Polígono convexo

En geometría, una convex poligon es un polígono que es el límite de un conjunto convexo. Esto significa que el segmento de línea entre dos puntos del polígono está contenido en la unión del interior y el límite del polígono. En particular, es un polígono simple (no autointersecante). Equivalentemente, un polígono es convexo si cada línea que no contiene ningún borde intersecciona el polígono en la mayoría de dos puntos.

Un polígono estrictamente convexo es un polígono convexo tal que ninguna línea contiene dos de sus aristas. En un polígono convexo, todos los ángulos interiores son menores o iguales a 180 grados, mientras que en un polígono estrictamente convexo todos los ángulos interiores son estrictamente menores de 180 grados.

Propiedades

Las siguientes propiedades de un polígono simple son todas equivalentes a la convexidad:

• Cada ángulo interno es estrictamente inferior a 180 grados.
• Cada punto en cada segmento de línea entre dos puntos dentro o en el límite del polígono permanece dentro o en el límite.
• El polígono está completamente contenido en un medio plano cerrado definido por cada uno de sus bordes.
• Para cada borde, los puntos interiores están todos en el mismo lado de la línea que el borde define.
• El ángulo en cada vértice contiene todos los otros vértices en sus bordes e interiores.
• El polígono es el casco convexo de sus bordes.

Las propiedades adicionales de los polígonos convexos incluyen:

• La intersección de dos polígonos convexos es un polígono convexo.
• Un polígono convexo puede ser triangulado en tiempo lineal a través de una triangulación de ventiladores, que consiste en añadir diagonales de un vértice a todos los otros vértices.
• Helly es teorema: Para cada colección de al menos tres polígonos convexos: si todas las intersecciones de todo menos un polígono son inequívocas, entonces la intersección de todos los polígonos es inequívoca.
• Teorema Krein-Milman: Un polígono convexo es el casco convexo de sus vértices. Por lo tanto, está completamente definido por el conjunto de sus vértices, y sólo necesita las esquinas del polígono para recuperar toda la forma del polígono.
• Teorema de separación hiperplano: Cualquier dos polígonos convexos sin puntos en común tienen una línea separadora. Si los polígonos están cerrados y por lo menos uno de ellos es compacto, entonces hay incluso dos líneas de separación paralelas (con una brecha entre ellos).
• triángulo inscrito propiedad: De todos los triángulos contenidos en un polígono convexo, existe un triángulo con un área máxima cuyos vértices son todos vértices poligonales.
• Triángulo de inscripción propiedad: cada polígono convexo con área ${displaystyle A}$ puede ser inscrito en un triángulo de área en la mayoría igual a ${displaystyle 2A}$. La igualdad tiene (exclusivamente) un paralelograma.
• Rectángulos inscritos/inscritos propiedad: Para cada cuerpo convexo ${displaystyle C}$ en el plano, podemos inscribir un rectángulo ${displaystyle r}$ dentro ${displaystyle C}$ tal que una copia homotética ${displaystyle R.$ de ${displaystyle r}$ se circunscribe alrededor ${displaystyle C}$ y la relación homoteca positiva es a la mayoría de 2 y ${displaystyle 0.5{text{ × Area}(R)leq {text{Area}(C)leq 2{text{ × Area}(r)}$.
• La anchura media de un polígono convexo es igual a su perímetro dividido por ${displaystyle pi}$. Así que su anchura es el diámetro de un círculo con el mismo perímetro que el polígono.

Cada polígono inscrito en un círculo (como que todos los vértices del polígono tocan el círculo), si no autointersecante, es convexo. Sin embargo, no todo polígono convexo puede ser inscrito en un círculo.

Convexidad estricta

Las siguientes propiedades de un polígono simple son todas equivalentes a una convexidad estricta:

• Cada ángulo interno es estrictamente inferior a 180 grados.
• Cada segmento de línea entre dos puntos en el interior, o entre dos puntos en el límite pero no en el mismo borde, es estrictamente interior al polígono (excepto en sus puntos finales si están en los bordes).
• Para cada borde, los puntos interiores y los puntos límite no contenidos en el borde están en el mismo lado de la línea que el borde define.
• El ángulo en cada vértice contiene todos los otros vértices en su interior (excepto el vértice dado y los dos vértices adyacentes).

Todo triángulo no degenerado es estrictamente convexo.