Conjunto incontable

En matemáticas, un conjunto incontable (o conjunto incontablemente infinito) es un conjunto infinito que contiene demasiados elementos para ser contable. La incontabilidad de un conjunto está íntimamente relacionada con su número cardinal: un conjunto es incontable si su número cardinal es mayor que el del conjunto de todos los números naturales.

Caracterizaciones

Hay muchas caracterizaciones equivalentes de incontabilidad. Un conjunto X es incontable si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• No existe una función inyectable (de ahí ninguna bijeción) X al conjunto de números naturales.
• X es inequívoco y para cada secuencia de elementos X, existe al menos un elemento de X no incluido en él. Eso es, X no es vacío y no hay función subjetiva de los números naturales a X.
• El cardenalismo X no es finito ni igual א א 0{displaystyle aleph _{0} (aleph-null, la cardinalidad de los números naturales).
• El set X tiene la cardenalidad estrictamente mayor que א א 0{displaystyle aleph _{0}.

Las tres primeras de estas caracterizaciones pueden demostrarse equivalentes en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección, pero la equivalencia de la tercera y cuarta no puede demostrarse sin principios de elección adicionales.

Propiedades

• Si un conjunto incontable X es un subconjunto de conjunto Y, entonces Y es incontable.

Ejemplos

El ejemplo más conocido de un conjunto incontable es el conjunto R de todos los números reales; el argumento diagonal de Cantor muestra que este conjunto es incontable. La técnica de prueba de diagonalización también se puede utilizar para demostrar que varios otros conjuntos son incontables, como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales y el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de números naturales. El cardenalismo R a menudo se llama cardenalidad del continuum, y denotado por c{displaystyle {Mathfrak}}, o 2א א 0{displaystyle 2^{aleph - Sí., o .. 1{displaystyle beth ¿Qué? (Beth-one).

El conjunto de Cantor es un subconjunto incontable de R. El conjunto de Cantor es un fractal y tiene dimensión de Hausdorff mayor que cero pero menor que uno (R tiene dimensión uno). Este es un ejemplo del siguiente hecho: cualquier subconjunto de R de dimensión de Hausdorff estrictamente mayor que cero debe ser incontable.

Otro ejemplo de un conjunto incontable es el conjunto de todas las funciones de R a R. Este set es incluso "más incontable" que R en el sentido de que la cardinalidad de este conjunto es .. 2{displaystyle beth _{2} (Beth-two), que es más grande que .. 1{displaystyle beth ¿Qué?.

Un ejemplo más abstracto de un conjunto incontable es el conjunto de todos los números ordinal contables, denotados por Ω o ω₁. La cardinalidad de Ω es denotada א א 1{displaystyle aleph _{1} (aleph-uno). Se puede mostrar, utilizando el axioma de elección, que א א 1{displaystyle aleph _{1} es más pequeña incontable número cardenal. Así o .. 1{displaystyle beth ¿Qué?, la cardenalidad de los reinos, es igual a א א 1{displaystyle aleph _{1} o es estrictamente más grande. Georg Cantor fue el primero en proponer la cuestión de si .. 1{displaystyle beth ¿Qué? es igual a א א 1{displaystyle aleph _{1}. En 1900, David Hilbert planteó esta cuestión como el primero de sus 23 problemas. La declaración de que א א 1=.. 1{displaystyle aleph _{1}=beth ¿Qué? ahora se llama la hipótesis continuum, y se sabe que es independiente de los axiomas Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (incluyendo el axioma de elección).

Sin el axioma de elección

Sin el axioma de la elección, podría existir cardenalidades incomparables a א א 0{displaystyle aleph _{0} (a saber, las cardenalidades de los conjuntos infinitos de la Dedekind). Los conjuntos de estas cardenalidades satisfacen las tres primeras caracterizaciones anteriores, pero no la cuarta caracterización. Puesto que estos conjuntos no son mayores que los números naturales en el sentido de la cardenalidad, algunos pueden no querer llamarlos incontables.

Si el axioma de elección sostiene, las siguientes condiciones en un cardenal κ κ {displaystyle kappa } son equivalentes:

• κ κ ≰ ≰ א א 0;{displaystyle kappa nleq aleph - Sí.
• aleph _{0};}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">κ κ ■א א 0;{displaystyle kappa }aleph - Sí.aleph _{0};" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032943d29e1525aa39bf63b66e0240bdb02e3976" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.559ex; height:2.509ex;"/> y
• κ κ ≥ ≥ א א 1{displaystyle kappa geq aleph ¿Qué?, donde א א 1=Silencio⋅ ⋅ 1Silencio{displaystyle aleph _{1}= arrestomega _{1} y ⋅ ⋅ 1{displaystyle omega ¿Qué? es el menor ordinal inicial mayor que ⋅ ⋅ .{displaystyle omega.}

Sin embargo, todos estos pueden ser diferentes si falla el axioma de elección. Así que no es obvio cuál es la generalización apropiada de "incontabilidad" cuando el axioma falla. Puede ser mejor evitar el uso de la palabra en este caso y especificar cuál de estos significa.