Polinomio de Laurent

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Polinomio con finitamente muchos términos de la forma axn donde n

En matemáticas, a Laurent polynomial (Nombre después de Pierre Alphonse Laurent) en una variable sobre un campo $mathbb {F}$ es una combinación lineal de potencias positivas y negativas de la variable con coeficientes en $mathbb {F}$ . Polinomios Laurent en X forma un anillo denotado ${displaystyle mathbb {F} [X,X^{-1}]}$ . Ellos difieren de los polinomios comunes en que pueden tener términos de grado negativo. La construcción de polinomios Laurent puede ser iterada, conduciendo al anillo de polinomios Laurent en varias variables. Los polinomios Laurent son de particular importancia en el estudio de variables complejas.

Definición

A Laurent polynomial con coeficientes en un campo $mathbb {F}$ es una expresión de la forma

{displaystyle p=sum _{k}p_{k}X^{k},quad p_{k}in mathbb {F} }

donde X es una variable formal, el índice de suma k es un número entero (no necesariamente positivo) y solo un número finito de coeficientes p_k son distintos de cero. Dos polinomios de Laurent son iguales si sus coeficientes son iguales. Tales expresiones se pueden sumar, multiplicar y devolver a la misma forma reduciendo términos similares. Las fórmulas para la suma y la multiplicación son exactamente las mismas que para los polinomios ordinarios, con la única diferencia de que tanto las potencias positivas como las negativas de X pueden estar presentes:

{displaystyle {bigg (}sum _{i}a_{i}X^{i}{bigg)}+{bigg (}sum _{i}b_{i}X^{i}{bigg)}=sum _{i}(a_{i}+b_{i})X^{i}}

{displaystyle {bigg (}sum _{i}a_{i}X^{i}{bigg)}cdot {bigg (}sum _{j}b_{j}X^{j}{bigg)}=sum _{k}{Bigg (}sum _{i,j atop i+j=k}a_{i}b_{j}{Bigg)}X^{k}.}

Dado que solo hay un número finito de coeficientes a_i y b_j son distintos de cero, todas las sumas en efecto tienen solo un número finito de términos y, por lo tanto, representan polinomios de Laurent.

Propiedades

Un polinomio Laurent sobre C puede ser visto como una serie Laurent en la que sólo finitamente muchos coeficientes no son cero.
El anillo de los polinomios Laurent R[X, X⁻¹] es una extensión del anillo polinomio R[Xobtenido por "invertir X". Más rigurosamente, es la localización del anillo polinomio en el conjunto multiplicativo que consiste en los poderes no negativos de X. Muchas propiedades del anillo polinomio Laurent siguen de las propiedades generales de localización.
El anillo de los polinomios Laurent es un subing de las funciones racionales.
El anillo de polinomios Laurent sobre un campo es Noetherian (pero no Artinian).
Si R es un dominio integral, las unidades del anillo polinomio Laurent R[X, X⁻¹Tener la forma uX^k, donde u es una unidad de R y k es un entero. En particular, si K es un campo entonces las unidades K[X, X⁻¹Tener la forma aX^k, donde a es un elemento no cero de K.
El anillo polinomio Laurent R[X, X⁻¹] es isomorfo al anillo del grupo Z de enteros sobre R. Más generalmente, el anillo polinomio Laurent en n variables isomorfas al anillo de grupo del grupo abeliano libre de rango n. Se sigue que el anillo polinomio Laurent se puede dotar con una estructura de un álgebra de Hopf conmutativa, comutativa.

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