Polinomio mónico

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Polynomial con 1 como coeficiente líder

En álgebra, un polinomio mónico es un polinomio univariante distinto de cero (es decir, un polinomio en una sola variable) en el que el coeficiente principal (el coeficiente distinto de cero de mayor grado) es igual a 1. Es decir, un polinomio mónico es aquel que se puede escribir como

{displaystyle x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+cdots +c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},}

con ${displaystyle ngeq 0.}$

Usos

Los polinomios mónicos son muy utilizados en álgebra y teoría de números, ya que producen muchas simplificaciones y evitan divisiones y denominadores. Aquí hay unos ejemplos.

Cada polinomio está asociado a un único polinomio mónico. En particular, la propiedad de factorización única de los polinomios se puede establecer como: Cada polinomio se puede factorizar de forma única como el producto de su coeficiente principal y un producto de polinomios irreducibles mónicos.

Las fórmulas de Vieta son más simples en el caso de los polinomios monicos: El $i$ función simétrica elemental de las raíces de un polinomio monico de grado $n$ iguales ${displaystyle (-1)^{i}c_{n-i},}$ Donde ${displaystyle c_{n-i}}$ es el coeficiente del $(n-i)$ el poder del indeterminado.

La división euclidiana de un polinomio por un polinomio mónico no introduce divisiones de coeficientes. Por lo tanto, se define para polinomios con coeficientes en un anillo conmutativo.

Los enteros algebraicos se definen como las raíces de polinomios mónicos con coeficientes enteros.

Propiedades

Todo polinomio univariado distinto de cero (polinomio con un solo indeterminado) se puede escribir

{displaystyle c_{n}x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+cdots c_{1}x+c_{0},}

Donde ${displaystyle c_{n},ldotsc_{0}}$ son los coeficientes del polinomio, y el coeficiente líder $c_{n}$ no es cero. Por definición, tal polinomio es monic si ${displaystyle c_{n}=1.}$

Un producto de polinomios es mónico si y solo si todos los factores son mónicos.

Did you mean:

The "" condition implies that, the monic polynomials in a univariate polynomial ring over a commutative ring form a monoid under polynomial multiplication.

Dos polinomios mónicos están asociados si y solo si son iguales, ya que la multiplicación de un polinomio por una constante distinta de cero produce un polinomio con esta constante como su coeficiente principal.

La divisibilidad induce un orden parcial en los polinomios mónicos. Esto resulta casi inmediatamente de las propiedades anteriores.

Ecuaciones polinómicas

Vamos $P(x)$ ser una ecuación polinomio, donde $P$ es un polinomio univariado de grado $n$ . Si uno divide todos los coeficientes de $P$ por su coeficiente líder ${displaystyle c_{n},}$ se obtiene una nueva ecuación polinomio que tiene las mismas soluciones y consiste en equiparar a cero un polinomio monico.

Por ejemplo, la ecuación

2x^{2}+3x+1=0

es equivalente a la ecuación mónica

x^{2}+{frac {3}{2}}x+{frac {1}{2}}=0.

Cuando los coeficientes no son especificados, o pertenecen a un campo donde la división no resulta en fracciones (como ${displaystyle mathbb {R}mathbb {C}}$ o un campo finito), esta reducción a las ecuaciones monicas puede proporcionar simplificación. Por otro lado, como muestra el ejemplo anterior, cuando los coeficientes son enteros explícitos, el polinomio monico asociado es generalmente más complicado. Por lo tanto, los polinomios primitivos se utilizan a menudo en lugar de los polinomios monicos al tratar con coeficientes enteros.

Elementos integrales

Las ecuaciones polinomiales de Monic son la base de la teoría de los números enteros algebraicos y, más generalmente, de los elementos integrales.

Sea $R$ un subanillo de un campo $F$ ; esto implica que $R$ es un dominio integral. Un elemento $a$ de $F$ es integral sobre $R$ si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en R.

Un número complejo que es integral sobre los enteros se llama un entero algebraico. Esta terminología está motivada por el hecho de que los enteros son exactamente los números racionales que también son enteros algebraicos. Esto resulta del teorema de raíz racional, que afirma que, si el número racional ${textstyle {frac {p}{q}}}$ es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros, entonces $q$ es un divisor del coeficiente líder; así, si el polinomio es monico, entonces ${displaystyle q=pm 1,}$ y el número es un entero. Por el contrario, un entero $p$ es una raíz del polinomio monico ${displaystyle x-a.}$

Se puede probar que, si dos elementos de un campo $F$ son integrales sobre un subanillo $R$ de $F$ , luego la suma y el producto de estos elementos también son integrales sobre $R$ . De ello se deduce que los elementos de $F$ que son integrales sobre $R$ forman un anillo, llamado cierre integral de $R$ en $K$ . Un dominio integral que es igual a su cierre integral en su campo de fracciones se llama dominio integralmente cerrado.

Estos conceptos son fundamentales en la teoría algebraica de números. Por ejemplo, muchas de las numerosas demostraciones erróneas del último teorema de Fermat que se han escrito durante más de tres siglos estaban equivocadas porque los autores supusieron erróneamente que los enteros algebraicos en un cuerpo de números algebraicos tienen factorización única.

Polinomios multivariados

Normalmente, el término mónico no se emplea para polinomios de varias variables. Sin embargo, un polinomio en varias variables puede considerarse como un polinomio en una variable con coeficientes que son polinomios en las otras variables. Ser mónico depende, pues, de la elección de un "principal" variable. Por ejemplo, el polinomio

{displaystyle p(x,y)=2xy^{2}+x^{2}-y^{2}+3x+5y-8}

es mónico, si se considera como un polinomio en $x$ con coeficientes que son polinomios en $y$ :

{displaystyle p(x,y)=x^{2}+(2y^{2}+3),x+(-y^{2}+5y-8);}

pero no es mónico cuando se considera como un polinomio en $y$ con coeficientes polinómicos en $x$ :

{displaystyle p(x,y)=(2x-1),y^{2}+5y+(x^{2}+3x-8).}

En el contexto de las bases de Gröbner, generalmente se fija un orden monomio. En este caso, se puede decir que un polinomio es mónico, si tiene 1 como coeficiente principal (para el orden del monomio).

Para cada definición, un producto de polinomios es mónico si y solo si todos los factores son mónicos, y cada polinomio está asociado a exactamente un polinomio mónico.

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