Polinomio irreducible

En matemáticas, un polinomio irreducible es, aproximadamente, un polinomio que no puede ser factorizado en el producto de dos polinomios no constantes. La propiedad de la irreducibilidad depende de la naturaleza de los coeficientes aceptados para los posibles factores, es decir, el campo al que se supone que pertenecen los coeficientes del polinomio y sus posibles factores. Por ejemplo, el polinomio x² − 2 es un polinomio con coeficientes enteros, pero, como cada entero es también un número real, también es un polinomio con coeficientes reales. Es irreducible si se considera como un polinomio con coeficientes enteros, pero factores como ()x− − 2)()x+2){displaystyle left(x-{sqrt {2}right)left(x+{sqrt {2}right)}} si se considera un polinomio con coeficientes reales. Uno dice que el polinomio x² − 2 es irreducible sobre los enteros pero no sobre los reales.

La irreducibilidad polinomio se puede considerar para polinomios con coeficientes en un dominio integral, y hay dos definiciones comunes. Con más frecuencia, un polinomio sobre un dominio integral R se dice que irreducible si no es el producto de dos polinomios que tienen sus coeficientes en R, y que no son unidad en R. Equivalentemente, para esta definición, un polinomio irreducible es un elemento irreducible en los anillos de polinomios sobre R. Si R es un campo, las dos definiciones de irreducibilidad son equivalentes. Para la segunda definición, un polinomio es irreducible si no puede ser factorizado en polinomios con coeficientes en el mismo dominio que ambos tienen un grado positivo. Equivalentemente, un polinomio es irreducible si es irreducible sobre el campo de fracciones del dominio integral. Por ejemplo, el polinomio 2()x2− − 2)▪ ▪ Z[x]{displaystyle 2(x^{2}-2)in mathbb {Z} [x] es irreducible para la segunda definición, y no para la primera. Por otro lado, x2− − 2{displaystyle x^{2}-2} es irreducible en Z[x]{displaystyle mathbb {Z} [x] para las dos definiciones, mientras que es reducible en R[x].{displaystyle mathbb {R} [x].}

Un polinomio que es irreducible sobre cualquier campo que contenga los coeficientes es absolutamente irreducible. Por el teorema fundamental del álgebra, un polinomio univariado es absolutamente irreducible si y sólo si su grado es uno. Por otro lado, con varios indeterminados, hay polinomios absolutamente irreducibles de cualquier grado, como x2+Sí.n− − 1,{displaystyle x^{2}+y^{n}-1,} para cualquier entero positivo n.

A veces se dice que un polinomio que no es irreducible es un polinomio reducible.

Los polinomios irreducibles aparecen naturalmente en el estudio de la factorización de polinomios y extensiones de campos algebraicos.

Es útil comparar polinomios irreducibles con números primos: los números primos (junto con los números negativos correspondientes de igual magnitud) son los enteros irreducibles. Exhiben muchas de las propiedades generales del concepto de "irreductibilidad" que se aplican igualmente a polinomios irreducibles, como la factorización esencialmente única en factores primos o irreducibles. Cuando el anillo de coeficientes es un campo u otro dominio de factorización único, un polinomio irreducible también se denomina polinomio primo, porque genera un ideal primo.

Definición

Si F es un cuerpo, un polinomio no constante es irreducible sobre F si sus coeficientes pertenecen a F y no se puede factorizar en el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes en F.

A veces se dice que un polinomio con coeficientes enteros o, más generalmente, con coeficientes en un dominio de factorización único R, es irreducible (o irreducible sobre R) si es un elemento irreducible del anillo polinomial, es decir, no es invertible, no es cero, y no puede factorizarse en el producto de dos polinomios no invertibles con coeficientes en R. Esta definición generaliza la definición dada para el caso de coeficientes en un campo, porque, sobre un campo, los polinomios no constantes son exactamente los polinomios que no son invertibles y distintos de cero.

Con frecuencia se usa otra definición, diciendo que un polinomio es irreducible sobre R si es irreducible sobre el campo de fracciones de R (el campo de los números racionales, si R son los números enteros). Esta segunda definición no se utiliza en este artículo. La equivalencia de las dos definiciones depende de R.

Ejemplos simples

Los siguientes seis polinomios demuestran algunas propiedades elementales de los polinomios reducibles e irreducibles:

p1()x)=x2+4x+4=()x+2)2p2()x)=x2− − 4=()x− − 2)()x+2)p3()x)=9x2− − 3=3()3x2− − 1)=3()x3− − 1)()x3+1)p4()x)=x2− − 49=()x− − 23)()x+23)p5()x)=x2− − 2=()x− − 2)()x+2)p6()x)=x2+1=()x− − i)()x+i){2}} {2}}} {2}========================)p_{3} {0}

Sobre los enteros, los primeros tres polinomios son reducibles (el tercero es reducible porque el factor 3 no es invertible en los enteros); los dos últimos son irreducibles. (El cuarto, por supuesto, no es un polinomio sobre los números enteros).

Sobre los números racionales, los dos primeros y el cuarto polinomios son reducibles, pero los otros tres polinomios son irreducibles (como polinomio sobre los racionales, 3 es una unidad y, por lo tanto, no cuenta como factor).

Sobre los números reales, los primeros cinco polinomios son reducibles, pero p6()x){displaystyle p_{6}(x)} es irreducible.

Sobre los números complejos, los seis polinomios son reducibles.

Sobre los números complejos

Sobre el cuerpo complejo y, más generalmente, sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, un polinomio univariante es irreducible si y solo si su grado es uno. Este hecho se conoce como el teorema fundamental del álgebra en el caso de los números complejos y, en general, como la condición de ser algebraicamente cerrado.

De ello se deduce que todo polinomio univariado no constante se puede factorizar como

a()x− − z1)⋯ ⋯ ()x− − zn){displaystyle aleft(x-z_{1}right)cdots left(x-z_{n}right)}

Donde n{displaystyle n} es el grado, a{displaystyle a} es el coeficiente líder y z1,...... ,zn{displaystyle z_{1},dotsz_{n} son los ceros del polinomio (no necesariamente distintos, y no necesariamente tener expresiones algebraicas explícitas).

Hay polinomios multivariantes irreducibles de todos los grados sobre los números complejos. Por ejemplo, el polinomio

xn+Sí.n− − 1,{displaystyle x^{n}+y^{n}-1,}

que define una curva de Fermat, es irreducible para todo n positivo.

Sobre los reales

En el campo real, el grado de un polinomio univariable irreducible es uno o dos. Más precisamente, los polinomios irreducibles son los polinomios del grado uno y los polinomios cuadráticos ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c} que tienen una discriminación negativa b2− − 4ac.{displaystyle b^{2}-4ac.} De ello se desprende que cada polinomio univariado no constante puede ser considerado como un producto de polinomios de grado en la mayoría de dos. Por ejemplo, x4+1{displaystyle x^{4}+1} factores sobre los números reales como ()x2+2x+1)()x2− − 2x+1),{displaystyle left(x^{2}+{sqrt {2}x+1right)left(x^{2}-{sqrt {2}x+1right),} y no se puede tener más en cuenta, ya que ambos factores tienen un discriminante negativo: <math alttext="{displaystyle left(pm {sqrt {2}}right)^{2}-4=-2()± ± 2)2− − 4=− − 2.0.{displaystyle left(pm {2}derecha)}{2}-4=-2 hechos0.}<img alt="{displaystyle left(pm {sqrt {2}}right)^{2}-4=-2

Propiedad de factorización única

Todo polinomio sobre un campo F se puede factorizar en un producto de una constante distinta de cero y un número finito de irreducibles (sobre F) polinomios. Esta descomposición es única hasta el orden de los factores y la multiplicación de los factores por constantes distintas de cero cuyo producto es 1.

Sobre un dominio de factorización único, el mismo teorema es cierto, pero se formula con mayor precisión utilizando la noción de polinomio primitivo. Un polinomio primitivo es un polinomio sobre un dominio de factorización único, tal que 1 es el máximo común divisor de sus coeficientes.

Sea F un dominio de factorización único. Un polinomio irreducible no constante sobre F es primitivo. Un polinomio primitivo sobre F es irreducible sobre F si y solo si es irreducible sobre el campo de fracciones de F. Cada polinomio sobre F se puede descomponer en el producto de una constante distinta de cero y un número finito de polinomios primitivos irreducibles no constantes. La constante distinta de cero puede descomponerse en el producto de una unidad de F y un número finito de elementos irreducibles de F. Ambas factorizaciones son únicas hasta el orden de los factores y la multiplicación de los factores por una unidad de F.

Este es este teorema que motiva que la definición de polinomio irreducible sobre un único dominio de factorización a menudo supone que el polinomio no es constante.

Todos los algoritmos que se implementan actualmente para factorizar polinomios sobre los números enteros y sobre los números racionales usan este resultado (ver Factorización de polinomios).

Sobre los enteros y campos finitos

La irreducibilidad de un polinomio sobre los enteros Z{displaystyle mathbb {Z} está relacionado con eso sobre el terreno Fp{displaystyle mathbb {F} _{p} de p{displaystyle p} elementos (para un primer p{displaystyle p}). En particular, si un polinomio univariado f sobre Z{displaystyle mathbb {Z} es irreducible sobre Fp{displaystyle mathbb {F} _{p} para algunos primo p{displaystyle p} que no divide el coeficiente líder f (el coeficiente de la potencia más alta de la variable), entonces f es irreducible sobre Q{displaystyle mathbb {Mathbb {} (es decir, no es el producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros). El criterio de Eisenstein es una variante de esta propiedad donde irreducibilidad sobre p2{displaystyle p^{2} también está involucrado.

El contrario, sin embargo, no es cierto: hay polinomios de grado arbitrariamente grande que son irreducibles sobre los enteros y reducibles sobre cada campo finito. Un simple ejemplo de tal polinomio es x4+1.{displaystyle x^{4}+1.}

La relación entre la irreductibilidad sobre los enteros y la irreductibilidad módulo p es más profunda que el resultado anterior: hasta la fecha, todos los algoritmos implementados para factorización e irreductibilidad sobre los números enteros y sobre los números racionales usan la factorización sobre campos finitos como una subrutina.

Número de grados n polinomios monicos irreducibles sobre un campo Fq{displaystyle mathbb {F} _{q} para q un poder primo es dado por

N()q,n)=1n.. d▪ ▪ nμ μ ()d)qnd,{displaystyle N(q,n)={frac {1}{n}sum _{dmid n}mu (d)q^{frac {n} {d}},}

donde μ es la función de Möbius. Para q = 2, tales polinomios se usan comúnmente para generar secuencias binarias pseudoaleatorias.

En cierto sentido, casi todos los polinomios con coeficientes cero o uno son irreducibles sobre los números enteros. Más precisamente, si se asume una versión de la hipótesis de Riemann para las funciones zeta de Dedekind, la probabilidad de ser irreducible sobre los enteros para un polinomio con coeficientes aleatorios en {0, 1} tiende a uno cuando el grado aumenta.

Algoritmos

La propiedad de factorización única de los polinomios no significa que la factorización de un polinomio dado siempre se pueda calcular. Incluso la irreductibilidad de un polinomio no siempre puede probarse mediante un cálculo: hay campos sobre los que no puede existir ningún algoritmo para decidir la irreductibilidad de polinomios arbitrarios.

Los algoritmos para factorizar polinomios y decidir la irreductibilidad son conocidos e implementados en sistemas de álgebra computacional para polinomios sobre los números enteros, los números racionales, los campos finitos y la extensión de campo generada finitamente de estos campos. Todos estos algoritmos utilizan los algoritmos para la factorización de polinomios sobre campos finitos.

Extensión de campo

Las nociones de polinomio irreducible y de extensión de campo algebraico están fuertemente relacionadas, de la siguiente manera.

Sea x un elemento de una extensión L de un campo K. Se dice que este elemento es algebraico si es una raíz de un polinomio distinto de cero con coeficientes en K. Entre los polinomios de los que x es raíz, hay exactamente uno que es mónico y de grado mínimo, llamado polinomio mínimo de x. El polinomio mínimo de un elemento algebraico x de L es irreducible, y es el único polinomio mónico irreducible del cual x es raíz. El polinomio mínimo de x divide todo polinomio que tiene x como raíz (este es el teorema de irreductibilidad de Abel).

Por el contrario, si P()X)▪ ▪ K[X]{displaystyle P(X)in K[X]} es un polinomio univariado sobre un campo K, vamos L=K[X]/P()X){displaystyle L=K[X]/P(X)} ser el anillo cociente del anillo polinomio K[X]{displaystyle K[X]} por el ideal generado por P. Entonces... L es un campo si y sólo si P es irreducible sobre K. En este caso, si x es la imagen de X dentro L, el mínimo polinomio de x es el cociente de P por su coeficiente líder.

Un ejemplo de lo anterior es la definición estándar de los números complejos como C=R[X]/()X2+1).{displaystyle mathbb {C} = 'mathbb {R} [X];/left(X^{2}+1right). }

Si un polinomio P tiene un factor irreducible Q sobre K, que tiene un grado mayor que uno, se puede aplicar a Q la construcción anterior de una extensión algebraica, para obtener una extensión en la que P tiene al menos una raíz más que en K. Al iterar esta construcción, finalmente se obtiene un campo sobre el cual los factores P se convierten en factores lineales. Este campo, único hasta un isomorfismo de campo, se denomina campo divisorio de P.

Sobre un dominio integral

Si R es un dominio integral, un elemento f de R que no es cero ni una unidad se llama irreducible si no hay no unidades g y h con f = gh. Se puede demostrar que todo elemento primo es irreducible; lo contrario no es cierto en general, pero se cumple en dominios de factorización única. El anillo polinomial F[x] sobre un campo F (o cualquier dominio de factorización única) es nuevamente un dominio de factorización única. Inductivamente, esto significa que el anillo polinomial en n indeterminados (sobre un anillo R) es un dominio de factorización único si lo mismo es cierto para R.