Polinomio de Hurwitz

En matemáticas, un polinomio de Hurwitz, llamado así por Adolf Hurwitz, es un polinomio cuyas raíces (ceros) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano complejo o en el eje imaginario, es decir, la parte real de toda raíz es cero o negativa. Dicho polinomio debe tener coeficientes que sean números reales positivos. El término a veces se restringe a polinomios cuyas raíces tienen partes reales que son estrictamente negativas, excluyendo el eje imaginario (es decir, un polinomio estable de Hurwitz).

Se dice que una función polinomial P(s) de una variable compleja s es Hurwitz si se cumplen las siguientes condiciones:

1. P()s) es real cuando s es real.

2. Las raíces de P()s) tienen partes reales que son cero o negativo.

Los polinomios de Hurwitz son importantes en la teoría de los sistemas de control porque representan las ecuaciones características de los sistemas lineales estables. Se puede determinar si un polinomio es Hurwitz resolviendo la ecuación para encontrar las raíces, o a partir de los coeficientes sin resolver la ecuación mediante el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.

Ejemplos

Un ejemplo simple de un polinomio de Hurwitz es:

x2+2x+1.{displaystyle x^{2}+2x+1.}

La única solución real es −1, porque se factoriza como

()x+1)2.{displaystyle (x+1)^{2}

En general, todos los polinomios cuadráticos con coeficientes positivos son de Hurwitz. Esto se sigue directamente de la fórmula cuadrática:

x=− − b± ± b2− − 4ac2a.{displaystyle x={frac {-bpm {sqrt {b^{2}-4ac} - Sí.

donde, si el discriminante b²−4ac es menos de cero, entonces el polinomio tendrá dos soluciones complejas conjugadas con parte real −b/2a, que es negativo para positivo a y b. Si el discriminante es igual a cero, habrá dos soluciones reales coincidiendo en −b/2a. Por último, si el discriminante es mayor que cero, habrá dos soluciones negativas reales, porque <math alttext="{displaystyle {sqrt {b^{2}-4ac}}b2− − 4ac.b{displaystyle {sqrt {b^{2}-4ac}traducidos<img alt="{displaystyle {sqrt {b^{2}-4ac}} positiva a, b y c.

Propiedades

Para que un polinomio sea Hurwitz, es necesario pero no suficiente que todos sus coeficientes sean positivos (excepto los polinomios cuadráticos, que también implican suficiencia). Una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea Hurwitz es que pase el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Se puede probar eficientemente que un polinomio dado sea Hurwitz o no mediante el uso de la técnica de expansión de fracción continua de Routh.