Polinomios de Zernike

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Secuencia polinómica

En matemáticas, los polinomios de Zernike son una secuencia de polinomios que son ortogonales en el disco unitario. Llevan el nombre del físico óptico Frits Zernike, premio Nobel de Física de 1953 e inventor de la microscopía de contraste de fases, y desempeñan un papel importante en diversas ramas de la óptica, como la óptica de haces y la formación de imágenes.

Definiciones

Hay polinomios de Zernike pares e impares. Los polinomios pares de Zernike se definen como

{displaystyle Z_{n}^{m}(rhovarphi)=R_{n}^{m}(rho),cos(m,varphi)!}

(incluso la función sobre el ángulo azimutal ${displaystyle varphi }$ ), y los extraños polinomios Zernike se definen como

{displaystyle Z_{n}^{-m}(rhovarphi)=R_{n}^{m}(rho),sin(m,varphi),!}

(función anida sobre el ángulo azimutal ${displaystyle varphi }$ Donde m y n son enteros no negativos con ≥ m ≥ 0 ()m = 0 para polinomios esféricos Zernike), ${displaystyle varphi }$ es el ángulo azimutal, *** es la distancia radial ${displaystyle 0leq rho leq 1}$ , y ${displaystyle R_{n}^{m}}$ son los polinomios radiales definidos a continuación. Los polinomios Zernike tienen la propiedad de ser limitados a una gama de −1 a +1, es decir. ${displaystyle |Z_{n}^{m}(rhovarphi)|leq 1}$ . Los polinomios radiales ${displaystyle R_{n}^{m}}$ se definen como

{displaystyle R_{n}^{m}(rho)=sum _{k=0}^{tfrac {n-m}{2}}{frac {(-1)^{k},(n-k)!}{k!left({tfrac {n+m}{2}}-kright)!left({tfrac {n-m}{2}}-kright)!}};rho ^{n-2k}}

para un número par de n − m, mientras que es 0 para un número impar de n − m. Un valor especial es

{displaystyle R_{n}^{m}(1)=1.}

Otras representaciones

Reescribir las razones de factoriales en la parte radial como productos de binomios muestra que los coeficientes son números enteros:

{displaystyle R_{n}^{m}(rho)=sum _{k=0}^{tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{binom {n-k}{k}}{binom {n-2k}{{tfrac {n-m}{2}}-k}}rho ^{n-2k}}

Una notación como terminación de funciones hipergeométricas gaussianas es útil para revelar recurrencias, demostrar que son casos especiales de polinomios de Jacobi, escribir las ecuaciones diferenciales, etc.:

{displaystyle {begin{aligned}R_{n}^{m}(rho)&={binom {n}{tfrac {n+m}{2}}}rho ^{n} {}_{2}F_{1}left(-{tfrac {n+m}{2}},-{tfrac {n-m}{2}};-n;rho ^{-2}right)\&=(-1)^{tfrac {n-m}{2}}{binom {tfrac {n+m}{2}}{m}}rho ^{m} {}_{2}F_{1}left(1+{tfrac {n+m}{2}},-{tfrac {n-m}{2}};1+m;rho ^{2}right)end{aligned}}}

para n − m par.

La relación inversa se expande ${displaystyle rho ^{j}}$ fija ${displaystyle mleq j}$ en ${displaystyle R_{n}^{m}(rho)}$

{displaystyle rho ^{j}=sum _{nequiv m{pmod {2}}}^{j}h_{j,n,m}R_{n}^{m}(rho)}

con coeficientes racionales ${displaystyle h_{j,n,m}}$

{displaystyle h_{j,n,m}={frac {n+1}{1+{frac {j+n}{2}}}}{frac {binom {(j-m)/2}{(n-m)/2}}{binom {(j+n)/2}{(n-m)/2}}}}

para incluso ${displaystyle j-m=0,2,4,ldots }$ .

El factor ${displaystyle rho ^{n-2k}}$ en el polinomio radial ${displaystyle R_{n}^{m}(rho)}$ puede ampliarse en una base de Bernstein ${displaystyle b_{s,n/2}(rho ^{2})}$ para incluso ${displaystyle n}$ o ${displaystyle rho }$ tiempos una función ${displaystyle b_{s,(n-1)/2}(rho ^{2})}$ por extraño ${displaystyle n}$ en el rango ${displaystyle lfloor n/2rfloor -kleq sleq lfloor n/2rfloor }$ . El polinomio radial puede ser expresado por un número finito de los polinomios de Bernstein con coeficientes racionales:

{displaystyle R_{n}^{m}(rho)={frac {1}{binom {lfloor n/2rfloor }{lfloor m/2rfloor }}}rho ^{nmod 2}sum _{s=lfloor m/2rfloor }^{lfloor n/2rfloor }(-1)^{lfloor n/2rfloor -s}{binom {s}{lfloor m/2rfloor }}{binom {(n+m)/2}{s+lceil m/2rceil }}b_{s,lfloor n/2rfloor }(rho ^{2}).}

Índices secuenciales de Noll

Las aplicaciones a menudo implican álgebra lineal, donde un integral sobre un producto de polinomios Zernike y algún otro factor construye un elemento matriz. Para enumerar las filas y columnas de estas matrices por un solo índice, un mapeo convencional de los dos índices n y l a un único índice j ha sido presentado por Noll. El cuadro de esta asociación ${displaystyle Z_{n}^{l}rightarrow Z_{j}}$ comienza como sigue (secuencia) A176988 en el OEIS). $0land nequiv {0,1}{pmod {4}};\0,&lj=n()n+1)2+SilenciolSilencio+{}0,l■0∧ ∧ n↑ ↑ {}0,1}()mod4);0,lc)0∧ ∧ n↑ ↑ {}2,3}()mod4);1,l≥ ≥ 0∧ ∧ n↑ ↑ {}2,3}()mod4);1,l≤ ≤ 0∧ ∧ n↑ ↑ {}0,1}()mod4).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn} {fnMicrosoft Sans Serif} {fn0} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft}fnMicrosoft} {fnMicrosoft}f}fnMicrosoft}f}fnMicrosoft}fnMicrosoft}fnMicrosoft ##f}fnMicrosoft #########fnMicrosoft ## ## #################################### ## ######## ## ############## #########################0land nequiv {0,1}{pmod {4}};\0,&l$

n,l	0,0	1.1	1, 1 - 1	2,0	2,2 a 2	2,2	3,1 a 1	3,1	3, 3 a 3	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n,l	4.0	4,2	4, 2	4.4	4,4 a 4	5,1	5,1 a	5,3	5, 3, 3	5,5
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

La regla es la siguiente.

Los polinomios incluso Zernike Z (con partes azimutales ${displaystyle cos(mvarphi)}$ , donde ${displaystyle m=l}$ como ${displaystyle l}$ es un número positivo) obtener incluso índices j.
Lo extraño Z obtiene (con partes azimutales impares ${displaystyle sin(mvarphi)}$ , donde ${displaystyle m=leftvert lrightvert }$ como ${displaystyle l}$ es un número negativo) índices impares j.
Dentro de un n, un bajo ${displaystyle leftvert lrightvert }$ resultados en un menor j.

Índices estándar OSA/ANSI

AOS y polinomios de Zernike de índice único ANSI usando:

{displaystyle j={frac {n(n+2)+l}{2}}}

n,l	0,0	1, 1	1.1	2-2	2,0	2,2	3, 3	3,-1	3,1	3,3
j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n,l	4, 4	4,-2	4.0	4,2	4.4	5,-5	5,-3	5,-1	5,1	5,3
j	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

Índices Fringe/Universidad de Arizona

El esquema de indexación Fringe se utiliza en software comercial de diseño óptico y pruebas ópticas en, por ejemplo, fotolitografía.

${displaystyle j=left(1+{frac {n+|l|}{2}}right)^{2}-2|l|+{frac {1-operatorname {sgn} l}{2}}}$

Donde ${displaystyle operatorname {sgn} l}$ es la función Signum o Signum. Los primeros 20 números de franja se enumeran a continuación.

n,l	0,0	1.1	1, 1 - 1	2,0	2,2	2-2	3,1	3,-1	4.0	3,3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n,l	3, 3	4,2	4, 2	5,1	5,1 a	6,0	4.4	4, 4	5,3	5,-3
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Índices de Wyant

James C. Wyant utiliza el estilo "Fringe" esquema de indexación excepto que comienza en 0 en lugar de 1 (resta 1). Este método se utiliza habitualmente, incluido el software de análisis de interferogramas en los interferómetros Zygo y el software de código abierto DFTFringe.

Propiedades

Ortogonalidad

La ortogonalidad en la parte radial dice

{displaystyle int _{0}^{1}{sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(rho),{sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(rho),rho drho =delta _{n,n'}}

${displaystyle {underset {0}{overset {1}{mathop {int } }}},R_{n}^{m}(rho)R_{{n}'}^{m}(rho)rho drho ={frac {{delta }_{n,{n}'}}{2n+2}}.}$

La ortogonalidad en la parte angular está representada por la elemental

{displaystyle int _{0}^{2pi }cos(mvarphi)cos(m'varphi),dvarphi =epsilon _{m}pi delta _{m,m'},}

{displaystyle int _{0}^{2pi }sin(mvarphi)sin(m'varphi),dvarphi =pi delta _{m,m'};quad mneq 0,}

{displaystyle int _{0}^{2pi }cos(mvarphi)sin(m'varphi),dvarphi =0,}

Donde ${displaystyle epsilon _{m}}$ (a veces llamado factor Neumann porque aparece con frecuencia en conjunto con las funciones de Bessel) se define como 2 si ${displaystyle m=0}$ y 1 si ${displaystyle mneq 0}$ . El producto de las piezas angulares y radiales establece la ortogonalidad de las funciones de Zernike con respecto a ambos índices si se integra sobre el disco de unidad,

{displaystyle int Z_{n}^{l}(rhovarphi)Z_{n'}^{l'}(rhovarphi),d^{2}r={frac {epsilon _{l}pi }{2n+2}}delta _{n,n'}delta _{l,l'},}

Donde ${displaystyle d^{2}r=rho ,drho ,dvarphi }$ es el Jacobiano del sistema de coordenadas circulares, y donde ${displaystyle n-l}$ y ${displaystyle n'-l'}$ ambos son incluso.

Transformación de Zernike

Cualquier campo de fase de valor real suficientemente suave sobre el disco de unidad ${displaystyle G(rhovarphi)}$ puede ser representado en términos de sus coeficientes Zernike (odd e incluso), así como las funciones periódicas encuentran una representación ortogonal con la serie Fourier. Tenemos

{displaystyle G(rhovarphi)=sum _{m,n}left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(rhovarphi)+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(rhovarphi)right],}

donde los coeficientes se pueden calcular utilizando productos internos. En el espacio de ${displaystyle L^{2}}$ funciones en el disco de unidad, hay un producto interior definido por

{displaystyle langle F,Grangle:=int F(rhovarphi)G(rhovarphi)rho drho dvarphi.}

Los coeficientes de Zernike se pueden expresar de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}a_{m,n}&={frac {2n+2}{epsilon _{m}pi }}leftlangle G(rhovarphi),Z_{n}^{m}(rhovarphi)rightrangle\b_{m,n}&={frac {2n+2}{epsilon _{m}pi }}leftlangle G(rhovarphi),Z_{n}^{-m}(rhovarphi)rightrangle.end{aligned}}}

Alternativamente, se pueden usar los valores conocidos de la función de fase G en la cuadrícula circular para formar un sistema de ecuaciones. La función de fase se recupera mediante el producto ponderado de coeficiente desconocido con (valores conocidos) del polinomio de Zernike en la cuadrícula de unidades. Por lo tanto, los coeficientes también se pueden encontrar resolviendo un sistema lineal, por ejemplo mediante inversión de matrices. Los algoritmos rápidos para calcular la transformada de Zernike directa e inversa utilizan propiedades de simetría de funciones trigonométricas, separabilidad de partes radiales y azimutales de polinomios de Zernike y sus simetrías rotacionales.

Simetrías

Las reflexiones de funciones trigonométricas dan como resultado que la paridad con respecto a la reflexión a lo largo del eje x es

{displaystyle Z_{n}^{l}(rhovarphi)=Z_{n}^{l}(rho-varphi)}

para l ≥ 0,

{displaystyle Z_{n}^{l}(rhovarphi)=-Z_{n}^{l}(rho-varphi)}

para l 0.

Los desplazamientos π de funciones trigonométricas dan como resultado que la paridad con respecto a la reflexión puntual en el centro de las coordenadas es

{displaystyle Z_{n}^{l}(rhovarphi)=(-1)^{l}Z_{n}^{l}(rhovarphi +pi),}

Donde ${displaystyle (-1)^{l}}$ bien podría ser escrito ${displaystyle (-1)^{n}}$ porque ${displaystyle n-l}$ como incluso los números son sólo casos para obtener polinomios Zernike no-vanishing. (Si) n es incluso entonces l también lo es. Si n es extraño, entonces l también es extraño.) Esta propiedad se utiliza a veces para clasificar polinomios Zernike en polinomios uniformes y extraños en términos de su dependencia angular. (también es posible añadir otra categoría con l = 0 ya que tiene una propiedad especial de ninguna dependencia angular.)

Polinomios anulares incluso zernike: polinomios Zernike con incluso l así ${displaystyle Z_{n}^{l}(rhovarphi)=Z_{n}^{l}(rhovarphi +pi).}$
Polinomios Zernike anularmente extraños: polinomios Zernike con extraños l así ${displaystyle Z_{n}^{l}(rhovarphi)=-Z_{n}^{l}(rhovarphi +pi).}$

Los polinomios radiales también son pares o impares, dependiendo del orden n o m:

{displaystyle R_{n}^{m}(rho)=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-rho)=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-rho).}

Estas igualdades se ven fácilmente desde ${displaystyle R_{n}^{m}(rho)}$ con un extraño (incluso) m contiene sólo poderes extraños (incluso) *** (véanse ejemplos de ${displaystyle R_{n}^{m}(rho)}$ infra).

La periodicidad de las funciones trigonométricas resulta en invariancia si rota por múltiplos de ${displaystyle 2pi /l}$ radian alrededor del centro:

{displaystyle Z_{n}^{l}left(rhovarphi +{tfrac {2pi k}{l}}right)=Z_{n}^{l}(rhovarphi),qquad k=0,pm 1,pm 2,cdots.}

Relaciones de recurrencia

Los polinomios de Zernike satisfacen la siguiente relación de recurrencia que no depende ni del grado ni del orden azimutal de los polinomios radiales:

{displaystyle {begin{aligned}R_{n}^{m}(rho)+R_{n-2}^{m}(rho)=rho left[R_{n-1}^{left|m-1right|}(rho)+R_{n-1}^{m+1}(rho)right]{text{.}}end{aligned}}}

De la definición ${displaystyle R_{n}^{m}}$ se puede ver que ${displaystyle R_{m}^{m}(rho)=rho ^{m}}$ y ${displaystyle R_{m+2}^{m}(rho)=((m+2)rho ^{2}-(m+1))rho ^{m}}$ . La siguiente relación de recurrencia a tres plazos permite calcular todo lo demás ${displaystyle R_{n}^{m}(rho)}$ :

{displaystyle R_{n}^{m}(rho)={frac {2(n-1)(2n(n-2)rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(rho)-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(rho)}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{text{.}}}

La relación anterior es especialmente útil ya que el derivado de ${displaystyle R_{n}^{m}}$ se puede calcular a partir de dos radiales Polinomios Zernike de grado adyacente:

{displaystyle {frac {operatorname {d} }{operatorname {d} !rho }}R_{n}^{m}(rho)={frac {(2nm(rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(rho)-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(rho)}{2nrho (rho ^{2}-1)}}{text{.}}}

Ejemplos

Polinomios radiales

Los primeros polinomios radiales son:

{displaystyle R_{0}^{0}(rho)=1,}

{displaystyle R_{1}^{1}(rho)=rho ,}

{displaystyle R_{2}^{0}(rho)=2rho ^{2}-1,}

{displaystyle R_{2}^{2}(rho)=rho ^{2},}

{displaystyle R_{3}^{1}(rho)=3rho ^{3}-2rho ,}

{displaystyle R_{3}^{3}(rho)=rho ^{3},}

{displaystyle R_{4}^{0}(rho)=6rho ^{4}-6rho ^{2}+1,}

{displaystyle R_{4}^{2}(rho)=4rho ^{4}-3rho ^{2},}

{displaystyle R_{4}^{4}(rho)=rho ^{4},}

{displaystyle R_{5}^{1}(rho)=10rho ^{5}-12rho ^{3}+3rho ,}

{displaystyle R_{5}^{3}(rho)=5rho ^{5}-4rho ^{3},}

{displaystyle R_{5}^{5}(rho)=rho ^{5},}

{displaystyle R_{6}^{0}(rho)=20rho ^{6}-30rho ^{4}+12rho ^{2}-1,}

{displaystyle R_{6}^{2}(rho)=15rho ^{6}-20rho ^{4}+6rho ^{2},}

{displaystyle R_{6}^{4}(rho)=6rho ^{6}-5rho ^{4},}

{displaystyle R_{6}^{6}(rho)=rho ^{6}.,}

Polinomios de Zernike

Los primeros pocos modos Zernike, en varios índices, se muestran a continuación. Se normalizan de tal manera que: ${displaystyle int _{0}^{2pi }int _{0}^{1}Z^{2}cdot rho ,drho ,dphi =pi }$ , que equivale a ${displaystyle operatorname {Var} (Z)_{text{unit circle}}=1}$ .

${displaystyle Z_{n}^{l}}$	OSA/ANSI índice () ${displaystyle j}$ )	Noll índice () ${displaystyle j}$ )	Wyant índice () ${displaystyle j}$ )	Fringe/UA índice () ${displaystyle j}$ )	Radial grado () ${displaystyle n}$ )	Azimuthal grado () ${displaystyle l}$ )	${displaystyle Z_{j}}$	Nombre clásico
${displaystyle Z_{0}^{0}}$	00	01	00	01	0	00	${displaystyle 1}$	Piston (ver, distribución de semicírculos Wigner)
${displaystyle Z_{1}^{-1}}$	01	03	02	03	1	−1	${displaystyle 2rho sin phi }$	Tilt (Y-Tilt, inclinación vertical)
${displaystyle Z_{1}^{1}}$	02	02	01	02	1	+ 1	${displaystyle 2rho cos phi }$	Tilt (X-Tilt, inclinación horizontal)
${displaystyle Z_{2}^{-2}}$	03	05	05	06	2	−2	${displaystyle {sqrt {6}}rho ^{2}sin 2phi }$	Astigmatismo oblicuo
${displaystyle Z_{2}^{0}}$	04	04	03	04	2	00	${displaystyle {sqrt {3}}(2rho ^{2}-1)}$	Defocus (Posición longitudinal)
${displaystyle Z_{2}^{2}}$	05	06	04	05	2	+2	${displaystyle {sqrt {6}}rho ^{2}cos 2phi }$	Astigmatismo vertical
${displaystyle Z_{3}^{-3}}$	06	09	10	11	3	−3	${displaystyle {sqrt {8}}rho ^{3}sin 3phi }$	Trefil vertical
${displaystyle Z_{3}^{-1}}$	07	07	07	08	3	−1	${displaystyle {sqrt {8}}(3rho ^{3}-2rho)sin phi }$	coma vertical
${displaystyle Z_{3}^{1}}$	08	08	06	07	3	+ 1	${displaystyle {sqrt {8}}(3rho ^{3}-2rho)cos phi }$	coma horizontal
${displaystyle Z_{3}^{3}}$	09	10	09	10	3	+3	${displaystyle {sqrt {8}}rho ^{3}cos 3phi }$	Trefoil oblicuo
${displaystyle Z_{4}^{-4}}$	10	15	17	18	4	−4	${displaystyle {sqrt {10}}rho ^{4}sin 4phi }$	Quadrafoil oblicuo
${displaystyle Z_{4}^{-2}}$	11	13	12	13	4	−2	${displaystyle {sqrt {10}}(4rho ^{4}-3rho ^{2})sin 2phi }$	Astigmatismo secundario oblicuo
${displaystyle Z_{4}^{0}}$	12	11	08	09	4	00	${displaystyle {sqrt {5}}(6rho ^{4}-6rho ^{2}+1)}$	Esférica primaria
${displaystyle Z_{4}^{2}}$	13	12	11	12	4	+2	${displaystyle {sqrt {10}}(4rho ^{4}-3rho ^{2})cos 2phi }$	Astigmatismo secundario vertical
${displaystyle Z_{4}^{4}}$	14	14	16	17	4	+4	${displaystyle {sqrt {10}}rho ^{4}cos 4phi }$	Cuadrícula vertical

Aplicaciones

Resultado de los primeros 21 polinomios Zernike (como arriba) introducidos como aberraciones en un haz plano. La viga es imagenada por una lente, que produce una transformación Fourier, cuya intensidad está representada en esta imagen

Las funciones son una base definida sobre el área de soporte circular, típicamente los planos del alumno en imágenes ópticas clásicas a longitudes de onda visibles e infrarrojas a través de sistemas de lentes y espejos de diámetro finito. Sus ventajas son las propiedades analíticas simples heredadas de la simplicidad de las funciones radiales y la factorización en funciones radiales y azimutales; esto conduce, por ejemplo, a expresiones de forma cerrada de la transformación bidimensional de Fourier en términos de funciones de Bessel. Su desventaja, en particular si es alta n están involucrados, es la distribución desigual de líneas nodal sobre el disco unitario, que introduce efectos de anillo cerca del perímetro ${displaystyle rho approx 1}$ , que a menudo conduce intentos de definir otras funciones ortogonales sobre el disco circular.

En la fabricación óptica de precisión, los polinomios de Zernike se utilizan para caracterizar los errores de orden superior observados en los análisis interferométricos. En sensores de pendiente de frente de onda como el Shack-Hartmann, los coeficientes de Zernike del frente de onda se pueden obtener ajustando las pendientes medidas con derivadas polinómicas de Zernike promediadas sobre las subaperturas de muestreo. En optometría y oftalmología, los polinomios de Zernike se utilizan para describir aberraciones del frente de onda de la córnea o del cristalino a partir de una forma esférica ideal, que dan lugar a errores de refracción. También se utilizan habitualmente en óptica adaptativa, donde pueden utilizarse para caracterizar la distorsión atmosférica. Las aplicaciones obvias para esto son la astronomía visual o IR y las imágenes de satélite.

Otra aplicación de los polinomios de Zernike se encuentra en la teoría extendida de difracción y aberraciones de Nijboer-Zernike.

Los polinomios de Zernike se utilizan ampliamente como funciones base de momentos de imágenes. Dado que los polinomios de Zernike son ortogonales entre sí, los momentos de Zernike pueden representar propiedades de una imagen sin redundancia ni superposición de información entre los momentos. Aunque los momentos de Zernike dependen significativamente de la escala y la traslación del objeto en una región de interés (ROI), sus magnitudes son independientes del ángulo de rotación del objeto. Por lo tanto, se pueden utilizar para extraer características de imágenes que describen las características de forma de un objeto. Por ejemplo, los momentos de Zernike se utilizan como descriptores de forma para clasificar masas mamarias benignas y malignas o la superficie de discos vibrantes. Los Momentos Zernike también se han utilizado para cuantificar la forma de líneas celulares de cáncer de osteosarcoma a nivel de células individuales. Además, los Momentos Zernike se han utilizado para la detección temprana de la enfermedad de Alzheimer extrayendo información discriminativa de las imágenes de resonancia magnética de la enfermedad de Alzheimer, el deterioro cognitivo leve y los grupos sanos.

Dimensiones superiores

El concepto se traduce en dimensiones superiores D si multinomios ${displaystyle x_{1}^{i}x_{2}^{j}cdots x_{D}^{k}}$ en las coordenadas cartesianas se convierten en coordenadas hiperesféricas, ${displaystyle rho ^{s},sleq D}$ , multiplicado por un producto de polinomios Jacobi de las variables angulares. In ${displaystyle D=3}$ dimensiones, las variables angulares son armónicas esféricas, por ejemplo. Combinaciones lineales de los poderes ${displaystyle rho ^{s}}$ definir una base ortogonal ${displaystyle R_{n}^{(l)}(rho)}$ satisfacción

{displaystyle int _{0}^{1}rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(rho)R_{n'}^{(l)}(rho)drho =delta _{n,n'}}

(Nota que un factor ${displaystyle {sqrt {2n+D}}}$ se absorbe en la definición de R aquí, mientras que en ${displaystyle D=2}$ la normalización es elegida ligeramente diferente. Esto es en gran parte una cuestión de gusto, dependiendo de si uno desea mantener un conjunto entero de coeficientes o prefiere fórmulas más estrictas si la ortogonalización está implicada.) La representación explícita es

{displaystyle {begin{aligned}R_{n}^{(l)}(rho)&={sqrt {2n+D}}sum _{s=0}^{tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{tfrac {n-l}{2}} choose s}{n-s-1+{tfrac {D}{2}} choose {tfrac {n-l}{2}}}rho ^{n-2s}\&=(-1)^{tfrac {n-l}{2}}{sqrt {2n+D}}sum _{s=0}^{tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{tfrac {n-l}{2}} choose s}{s-1+{tfrac {n+l+D}{2}} choose {tfrac {n-l}{2}}}rho ^{2s+l}\&=(-1)^{tfrac {n-l}{2}}{sqrt {2n+D}}{{tfrac {n+l+D}{2}}-1 choose {tfrac {n-l}{2}}}rho ^{l} {}_{2}F_{1}left(-{tfrac {n-l}{2}},{tfrac {n+l+D}{2}};l+{tfrac {D}{2}};rho ^{2}right)end{aligned}}}

para incluso ${displaystyle n-lgeq 0}$ , más idéntico a cero.

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