{2}&{text{if }}a<x

V_{1}}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">V2■V1{displaystyle V_{2}V_{1}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd0cfbb56166027bebc5b372652221556dd01292" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.917ex; height:2.509ex;"/>

<math alttext="{displaystyle EEc)V1{displaystyle E obedeció. <img alt="{displaystyle E

<math alttext="{displaystyle psi (x)={begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{text{for }}x<0,{text{where }}k_{1}={sqrt {(2m/hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\csin(kx+delta),&{text{for }}0<xa,{text{where }}k_{2}={sqrt {(2m/hbar ^{2})(V_{2}-E)}}end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">↑ ↑ ()x)={}c1ek1x,para xc)0,Donde k1=()2m/▪ ▪ 2)()V1− − E)cpecado⁡ ⁡ ()kx+δ δ ),para 0c)xc)a,Donde k=2mE/▪ ▪ 2c2e− − k2x,para x■a,Donde k2=()2m/▪ ▪ 2)()V2− − E){displaystyle psi (x)={begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x}, limit{text{for }x {0,{text{where [}k_{1}={sqrt {(2m/hbar ^{2}(V_{1}-E)}csin(kx+delta), limit{text{for }0cantada,{text{where {where }k={sqrt {2mE/hbar ^{2}}c_{2}e^{-k_{2}x}, reducida{text{for }x] {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle psi (x)={begin{cases}c_{1}e^{k_{1}x},&{text{for }}x<0,{text{where }}k_{1}={sqrt {(2m/hbar ^{2})(V_{1}-E)}}\csin(kx+delta),&{text{for }}0<xa,{text{where }}k_{2}={sqrt {(2m/hbar ^{2})(V_{2}-E)}}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e3a7a93d989777c24b2f5ac9ebb9c1c6408c9d" style="vertical-align: -4.505ex; width:67.686ex; height:10.176ex;"/>

{displaystyle sin delta ={frac {khbar }{sqrt {2mV_{1}}}}.}

Los niveles de energía ${displaystyle E=k^{2}hbar ^{2}/(2m)}$ se determina una vez ${displaystyle k}$ se resuelve como una raíz de la siguiente ecuación trascendental

{displaystyle ka=npi -sin ^{-1}left({frac {khbar }{sqrt {2mV_{1}}}}right)-sin ^{-1}left({frac {khbar }{sqrt {2mV_{2}}}}right)}

{displaystyle n=1,2,3,dots }

{displaystyle a}

{displaystyle V_{1}}

{displaystyle V_{2}}

{displaystyle V_{1}=V_{2}=V_{o}}

Partícula en un pozo de potencial esférico

Considere el siguiente pozo de potencial esférico

<math alttext="{displaystyle U(r)={begin{cases}-U_{0},&{text{if }}ra{text{ (the region outside the well)}}end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">U()r)={}− − U0,si rc)a (la región dentro del pozo)0,si r■a (la región fuera del pozo){displaystyle U(r)={begin{cases}-U_{0}, reducida{text{if }r dida{text{ (the region inside the well)}, limit{text{if }r confíaa{text{ (the region outside the well)}}}end{cases}}}}}}<img alt="{displaystyle U(r)={begin{cases}-U_{0},&{text{if }}ra{text{ (the region outside the well)}}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a1d01e224610938dca931dddf776c1489eba35e" style="vertical-align: -2.505ex; width:53.601ex; height:6.176ex;"/>

{displaystyle r}

{displaystyle l=0}

<math alttext="{displaystyle EEc)0{displaystyle E won0} <img alt="{displaystyle E

<math alttext="{displaystyle psi (r)={begin{cases}{frac {A}{r}}sin kr,&{text{for }}ra,{text{where }}kappa ={sqrt {2m|E|/hbar ^{2}}}={sqrt {2mU_{0}/hbar ^{2}-k^{2}}}.end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">↑ ↑ ()r)={}Arpecado⁡ ⁡ kr,para rc)a,Donde k=()2m/▪ ▪ 2)()U0− − SilencioESilencio)Bre− − κ κ r,para r■a,Donde κ κ =2mSilencioESilencio/▪ ▪ 2=2mU0/▪ ▪ 2− − k2.{displaystyle psi (r)={begin{cases}{frac {}sin kr, limit{text{for }} {text{where ¿Qué? {B}}e^{-kappa r}, {text{for }r títuloa,{text{where }kappa ={sqrt {2m habitE durable/hbar ^{2}}={sqrt {2mU_{0}/hbar ^{2}-k^{2}}}<img alt="{displaystyle psi (r)={begin{cases}{frac {A}{r}}sin kr,&{text{for }}ra,{text{where }}kappa ={sqrt {2m|E|/hbar ^{2}}}={sqrt {2mU_{0}/hbar ^{2}-k^{2}}}.end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a418789cbcd68d1100087357b87f51a8d69bb07" style="vertical-align: -3.171ex; width:74.457ex; height:7.509ex;"/>

{displaystyle kcot ka=-kappa.}

Esta ecuación no siempre tiene una solución que indique que en algunos casos no hay estados consolidados. La profundidad mínima del pozo potencial para el cual el estado consolidado aparece primero ${displaystyle E=0}$ es dado por

{displaystyle U_{0,mathrm {min} }={frac {pi ^{2}hbar ^{2}}{8ma^{2}}}}

que aumenta con la disminución del radio ${displaystyle a}$ . Así, los estados consolidados no son posibles si el pozo es suficientemente superficial y estrecho. Para una profundidad ligeramente superior al valor mínimo, es decir, para ${displaystyle U_{0}/U_{0,mathrm {min} }-1ll 1}$ , la energía del estado de tierra ${displaystyle E_{1}}$ (ya que estamos considerando ${displaystyle l=0}$ case) is given by

{displaystyle -E_{1}={frac {pi ^{2}}{16}}{frac {(|U_{0}|-U_{0,mathrm {min} })^{2}}{U_{0,mathrm {min} }}}.}

Pozo anular esféricamente simétrico

Los resultados anteriores se pueden utilizar para mostrar que, en el caso unidimensional, hay dos estados ligados en una cavidad esférica, ya que las coordenadas esféricas hacen equivalente el radio en cualquier dirección.

El estado del suelo (n = 1) de un potencial simétrico esférico siempre tendrá cero impulso angular orbital (l = n−1), y la función de onda reducida ${displaystyle chi (r)equiv rpsi (r)}$ satisfice la ecuación

{displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}{frac {d^{2}chi }{dr^{2}}}+U(r)chi (r)=Echi (r)}

{displaystyle psi (r)}

Esto es idéntico a la ecuación unidimensional, excepto por las condiciones de contorno. Como antes,

<math alttext="{displaystyle chi (r)={begin{cases}c_{1}sin({k_{1}r}),&{text{for }}r<a,{text{ where }}k_{1}={sqrt {2m/hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\[1ex]csin({kr+delta }),&{text{for }}a<rb,{text{ where }}k_{2}={sqrt {2m/hbar ^{2}(U_{2}-E)}}end{cases}}}" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">χ χ ()r)={}c1pecado⁡ ⁡ ()k1r),para rc)a, Donde k1=2m/▪ ▪ 2()U1− − E)cpecado⁡ ⁡ ()kr+δ δ ),para ac)rc)b, Donde k=2mE/▪ ▪ 2c2e− − k2r,para r■b, Donde k2=2m/▪ ▪ 2()U2− − E){displaystyle chi (r)={begin{cases}c_{1}sin({k_{1}r}), limitada{text{for }}r madea,{text{ where }k_{1}={sqrt {2m/hbar ^{2}(U_{1}-E)}\[1ex]csin({kr+delta }), ventaja{text{for }a {texto {b,{text{ where }k={sqrt {2mE/hbar ^{2}}}[1ex]c_{2}e^{-k_{2}r}, {text{for }}r títulob,{text{ where where {fnMicrosoft Sans Serif}<img alt="{displaystyle chi (r)={begin{cases}c_{1}sin({k_{1}r}),&{text{for }}r<a,{text{ where }}k_{1}={sqrt {2m/hbar ^{2}(U_{1}-E)}}\[1ex]csin({kr+delta }),&{text{for }}a<rb,{text{ where }}k_{2}={sqrt {2m/hbar ^{2}(U_{2}-E)}}end{cases}}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display mw-invert" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789bdd3894de818a3b0e31d2908630aab3bcacd4" style="vertical-align: -5.505ex; width:65.788ex; height:12.176ex;"/>

Los niveles de energía para $<math alttext="{displaystyle a<r ac)rc)b{displaystyle accionador hecho.] <img alt="{displaystyle a<r$

{displaystyle E={frac {k^{2}hbar ^{2}}{2m}}}

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